精品解析：山东省青岛市城阳区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期阶段质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程x2=x的解是（　　） A. x=1 B. x=0 C. x1=1，x2=0 D. x1=﹣1，x2=0 2. 若四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 3. 根据表格中的信息，估计一元二次方程（，，为常数，）的一个解的范围为（ ） 0.5 1 1.5 2 3 28 18 10 4 A. B. C. D. 4. 在一个不透明的袋子里装有一个红球和一个黄球，它们除颜色外都相同．随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形对角线，交于点．若，，则长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 8 6. 如图，正方形二维码面积为，小明在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（ ） A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5 8. 如图，正六边形和正方形，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 不确定 10. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则代数式的值为 _____． 12. 商店销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本为64元，在成本价的基础上经过两次价格调整后售价定为100元．若每次价格调整的增长率相同，则增长率为________． 13. 在一个不透明的口袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，若其中有20次摸到红球，则估计这个口袋中红球的数量为________个． 14. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是________． 15. 若，则的值为________． 16. 如图，在中，对角线，交于点，过点作，交延长线于点，交于点，若，，，则的长为________． 三、作图题（本大题满分4分） 17. 已知：．求作：菱形，使点为的中点，点在边上． 四、解答题（本大题共8小题，满分68分） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的10倍，那么我们把这样的方程定义为“十美方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“十美方程”．根据上述定义，请判断一元二次方程是否为“十美方程”，并说明理由． 20. 用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”游戏：游戏者同时转动两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了． （1）利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果； （2）求游戏者获胜的概率． 21. （1）如图①，正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________； （2）如图热，正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________； （3）正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________；（用含的代数式表示） （4）如图③，正方形的边长为，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________．（用含，的代数式表示） 22. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元 23. 如图，在中，，是边上中线，过点作的平行线，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）当满足________时，四边形是正方形．请说明理由； （3）连接交于，若，则________．（请直接写出答案） 24. 尊老敬老是中华民族的传统美德，在九九重阳节前夕，某商场为老年人推出一款特价商品，每件商品的进价为元，促销前销售单价定为元，每天可售出件；据市场调查，销售单价每降低元，每天可多售件． （1）若每件商品降价5元，则商场销售这款商品一天获得的利润是多少元？ （2）不考虑其他因素的影响，若使商场销售这款商品一天的利润达到元，求商品的销售单价． 25. 如图①，在中，，，．，垂足为．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，连接，．解答下列问题： （1）求长度； （2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使的面积与的面积之比是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （4）如图②，点是点关于的对称点，连接，当为何值时，？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期阶段质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程x2=x的解是（　　） A. x=1 B. x=0 C. x1=1，x2=0 D. x1=﹣1，x2=0 【答案】C 【解析】 【详解】解：x2-x=0， x（x-1）=0， x=0或x-1=0， ∴x1=0，x2=1． 故选：C． 【点睛】考点：解一元二次方程-因式分解法． 2. 若四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例线段，掌握如果四条线段，，，满足，则四条线段，，，称为比例线段是解题关键．根据比例线段的定义得出，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵线段，，，成比例， ∴，即， 解得：． 故选B． 3. 根据表格中的信息，估计一元二次方程（，，为常数，）的一个解的范围为（ ） 0.5 1 1.5 2 3 28 18 10 4 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键，根据表格中的数据发现，在到2之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在18和10之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是． 【详解】解：由表格可知： 在和之间，对应的在和之间， 所以一个解的取值范围为． 故选． 4. 在一个不透明的袋子里装有一个红球和一个黄球，它们除颜色外都相同．随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： 第一次 第二次 红 黄 红 （红，红） （红，黄） 黄 （黄，红） （黄，黄） 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中两次都摸到黄球的情况有种， 故两次都摸到黄球的概率是， 故选：D． 5. 如图，矩形的对角线，交于点．若，，则长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，证明为等边三角形，得出，即可得解，熟练掌握矩形的性质、等边三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，正方形二维码的面积为，小明在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式．掌握在大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题关键．由题意可知点落在白色区域的概率为0.4，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：设二维码中黑色区域面积为， ∵点落在白色区域的频率稳定在0.4左右， ∴， 解得：， ∴此二维码中黑色区域的面积为． 故选D． 7. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（ ） A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5 【答案】A 【解析】 【分析】先由，求得的比，再由DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，然后由EF//AB，根据平行线分线段成比例定理，可得，则可求得答案． 【详解】解：， ， ∵DE//BC， ， ∵EF//AB， ． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键． 8. 如图，正六边形和正方形，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正多边形的性质和多边形的内角和公式可求出，．再根据正方形的性质可得出，，，从而可证为等腰三角形，再结合三角形内角和公式可求出，最后根据求解即可． 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴，． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查正多边形的性质，多边形的内角和，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理．掌握正多边形的性质和多边形的内角和公式为是解题关键． 9. 已知关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A． 10. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，涉及到平行四边形的判定及平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据菱形的性质得出，，，然后根据菱形的判定即可判断①； 根据菱形的面积结合变形即可判断④； 根据菱形的性质得出，，再根据平行线的性质得出，，然后利用角的和差即可判断②； 根据直角三角形的性质即可判断③． 【详解】解：四边形为菱形 ，， ，分别是，的中点， ， 四边形为平行四边形 四边形菱形，故①正确； ，故④正确； 四边形是菱形，四边形是菱形， ， ， 即，故②正确； 在中，为的中线 ，故③错误； 故选：C． 第II卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则代数式的值为 _____． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质解答即可．解题的关键是掌握比例的性质． 【详解】解：因为， 可得：，， 把，代入， 可得：， 故答案为：． 12. 商店销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本为64元，在成本价的基础上经过两次价格调整后售价定为100元．若每次价格调整的增长率相同，则增长率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每次价格调整的增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设每次价格调整的增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次价格调整的增长率相同，则增长率为， 故答案为：． 13. 在一个不透明的口袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，若其中有20次摸到红球，则估计这个口袋中红球的数量为________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．用总球的个数乘以摸到红球的概率，即可得出口袋中红球的数量． 【详解】解：，即估计这个口袋中红球的数量为个， 故答案：． 14. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，由三角形内角和定理结合等边对等角得出，求出，由直角三角形的性质可得，从而即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 15. 若，则的值为________． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用换元法的思想求解是解题关键．将看作一个整体，设为x，再根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：设，则原方程为， ， ∴或， ∴或， ∴或． 故答案为：2或． 16. 如图，在中，对角线，交于点，过点作，交延长线于点，交于点，若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，，由含角的直角三角形的性质结合勾股定理可得，，作交于，则，，得出，，结合，得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 如图，作交于， 则，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 三、作图题（本大题满分4分） 17. 已知：．求作：菱形，使点为的中点，点在边上． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—作线段，作图—线段垂直平分线，菱形的判定，熟练掌握基本作图方法和菱形的判定定理是解题关键．作线段的垂直平分线，与的交点即为点D．再在线段上作线段，最后分别以D，E为圆心，长为半径画弧，两弧交点即为点F，再连接和即可． 【详解】解：如图，菱形即为所作． 四、解答题（本大题共8小题，满分68分） 18 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、配方法、直接开平方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，． 19. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的10倍，那么我们把这样的方程定义为“十美方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“十美方程”．根据上述定义，请判断一元二次方程是否为“十美方程”，并说明理由． 【答案】不是“十美方程”，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法求出原方程的两个实数根是解题的关键，再结合“十美方程”的定义，即可得出一元二次方程不是“十美方程”． 【详解】解：一元二次方程不是“十美方程”，理由如下： ， ， 或， 解得：，， ，，，， 一元二次方程不是“十美方程”． 20. 用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”游戏：游戏者同时转动两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了． （1）利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果； （2）求游戏者获胜的概率． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据列表法求表示游戏所有可能出现的结果； （2）根据（1）中的结果，求得游戏者获胜的概率即可． 【详解】（1）在盘中，红蓝的可能性相等，在盘中，根据圆心角的度数可知红色的概率是，蓝色个概率是，列表如下， / 红 蓝 蓝 红 红红 红蓝 红蓝 蓝 蓝红 蓝蓝 蓝蓝 共有6种可能出现的结果； （2）由（1）可知共有6种可能出现的结果， 依题意游戏者获胜的结果有3种， 游戏者获胜的概率为． 【点睛】本题考查了几何概率，列表法求概率，掌握列表法或树状图求概率的方法是解题的关键． 21. （1）如图①，正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________； （2）如图热，正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________； （3）正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________；（用含的代数式表示） （4）如图③，正方形的边长为，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________．（用含，的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键． （1）由正方形的性质结合题意可得出，，即易证，得出，从而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可； （2）由（1）同理可证，结合，可得出，从而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可； （3）由（1）同理可证，结合，可得出，从而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可； （4）由（1）同理可证，结合，可得出，从而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）同理可证， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（1）同理可证， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）由（1）同理可证， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元 【答案】（1）道路的宽为米 （2）每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可； 【小问1详解】 解：根据道路的宽为米， ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． 【小问2详解】 解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得， 答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 23. 如图，在中，，是边上的中线，过点作的平行线，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）当满足________时，四边形是正方形．请说明理由； （3）连接交于，若，则________．（请直接写出答案） 【答案】（1）见解析 （2）当满足是等腰直角三角形时，四边形是正方形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质可得，推出，结合得出四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即，即可得证； （3）由直角三角形的性质可得，由（1）可得：四边形是菱形，得出，，进而得出，由相似三角形的性质可得，推出，即可得解． 【小问1详解】 证明：∵在中，，是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：当满足是等腰直角三角形时，四边形是正方形，理由如下： ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴菱形是正方形； 【小问3详解】 解：∵在中，，是边上的中线， ∴， 由（1）可得：四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、菱形的判定与性质、正方形的判定定理、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 24. 尊老敬老是中华民族的传统美德，在九九重阳节前夕，某商场为老年人推出一款特价商品，每件商品的进价为元，促销前销售单价定为元，每天可售出件；据市场调查，销售单价每降低元，每天可多售件． （1）若每件商品降价5元，则商场销售这款商品一天获得的利润是多少元？ （2）不考虑其他因素的影响，若使商场销售这款商品一天的利润达到元，求商品的销售单价． 【答案】（1）元 （2）元或元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，注意计算的准确性． （1）根据每件商品降价5元求出销量和售价，即可求解； （2）设商品的销售单价为元，则，即可求解； 【小问1详解】 解：元， 答：商场销售这款商品一天获得的利润是元； 【小问2详解】 解：设商品的销售单价为元， 则， 解得：， ∴当商品的销售单价为元或元时，可使商场销售这款商品一天的利润达到元 25. 如图①，在中，，，．，垂足为．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，连接，．解答下列问题： （1）求的长度； （2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使的面积与的面积之比是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （4）如图②，点是点关于的对称点，连接，当为何值时，？ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可求出，再结合等积法可求出，最后再利用勾股定理求解即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得出，即可列出关于t的等式，求解即可； （3）由三角形面积公式和面积的比可求出，过点P作于点E，即易证，得出，代入数据，即可用t表示出的长，从而可列出关于t的等式，求解即可； （4）由题意可判断点共线，过点D作交于点F，易证，，得出，．根据轴对称的性质可求出，代入数据，即可求出，再代入中，解出t的值即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． ∵， ∴，即， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∴． 由题意可知． ∵要使点在线段的垂直平分线上， ∴即可，即， 解得：． 【小问3详解】 解：∵，， ∴． ∵， ∴． 如图，过点P作于点E， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴， 解得：（舍），， ∴的值为； 【小问4详解】 解：∵， ∴点共线，如图，过点D作交于点F， ∴， ∴． ∵点是点关于的对称点， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 解得：（舍），（舍）， ∴的值为． 【点睛】本题考查勾股定理，等积法的应用，线段垂直平分线的性质，三角形相似的判定和性质，轴对称的性质，一元一次方程和一元二次方程的应用．利用数形结合的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$