几何模型研究大讲堂 专题二十四 翻折模型 2025-2026学年 人教版 八年级数学上册第十四章全等三角形数学单元复习

初中数学几何模型研究大讲堂 专题二十四：翻折模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 如图，是由通过翻折得到． 1.. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 翻折的相关知识点 求线段长、角度 1. 在选择或填空题中考查： （1）求线段长或角度 2. 常在解答题中进行简单计算与证明 运用翻折的相关知识点，结合全等解题 PART 2——模型思路. 翻折（轴对称）作为重要的图形变化，全等中常常出现以翻折构造的题型，运用翻折巧做辅助线是解题的难点.平移、翻折（轴对称）、旋转均属于全等变换，是重要的知识点，其中翻折类常常结合各种模型进行出题，本次C层均为全等辅助线常考题型或中难题目.在翻折全等中，往往要注意一些典型的有对称性的图形，如角平分线、正方形. 常见辅助线作法： 已知 图示 作法 “翻折”模型 连接构造公共边全等. PART 3——模型练习. 1.（2024·陕西延安阶段练习）如图，，点D，E分别在，上，要使，不能添加的条件是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·陕西渭南一模）如图，在和中，，，、、、四点在同一直线上，、交于点．请从①；②；③中选择一个选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：______（只填写一个序号），并写出证明过程． 3.（2023·云南）如图，是的中点，．求证：．    4.（2024·重庆育才一模）如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（   ） A． B． C． D． 5.（2025·新疆）如图，，求证：． 6.（2025·西藏）如图，，．求证：． 7.（2024·四川乐山）知：如图，平分，．求证：． 8.（2025·辽宁鞍山月考）如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　） A．n B． C． D． 9.（2025·河南周口期末）如图，在中，，，，点D在边上，把沿着边翻折得到，平分，连接，若是等腰三角形，则 ． 10.（2025·重庆开州校级入学）如图，在中，为的角平分线，E为上一点，且满足． (1)求证：； (2)若，求的大小． 11.（2023·江苏淮安校级月考）已知：如图，，，、分别是和的中点．求证： ．    12.（2024·重庆一外入学）如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 13.（2025·吉林四平期末）如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．    (1)求证：； (2)求证：． 14.（2025·江苏泰州期末）中，，，点从点以的速度沿着射线方向平移，到点停止平移，同时，点也以的速度从点沿着射线平移，到点停止平移． (1)如图，求证：； (2)在直线上一定存在一个点，使和的面积始终相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中作出点； (3)将沿着翻折至． 若，，则 ______（2）中所作的点填“经过”或“不经过”，此时，的度数为______； 探索、、之间的数量关系． 15.（2025·河南郑州期末）学完三角形和图形的轴对称相关知识后，老师出示了以下问题： (1)【基础探究】如图（1），点分别在线段上，与相交于点，，若要使，需要添加一个条件．请从“条件：①；②；③”中选择一个你认为正确的条件，说明． (2)【类比迁移】如图（2），在中，，，分别平分 和，，交于点．小明发现，图（1）中，若连接，则和关于线段所在的直线成轴对称图形，但图（2）不是轴对称图形，于是小明过点作的对称点，构造出轴对称图形．得出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． (3)【拓展应用】如图（3），点是平分线上的一点，、分别是、边上的动点，若使，请直接写出和的数量关系． PART 4——模型变式. 【变式1】（2024·重庆西大附中期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·福建模拟）如图是一个风筝设计图，其主体部分关于所在的直线对称（四边形，），与相交于点，，且，则下列推断不正确的是（   ）    A． B． C． D．是等边三角形 【变式3】（2025·河南洛阳期末）如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2024·内蒙古通辽期中）如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，．求证：． 【变式5】（2024·内蒙古通辽期中）如图，已知为的平分线，于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中数学几何模型研究大讲堂 专题二十四：翻折模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 如图，是由通过翻折得到． 1.. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 翻折的相关知识点 求线段长、角度 1. 在选择或填空题中考查： （1）求线段长或角度 2. 常在解答题中进行简单计算与证明 运用翻折的相关知识点，结合全等解题 PART 2——模型思路. 翻折（轴对称）作为重要的图形变化，全等中常常出现以翻折构造的题型，运用翻折巧做辅助线是解题的难点.平移、翻折（轴对称）、旋转均属于全等变换，是重要的知识点，其中翻折类常常结合各种模型进行出题，本次C层均为全等辅助线常考题型或中难题目.在翻折全等中，往往要注意一些典型的有对称性的图形，如角平分线、正方形. 常见辅助线作法： 已知 图示 作法 “翻折”模型 连接构造公共边全等. PART 5——模型解析. 1.（2024·陕西延安阶段练习）如图，，点D，E分别在，上，要使，不能添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】这道题主要考查了三角形全等的判定条件，根据三角形性的判定定理逐项进行判断即可，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 【详解】解： A、当时，，，可以利用证明，本选项不符合题意； B、当时，可得，而，，可以用证明，本选项不符合题意； C、当时，不能证明，本选项符合题意； D、当时，由，，可以利用证明，本选项符合题意． 故选：C． 2.（2025·陕西渭南一模）如图，在和中，，，、、、四点在同一直线上，、交于点．请从①；②；③中选择一个选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：______（只填写一个序号），并写出证明过程． 【答案】①，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行证明即可． 【详解】证明：当添加的条件是①， ∵， ∴，即， ∵，， ∴； 当添加的条件是②， 在和中， ， ∴； 当添加的条件是③， 在和中， ， ∴； 故答案为：①． 3.（2023·云南）如图，是的中点，．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等． 【详解】证明：是的中点， ， 在和中， ， 【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键． 4.（2024·重庆育才一模）如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵，， A、在和中， ， ∴，故选项A不符合题意； B、由，不能判定，故选项B符合题意； C、由，能判定，故选项C不符合题意； D、由，能判定，故选项D不符合题意； 故选：B． 5.（2025·新疆）如图，，求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是关键．根据题意证明，即可求解． 【详解】解：证明：∵， ∴， ∴． 6.（2025·西藏）如图，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，通过找出两个三角形三边对应相等来证明全等即可．在和中，已知，，同时还隐含条件这条公共边，此时满足全等三角形判定定理中的“边边边”，最终得出两个三角形全等． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 7.（2024·四川乐山）知：如图，平分，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用证明，即可证明． 【详解】解：平分， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握、、、等全等三角形的判定方法是解题的关键． 8.（2025·辽宁鞍山月考）如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　） A．n B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出，，有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，， 在与中， ， ∴． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴图2中有对三角形全等； 同理：图3中有对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是． 故选：C． 9.（2025·河南周口期末）如图，在中，，，，点D在边上，把沿着边翻折得到，平分，连接，若是等腰三角形，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得到，得，得到，根据等边三角形的判定得到是等边三角形，从而求得的长． 【详解】解：在中，，， ， 由折叠得，，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 又是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， ， 即， 又， ， 故答案为：4． 10.（2025·重庆开州校级入学）如图，在中，为的角平分线，E为上一点，且满足． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的定义和性质，全等三角形的判定和性质． （1）由角平分线的性质得出，即可利用证明． （2）由全等三角形的性质得出，再根据三角形外角的定义和性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线， ， 在和中， ， （2）解：∵， ， ， ． 11.（2023·江苏淮安校级月考）已知：如图，，，、分别是和的中点．求证： ．    【答案】证明见解析． 【分析】由三边对应相等的两个三角形是全等三角形可证，再根据全等三角形的性质可由两边对应相等以及它们的夹角相等的两个三角形全等可证，即可得出结论． 【详解】证明：连接    在与中， ， ， ，且、分别是和的中点， ,， 即， 在与中 ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，灵活根据条件选择恰当的判定方法，证明两个三角形全等是解题的关键． 12.（2024·重庆一外入学）如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．根据题意，连接，由垂直平分得到平分，，则，即可证明，则，即可得到的长． ，通过等边代换计算即可． 【详解】连接，如图： ∵垂直平分， ∴ 又∵平分，， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为： 13.（2025·吉林四平期末）如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意证明，进而根据证明，即可求解； （2）连接，由（1）证明可得，，证明，得出，进而即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ． （2）连接， 由证明可得， ， 在和中， ． ， ， ．    【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 14.（2025·江苏泰州期末）中，，，点从点以的速度沿着射线方向平移，到点停止平移，同时，点也以的速度从点沿着射线平移，到点停止平移． (1)如图，求证：； (2)在直线上一定存在一个点，使和的面积始终相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中作出点； (3)将沿着翻折至． 若，，则 ______（2）中所作的点填“经过”或“不经过”，此时，的度数为______； 探索、、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)经过，； 或，理由见解答过程． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，点的平移，图形的翻折变换及其性质，熟练掌握点的平移，全等三角形，图形的翻折变换及其性质是解决问题的关键． （1）由点，点的平移得，进而可依据“”判定和全等 （2）利用尺规作图，作的平分线交于点即可； （3）先求出，由翻折的性质得，，则，由此得经过点；先求出，再由三角形外角性质得，进而可得出的度数； 依题意有以下两种情况：（Ⅰ）当点在上时，点在的下方，由三角形的外角性质得，由翻折的性质得，再根据即可得出、、之间的数量关系；（Ⅱ）当点在上时，点在的上方，由三角形的外角性质得，由翻折的性质得，再根据即可得出、、之间的数量关系，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图所示： 由点，点的平移得：， 在和中， ， ； （2）解：以点为圆心，以适当的长为半径画弧交于点， 分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点， 作射线交于点，则点为所求，如图2①所示： 理由如下： 由作图可知：， 在和中， ， ， ， 由（1）可知：， ， 当点在上，点在上时，如图2②所示： 此时， ； 当点在上，点在上时，如图2③所示： 此时， ， 综上所述：点为所求作的点； （3）①解：经过（2）中所作的点，此时的度数为，理由如下： 如图3所示： 由（2）可知：，， ， ， ， 在中，， 由翻折的性质得：，， ， 经过点； 在中，， ， ， 是的外角， ， ， 故答案为：经过；； ②、、之间的数量关系是：或，理由如下： 依题意有以下两种情况： （Ⅰ）当点在上时，点在的下方，如图所示： 由三角形的外角性质得：， 由翻折的性质得： ， ， ， 即； （Ⅱ）当点在上时，点在的上方，如图所示： 由三角形的外角性质得：， 由翻折的性质得：， ， ， ． 15.（2025·河南郑州期末）学完三角形和图形的轴对称相关知识后，老师出示了以下问题： (1)【基础探究】如图（1），点分别在线段上，与相交于点，，若要使，需要添加一个条件．请从“条件：①；②；③”中选择一个你认为正确的条件，说明． (2)【类比迁移】如图（2），在中，，，分别平分 和，，交于点．小明发现，图（1）中，若连接，则和关于线段所在的直线成轴对称图形，但图（2）不是轴对称图形，于是小明过点作的对称点，构造出轴对称图形．得出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． (3)【拓展应用】如图（3），点是平分线上的一点，、分别是、边上的动点，若使，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)选择条件②，见解析 (2)①②④ (3)或 【分析】本题考查选择合适的条件证明三角形全等，全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）选择条件②，利用证明即可； （2）根据轴对称的性质，得到，，证明，进而得到，根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，求出，推出，再证明，进而推出，根据全等三角形的面积相等，推出即可； （3）作于点，于点，证明，得到，分分别与重合以及与不重合，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：选择条件②，证明如下： 在和中， ， ∴； （2）解：过点作的对称点， 则：，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴；故②正确； ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴；故①正确； ∵，， ∴，， ∴；故④正确； 无法得到，故③错误； 综上：正确的是①②④； （3）作于点，于点，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 当分别与重合时，满足， 则：， 当与不重合时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【变式1】（2024·重庆西大附中期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵，， A、在和中， ， ∴，故选项A不符合题意； B、由，不能判定，故选项B符合题意； C、由，能判定，故选项C不符合题意； D、由，能判定，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式2】（2025·福建模拟）如图是一个风筝设计图，其主体部分关于所在的直线对称（四边形，），与相交于点，，且，则下列推断不正确的是（   ）    A． B． C． D．是等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．由对称可得：，，，，进而得到是等腰三角形，即可判断． 【详解】解：其主体部分关于所在的直线对称（四边形，）， ，，，， 是等腰三角形， 故A、B、C正确；D不正确； 故选：D． 【变式3】（2025·河南洛阳期末）如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，进而根据等腰三角形“三线合一”性质得，，据此可对选项A，进行判断；再根据，得，据此可对选项D行判断；由于根据已知条件无法判定，由此即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， ， 是等腰三角形， 又是等腰的顶角的平分线， ，， 故选项A，B正确，不符合题意； ， 是等腰三角形， 又， ， 故选项D正确，不符合题意； 根据已知条件无法判定， 选项C错误，符合题意． 故选：C． 【变式4】（2024·内蒙古通辽期中）如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，利用证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵， 在和中， ∴， ∴． 【变式5】（2024·内蒙古通辽期中）如图，已知为的平分线，于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点D作交于点F，首先根据角平分线的性质得到，然后求出，然后证明出，得到； （2）首先证明出，得到，然后证明出，得到，然后根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点D作交于点F ∵为的平分线，于点E， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）∵为的平分线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $