精品解析：河南省郑州市河南省实验中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

河南省实验中学2025-2026学年上期期中试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点，关于平面对称的点的坐标是（ ） A B. C. D. 2. 若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 下列椭圆的形状更接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 4. 若点在圆：的外部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆，则与的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 6. 设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 直线椭圆相交于两点，则弦的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 阅读下面材料：在空间直角坐标系Oxyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 已知两椭圆和，则（ ） A. 两椭圆有相同的焦点 B. 两椭圆的离心率相等 C. 两椭圆有完全相同的顶点 D. 两椭圆有相同的对称轴和对称中心 10. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 圆心到直线的距离有最大值 D. 直线被圆截得最短弦长为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，，分别是的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥体积为定值 B. 不存在点，使得 C. 平面与平面所成角的正切值的最大值为 D. 时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两直线与之间的距离为___________. 13. 点关于直线的对称点的坐标为_____． 14. 对平面上两点，满足的点的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，且，则最大值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行六面体中，M为与的交点，N为的靠近B的三等分点，若，，. （1）用，，表示，向量； （2）若，，计算 16. 求满足下列条件的直线方程； （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）过点，且与直线垂直的直线方程； （3）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 17. 已知两圆和． （1）求公共弦所在的直线方程； （2）求公共弦的长度； （3）求经过原点以及圆和圆交点的圆的方程． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，分别为棱，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角； （3）若，求点到平面的距离． 19. 已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交于M，N两点， ①若，求直线的方程； ②若点，求的面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省实验中学2025-2026学年上期期中试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点，关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点关于平面对称的规则得出点的坐标. 【详解】点，关于平面对称的点的坐标横纵坐标不动，竖坐标变成相反数，所以坐标是. 故选：B 2. 若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角即可. 【详解】设直线的倾斜角为， 若向量是直线的一个方向向量， 则直线的斜率为， 因为，所以. 故选：A 3. 下列椭圆的形状更接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出四个椭圆的离心率，根据离心率越小越接近于圆可得答案. 【详解】对于A，，，则，所以； 对于B，，，则，所以； 对于C，，，则，所以； 对于D，，，则，所以. 因为， 所以椭圆的形状更接近于圆. 故选：D. 4. 若点在圆：的外部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知点与圆心的距离大于圆的半径，由此可以列出与有关的不等式，从而解不等式即可求解. 【详解】一方面：将圆：化为标准方程可得， 首先有圆心，其次圆的半径满足，解得， 另一方面：又因为点在圆：的外部， 所以，即，解得； 综上所述：的取值范围为. 故选：A. 5. 已知圆与圆，则与的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合圆心距与半径的关系，即可求解． 【详解】易知圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以，所以与外离. 故选：D. 6. 设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，数形结合得到，求出答案. 【详解】，， 数形结合知，直线的斜率需满足， 即. 故选：D 7. 直线椭圆相交于两点，则弦的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线代入椭圆的方程，消去x，得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理和中点坐标公式求解. 【详解】把直线代入椭圆的方程， 消去x，化简可得，设， 则有，故线段AB的中点的纵坐标是， 把代入直线可得， 故线段AB的中点坐标是. 故选：A. 8. 阅读下面材料：在空间直角坐标系Oxyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由所给信息可得平面，与的法向量，后利用向量知识可得直线的方向向量，即可得答案. 【详解】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为. 同理可知，与分别为平面与的一个法向量. 设直线的方向向量为，则， 不妨取，则.设直线与平面所成的角为， 则. 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 已知两椭圆和，则（ ） A. 两椭圆有相同的焦点 B. 两椭圆的离心率相等 C. 两椭圆有完全相同的顶点 D. 两椭圆有相同的对称轴和对称中心 【答案】BD 【解析】 【分析】写出椭圆的标准形式，逐项分析即得. 【详解】设椭圆，，，则； 设椭圆，，，则. A（×）椭圆的焦点分别在轴上. B（√）的离心率，的离心率. C（×）椭圆的顶点为，，椭圆的顶点为，. D（√）两椭圆都关于轴对称，关于原点中心对称，即它们有相同的对称轴和对称中心. 故选：BD 10. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 圆心到直线的距离有最大值 D. 直线被圆截得的最短弦长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，只需将直线的方程整理成关于的方程，依题意可得；对于B，因A项得到的直线过的定点恰在圆内，故直线必与圆相交；对于C，利用直线过的定点恰在圆内，当时，圆心到直线的距离有最大值；对于D，结合C选项可知当时即得最短弦长. 【详解】对于A项，由直线方程可整理为：， 因,故需使，即直线过定点，故A项正确； 对于B项，由A项知直线过定点，而该点到圆心的距离为， 而，即点A在圆内，故直线与圆有两个交点，故B项正确； 对于C项，如图，易知当且仅当时弦心距最长，此时弦心距即为， 故C项正确； 对于D项，要使直线被圆截得的弦长最短，需使弦心距最长即为， 最短弦长为，故D项错误. (说理如下：过点作直线，交圆于点,过点作，垂足为， 在中，显然,而, 其中为圆的半径，则易得，即是直线与圆相交最短的弦长) 故选：ABC. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，，分别是的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 不存在点，使得 C. 平面与平面所成角的正切值的最大值为 D. 时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A由不与平面平行，得到平面的距离不为定值即可判断，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积即可判断B，利用向量法求出平面夹角的余弦，利用函数单调性得出余弦最小值，此时夹角最大，求正切值即可判断C，求平面的法向量，利用向量法求到面的距离，进而求截面圆半径即可判断D. 【详解】如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，. 设，，则点坐标为. 对于A：不与平面平行，到面的距离不为定值， 三棱锥的体积不为定值，A错误； 对于B：，， 若，则，即，解得， 又，故不存在这样的点，使得，B正确； 对于C：设两平面夹角为，取平面的法向量为， 设平面法向量，则， 令，则，即 则， 因为当时，为增函数， 故当时，，即夹角最大时，余弦值为， 此时，，故C正确； 对于D：时，，，， 设平面的法向量，，则， 令，则，，是平面的一个法向量， 显然球心，，则到面的距离， 即球心在平面上，所以外接球半径也是截面圆的半径， 截面圆面积，故D错误 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两直线与之间的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两平行线之间的距离公式直接求解. 【详解】直线，与之间的距离为 故答案为：. 13. 点关于直线的对称点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设关于直线的对称点的坐标为,再根据中点在直线上,且与直线垂直求解即可. 【详解】设关于直线的对称点的坐标为,则中点为, 则在直线上,故①. 又与直线垂直有②, 联立①②可得.故. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了点关于直线对称的点坐标,属于基础题. 14. 对平面上两点，满足的点的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，且，则最大值是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据阿波罗点的定义，可设点关于圆对应的阿波罗尼斯点为，由阿波罗尼斯圆的定义可构造方程求得点坐标和对应的的值，得到，利用三角形三边关系可知当三点共线时，，即为所求最大值. 【详解】设，由，可得：， 化简可得：，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆； 设点关于圆对应的阿波罗尼斯点为， 则点，到点的距离之比为：， 解得：，，则， ，即， （当且仅当三点按顺序共线时取等号）， 又，的最大值是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行六面体中，M为与的交点，N为的靠近B的三等分点，若，，. （1）用，，表示，向量； （2）若，，计算. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）以，，为基向量，利用空间向量的线性运算法则表示，向量即可； （2）结合（1）中的表达，按数量积的运算律转化，再利用数量积的定义求解即可. 【小问1详解】 解：因为，所以， 因为， 所以. 【小问2详解】 解：因为 ， 所以. 16. 求满足下列条件的直线方程； （1）过点，且与直线平行直线方程； （2）过点，且与直线垂直的直线方程； （3）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂线直线的斜率乘积为，从而求解直线方程； （3）分直线过原点、不过原点讨论可得答案. 【小问1详解】 设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的方程为； 【小问2详解】 设与直线垂直的直线方程为； 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为； 【小问3详解】 当直线过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 当直线不过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 综上，所求直线方程为或. 17. 已知两圆和． （1）求公共弦所在的直线方程； （2）求公共弦的长度； （3）求经过原点以及圆和圆交点的圆的方程． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由两圆公共弦的直线方程为两圆方程相减即可得；（2）法一：联立公共弦所在直线方程与其中一圆的方程求得交点坐标，根据两点距离公式即可求公共弦的长度；法二：求其中一圆的圆心到公共弦的距离，它与圆的半径、公共弦的一半的关系：即可求公共弦的长度；（3）设圆的方程为，由它过原点以及圆和圆交点，将点坐标代入求参数，即可得圆的方程. 【详解】（1）将两圆方程相减，有公共弦所在直线方程为． （2）法一：由（1）有：，代入圆得，有，． ∴或，交点坐标为和． ∴两圆的公共弦长为． 法二：由（1）有两圆相交弦所在直线为，且圆心， 圆心到直线的距离， 设公共弦长为，由勾股定理，得，解得，所以公共弦长． （3）设经过原点以及圆和圆交点的圆的方程为， ∴结合（1）（2），，得， ∴， 【点睛】本题考查了圆的位置关系，根据两圆相交求公共弦所在直线方程及长度，并求过原点、两圆交点的圆的方程，属于基础题. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，分别为棱，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角； （3）若，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用中位线定理得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用线面角的向量法求解即可； （3）利用二面角的向量法求解即可. 【小问1详解】 证明：因为分别为的中点，所以， 因为四边形为正方形，所以，所以， 又平面平面，所以平面. 【小问2详解】 由题意知，平面，， 故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，， ， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角为． 【小问3详解】 由（2）知，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 故点到平面的距离为． 19. 已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交于M，N两点， ①若，求直线的方程； ②若点，求的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题，联立方程组求出a，b即可得解； （2）①将直线与椭圆联立，得到韦达定理式，再根据共线向量得到，代入计算即可；②利用弦长公式和点到直线的距离公式得到面积表达式，再利用换元法及二次函数得到其范围即可． 【小问1详解】 由题可得：，解得：， 所以椭圆的方程为：； 【小问2详解】 设直线交于，两点，点在椭圆内， ①若直线的斜率不存在，易得，，不满足， 故设直线方程为， 联立，化简得：， 所以，（1）， 又，，， 所以（2）， 由（1）（2）两式解得：，所以直线的方程为； ②当直线的斜率不存在时，直线与的交点为，，则， 当斜率为0时，直线过点，故不能构成三角形， 当斜率存在且不为0时， 由①知， ， 点到直线的距离， 所以， 令，则，， 则， ， 因为，所以， 综上，的面积的取值范围为． 【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题以及椭圆中三角形面积范围问题，难度较大，解答本题的关键在于联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及三角形面积公式代入计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $