精品解析：浙江省北斗联盟2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

2025学年第一学期杭州北斗联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确选项. 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合，利用补集的定义可得出集合. 【详解】因为全集，，故. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 该命题的否定为：，. 故选：D. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】上单调递增，在上单调递减，． 故选：A． 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式求的解，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】由或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法可得答案. 【详解】令，则， 所以， 即. 故选：B. 6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 7. 已知函数图象恒过定点，且点在函数图象上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由得，又，所以定点为，从而， ， 当且仅当时等号成立. 故选：C. 8. 已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知在R上为奇函数，令，结合已知和单调性的定义及奇函数的对称性得在R上单调递减，并将不等式化为求解集. 【详解】由题设，即在R上为奇函数，令， 上，， 所以，故在上单调递减，且， 又，即在R上为奇函数， 综上，在R上单调递减， 由，则， 所以， 所以不等式的解集为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对但不全的得部分分. 9. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】 （1）可举反例证明不正确.（2）因为成立，则.（3）为正数，为负数时不成立.（4）因为，则，所以. 【详解】A选项：，，但是，A不正确； B选项：因为成立，则，那么，B正确； C选项：，但是，C不正确； D选项：因为，则，又，所以，D正确. 故选：BD 【点睛】此题考查不等式比较大小，一般可通过特值法证伪判错，属于简单题目. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若集合，，则 D. 函数的单调递增区间为 【答案】BD 【解析】 【分析】由同一函数的定义域和对应法则相同判断A，由抽象函数的定义域求法判断B，解分式及一元二次不等式求集合判断C，由二次函数、指数函数的性质及复合函数单调性判断D. 【详解】A：由的定义域为R，的定义域为，不是同一函数，错， B：由的定义域为，对于有，则定义域为，对， C：由，则， 由，则，显然，错， D：由，在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递增，故的单调递增区间为，对. 故选：BD 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，，则下列叙述中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 的值域是 D. 在上是增函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知有，结合指数函数、分式函数的单调性判断单调性，应用奇偶性定义判断的奇偶性，进而求其值域，再由函数新定义确定的值域和奇偶性. 【详解】由， 又在上为增函数且，在上单调递增， 所以在为增函数，D对， ， 且的定义域为，即为奇函数，A对， 由，则，C对，B错. 故选：ACD 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的定义直接计算. 【详解】由已知， 则， 故答案为：. 13. 求值：______. 【答案】0 【解析】 【分析】应用指数幂的运算及根式与指数幂关系化简求值. 【详解】由. 故答案为：0 14. 已知，，且，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题设，结合重要不等式有，注意等号成立条件，从而得到，令得，解一元二次不等式求，即可得. 【详解】由题设，且，则， 由，当且仅当时取等号，则， 令，则，整理得， 所以（舍）或，即， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再求； （2）先求出，假设，分类讨论，列不等式即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，而或， 所以或； 【小问2详解】 因为或，所以， 若， 当时，此时有，解得， 当时，要使，只需，解得， 综上：，则，要使得，则， 即实数的取值范围. 16. 函数是定义在上的奇函数，且. （1）确定的解析式； （2）证明在上的单调性； （3）解关于t的不等式. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义与性质求解 （2）由函数的单调性的定义证明 （3）由函数奇偶性和单调性，转化不等式后再求解 【小问1详解】 根据题意，函数是定义在上的奇函数， 则， 解得； 又由，则有， 解得； 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数， 所以， 【小问2详解】 由（1）的结论，， 设， 则 . 又由， 则，，，， 则，即， 则函数在上增函数. 【小问3详解】 由（1）（2）知为奇函数且在上为增函数. ， 解得：， 即不等式的解集为. 17. 某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：年平均盈利额）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. （1）设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式 （2）哪种方案较为合理？并说明理由. 【答案】（1） （2）方案二合理，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用已知条件即可写出与的函数关系式； （2）分别写出两种方案的总利润以及所需要的时间，即可得出结论. 【小问1详解】 根据题意可得， 则方案一中与的函数关系式为：； 【小问2详解】 方案一：， 当时，总盈利额取得最大值90万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：由（1）可得年平均利润额为 ， 当且仅当即时等号成立， 即当时，年平均盈利额最大为20万元，此时总盈利额万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 综上，两种方案获利都是110万元，但方案一需要5年，而方案二仅需要4年， 故方案二合理. 18. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若的最小值为，求的值； （3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用指数函数的值域，结合二次函数求出值域. （2）按分类，结合指数函数的值域及二次函数求出取得最小值的. （3）由（2）的结论，等价变形不等式，分享参数并构造函数，求出最小值即可得解. 【小问1详解】 当时，，而， 所以的值域为. 【小问2详解】 令，函数， 当，即时，在上递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上递减，在上递增， 所以，而，解得， 所以最小值为时，. 【小问3详解】 由（2）知，， 不等式， 设，依题意，有实数解， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间. （1）求函数的所有“保值”区间； （2）判断函数是否存在“保值”区间，并说明理由； （3）已知函数有“保值”区间，当取得最大值时求的值. 【答案】（1）； （2）不存在，理由见解析； （3）3. 【解析】 【分析】（1）由函数最小值确定的范围，再借助单调性建立方程，求出“保值”区间. （2）假定存在“保值”区间，借助单调性建立方程，判定方程解的情况即可. （3）由“保值”区间的定义建立方程，再利用韦达定理结合二次函数最值求解即得. 【小问1详解】 函数在R上的值域为，令在的值域为， 则，函数在上单调递增，因此，而，解得， 所以函数的所有“保值”区间为. 【小问2详解】 函数在上单调递增， 若是在的保值区间，则， 是方程同号的两个不等实根， 由，得，，则方程无实根， 所以函数不存在“保值”区间. 【小问3详解】 函数在上单调递增， 依题意，，是方程同号的两个不等实根， 即是关于的方程同号的两个不等实根， ，解得或，于是， ， 当且仅当时取等号， 所以当取得最大值时，的值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期杭州北斗联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确选项. 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数图象恒过定点，且点在函数图象上，则最小值为（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 8. 已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对但不全的得部分分. 9. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C 若集合，，则 D. 函数的单调递增区间为 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，，则下列叙述中正确的是（ ） A. 奇函数 B. 是偶函数 C. 的值域是 D. 在上是增函数 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______． 13. 求值：______. 14. 已知，，且，则的最小值为_____. 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 函数是定义在上的奇函数，且. （1）确定的解析式； （2）证明在上的单调性； （3）解关于t的不等式. 17. 某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：年平均盈利额）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. （1）设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式 （2）哪种方案较为合理？并说明理由. 18. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若的最小值为，求的值； （3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数的取值范围. 19. 对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间. （1）求函数的所有“保值”区间； （2）判断函数是否存在“保值”区间，并说明理由； （3）已知函数有“保值”区间，当取得最大值时求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $