精品解析：湖北省荆州中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

荆州中学2025~2026学年高一上学期期中考试 数学试题 （全卷满分150分.考试用时120分钟） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：求出集合后可求. 【详解】[方法一]：直接法 因为，故，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 代入集合，可得，不满足，排除A、D； 代入集合，可得，不满足，排除C. 故选：B. 【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法； 方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解． 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数图象可得，然后利用排除法结合指数函数的性质分析判断即可 【详解】由函数（其中）的图象可得， 所以，所以排除BC， 因为，所以为增函数，所以排除A， 故选：D 4. 现使用一架两臂不等长的天平称20g药品，操作方法如下：先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些药品放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些药品放在天平左盘中，使得天平平衡．你认为两次实际称得的药品总重量（ ） A. 等于20g B. 大于20g C. 小于20g D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】利用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取到等号，而，所以. 故选：B 5. 已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（ ） A. 3 B. －1 C. 1或－3 D. －1或3 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的概念及性质即得. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或3； 又在上单调递增， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 故． 故选：A． 6. 已知，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求证其奇偶性以及其在上的单调性即可比较大小. 【详解】因，则为偶函数， 因时，，在上单调递增， 又，故. 故选：D 7. 已知是定义在上的增函数，若对于任意，均有，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，把不等式，转化为，结合函数的单调性，得出相应的不等式组，即可求解. 【详解】根据，， 可得， 由，， 可得，则， 又是定义在上的增函数，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【点睛】本题的易错点是不能利用对已知不等式进行转化. 8. 已知函数其中且.若时，恒有，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件及函数单调性的定义，利用一次函数、指数函数和分段函数单调性，列出不等式组求解即可. 【详解】因为当时，恒有， 所以当时，恒有， 不妨设，则，即， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】通过特殊值、作差法及不等式的性质，逐一判断各选项命题的真假. 【详解】选项A，当时，，故A错误； 选项B，，因，，则， 故，B正确； 选项C，由得，又，故，C正确； 选项D，由得，故，D错误. 故选：BC 10. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值是9 C. 的最小值为2 D. 若，则的最大值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】基本不等式求出各个选项中代数式的最值，即可得到结果. 【详解】A选项，，当且仅当，即时，取等号，A选项正确； B选项，，当且仅当，即时，取等号，B选项正确； C选项，，当且仅当时，取等号，但当方程无解，C选项错误； D选项，，， 当且仅当时，即时，取等号，D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知函数和的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 的图象关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】由为奇函数，令，可判断B，由，令可判断A，由是偶函数，通过方程组法可判断C，由对称性的概念可判断D. 【详解】由为奇函数，得， 令，得，B正确． 对于， 令，得，A错误． 因为是偶函数，所以， 对于，以代替x得①， 则②，所以，C正确． ①与②相减得， 即，则的图象关于直线对称，D正确． 故选：BCD 二､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域是____________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为函数的定义域为， 则对于函数，令，解得， 所以函数的定义域是． 故答案为： 13. 已知，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先设出，求出，再结合不等式的性质解出即可； 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又，所以， 又 所以上述两不等式相加可得， 即， 所以的取值范围是， 故答案为：. 14. 若对于函数定义域内的每一个，都有成立，则称该函数为“互倒函数”.已知函数是定义域为的“互倒函数”，且当时，，若存在区间满足：，，使得，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据“互倒函数”可以求出函数在上的解析式，将，，使得转化为函数与函数值域的包含问题，对进行分类讨论即可求解. 【详解】因为当时，且为“互倒函数”， 故当时，， 当时，在上为增函数， 且在上的值域为， 而在上的值域为， 而，故且， 所以，其中，所以， 而，故， 所以 因为，由双勾函数的性质可得为减函数， ，所以，所以. 当时，在上的值域为， 而在上的值域为， 同理， 若，则，故即， 故，而，且； 若，则，故即， 故，而，且； 综上， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：对于新定义问题，应根据新定义寻找函数值域的对应的关系，在关系处理的过程中，注意根据值域的不同形式分类讨论. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知不等式的解集为A，且集合. （1）若，求实数k的取值范围； （2）若，求实数k的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先解出不等式的解集得到，再根据得到，列出关于的不等式求解； （2）根据得到，分和两种情况讨论，列出关于的不等式求解. 【小问1详解】 ，，，， ，， ，，， 实数k的取值范围为； 【小问2详解】 ，， ，， 当时，则，解得，满足，符合题意； 当时，则，解得， ，，此不等式无解； 综上可知，实数k的取值范围为. 16. （1）计算：； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由指数的运算即可计算出结果； （2）将条件等式两边同时平方得到的值，再两边同时平方即可求出的值，代入代数式即可求得结果； （3）对条件等式各项同除，化简得到关于的二次方程，然后解二次方程求得的值. 【详解】（1）原式； （2）原方程两边同时平方得：，解得， 方程两边再平方得：，解得， 所以. （3）由可得，即， 又，令，则， 解得，即. 17. 2025年5月，荆州市首次获评第七届全国文明城市称号，荆州中学作为“全国文明校园”的再次蝉联者，既是荆州市文明城市创建的受益者，更是文明创建践行者.以此为契机，学校计划在天问广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，在两块完全相同的长方形上种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【答案】（1）16 （2）. 【解析】 【分析】（1）设草坪长和宽，根据条件得到关系和不等式，解不等式即可求得草坪宽的最大值； （2）设整个绿化面积为平方米，根据题意列出表达式，并通过基本不等式求得最小值. 【小问1详解】 设草坪的宽为x米，长为y米， 因为两块绿草坪的面积均为400平方米，所以， 因为矩形草坪的长比宽至少多9米，则，即， 解得，所以草坪宽的最大值为16米； 【小问2详解】 设整个绿化面积为S平方米， 由题意可得，，当且仅当时取等号， 所以整个绿化面积的最小值为平方米. 18. 已知奇函数的定义域为. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）单调递增，证明：设任意，且, 则, 因为，所以， 又，， 所以，即， 所以在上单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得，再根据定义域关于原点对称求解； （2）利用定义法证明函数的单调性； （3）存在，使得恒成立，令，，转化为，存在时成立求解. 【小问1详解】 因为函数是奇函数，所以，即，则，整理可得，所以， 又因为定义域关于原点对称，所以，即， 所以; 【小问2详解】 在上单调递增，证明略； 【小问3详解】 因为，所以， 由存在，使得成立， 则，存在时成立， 令，， 则，存在时成立， 构造函数， 故， 而，当且仅当，即取等号， 对于单调递减，在单调递增， 所以，, 所以, ∴ 故的取值范围为. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得函数在x∈时，值域是，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数在x∈时值域是，则称为的“完美区间”. （1）证明：函数在定义域里存在“完美区间”； （2）如果二次函数在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a,b； （3）是否存在实数，使得函数()在区间单调，且为的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2），. （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据完美区间的定义，结合的单调性与区间端点值证明即可； （2）设定义域为，值域为，再列方程组求解即可； （3）作出的图像，讨论与1，2的关系，去绝对值后列式消元求得范围即可. 【小问1详解】 在与上均为增函数，若存在完美区间，则有，即为的两根． 即的根，故，即存在“完美区间”. 【小问2详解】 若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为 当时，易得在区间上单调递减， 则，两式相减可得，得， 则，即，因为，解得，. 【小问3详解】 ，图象如图所示，令，解得或， （ⅰ）当时，，由，两式相除，， ， ，可得,与a,b范围矛盾，即实数不存在 （ⅱ）当时，，由可得，，即， ，由，即，解得， 又，，， 由，可得， 综上，符合条件的k的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是对进行分类讨论，最后分离出结合二次函数的性质即可求出最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2025~2026学年高一上学期期中考试 数学试题 （全卷满分150分.考试用时120分钟） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（ ） A. B. C. D. 4. 现使用一架两臂不等长的天平称20g药品，操作方法如下：先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些药品放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些药品放在天平左盘中，使得天平平衡．你认为两次实际称得的药品总重量（ ） A. 等于20g B. 大于20g C. 小于20g D. 以上都有可能 5. 已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（ ） A. 3 B. －1 C. 1或－3 D. －1或3 6. 已知，若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的增函数，若对于任意，均有，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数其中且.若时，恒有，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值是9 C. 的最小值为2 D. 若，则的最大值为4 11. 已知函数和的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 的图象关于直线对称 二､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域是____________. 13. 已知，则的取值范围是__________. 14. 若对于函数定义域内的每一个，都有成立，则称该函数为“互倒函数”.已知函数是定义域为的“互倒函数”，且当时，，若存在区间满足：，，使得，则的取值范围为_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知不等式的解集为A，且集合. （1）若，求实数k的取值范围； （2）若，求实数k的取值范围. 16. （1）计算：； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 17. 2025年5月，荆州市首次获评第七届全国文明城市称号，荆州中学作为“全国文明校园”的再次蝉联者，既是荆州市文明城市创建的受益者，更是文明创建践行者.以此为契机，学校计划在天问广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，在两块完全相同的长方形上种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 18. 已知奇函数的定义域为. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）存在，使得成立，求实数m的取值范围． 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得函数在x∈时，值域是，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数在x∈时值域是，则称为的“完美区间”. （1）证明：函数在定义域里存在“完美区间”； （2）如果二次函数在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a,b； （3）是否存在实数，使得函数()在区间单调，且为的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $