精品解析：北京市第十二中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

北京十二中2025-2026学年第一学期期中考试试题 初三年级数学 （满分100分，时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合． 2. 在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用时，求函数值进行一一检验是否为0即可． 【详解】A.当时，，图象过点，选项A不合题意； B.当时，，图象过点，选项B合题意； C.当时，，图象过点，选项C不合题意； D.当时，无意义，选项D不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查求函数值，识别函数经过点，掌握求函数值的方法，点在函数图像上点的坐标满足函数解析式是解题关键． 3. 如图，点A，B，C在上，，则的度数为（ ） A. 108° B. 116° C. 126° D. 128° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：， ， 故选：A． 4. 已知⊙O的直径为12，A，B，C为射线OP上的三个点，OA＝7，OB＝6，OC＝5，则（ ） A. 点A在⊙O内 B. 点B在⊙O上 C. 点C在⊙O外 D. 点C在⊙O上 【答案】B 【解析】 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 【详解】解：∵⊙O的直径为12， ∴⊙O的半径为6， ∵OA＝7，OB＝6，OC＝5， ∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，点C在⊙O内． 故选：B． 【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 5. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”进行变换．本题考查抛物线平移的规律，掌握“左加右减，上加下减”是关键． 【详解】解：原抛物线为． ∵向左平移2个单位， ∴，得． ∵向上平移3个单位， ∴整体加3，得． ∴得到的抛物线是． 故选：C． 6. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数图象和性质．解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、反比例函数的图象的性质． 根据二次函数的图象开口向下可知，，则，而根据反比例函数的图象性质可判断出a的正负；由一次函数的图象与性质可知和c的正负，即可得到答案． 【详解】解∵二次函数的图象开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴， ∴． A、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴A不符合： B、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴B不符合： C、∵在反比例函数中，，在一次函数中， ，， ∴C符合： D、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴D不符合． 故选：C． 7. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　 A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可． 【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC． ∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE， ∴∠ACD=90°-20°=70°， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴∠ADC+∠EDC=180°， ∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°， ∴∠ADC=∠E+20°， ∵∠ACE=90°，AC=CE ∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45° 在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°， 即45°+70°+∠ADC=180°， 解得：∠ADC=65°， 故选C． 【点睛】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答． 8. 如图，为的直径，弦交于点，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余得到，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 9. 京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐．如图，在平面直角坐标系中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形．点，，，分别是图形与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，且，半圆圆心的坐标为．关于图形给出下列四个结论： ①图形关于直线对称； ②线段的长为； ③图形围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④当时，直线与图形有两个公共点． 其中正确的是（ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题以半圆为抛物线合成的封闭图形为背景，曲线的对称性、整点问题，构造直角三角形，利用勾股定理求点的坐标． 由题意很明显可以得到图形的对称轴为，故①正确；构造直角三角形，利用勾股定理求得的长，进而求得的长，故②正确；从图中可以很直观地得到③错误；最后将，，代入图中，不能得出结论④，故④错误． 【详解】解：依题意，由圆可知，，， 且点，在抛物线上， 图形关于对称，故①正确； 连接， 在中， ， ， ， 又， ， ，故②正确； 根据题意得，由图形围成区域内（不含边界）恰有13个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故③错误； 由题意得，， 当时，与图形有一个公共点， 当时，与图形有两个公共点，故④错误； 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（ ） A. 14 B. 15 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的运用规律，掌握点的运动，建立合理的数量关系，数形结合分析是关键． 根据题意，轴对称，旋转的性质得到点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即，点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，由此得到的最小值是的值减去的最大值，数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵点， ∴点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图所示，连接， ∵， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴， 将绕点逆时针旋转度得，则， ∴与轴的负半轴的夹角为， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当点在上顺时针运动时，根据轴对称的性质得到点在上逆时针运动，点在上顺时针运用， 连接， ∴， ∵点的运动方向不同， ∴线段与线段的关系是：相交与平行，如图所示， ∴如图3所述，当时，延长交于点，过点作于点， 当时，， ∴最大时，的值最小， ∴当时，的值在四边形是平行四边形时最大， ∴， ∴， 故选： D． 二、填空题（每小题2分，共20分） 11. 方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解得． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．掌握顶点式的特点是解题关键．由的顶点坐标为，从而可得答案． 【详解】解：因为是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故答案为． 13. 点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均取相反数作答即可． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 14. 写出一个当时，y随x增大而增大的二次函数表达式______． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． 通过确定好二次函数的开口方向以及对称轴，再写出任意一个符合条件的二次函数即可． 【详解】解：∵当时，y随x增大而增大， ∴二次函数开口向上，对称轴可以取直线， ∴符合条件的二次函数可以为：． 故答案为：． 15. 如图，是的弦，半径于点，若，，则半径的长为________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．连接，先根据垂径定理求出的长，设的半径为r，在中利用勾股定理求出r的值即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的弦，半径， ∴， 设的半径为r，则， 在中，， ∴， 解得， 故的半径的长为17． 故答案为：17． 16. 反比例函数的图象如图所示，点是该函数图象上一点，垂直于轴，垂足是点，如果，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到，然后根据函数图象在第二象限，可得到满足条件的的值． 【详解】解：根据题意得， 则， 而， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 17. 如图，四边形内接于⊙，，则的度数是________． 【答案】##140度 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理． 先利用圆内接四边形的对角互补计算出的度数，然后根据圆周角定理得到的度数． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ， ． 故答案为：． 18. ⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是_______． 【答案】4≤OP≤5 【解析】 【详解】如图，过点O作弦AB的弦心距OM， ∵⊙O的直径为10， ∴半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长， ∵AB=6，OM⊥AB， ∴AM=AB=3， ∴OM==4，即OP的最小值为4， ∴4≤OP≤5． 故答案为：4≤OP≤5 19. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____． 【答案】-1或2或1 【解析】 【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2-4ac=0，据此求解可得． 【详解】∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0， 解得：a1=-1，a2=2， 当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1. 故答案为：-1或2或1 20. 图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状（杯体厚度不计），点B是抛物线的顶点，AB＝9，EF＝2，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD＝4，此时最大深度（液面到最低点的距离）为10．以EF所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式 ___；将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH＝30°时停止，此时液面为GD，此时杯体内液体的最大深度为 ___． 【答案】 ①. y＝x2＋9 ②. 【解析】 【分析】以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得抛物线的解析式；将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，分别用待定系数法求得直线l的解析式和直线GD的解析式，过点M作MP⊥l于点P，用三角函数求得液面GD到平面l的距离；过抛物线最低点Q作QL l，再将QL的解析式与抛物线的解析式联立，得出关于x的一元二次方程，由判别式求得q，最后用三角函数求得答案． 【详解】解：以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图： 由题意得： A（0，0），B（0，9），C（−2，19），D（2，19）， 设抛物线的解析式为：y＝ax2＋9， 将D（2，19）代入得： 19＝a×(2)2＋9， 解得：a＝， ∴y＝x2＋9． 将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图： 由题意得： A（0，0），F（，0），E（−，0），B（0，9），C（−2，19），D（2，19）， 由题可知，直线l与x轴的夹角为30°，GDl， ∵l经过点F（，0），且∠EFH＝30°， ∴设直线l的解析式为：y＝x＋b， 将F（，0）代入，解得b＝−1， ∴y＝x−1， 又∵GDl， ∴kGD＝kl＝， ∴设直线GD的解析式为y＝x＋p， 将D（2，19）代入，解得p＝17， ∴y＝x＋17， 令x=0，y=17 ∴M（0，17）， ∵NF=， ∴AN=AFtan30°=×=1 ∴N（0，−1）， 过点M作MP⊥l于点P， ∵∠EFH＝30°，∠FAN＝90°， ∴∠ANF＝60°， ∴MP＝MN•sin60° ＝[17−（−1）]× ＝9． 过抛物线最低点Q作QLl，L为QL于MP的交点， 设直线QL的解析式为y＝x＋q， 由得：5x2−2x＋54−6q＝0， ∵只有一个交点Q， ∴Δ＝0， ∴12−20（54−6q）＝0， ∴q＝， ∴ML＝（17−）×sin60° ＝． 故答案为：y＝x2＋9，． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法、二次函数及解直角三角形等知识点是解题的关键． 三、解答题（21、22题，每题5分；26题4分，其它题每题6分） 21. 将直线与反比例函数的图象相交于点，且点的纵坐标是3． （1）求的值； （2）结合图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式，解题时注意：一次函数与反比例函数的交点坐标同时满足两个函数解析式． （1）依据反比例函数的图象与直线相交于点A，且点A的纵坐标是3，先求出点A的坐标，再代入反比例函数即可得到k的值； （2）画出函数图象，即可得到不等式的解集． 【小问1详解】 解：当时，， 解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：画出直线和反比例函数的图象：如图所示， 由图象得：不等式的解集为：或． 22. 如图，为的直径，、为圆上的两点，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，直径所对圆周角为直角，勾股定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）根据直径所对圆周角为直角，得到，再由平行形的性质可推出，然后根据垂径定理，即可得证； （2）根据垂径定理得到的长度，结合勾股定理建立方程进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∵， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得； ∴的半径为5． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可； （）解方程得，，由方程的两个实数根的差为，得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴， ∵该方程的两个实数根的差为， ∴， 解得． 24. 已知二次函数． （1）直接写出该二次函数图象的对称轴是________； （2）在下图所示的平面直角坐标系中画出图象； （3）根据图象回答下列问题： ①当时，的取值范围为________； ②当时，的取值范围为________． 【答案】（1）直线 （2） 如图： （3）①或；② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，求二次函数值． （1）根据对称轴计算公式求解即可； （2）分别求出、0、1、2、3对应的函数值，然后描点连线即可； （3）①根据函数图象求解即可； ②根据函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 故答案为：直线； 【小问2详解】 解：在 中， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，． 【小问3详解】 解：①由函数图象可知，当时，x的取值范围为或， 故答案为：或； ②由函数图象可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：． 25. 某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后价格调为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）从第一次降价的第1天算起，第天（为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示；已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第天的利润为元，求与之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？ 时间 （天） 售价（元/斤） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格 销量（斤） 储存和损耗费用（元） 【答案】（1）10%；（2）当时，；当时，；第10天时销售利润最大 【解析】 【分析】（1）设降价百分率为，根据“标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后价格调为8.1元/斤”，列一元二次方程求解即可； （2）求出第一次降价后的价格，再根据题意对分别进行讨论：求出当时和的函数关系式，再利用函数的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）设该种水果每次降低的百分率为，依题意得：． 解方程得：， （不合题意，舍去） 答：该种水果每次降价的百分率为． （2）第一次降价后的销售价格为 （元/斤）， 当时，， 当时， 综上，与的函数关系式为： （，为整数）， （．为整数）， 当时，．当时，（元） 当时，当时，（元） ∴ ∴在第10天时销售利润最大． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用、一次函数和二次函数的性质，熟练掌握一元二次方程应用的解题思路、一次函数和二次函数的有关性质是解题的关键． 26. 为了在校运动会的推铅球项目中取得更好的成绩，小石积极训练，铅球被推出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从铅球出手（点A处）到落地的过程中，铅球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． 小石进行了两次训练． （1）第一次训练时，铅球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 7 8 竖直高度 1.6 2.1 2.4 2.5 2.4 2.1 1.6 0.9 0 根据上述数据，求出满足的函数关系，并直接写出小石此次训练的成绩（铅球落地点的水平距离）； （2）第二次训练时，小石推出的铅球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记小石第一次训练的成绩为，第二次训练的成绩为，则___________（填“>”，“=”或“＜”）． 【答案】（1）；小石此次训练的成绩m （2） 【解析】 【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出、的值，训练高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出的值即可得出函数解析式； （2）设着陆点的纵坐标为 ，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出铅球落地点的水平距离和，然后进行比较即可． 【小问1详解】 解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：， ，， 即该运动员竖直高度的最大值为， 根据表格中的数据可知，当时，，代入得： ， 解得：， 函数关系式为：， 由表格数据可知：第一次训练时的水平距离为8m； 【小问2详解】 解：根据表格可知，第一次训练时的水平距离， 第二次训练时，当时，，解得 ，（舍） 水平距离， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，得出和是解题的关键． 27. 已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）________，________（用含的代数式表示）； （2）直线上有一动点，设点的横坐标为，过点作轴的垂线，分别交轴，抛物线，直线于点，，． ①当，时，则的长度为________； ②当点从点沿着直线运动到点时，的值始终随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1）2； （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合，涉及到求抛物线解析式，二次函数与线段综合； （1）把和代入抛物线解析式计算即可； （2）①当，时，，，计算即可； ②由题意可得，，，，则，，， 再根据和分情况讨论，根据的值始终随的增大而增大，求的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和点， ∴，， ∴， 解得， 故答案为：2；； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②由题意可得，，，， ∴，，， ∵点从点沿着直线运动到点， ∴点在上，即在上， ∴， 解得， 当时，此时， 函数图象大致如下： ∴，，， ∴，， ∴， ∵，且的值始终随的增大而增大， ∴，即恒成立， ∴， 解得； 当时，此时， 函数图象大致如下： 则，点P从点A沿直线向左上方运动， 此时抛物线，开口向下， ∵对称轴为， ∴在y轴的左侧，y随x的增大而增大， 对于直线、，y随x的增大而减小， ∴、的值始终随的增大而增大， ∴时始终满足条件， 综上所述，的值始终随的增大而增大，的取值范围为或． 28. 在中，于点，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当时，补全图形，则的长为________； （2）如图2，取的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 如图所示， （2） ， 证明：取的中点M，连接，延长至N，使，连接，延长交于P， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先作出图形，取的中点M，连接，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理即可求解； （2）取的中点M，连接，延长至N，使，连接，延长交于P，由等腰三角形的判定及性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，等量代换得，由可判定，由全等三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 解：取的中点M，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质等；掌握旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 29. 我们给出如下定义：在平面内，已知点M和图形G，点M到图形G上所有点的距离的最小值称作点M到图形G的距离． （1）平面直角坐标系下，已知点，以O为圆心，1为半径画圆，则点P到的距离为_____； （2）平面直角坐标系下，已知点，在平面内有一个矩形，． ①当矩形绕着点O旋转时，点P到矩形的距离d的取值范围为______． ②若M为矩形上一点，连接，以为直径画圆，记作圆G，则点P到圆G的距离d的取值范围为______． 【答案】（1）2 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据点到圆上距离即可解答； （2）①根据题意分别求出当过的中点E时，此时点P与矩形上所有点的连线中，；当过顶点A时，此时点P与矩形上所有点的连线中，；当过顶点边中点F时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，即可求解．由题意可得，点O为矩形的对称中心，连接，求出； ②根据题意：点是的中点，点在长为，宽为的矩形边上运动，当点M为中点时，连接，点P到圆G的距离有最大值，当点M与点重合，点P到圆G的距离有最小值，据此即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意，与y轴正半轴的交点为， 则点P到的距离为； 【小问2详解】 解：如图，当过的中点E时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，， ∴； 如图，当过顶点A时，此时点P与矩形上所有点的连线中，， 矩形，中心为O， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当过顶点边中点F时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，， ∴； 综上所述，点P到矩形的距离d的取值范围为； ②根据题意：点是的中点， ∴点在长为，宽为的矩形边上运动， 如图，当点M为中点时，连接，点P到圆G的距离有最大值， 此时，， ∴， ∴； 当点M与点重合，点P到圆G的距离有最小值， 此时，，， ∴， ∴； 综上，点P到圆G的距离d的取值范围为． 【点睛】本题考查了点到圆上的距离，坐标与图形，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，正确画出示意图，利用数形结合的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十二中2025-2026学年第一学期期中考试试题 初三年级数学 （满分100分，时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A，B，C在上，，则的度数为（ ） A. 108° B. 116° C. 126° D. 128° 4. 已知⊙O的直径为12，A，B，C为射线OP上的三个点，OA＝7，OB＝6，OC＝5，则（ ） A. 点A在⊙O内 B. 点B在⊙O上 C. 点C在⊙O外 D. 点C在⊙O上 5. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　 A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 8. 如图，为的直径，弦交于点，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐．如图，在平面直角坐标系中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形．点，，，分别是图形与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，且，半圆圆心的坐标为．关于图形给出下列四个结论： ①图形关于直线对称； ②线段的长为； ③图形围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④当时，直线与图形有两个公共点． 其中正确的是（ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②④ 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（ ） A. 14 B. 15 C. D. 二、填空题（每小题2分，共20分） 11. 方程的解是_______． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 13. 点关于原点对称的点的坐标是______． 14. 写出一个当时，y随x增大而增大的二次函数表达式______． 15. 如图，是的弦，半径于点，若，，则半径的长为________． 16. 反比例函数的图象如图所示，点是该函数图象上一点，垂直于轴，垂足是点，如果，则的值为______． 17. 如图，四边形内接于⊙，，则的度数是________． 18. ⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是_______． 19. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____． 20. 图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状（杯体厚度不计），点B是抛物线的顶点，AB＝9，EF＝2，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD＝4，此时最大深度（液面到最低点的距离）为10．以EF所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式 ___；将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH＝30°时停止，此时液面为GD，此时杯体内液体的最大深度为 ___． 三、解答题（21、22题，每题5分；26题4分，其它题每题6分） 21. 将直线与反比例函数的图象相交于点，且点的纵坐标是3． （1）求的值； （2）结合图象直接写出关于的不等式的解集． 22. 如图，为的直径，、为圆上的两点，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 24. 已知二次函数． （1）直接写出该二次函数图象的对称轴是________； （2）在下图所示的平面直角坐标系中画出图象； （3）根据图象回答下列问题： ①当时，的取值范围为________； ②当时，的取值范围为________． 25. 某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后价格调为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）从第一次降价的第1天算起，第天（为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示；已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第天的利润为元，求与之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？ 时间 （天） 售价（元/斤） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格 销量（斤） 储存和损耗费用（元） 26. 为了在校运动会的推铅球项目中取得更好的成绩，小石积极训练，铅球被推出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从铅球出手（点A处）到落地的过程中，铅球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． 小石进行了两次训练． （1）第一次训练时，铅球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 7 8 竖直高度 1.6 2.1 2.4 2.5 2.4 2.1 1.6 0.9 0 根据上述数据，求出满足的函数关系，并直接写出小石此次训练的成绩（铅球落地点的水平距离）； （2）第二次训练时，小石推出的铅球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记小石第一次训练的成绩为，第二次训练的成绩为，则___________（填“>”，“=”或“＜”）． 27. 已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）________，________（用含的代数式表示）； （2）直线上有一动点，设点的横坐标为，过点作轴的垂线，分别交轴，抛物线，直线于点，，． ①当，时，则的长度为________； ②当点从点沿着直线运动到点时，的值始终随的增大而增大，求的取值范围． 28. 在中，于点，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当时，补全图形，则的长为________； （2）如图2，取的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 29. 我们给出如下定义：在平面内，已知点M和图形G，点M到图形G上所有点的距离的最小值称作点M到图形G的距离． （1）平面直角坐标系下，已知点，以O为圆心，1为半径画圆，则点P到的距离为_____； （2）平面直角坐标系下，已知点，在平面内有一个矩形，． ①当矩形绕着点O旋转时，点P到矩形的距离d的取值范围为______． ②若M为矩形上一点，连接，以为直径画圆，记作圆G，则点P到圆G的距离d的取值范围为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $