精品解析： 　新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市沙依巴克区新疆农业大学附属中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年新疆农业大学附属中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设计师石昌鸿耗时两年，将34个省市的风土人情、历史典故转化为形象生动的符号，别具一格．石昌鸿设计的以下省市的简称标志中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A. 2，5，7 B. 4，4，8 C. 4，5，6 D. 2，5，8 3. 如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三条线段组成的图形叫三角形 B. 三角形的角平分线是射线 C. 任何一个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线 D. 三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 5. 如图，是角平分线，，垂足为E，，，，则长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 如图，中，，．、的中垂线、分别交、、于、、、．若，则的长度是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 7. 下列命题中，逆命题成立的有（ ） ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③全等三角形的对应边相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，是的角平分线，的面积为10，长为5，点，分别是，上的动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，已知四边形中，，，，，点是线段的三等分点（靠近处）．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若要使得与全等，则点的运动速度为（ ）． A. B. 或 C. D. 或 10. 已知：如图，中，点是边上一点，，，平分，且于，与相交于点，若于，交于点．有以下结论： ①；②；③若连接，则；④点是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是（ ） A. ①③⑤ B. ①④⑤ C. ①②③⑤ D. ①③④⑤ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 等腰三角形的一边长为，另一边长为，则该等腰三角形的周长为________． 12. 如果点P关于x轴的对称点的坐标为，那么点P关于y轴的对称点的坐标为______． 13. 如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则__ ． 14. 如图，在中，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接，若，则________（用含的代数式表示）． 15. 如图，在中，点D为的中点，的边过点C，且，，平分，，，则_______． 16. 如图，已知在和中，，，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是________（填序号） 三、解答题：本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 18. 如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 19. 如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为，，，过点作x轴的垂线l． （1）作出关于x轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）作出关于直线l对称，并写出各顶点的坐标． 20. 如图，已知中，于，的平分线分别交于、． （1）试说明是等腰三角形； （2）若点恰好在线段的垂直平分线上，试说明线段与线段之间的数量关系． 21. 已知，在等边△中，、分别为、边上点，，连接、相交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作于，若，求证：F为中点． 22. 已知，，． （1）如图1，证明：； （2）如图2，，点，分别在，上，连接，过点作，连接，，恰好满足平分．请猜想线段，，间的数量关系，并进行证明． 23. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1 图2 图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年新疆农业大学附属中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设计师石昌鸿耗时两年，将34个省市的风土人情、历史典故转化为形象生动的符号，别具一格．石昌鸿设计的以下省市的简称标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、该图不是轴对称图形，故不符合题意； B、该图不是轴对称图形，故不符合题意； C、该图不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图是轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A. 2，5，7 B. 4，4，8 C. 4，5，6 D. 2，5，8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据任意两边之和大于第三边，判断各组线段是否满足条件． 【详解】解：A．，2，5，7不能构成三角形； B．，4，4，8不能构成三角形； C．，4，5，6能构成三角形； D．，2，5，8不能构成三角形； 故选：C． 3. 如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 本题要判定，已知，，得，具备了一组边一对角对应相等，根据判定方法对选项一一分析，即可选出正确答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意； B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意． 故选：A． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三条线段组成的图形叫三角形 B. 三角形的角平分线是射线 C. 任何一个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线 D. 三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查对三角形定义，三角形的角平分线、中线、高等知识点的理解和掌握，能熟练地运用定义进行说理是解此题的关键．根据三角形定义，三角形的角平分线、中线、高的定义判断即可． 【详解】解：A、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接作出的图形叫三角形，故A错误； B、三角形的角平分线是线段，故B错误； C、任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，故C正确； D、三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，故D错误； 故选：C． 5. 如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点D作于F，然后利用的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作于F， 是的角平分线，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 6. 如图，中，，．、的中垂线、分别交、、于、、、．若，则的长度是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，连接，，根据线段垂直平分线的性质可知，，，故可得出，即，再由三角形外角的性质求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图所示，连接，， 中，，， ． 是的垂直平分线，， ， ∴， ，即． 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ，即． 故选：B． 7. 下列命题中，逆命题成立的有（ ） ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③全等三角形的对应边相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了写出命题的逆命题，命题真假的判定，判断每个命题的逆命题是否正确，需先写出逆命题，再根据相关定理判断其真假． 【详解】解：①原命题：同旁内角互补，两直线平行． 逆命题：两直线平行，同旁内角互补． 根据平行线性质，两直线平行时同旁内角互补，逆命题成立． ②原命题：如果两个角是直角，那么它们相等． 逆命题：如果两个角相等，那么它们是直角． 相等的角不一定是直角（如角），逆命题不成立． ③原命题：全等三角形的对应边相等． 逆命题：对应边相等的三角形全等． 根据全等三角形判定定理，三边对应相等的三角形全等，逆命题成立． ④原命题：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 逆命题：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． 根据垂直平分线判定定理，逆命题成立． 综上，逆命题成立的为①、③、④，共3个， 故选C． 8. 如图，是的角平分线，的面积为10，长为5，点，分别是，上的动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】作A关于的对称点，由是的角平分线，得到点一定在上，过作于，交于，则此时，的值最小，的最小值，过A作于，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论． 【详解】解：作A关于的对称点， 是的角平分线， 点一定在上， ∵， ∴， 过作于，交于， ∵垂线段最短， ∴最小， ∴的值最小，的最小值， 过A作于， ∵的面积为10，长为4， ， 垂直平分， ， ， ， 的最小值是5， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明的最小值为三角形某一边上的高线． 9. 如图，已知四边形中，，，，，点是线段的三等分点（靠近处）．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若要使得与全等，则点的运动速度为（ ）． A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】设运动时间为秒，点的运动速度为，则，，，根据三等分点求出，根据全等三角形的判定得出：当，时；当，时；能够使得与全等，分别列方程求解，即可求出点的运动速度． 【详解】解：设运动时间为秒，点的运动速度为， 则，，， 点是线段的三等分点（靠近处）， ， ， 要使与全等，则必须满足，或，， 分两种情况： 当，时， ，， 解得：，， 即点的运动速度为； 当，时， ，， 解得：，， 即点的运动速度为； 综上所述，当点的运动速度为或时，能够使得与全等， 故选：． 【点睛】本题主要考查了列代数式，线段等分点的有关计算，全等三角形的判定，解一元一次方程等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法并运用分类讨论思想是解题的关键． 10. 已知：如图，中，点是边上一点，，，平分，且于，与相交于点，若于，交于点．有以下结论： ①；②；③若连接，则；④点是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是（ ） A. ①③⑤ B. ①④⑤ C. ①②③⑤ D. ①③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】证明，判断①，角平分线结合全等三角形的性质，判断②，连接，三线合一，全等三角形的性质，结合等边对等角，得到，判断③，中垂线的性质，结合斜边大于直角边，判断④，证明，得到垂直平分，判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∴；故②错误； 连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴垂直平分，， ∴，，故③正确； 在中，， ∴，故④错误； ∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴与成轴对称，故⑤正确； 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，成轴对称等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 等腰三角形的一边长为，另一边长为，则该等腰三角形的周长为________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，等腰三角形有两边相等，需分情况讨论哪一边为腰，并应用三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断能否构成三角形． 【详解】解：若腰长为，则底边为，此时，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 若腰长为，则底边为，此时，，满足三角形三边关系，能构成三角形，周长为． 故答案为：25． 12. 如果点P关于x轴的对称点的坐标为，那么点P关于y轴的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是关于坐标轴对称的点的坐标的规律；本题先求解点P的坐标为，再求解P关于y轴对称的点的坐标即可；熟记关于x轴对称的两个点横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的两个点的纵坐标不变，横坐标互为相反数是解本题的关键． 【详解】解：∵点P关于x轴的对称点的坐标是， ∴点P的坐标为， ∴点P关于y轴的对称点的坐标是， 故答案为： 13. 如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则__ ． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线的性质，解题的关键是理解三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 由点D，E，F分别为边，，的中点可得是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，得的面积，再由是的中线，得到的面积． 【详解】解∶∵点D，E，F分别为边，，的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∵是的中线，， ∴， 又是的中线，是的中线， ∴，， ∴， 又是的中线， ∴． 故答案为：1． 14. 如图，在中，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接，若，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本作图得到，垂直平分，则，设，所以，根据三角形外角性质得到，再根据三角形内角和定理得到，所以，然后利用得到． 【详解】解：由作法得，垂直平分， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 15. 如图，在中，点D为的中点，的边过点C，且，，平分，，，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．延长，，交于点G，证明，得出，求出，证明，得出，根据，得出，再根据求出结果即可． 详解】解：延长，，交于点G，如图所示： ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 16. 如图，已知在和中，，，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是________（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定是解题的关键．证明，则 ， ，可判断①的正误；由，可得 ，即 ，可判断②的正误；作 于 G，于 H ，则，由，，可得 是 的平分线，，可判断④的正误；若③成立，则，得到，即，结合题意可知，不一定等于 ，可判断③的正误． 【详解】 解：∵ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ，， ∴ ， ∴ ， ，故①正确； ∴ ， ∴，即 ，故②正确； 如图，作 于 G，于 H ， ∵ ∴， ∵， ， ∴是的平分线， ∴ ， 由②可知，，即 ∴，故④正确； 若③成立，即， 则， 由④可知，， ∴ ， 由①可知，， ∴， ∴，由题知，不一定等于， ∴ 不平分，故③错误； 综上，正确的是①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．由是△的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是△的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：是的高，， ， ， ， 又CE是的角平分线， ， ， ． 18. 如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，作于，由角平分线性质定理可得，结合题意推出，再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：如图，作于，    ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 19. 如图，在平面直角坐标系中， 各顶点坐标分别为，，，过点作x轴的垂线l． （1）作出关于x轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）作出关于直线l对称，并写出各顶点的坐标． 【答案】（1）详见解析，，， （2）详见解析，，， 【解析】 【分析】本题考查了在平面直角坐标系内作轴对称图形，点的坐标；掌握轴对称图形的作法是解题的关键． （1）按要求作出关于x轴对称的，写出坐标，即可求解； （2）按要求作出关于直线l对称，写出坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作， ，，； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作， ，，． 20. 如图，已知中，于，的平分线分别交于、． （1）试说明是等腰三角形； （2）若点恰好在线段的垂直平分线上，试说明线段与线段之间的数量关系． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析． 【解析】 【分析】（1）首先根据条件，得，，进而利用等角的余角相等及对顶角的性质得，从而利用等角对等边即可得出答案； （2）由线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由平分，得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵点恰好在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了直角三角形综合，熟练掌握直角三角形性质，角平分线定义，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 21. 已知，在等边△中，、分别为、边上的点，，连接、相交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作于，若，求证：F为中点． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得出，结合，利用可证明，则； （2）由（1）得，由全等三角形的性质得出，，根据三角形外角的性质求出，由直角三角形性质得出，证出，得出，即可证得结论． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ， 又， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）得：， ∴，， ， 又， ∴， ， ∴， ， ，即， ，即F为中点． 22. 已知，，． （1）如图1，证明：； （2）如图2，，点，分别在，上，连接，过点作，连接，，恰好满足平分．请猜想线段，，间的数量关系，并进行证明． 【答案】（1）证明见详解 （2），证明见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由题意可得，再利用证明即可； （2）在上截取，连接、，由等腰直角三角形的性质可得，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，证明，出，，证明，得出，从而求出，再证明，得出，即可推出，即可得证； 【小问1详解】 证明: ， ，即， 又，， ． 小问2详解】 解：，证明如下： 在上截取，连接、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 23. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1 图2 图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，，如图③， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ②当时，，如图④， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③当时，，如图⑤， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，解得， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $