精品解析：河北省邯郸市等3地2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

2025－2026学年第一学期高三年级11月期中考试 数学（一） 考试说明： 1．本试卷共150分.考试时间120分钟. 2．请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 设，，集合，，若，则（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由集合相等求得的值，即可求得结果. 【详解】由题意可知，所以， 又，则，，所以． 故选：A． 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】由命题的否定的定义即可得到结果. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题的条件不变． 所以命题“，，”的否定是：“，，”． 故选：B． 3. 已知角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，其中点在第一象限，且点的横坐标为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义得到，再利用诱导公式求解即可. 【详解】由三角函数定义可知，，，所以，． 故选:C 4. 已知，，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的基本性质即可求得结果. 【详解】，，， 又，． 故选：D． 5. 下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐一分析选项. 【详解】对于A：为偶函数，A错误； 对于B：为奇函数，在与上单调递减，B错误； 对于C：的定义域为,关于原点对称. ,则为奇函数， 当时，, 函数在上单调递减，C错误； 对于D：,则为奇函数，且， 则在上为增函数，D正确. 故选：D． 6. 如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建系设，应用数量积的坐标运算得出，最后应用两角差的正切公式计算求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，则，． 设，则，，故，． 所以，当时，取得最大值， 此时． 故选：B． 7. 已知函数，当时，取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用和差角公式和辅助角公式化简函数解析式，然后由正弦函数的性质求得的值，然后利用正切的和差角公式求得结果. 【详解】 ，且， 令 当时，取得最大值7， 此时． 故选：A． 8. 已知，曲线在点处的切线都过坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过导数的几何意义确定在点处的切线方程为，进而结合选项逐个判断即可. 【详解】由，得， 在点处的切线方程为， 又切线过原点，， ，故选项A错误． ，， 所以为函数与的图象交点的横坐标， 又两个函数都是奇函数，图象关于原点对称， 所以，故选项B错误． 由函数与的图象可知，，， 所以， 所以，即， 又因为，所以， 所以选项C错误，选项D正确． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的充要条件是 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A分讨论分析即可，选项B作差法验证即可；选项C利用同角三角函数关系式平方和为1化简即可，选项D利用基本不等式验证即可 【详解】当时，； 当时，， 故选项A正确， 因为，所以， 故选项B错误， 因为 ， 所以选项C错误， 因为， 所以， 即， 当且仅当时等号成立， 故选项D正确， 故选：AD． 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则的最大值为－2 B. 若，则的最小值是 C. 若，且，则的最小值是9 D. 若正实数，满足，则的最小值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，负化正利用基本不等式求解判断；对B，利用的单调性求解判断；对C，利用基本不等式构造的二次不等式求解判断；对D，利用“1”的代换化简后利用基本不等式求解判断. 【详解】对于A：若，则， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：令，则， 由于在上单调递增，故，故B错误； 对于C：因为，，且， 令，则，解得，所以， 当且仅当时取等号，故选项C正确； 对于D，因为正实数，满足， 则， 当且仅当，即，时取等号，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，，为偶函数，若，则（ ） A. B. 4为的一个周期 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由已知及复合导数的求法、偶函数性质得，结合得周期判断A、B、C；利用周期性求函数值判断D； 【详解】因为，所以，所以关于对称， 又为偶函数，所以，所以，所以， 所以，选项A正确； 因为，又，所以， 所以，所以4为的一个周期，选项B正确； 因为为偶函数，所以，选项C正确； 因为4为的一个周期，，， 所以， 所以，选项D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，的夹角是，则与的夹角是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式求解，即可得答案. 【详解】由题意得，故， 则， 结合，故与的夹角是． 故答案为： 13. 已知不等式的解集为，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由不等式解集结合韦达定理得和，然后由基本不等式求得的最小值. 【详解】由题意可知，，， ，，当且仅当时，等号成立． 故答案为：. 14. 已知函数，，都有，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数分析可知函数是奇函数，且在上是增函数，从而将问题转化为不等式对于任意实数恒成立，结合二次函数分析即可求解. 【详解】函数的定义域为， 由于， 则，所以函数为定义在上奇函数． 当时，在上是增函数， 所以函数在上也是增函数，又因为，所以函数在上是增函数， 由可得， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则，解得， 综上可得，，即实数的取值范围为． 故答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知命题；命题，方程有两个不相等的正实数根． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若，中一真一假，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意可知是真命题，解不等式即可求解； （2）先求出是真命题时，实数的取值范围，再分为真命题且为假命题，为真命题且为假命题两种情况求解. 【小问1详解】 根据为假命题，可得是真命题. 所以，解得， 所以实数的取值范围； 【小问2详解】 若是真命题，设方程有两个不相等的正实数根，， 所以，，，解得， 若为真命题且为假命题，则， 解得或； 若为真命题且为假命题，则，此时无解； 综上，实数的取值范围是或． 16. 已知函数（其中），直线是函数图象的一条对称轴． （1）求的解析式； （2）求不等式的解集； （3）函数，求在区间上的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数对称轴的性质求出的值，进而确定的解析式； （2）根据正弦函数的取值范围求解不等式； （3）通过换元法将函数转化为二次函数，再结合二次函数的性质和的取值范围求出函数的值域. 【小问1详解】 由题可知， 因此， ，，； 【小问2详解】 由，得， ， ； 【小问3详解】 ， 令，则． ，，， 当时，取最大值，为， 当或时，取最小值，为1， 所以函数的值域为． 17. 如图，在中，内角，，所对的边分别为，，，且，． （1）求； （2）若，，求的面积； （3）已知的角平分线交于，且，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理计算结合角的范围求角； （2）应用正弦定理结合面积公式计算求解； （3）应用正弦定理结合角平分线性质，两角差的正弦公式计算求值. 【小问1详解】 由题得， 由正弦定理得， ，，又， ，． 【小问2详解】 ，，， 又，，， ，，，，． 所以的面积为． 【小问3详解】 设，则，因为，所以． 在中，由正弦定理可得． 在中，由正弦定理可得．所以， 所以，． 所以 ． 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论在上的单调性； （3）若，求证：当时，． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）利用导数与函数单调性的关系即可判断在上的单调性； （3）设，结合（2）分类讨论，可判断该函数的单调性，即可证明不等式. 【小问1详解】 当时，，则， 所以． 又，故所求切线方程为． 【小问2详解】 ，，， ①当时，，在上单调递增． ②当时，令，解得． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故时，在上单调递增； 时，在上单调递减；在上单调递增． 【小问3详解】 证明：设． ，由（2）可知 ①当时，在上单调递增，所以， 即在上单调递增，所以，满足题意； ②当时， 当时，单调递减； 当时，单调递增， ， ，，即， 在上单调递增，，满足题意， 综上可得，当且时，． 19. 奥古斯丁・路易斯・柯西，法国著名数学家．柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．柯西不等式的一般形式为：，，，，，，，，且，，当且仅当时，等号成立． （1）根据柯西不等式求函数最大值． （2）用向量证明二维柯西不等式：； （3）已知三维分式型柯西不等式： ，，均大于，，当且仅当时等号成立． 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，是内一点，过作，，的垂线，垂足分别为，，，求的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给公式，代入数据，分析计算，即可得答案. （2）设，，，根据向量的坐标运算法则，代入计算，即可得答案. （3）由题意得，根据条件，结合三维分式型柯西不等式，可得，结合余弦定理，计算求解，即可得答案. 【小问1详解】 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 由，得，易得满足条件． 所以的最大值为． 【小问2详解】 证明：设，， 由得， 即； 【小问3详解】 由题意得， 即， 由三维分式型柯西不等式有， 当且仅当，即时等号成立， 由余弦定理得，即， 所以，即， 则， 此时有最小值，当且仅当成立时取等号． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期高三年级11月期中考试 数学（一） 考试说明： 1．本试卷共150分.考试时间120分钟. 2．请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，集合，，若，则（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 2. 命题“，”否定是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 已知角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，其中点在第一象限，且点的横坐标为，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，当时，取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，曲线在点处的切线都过坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确是（ ） A. B. C. D. 充要条件是 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则的最大值为－2 B. 若，则的最小值是 C. 若，且，则的最小值是9 D. 若正实数，满足，则的最小值为3 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，，为偶函数，若，则（ ） A. B. 4为的一个周期 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，的夹角是，则与的夹角是_____． 13. 已知不等式的解集为，则的最小值为_____． 14. 已知函数，，都有，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知命题；命题，方程有两个不相等的正实数根． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若，中一真一假，求实数的取值范围． 16. 已知函数（其中），直线是函数图象的一条对称轴． （1）求解析式； （2）求不等式的解集； （3）函数，求在区间上的值域． 17. 如图，在中，内角，，所对的边分别为，，，且，． （1）求； （2）若，，求的面积； （3）已知的角平分线交于，且，求． 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论在上的单调性； （3）若，求证：当时，． 19. 奥古斯丁・路易斯・柯西，法国著名数学家．柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．柯西不等式的一般形式为：，，，，，，，，且，，当且仅当时，等号成立． （1）根据柯西不等式求函数的最大值． （2）用向量证明二维柯西不等式：； （3）已知三维分式型柯西不等式： ，，均大于，，当且仅当时等号成立． 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，是内一点，过作，，的垂线，垂足分别为，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $