精品解析： 山东省青岛市城阳区2025-2026学年 九年级上学期数学11月期中段考试卷

**基本信息** 立足九年级上册核心知识，融合围棋文化、文明宣传等情境，通过动态几何、实际应用问题梯度设计，考察抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程、比例线段、概率初步|第4题结合物理电路图考概率，体现跨学科思维| |填空题|6/18|增长率方程、菱形性质、换元法|第12题以阅读活动为背景列方程，渗透应用意识| |作图题|1/4|尺规作图、菱形判定|结合对称变换考察几何直观与推理能力| |解答题|8/68|二次函数平移、动态几何、实际应用|第25题动态几何问题考察空间观念，第24题民宿定价问题体现模型意识|

2025-2026学年度山东省青岛市城阳区九年级上学期数学11月期中段考试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程的解为（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 6或2 2. 若四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A. B. C. D. 4. 如图所示，小余同学设计的物理电路图，假设开关，都处于断开状态，现随机闭合其中的两个开关，能让小灯泡发光的概率为（　） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，，则的长为( ) A. B. C. D. 6. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，则盒子中黑色棋子可能有（ ） A. 2.9枚 B. 3枚 C. 7枚 D. 7.1枚 7. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，用四张形状大小相同的六边形纸片拼成如图的图案，每个六边形中有四个角相等．拼成的图案的内轮廓是边长为1的正方形，外轮廓是每个内角都相等的八边形，则这个图案外轮廓的周长和阴影部分的面积为（ ）． A. 周长为8，面积为8 B. 周长为8，面积为6 C. 周长为，面积为8 D. 周长为，面积为6 9. 关于x的一元二次方程的一个根为，设，则M与方程根的判别式△之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的对角线，相交于点O，点E为边的中点，连接并延长交边于点F，，．下列结论错误的是（ ） A. B. C. 四边形为菱形 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为__________． 12. 同学参加决赛．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆405人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为，则请列出符合题意的方程：______． 13. 在一个不透明的袋中装有个红、紫两种颜色的球，除颜色外其他都相同，通过多次摸球试验后发现，摸到紫球的频率稳定在左右，则袋中紫球大约有_____个． 14. 如图，菱形的内角，以为边向外作等腰直角，连接交于F，则___． 15. 已知a、b实数且满足（a2+b2）2-（a2+b2）-12=0，则a2+b2的值为_____． 16. 如图，的三个顶点分别在等边的三条边上，，，，则长度的最小值是 ______． 三、作图题（本大题满分4分） 17. 如图，在中，． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①在线段上作点D，使得点D到点B与点C的距离相等； ②作点D关于直线的对称点E，连接，，． （2）猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由． 四、解答题（本大题共8小题，满分68分） 18. 解方程： （1）用配方法解方程：； （2）． 19. 已知抛物线（b，c为常数）的图象经过点和． （1）求抛物线的表达式及对称轴． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），且，求t的值． （3）将抛物线沿x轴向左平移个单位长度，当时，平移后的抛物线函数值y的最大值与最小值的和为12，求m的值． 20. 小明参加某超市的“翻牌抽奖”活动，如图，4张背面完全相同的卡片，正面分别对应着四句“国是家，孝为先，善作魂，知礼仪”的讲文明树新风的宣传语． （1）如果随机翻1张牌，那么翻到“孝为先”的概率为______． （2）如果四张卡片分别对应价值为25，20，15，10（单位：元）的4件奖品．如果小明随机翻2张卡片，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，求小明两次所获奖品总值为40元的概率？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD． （1）求b、k的值； （2）求△ABD的面积； （3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值． 22. 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ （2）矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 23. 如图，在中，，过点作的平行线，使得，连接交于点，过点作的垂线分别交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）当时，求与的长． 24. 某景区民宿有客房60间供游客居住，每个房间是按整间出租．已知当每个房间每天的定价为140元时，客房会全部住满，当个房间每天的定价每增加20元时，就会有4个房间空闲． （1）若某天每间客房的定价增加了60元，求这天客房的总收入； （2）如果政府规定该农家乐入住率超过可以获得每间10元的政府补贴，某天客房收入9360元，试求这天农家乐可获得政府补贴多少元？ 25. 如图，在中，．点由点出发沿线段向点匀速运动，速度为，同时点由点出发沿线段向点匀速运动，速度为．设运动的时间为． （1）如图①，连接，若，求的值； （2）如图②，连接，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）如图③，在点运动的过程中，线段上是否存在一点，使得四边形是菱形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度山东省青岛市城阳区九年级上学期数学11月期中段考试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程的解为（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 6或2 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况讨论，x=2或x≠2，分别计算即可． 【详解】解：①当x=2时，， ②当x≠2时， ， ， ， 故方程的解为6或2， 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程，能够掌握分类讨论思想是解决本题的关键． 2. 若四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段的定义，若四条线段，，，成比例，则，由此进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：四条线段，，，成比例， ， ，，， ， 故选：A． 3. 根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的估算．熟练掌握一元二次方程的解的估算是解题的关键． 由图象可知，，则方程一个解的取值范围为，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴方程一个解的取值范围为， 故选：C． 4. 如图所示，小余同学设计的物理电路图，假设开关，都处于断开状态，现随机闭合其中的两个开关，能让小灯泡发光的概率为（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图求概率，画树状图展示所有结果数，再找出同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的结果数为， 所以同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率， 故选C． 5. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，设，则，，再证明，利用相似比得到，进而根据勾股定理求得，根据，求得，从而得到的长，然后利用勾股定理计算出的长，根据矩形的性质即可得出． 【详解】解：四边形为矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， 即， （负值舍去）， ， ， ， ∴， ∴， 故选：B． 6. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，则盒子中黑色棋子可能有（ ） A. 2.9枚 B. 3枚 C. 7枚 D. 7.1枚 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系，属于中考常考题型．先求出摸到白棋的频率为，即为概率，根据白棋个数=棋子的总数×摸到的白棋的概率，棋子的总数减去白棋的个数即为黑棋的个数． 【详解】解：∵不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子， ∴摸到白棋的频率为，即为概率， ∴盒子中黑色棋子为（枚）， ∴盒子中黑色棋子可能有（枚）， 故答案为：B． 7. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，理解掌握该比例关系列出比例式是解答关键． 根据得到，然后代数求解即可． 【详解】∵ ∴，即 ∴． 故选：A． 8. 如图，用四张形状大小相同的六边形纸片拼成如图的图案，每个六边形中有四个角相等．拼成的图案的内轮廓是边长为1的正方形，外轮廓是每个内角都相等的八边形，则这个图案外轮廓的周长和阴影部分的面积为（ ）． A. 周长为8，面积为8 B. 周长为8，面积为6 C. 周长为，面积为8 D. 周长为，面积为6 【答案】D 【解析】 【分析】由六边形的性质证证明是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质结合勾股定理求出，进而求出周长，再求出一个六边形的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图， 图案由相同的六边形纸片拼成， ，，，，， ， ， 外轮廓是每个内角都相等的八边形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 这个图案外轮廓的周长为； 这个图案外轮廓的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查多边形内角和问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理正方形的性质，熟练掌握多边形内角和问题是解题的关键． 9. 关于x的一元二次方程的一个根为，设，则M与方程根的判别式△之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的根、完全平方公式．根据题意可以先对M化简，从而可以得到M和的关系，本题得以解决． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：A． 10. 如图，的对角线，相交于点O，点E为边的中点，连接并延长交边于点F，，．下列结论错误的是（ ） A. B. C. 四边形为菱形 D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】解：点为的中点， ， 又， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 即，故A正确； 在平行四边形中，，，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故C正确； ， 在中，， ，则，故B正确； 在平行四边形中，， 又点为的中点， ，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，三角形的中线性质，掌握菱形的判定是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，由已知条件，将所求表达式拆分为，再代入已知值计算． 【详解】解：∵， ∴， 代入得：． 故答案为：． 12. 同学参加决赛．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆405人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为，则请列出符合题意的方程：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设进馆人次的月平均增长率是x,根据第一个月及第三个月的进馆人次数，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为x， 由题意得：， 故答案为：． 13. 在一个不透明的袋中装有个红、紫两种颜色的球，除颜色外其他都相同，通过多次摸球试验后发现，摸到紫球的频率稳定在左右，则袋中紫球大约有_____个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用大量试验得到的频率估计事件的概率．关键是利用紫球的概率公式列方程求解得到紫球的个数．设袋中紫球大约有x个，根据摸到紫球的频率稳定在左右列方程求解即可． 【详解】设袋中紫球大约有x个， 则由题意可知，， 解得． 袋中紫球大约有个． 故答案为：． 14. 如图，菱形的内角，以为边向外作等腰直角，连接交于F，则___． 【答案】##75度 【解析】 【分析】根据菱形性质得出，，根据为等腰直角三角形，，得出，根据等腰三角形的性质得出，最后算出结果即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，求出． 15. 已知a、b实数且满足（a2+b2）2-（a2+b2）-12=0，则a2+b2的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】将a2+b2看成整体，设a2+b2=t，解关于t的一元二次方程即可，注意 a2+b2≥0． 【详解】解：设a2+b2=t，则t2﹣t﹣12=0， 解得：t1=4，t2=﹣3， ∵a2+b2=t≥0， ∴t=4，即a2+b2=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法是解答的关键，注意a2+b2≥0这一隐含条件． 16. 如图，的三个顶点分别在等边的三条边上，，，，则长度的最小值是 ______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作，垂足为，证明，根据，得出，设，则，在，中，勾股定理求得，根据二次函数的性质得出的最小值，进而即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 的最小值为， 的最小值为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求特殊角的三角函数值，勾股定理，二次函数的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 三、作图题（本大题满分4分） 17. 如图，在中，． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①在线段上作点D，使得点D到点B与点C的距离相等； ②作点D关于直线的对称点E，连接，，． （2）猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的尺规作图，线段的尺规作图： （1）①根据垂直平分线的画法作图即可；②以点O为圆心，长为半径画弧，交于点E，连线即可； （2）由线段垂直平分线的定义可得，，再由轴对称的性质可得，由此即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 解：①如图所示，点D即为所求； ②如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵点D和点E关于直线的对称， ∴， ∴四边形是菱形． 四、解答题（本大题共8小题，满分68分） 18. 解方程： （1）用配方法解方程：； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再配方，进而解方程即可； （2）先移项，然后利用平方差公式分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 19. 已知抛物线（b，c为常数）的图象经过点和． （1）求抛物线的表达式及对称轴． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），且，求t的值． （3）将抛物线沿x轴向左平移个单位长度，当时，平移后的抛物线函数值y的最大值与最小值的和为12，求m的值． 【答案】（1）抛物线的表达式为 ，对称轴为直线 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标，然后求出B，C的坐标，然后根据为AB=2AC列方程求出t的值解答即可； （3）根据题已得到平移后的解析式，然后在得到最大值与最小值，根据题意列方程求出m值即可． 【小问1详解】 解：已知抛物线 的图象经过点和，将这两点代入抛物线方程，可得， 解得：， 所以抛物线的表达式为， 对称轴为直线； 【小问2详解】 解：令y=0，则 解得 1， 所以抛物线与x轴的交点为和． 因为过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， 所以B，C两点的纵坐标为t，即， 解得， 所以， 因为，所以， 解得或． 【小问3详解】 解：将抛物线沿x轴向左平移个单位长度，得到 新抛物线的对称轴为：，则当时，y随x的增大而增大， 当 时，y的最大值为 ， y的最小值为 ， 因为y的最大值与最小值的和为12， 所以 解得或（舍去）． 20. 小明参加某超市的“翻牌抽奖”活动，如图，4张背面完全相同的卡片，正面分别对应着四句“国是家，孝为先，善作魂，知礼仪”的讲文明树新风的宣传语． （1）如果随机翻1张牌，那么翻到“孝为先”的概率为______． （2）如果四张卡片分别对应价值为25，20，15，10（单位：元）的4件奖品．如果小明随机翻2张卡片，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，求小明两次所获奖品总值为40元的概率？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了列举法与树状图法求概率以及概率公式，画出树状图是解题的关键． （1）由概率公式即可得出答案； （2）画树状图列出所有等可能结果，再从中确定所获奖品总值为40元的结果数，利用概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：如果随机翻1张牌，那么翻到“孝为先”的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能结果，其中所获奖品总值为40元的有2种， ∴所获奖品总值为40元的概率为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD． （1）求b、k的值； （2）求△ABD的面积； （3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值． 【答案】（1）b＝3，k＝18；（2）9；（3）m的值为1或 【解析】 【分析】（1）作CH⊥y轴于点H，把点A坐标代入直线解析式中求出b，求出点B坐标，再用相似三角形的性质求出CH、BH，求出点C坐标，即可求出k； （2）先求出点D坐标，求出BD，根据三角形的面积公式计算，得到答案； （3）先求出EF=2，设出点E坐标，分0＜m＜2、m＞2两种情况，表示出点F坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求解，即可得出结论． 【详解】解：（1）作CH⊥y轴于点H， ∵直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0）， ∴﹣1×3+b＝0， 解得，b＝3， 对于直线y＝3x+3，当x＝0时，x＝3， ∴点B的坐标为（0，3），即OB＝3， ∵CH∥OA， ∴△AOB∽△CHB， ∴，即， 解得，CH＝2，BH＝6， ∴OH＝OB+BH＝9， ∴点C的坐标为（2，9）， ∴k＝2×9＝18； （2）∵BD∥x轴， ∴点D的纵坐标为3， ∴点D的横坐标为＝6，即BD＝6， ∴△ABD的面积＝×6×3＝9； （3）EF＝BD＝×6＝2， 设E（m，3m+3）， 当0＜m＜2时，点F的坐标为（m+2，3m+3）， ∵点F在反比例函数y＝上， ∴（m+2）（3m+3）＝18， 解得，m1＝﹣4（舍去），m2＝1， 当m＞2时，点F的坐标为（m﹣2，3m+3）， ∵点F在反比例函数y＝上， ∴（m﹣2）（3m+3）＝18， 解得，m3＝（舍去），m4＝， 综上所述，m的值为1或． 【点睛】本题考查的是反比例函数知识的综合运用，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 22. 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ （2）矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【答案】（1）三边长分别为 （2）三边长分别为 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可； （2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 【小问2详解】 解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 23. 如图，在中，，过点作的平行线，使得，连接交于点，过点作的垂线分别交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）当时，求与的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）， 【解析】 【分析】（1）证明，得到，推出四边形是平行四边形，再根据，即可得证； （2）设，得到，勾股定理求出，在和中利用锐角三角函数得到，进而求出的值，证明，列出比例式进行求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴设，则：， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：（舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 24. 某景区民宿有客房60间供游客居住，每个房间是按整间出租．已知当每个房间每天的定价为140元时，客房会全部住满，当个房间每天的定价每增加20元时，就会有4个房间空闲． （1）若某天每间客房的定价增加了60元，求这天客房的总收入； （2）如果政府规定该农家乐入住率超过可以获得每间10元的政府补贴，某天客房收入9360元，试求这天农家乐可获得政府补贴多少元？ 【答案】（1）9600元 （2）520元 【解析】 【分析】本题考查有理数混合运算的实际运用，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到等量关系是解题的关键． （1）每间客房的定价增加了60元，则空闲的房间有12间，根据每个房间的定价乘以出租的房间数即可求出总收入； （2）设每间客房的定价增加了x元，房间出租了间，根据客房收入9360元，可得方程，求解后根据入住率超过进行取舍，进而得到出租的房间数，即可解答． 【小问1详解】 解：若每间客房的定价增加了60元，则空闲的房间有（间）， ∴总收入为（元） 答：这天客房的总收入为9600元． 【小问2详解】 解：设每间客房的定价增加了x元，房间出租了间， ∵客房收入9360元， ∴ 解得，， ∵入住率超过可以获得每间10元的政府补贴， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴这天农家乐可获得政府补贴为：（元）． 25. 如图，在中，．点由点出发沿线段向点匀速运动，速度为，同时点由点出发沿线段向点匀速运动，速度为．设运动的时间为． （1）如图①，连接，若，求的值； （2）如图②，连接，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）如图③，在点运动的过程中，线段上是否存在一点，使得四边形是菱形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在．． （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）结合直角三角形性质，由，得，即可求解； （2）过点作，根据线段垂直平分线性质，求，的表达式，证，得，即可求解； （3）假设线段上是存在一点，使得四边形为平行四边形，则，，由，得，得，故． 【小问1详解】 解：在中，， 由勾股定理，得． 由题意，得， ． ， ， 解得． 【小问2详解】 解：存在．如图，过点作交于点． 由题意可知，， ． 点在的垂直平分线上，且， ， ． 又， ，，解得． 【小问3详解】 解：不存在，理由如下： 假设线段上存在一点，使得四边形是平行四边形， 则， 可得，， 即，， ， 平行四边形不可能是菱形． 故线段上不存在一点，使得四边形是菱形． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质．解题关键时注意相似三角形的对应边成比例与分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $