精品解析：北京市大兴区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

大兴区2025~2026学年度第一学期期中检测 初三数学 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域． 3．题目答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．练习结束，请将答题纸交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向下平移一个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 要关于x的一元二次方程mx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的值可以是（　　） A. 2 B. 1 C. 0 D. ﹣1 5. 人均国内生产总值是衡量经济繁荣程度、生活水平的重要指标．据统计，2022年我国人均国内生产总值是85698元，2024年人均国内生产总值是95749元，设这两年人均国内生产总值的年平均增长率为x，根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，得到，点C的对应点E恰好落在边上，连接，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，则图中的的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知：抛物线，对称轴为，且，，有以下结论： 抛物线一定经过点； ； 关于x的一元二次方程必有一根大于1； 关于m的一元二次方程一定有两个不相等的实数根． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 点关于原点对称的点的坐标为_____________． 10. 一元二次方程的解是________． 11. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为________． 12. 已知二次函数满足条件：①函数图象开口向下；②函数图象与y轴交于点．写出一个满足上述所有条件的二次函数解析式______． 13. 我国数学家赵爽用4个全等的直角三角形拼成如图所示的大正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“赵爽弦图”．这一证法是中国古代数学家以形证数、形数结合的典范，对后世数学发展产生了深远影响．已知点O是大正方形对角线的交点，以点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，则______． 14. 已知抛物线经过不同的两点，且，则b的值为______． 15. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则a的值为______． 16. 网上有模型改装的代工服务，同一种模型的改装精细程度和改装的数量不同都会产生不同的利润．小华为此做了一个调查测算，假设她手里有同一种模型个，想在网上寻找代工改装后再出售获利，根据网上查到的三名工匠的报价和她自己所付出的成本综合测算，经过不同工匠改装后再出售可获得的利润（单位：元）与模型数量的关系如下： 工匠 45 85 120 150 175 195 工匠 31 62 93 124 155 186 工匠 52 82 （1）若小华把4个模型分配给这三位工匠改装后再出售，在保证每名工匠都至少加工1个模型的前提下，若想获得总利润最大，应当给______工匠分配2个模型（填“”，“”或“”）． （2）若小华把手里的6个模型分配给这三名工匠中的一名或多名，进行改装后再出售，6个模型都售出后，小华能获得的总利润最大为______元． 三、解答题（共68分，第17-20题每题5分，第21-22题每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明的过程． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 解方程：． 20. 已知m是方程的一个根，求代数式的值． 21. 如图，已知，，将绕点C顺时针旋转，得到，点A的对应点为点D，连接． （1）依题意补全图形； （2）若，求的度数． 22. 已知二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 … y … 0 1 0 … （1）求二次函数的解析式； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）若该二次函数图象经过点，则 ；（填“>”，“=”或“<”） （4）根据图象，当时，直接写出x的取值范围： ． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出n的取值范围： ． 24. 实心球是北京中考体育测试中的选考项目之一．实心球被投掷出后的运动路线可以看做是抛物线的一部分．已知在实心球投掷训练中，小明同学出手点A到地面的竖直高度是． （1）如图1，当球运动到水平距离为时，达到的最大高度为，实心球落地点为B，求小明该次投掷的距离． （2）为提高训练成绩，如图2，他在距离点O的处垂直地面竖起一根长为的竹竿，竹竿的一个端点C在上，当球的运动路线恰好经过竹竿的另一个端点D时，测得投掷距离为，求小明该次投掷实心球的最大高度． 25. 在综合与实践活动中，某校数学兴趣小组研究了一个问题： 在一块直角三角形材料上按如图1方式剪出一个矩形，如何剪使这个矩形面积最大． 为了研究这个问题，建立如图2所示平面直角坐标系，点为线段上一动点（不与A，B重合），过点C向x轴，y轴作垂线，垂足分别为D，E，得到矩形，其面积记为S． （1）若，， ①根据图2中所给出的信息，写出C点的纵坐标y与横坐标x之间的函数关系式 ，并写出x的取值范围 ； ②图2中矩形面积 （用含x的式子表示）； ③当 时，矩形的面积最大． （2）若，（），则矩形的最大面积可表示为 （用含a，b的式子表示）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点． （1）求和的值； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，点，不重合． ①当时，求的长； ②若的长随的增大而增大，求的取值范围． 27. 在中，，，点D是边上一点，点E是上一动点，将线段绕点D顺时针旋转得到，点F落在边上，过E作交于G． （1）如图1，当G与F重合时，求证：； （2）如图2，当G与F不重合时，用等式表示与的数量关系，并证明． 28. 对于平面直角坐标系内的点P和图形Q，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，若点落在图形Q上，那么称点P是图形Q关于原点O的“强旋转点”；若点P落在图形Q内部，那么称点P是图形Q关于原点O的“弱旋转点”． 已知点， （1）在点，，，中，点 是线段AB关于原点O的“强旋转点”； （2）若点是线段关于原点O的“强旋转点”，则 ； （3）若抛物线上存在点N是正方形关于原点O的“弱旋转点”，直接写出t的取值范围： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大兴区2025~2026学年度第一学期期中检测 初三数学 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域． 3．题目答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．练习结束，请将答题纸交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解决本题的关键． 根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，既是轴对称图形又是中心对称图形，故A正确； B选项，是轴对称图形不是中心对称图形，故B错误； C选项，不是轴对称图形是中心对称图形，故C错误； D选项，是轴对称图形不是中心对称图形，故D错误． 故选：A ． 2. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是， 故选B． 3. 将抛物线向下平移一个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与几何变换，解题的关键是掌握函数图象平移的规律：上加下减，左加右减．据此解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移一个单位长度，所得抛物线的解析式是 故选：D． 4. 要关于x的一元二次方程mx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的值可以是（　　） A. 2 B. 1 C. 0 D. ﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△=22-4m＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】根据题意得m≠0且△＝22﹣4m＞0， 解得m＜1且m≠0． 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 5. 人均国内生产总值是衡量经济繁荣程度、生活水平的重要指标．据统计，2022年我国人均国内生产总值是85698元，2024年人均国内生产总值是95749元，设这两年人均国内生产总值的年平均增长率为x，根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（增长率问题），熟练掌握年平均增长率下的复合增长公式是解题的关键． 根据年平均增长率的概念，明确从2022年到2024年经过两年增长，利用复合增长的思路来列方程． 【详解】解：因为年平均增长率为， 所以2023年人均国内生产总值为，2024年人均国内生产总值为， 又因为2024年人均国内生产总值是元， 所以． 故选：． 6. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，得到，点C的对应点E恰好落在边上，连接，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形旋转的性质以及勾股定理解三角形，解决本题的关键是求解旋转后． 由勾股定理可求解，根据图形旋转可得，，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴在中，， 则的长为． 故选：C ． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，则图中的的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系、等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理等知识，取点，连接，，，则可知，都是等腰直角三角形，则，，从而得解． 【详解】解：如下图取点，连接，，， 则，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 8. 已知：抛物线，对称轴为，且，，有以下结论： 抛物线一定经过点； ； 关于x的一元二次方程必有一根大于1； 关于m的一元二次方程一定有两个不相等的实数根． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程的综合． 根据条件 可判断，由和，得，，结合对称轴直线的解析式，可判断，由二次函数的图象和性质，结合图象平移变换，可判断，由一元二次方程的根的判别式，可判断． 【详解】解：∵， ∴ 当时，， ∴抛物线过点， 故正确； ∵ 对称轴， 由和，得，， ∴， ∴， ∴， 故错误； 设 ， ∵ ， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线经过点，， ∴抛物线向上平移1个单位后，在对称轴右侧与的交点横坐标一定大于1， ∴关于x的一元二次方程必有一根大于1， 故正确； 方程 的判别式 ， 代入 ，得 ， 若 ，则 ，，但 即 ，矛盾， ∴ ， ∴关于m的一元二次方程一定有两个不相等的实数根， 故正确， 综上，正确结论为． 故选：B． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 点关于原点对称的点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键． 直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为：． 故答案为：． 10. 一元二次方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， 或， 解得，． 11. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是能根据题意得出一个关于的方程．把代入方程，得出一个关于的方程，解方程即可． 【详解】解：．把代入方程， 得：， 解得：， 故答案为：． 12. 已知二次函数满足条件：①函数图象开口向下；②函数图象与y轴交于点．写出一个满足上述所有条件的二次函数解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查根据要求构造二次函数函数，根据二次函数的图象和性质，按要求进行构造即可． 【详解】解：设函数解析式为 ∵函数图象开口向下； ∴， ∵函数图象与y轴交于点， ∴； 故当时，可满足题意， ∴符合题意的解析式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 13. 我国数学家赵爽用4个全等的直角三角形拼成如图所示的大正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“赵爽弦图”．这一证法是中国古代数学家以形证数、形数结合的典范，对后世数学发展产生了深远影响．已知点O是大正方形对角线的交点，以点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，则______． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查了图形旋转的性质，解决本题的关键是熟练掌握图形的旋转角度． 根据图形的旋转性质，可知顺时针旋转得到，点D的对应点为点C，点E的对应点为点H，点A的对应点为点D，由此可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵顺时针旋转得到， ∴可知点D的对应点为点C，点E的对应点为点H，点A的对应点为点D， ∵点O是大正方形对角线的交点， ∴， ∴． 故答案为： ． 14. 已知抛物线经过不同的两点，且，则b的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据题意可知，m和n是方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系可知，结合和，即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过不同的两点， ∴m和n是方程的两个根， ∴， 又∵， ∴， 即， 故答案为：2． 15. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法，正方形的性质等知识． 连接交y轴于点D，先求出,根据正方形性质求出点A坐标为，代入即可求出． 【详解】解：如图，连接交y轴于点D． 由抛物线解析式为得顶点B坐标为 ∴, ∵四边形为正方形， ∴， ∴点A坐标为，代入 ∵点A在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 网上有模型改装的代工服务，同一种模型的改装精细程度和改装的数量不同都会产生不同的利润．小华为此做了一个调查测算，假设她手里有同一种模型个，想在网上寻找代工改装后再出售获利，根据网上查到的三名工匠的报价和她自己所付出的成本综合测算，经过不同工匠改装后再出售可获得的利润（单位：元）与模型数量的关系如下： 工匠 45 85 120 150 175 195 工匠 31 62 93 124 155 186 工匠 52 82 （1）若小华把4个模型分配给这三位工匠改装后再出售，在保证每名工匠都至少加工1个模型的前提下，若想获得总利润最大，应当给______工匠分配2个模型（填“”，“”或“”）． （2）若小华把手里的6个模型分配给这三名工匠中的一名或多名，进行改装后再出售，6个模型都售出后，小华能获得的总利润最大为______元． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查列举法解决实际问题，读懂题意，掌握列举法求解是解决问题的关键． （1）按照题意，先保证三个工匠每人1个模型，再比较表中时利润增加量，即可判断出结论； （2）根据题意，分三大类，详细列举，比较所得利润即可判断出结论． 【详解】解：（1）小华把4个模型分配给这三位工匠改装后再出售，在保证每名工匠都至少加工1个模型的前提下，则三名工匠各加工1个模型的总利润为元， 当时， 工匠利润增加为元； 工匠利润增加为元； 工匠利润增加为元； ， 若想获得总利润最大，应当给工匠分配2个模型， 故答案为：； （2）当分配给1个工匠时，最大利润是元； 当分配给2个工匠时，分三种情况： 工匠： 　 数量 利润 数量 利润 数量 利润 数量 利润 数量 利润 工匠 1 45 2 85 3 120 4 150 5 175 工匠 5 155 4 124 3 93 2 62 1 31 合计 6 200 6 209 6 213 6 212 6 206 则最大利润是元； 工匠： 　 数量 利润 数量 利润 工匠 5 175 4 150 工匠 1 52 2 82 合计 6 227 6 232 则最大利润是元； 工匠： 　 数量 利润 数量 利润 工匠 5 155 4 124 工匠 1 52 2 82 合计 6 207 6 206 则最大利润是元； 综上所述，当分配给2个工匠时，最大利润是元； 当分配给3个工匠时： 　 数量 利润 数量 利润 数量 利润 数量 利润 数量 利润 数量 利润 数量 利润 工匠 4 150 3 120 2 85 1 45 3 120 2 85 1 45 工匠 1 31 2 62 3 93 4 124 1 31 2 62 3 93 工匠 1 52 1 52 1 52 1 52 2 82 2 82 2 82 合计 6 233 6 234 6 230 6 221 6 233 6 229 6 220 则最大利润是元； ， 6个模型都售出后，小华能获得的总利润最大为元， 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17-20题每题5分，第21-22题每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明的过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，零指数幂和化简二次根式，先化简二次根式，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键．本题利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ∴， ∴ 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可． 【详解】解：原方程化为一般式得， ∵， ∴， ∴， 解得． 20. 已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了方程的根，整式化简求值；由方程的根得，化简整式后，整体代值计算，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， ， ． 21. 如图，已知，，将绕点C顺时针旋转，得到，点A的对应点为点D，连接． （1）依题意补全图形； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，画旋转图形，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）由旋转的性质可得，，可证明B、C、D三点共线，求出的度数，则可得到的度数，进而可得到的度数，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴B、C、D三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 已知二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 … y … 0 1 0 … （1）求二次函数的解析式； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）若该二次函数图象经过点，则 ；（填“>”，“=”或“<”） （4）根据图象，当时，直接写出x的取值范围： ． 【答案】（1） （2） 二次函数图象如图： ； （3）> （4） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，画二次函数图象，比较函数值大小，二次函数与方程不等式关系等知识． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据表格描点，连线，即可画出二次函数图象； （3）分别求出，，即可比较大小； （4）根据表格得到由图象和表格可得，二次函数与x轴交点为，即可得到当图象位于x轴上方时，问题得解． 【小问1详解】 解：设二次函数解析式为， 把代入得 ， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， ∴． 故答案为：> 【小问4详解】 解：由图象和表格可得，二次函数与x轴交点为， ∴当时，． 故答案为：． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出n的取值范围： ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出不等式的解集，再根据题意可得满足不等式，可得n的取值范围；求出的取值范围，再根据题意可得满足不等式，可得n的取值范围，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点和， ∴， ∴， ∴该函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当函数的值小于函数的值时，则， ∴， 又∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴， ∴； ∵函数的值大于0，即， ∴， 又∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于0， ∴， ∴， 综上所述，． 故答案为：． 24. 实心球是北京中考体育测试中的选考项目之一．实心球被投掷出后的运动路线可以看做是抛物线的一部分．已知在实心球投掷训练中，小明同学出手点A到地面的竖直高度是． （1）如图1，当球运动到水平距离为时，达到的最大高度为，实心球落地点为B，求小明该次投掷的距离． （2）为提高训练成绩，如图2，他在距离点O的处垂直地面竖起一根长为的竹竿，竹竿的一个端点C在上，当球的运动路线恰好经过竹竿的另一个端点D时，测得投掷距离为，求小明该次投掷实心球的最大高度． 【答案】（1） （2）最大高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）以O点为原点，为x轴，为y轴，建立直角坐标系， 则抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为．利用待定系数法求出抛物线解析式，再令时，求出x的值，即可求出． （2）以O点为原点，为x轴，为y轴，建立直角坐标系，已知，，都在抛物线上，故设抛物线的解析式为：，利用待定系数法求出二次函数解析式，再化成顶点式即可求解． 【小问1详解】 解：以O点为原点，为x轴，为y轴，建立直角坐标系如下： 则抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 把点代入， 即， 解得， ∴抛物线的解析式为：， 当时，即， 解得，（舍去）， ∴． 【小问2详解】 解：以O点为原点，为x轴，为y轴，建立直角坐标系如下： 已知，，都在抛物线上， 故设抛物线的解析式为：， 则 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 将抛物线化成顶点式， 则抛物线的顶点坐标为， 即最大高度为． 25. 在综合与实践活动中，某校数学兴趣小组研究了一个问题： 在一块直角三角形材料上按如图1方式剪出一个矩形，如何剪使这个矩形面积最大． 为了研究这个问题，建立如图2所示平面直角坐标系，点为线段上一动点（不与A，B重合），过点C向x轴，y轴作垂线，垂足分别为D，E，得到矩形，其面积记为S． （1）若，， ①根据图2中所给出的信息，写出C点的纵坐标y与横坐标x之间的函数关系式 ，并写出x的取值范围 ； ②图2中矩形面积 （用含x的式子表示）； ③当 时，矩形的面积最大． （2）若，（），则矩形的最大面积可表示为 （用含a，b的式子表示）． 【答案】（1）①；；②；③2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数关系式的求解，二次函数解析式的求解，二次函数的实际应用，解决本题的关键是在于根据图形的性质建立函数关系式，并利用二次函数的性质求最值． （1）①根据，，可得点A与点B的坐标，由此可求解直线的函数关系式，由此可得； ②根据点C的坐标，可得与，再根据矩形面积公式代入求解即可； ③将矩形面积S的表达式整理为顶点式，由此可求解． （2）根据，（），可表示直线的函数关系式，再根据面积表达式求解最大面积即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴点，点， 设直线的函数关系式为， 将点A与点B代入可得， 解得， ∴直线的函数关系式为， ∵点为线段上一动点， ∴C点的纵坐标y与横坐标x之间的函数关系式， 且x的取值范围为， 故答案为：；； ②由①知，点， ∴，， ∴矩形面积； 故答案为：； ③， ∴当时，矩形的面积最大． 故答案为：2． 【小问2详解】 解：∵，（）， ∴点，点， 设直线的函数关系式为， 将点A与点B代入可得， 解得， ∴直线的函数关系式为， ∴点， ∴，， ∴矩形面积， 将该表达式转化为顶点式， 即， ∴当时，面积最大为． 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点． （1）求和的值； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，点，不重合． ①当时，求的长； ②若的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） 的值为，的值为． （2） 当时，求的长为． 若的长随的增大而增大，的取值范围为或． 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，一次函数与二次函数的综合，二次函数的图象和性质． （1）把代入，可得的值，从而可得点的坐标，代入，即可得的值； （2）当时，点、的横坐标为，代入对应解析式，可得点、的纵坐标，即可得的长；由已知可得，，分段讨论，当时，写出长度的表达式，由二次函数的性质，可得的取值范围，由图象可知，当时，不符合题意，当时，符合题意，从而可得的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线与直线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为，的值为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴抛物线的解析式为， 当时，点、的横坐标为， 在中，令，得， 在中，令，得， ∴，， ∴， ∴当时，求的长为． 由已知可得，， 由得，， ∵点，不重合， ∴，且， 当时，的长随的增大而减小，不符合题意， 当时，， ∵的长随的增大而增大， ∴， ∴， 当时，的长随的增大而增大，符合题意， ∴若的长随的增大而增大，的取值范围为或． 27. 在中，，，点D是边上一点，点E是上一动点，将线段绕点D顺时针旋转得到，点F落在边上，过E作交于G． （1）如图1，当G与F重合时，求证：； （2）如图2，当G与F不重合时，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵中，，， ∴， ∵将线段绕点D顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 如图，取的中点，连接， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； （2） 解：，证明如下： ∵中，，， ∴， ∵将线段绕点D顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 如图，取的中点，连接， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， 在上取一点使得，连接，则， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，由旋转的性质可得，，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由平行线的性质可得，，，从而得出，，进而可得，取的中点，连接，由直角三角形的性质可得则，证明四边形为平行四边形，得出，即可得证； （2）由三角形内角和定理可得，由旋转的性质可得，，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由平行线的性质可得， ，取的中点，连接，由直角三角形的性质可得则，由等边对等角得出，结合三角形外角的定义及性质可得，在上取一点使得，连接，则，证明，从而可得，由全等三角形的性质可得，，求出，由等角对等边得出，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 28. 对于平面直角坐标系内的点P和图形Q，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，若点落在图形Q上，那么称点P是图形Q关于原点O的“强旋转点”；若点P落在图形Q内部，那么称点P是图形Q关于原点O的“弱旋转点”． 已知点， （1）在点，，，中，点 是线段AB关于原点O的“强旋转点”； （2）若点是线段关于原点O的“强旋转点”，则 ； （3）若抛物线上存在点N是正方形关于原点O的“弱旋转点”，直接写出t的取值范围： ． 【答案】（1）， （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）分别作出点，，，绕原点顺时针旋转90度的后的对应点即可判断； （2）设点绕原点顺时针旋转60度后在上的对应点为点N，作交于点N，利用三角函数求出，即可求解； （3）作正方形绕原点逆时针旋转90度后对应的正方形，则，由抛物线上存在点N是正方形关于原点O的“弱旋转点”，可知抛物线与正方形有交点，即应取右半轴从交于到交于时的区间及左半轴从交于到交于时的区间，求出临界值即可． 【小问1详解】 如图，点，，，绕原点顺时针旋转90度后的对应点分别为，，，， ∵点和在线段上， ∴点和是线段关于原点O的“强旋转点”． 故答案为：，； 【小问2详解】 如图，设点绕原点顺时针旋转60度后在上的对应点为点N，作交于点G， ∵点是线段关于原点O的“强旋转点”， ∴，， ∴， 由图可知，若点在y轴的负半轴上，绕原点顺时针旋转60度后的对应点不能落在上 ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 如图，作正方形绕原点逆时针旋转90度后对应的正方形，则， ∵抛物线上存在点N是正方形关于原点O的“弱旋转点”， ∴抛物线与正方形有交点， 即应取右半轴从交于到交于时的区间及左半轴从交于到交于时的区间， 当抛物线经过点时，， 解得（右半轴相交，，舍去）或； 当抛物线经过点时，， 解得或（右半轴相交，，舍去）； 即； 当抛物线经过点时，， 解得或（左半轴相交，，舍去）． 当抛物线经过点时，， 解得或（左半轴相交，，舍去）． 即； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了新定义，旋转的性质，画旋转图形，解直角三角形，二次函数的图象与性质等知识，数形结合是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $