精品解析：福州市九校联考2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1. 直线的斜率是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】把直线方程转化为斜截式，可得直线的斜率. 【详解】由. 所以直线的斜率为. 故选：B 2. 圆的圆心是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的一般方程可直接得到圆心坐标. 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为. 故选：A. 3. 已知向量，若与垂直，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系可得，进而根据坐标运算以及模长公式即可求解. 【详解】由于与垂直，所以，所以， 故， 故选：D 4. 如图，在四面体中，，，．点在上，且为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合空间向量线性运算法则利用基底表示空间向量. 【详解】连接，如图： . 故选：B. 5. 过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】讨论直线在坐标轴上的截距为0和不为0两种情况进行求解即可. 【详解】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为， 因为直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即； 若直线在坐标轴上的截距不为0，设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线方程为，即. 故所求直线方程为或. 故选：D. 6. 已知直线l的方向向量为，点在直线l上，则点到直线l的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积的几何意义结合勾股定理求解即可 【详解】由已知得， 因为直线l的方向向量为， 所以点到直线l的距离为 故选：D 7. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T．若PT＝PB，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设P(x，y)，根据PT＝PB，结合两点间距离公式以及勾股定理求解即可. 【详解】设P(x，y)，∵PT＝PB，∴PT2＝2PB2 ∴ 整理得：. 故选：C 【点睛】本题主要考查了求动点的轨迹方程，涉及了两点间距离公式的应用，属于基础题. 8. 如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，因为位于的同侧，设关于平面的对称点为，根据求解. 【详解】以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 设A关于平面的对称点为，， 则，． 设平面的法向量，则， 令，则，，所以， 所以A与到平面的距离， 即 ①． 又，所以，即 ②． 由①②得，由可得，，， 所以， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号， 所以的最小值为． 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，直线：，则（ ） A. 当时，与的交点是 B. 直线与都恒过 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，直接求交点；对B，转化为两直线交点求解；对C、D，根据两直线垂直、平行的系数关系求解. 【详解】对于A：当时，， 由解得，所以的交点是，A正确； 对于B：可化为，恒过与的交点， 可化为恒过与的交点，B正确； 对于C：若，则，解得，C正确； 对于D：若，则，解得或， 又当时，与重合，所以，D错误. 故选：ABC. 10. 已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 向量与、垂直 B. 向量与、共面 C. 若与分别是异面直线与的方向向量，则其所成的角的余弦值为 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间垂直的坐标表示可判断A选项；利用共面向量的基本定理可判断B选项；利用空间向量法可判断C选项的正误；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，，，故、不垂直，A错； 对于B选项，设，则， 所以，，解得，即，B对； 对于C选项，因为， 所以，直线异面直线与的余弦值为，C对； 对于D选项，向量在向量上的投影向量，D错. 故选：BC. 11. 已知正方体的棱长为1，点满足，则（ ） A. 若，则 B. 若，则平面 C. 若，则的最小值为 D. 若，则与平面的所成角为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，点为中点，连接和，易知；对于B选项，点在线段上运动，，，，四点共面，平面和平面为同一平面；对于C选项，扫过的平面为平面，扫过的平面为平面，将这两个平面独立出来展开成同一个平面即可求解；对于D选项，点在以为圆心半径为的圆上运动，扫过的图形为圆锥面，据此即可求解. 【详解】对于A选项，因为，所以易知点为中点， 如图，连接和，由正方形易知， 因为点是的中点，所以，故A选项正确； 对于B选项，由题意得点在线段上运动， 由正方体的性质可知，所以，，，四点共面， 因为点，所以点平面， 所以平面和平面为同一平面， 所以在平面，故B选项错误； 对于C选项，由题意得扫过的平面为平面， 扫过的平面为平面，所以将这两个平面独立出来展开成同一个平面， 易知当点、、三点共线时最短， 所以，故C选项正确； 对于D选项，由和易知点在以为圆心半径为的圆上运动， 因为平面，所以扫过的图形为圆锥面， 所以，且为圆锥的母线， 因为圆锥的母线与底面的夹角是恒定的， 所以与平面的所成的线面角恒定， 因为，所以，故D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于扫过的平面为平面，扫过的平面为平面，点在以为圆心半径为的圆上运动的分析. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知点，，则AB的中点坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据中点公式计算. 【详解】因为， 所以由中点公式可得的中点坐标为. 故答案为：. 13. 已知圆，直线，，则直线截圆所得弦长的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线所过定点，判断定点在圆内，数形结合知直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，利用斜率求出参数m，即可由勾股定理求出此时的弦长. 【详解】直线l可化， 令，所以直线l恒过定点， 易知点A在圆C内，所以直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时， 圆，圆心，半径为5， ，又，则，解得， ， 直线截圆所得弦长的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题考查直线过定点问题、求直线截圆所得弦长，属于中档题. 14. 曲线，A，B是曲线C上任意两点，则下列说法正确的有______． ①曲线C的图象关于原点对称；②的最大值 ③直线AB与曲线C没有其它交点；④曲线C所围成的面积为 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据题意，作出曲线的图象，再数形结合依次讨论各选项求解即可． 【详解】对于曲线C，当，时，曲线C表示， 即， 表示以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分（包括坐标轴上的点）； 当，时，曲线C表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第四象限的部分（包括坐标轴上的点）； 当，时，曲线C表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第二象限的部分（包括坐标轴上的点）； 当，时，曲线C表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第三象限的部分（包括坐标轴上的点）； 其图象如图所示， 对于①，，将换成，换成得 ，即，曲线方程不变， 结合上面画出的曲线图象，所以曲线C关于原点对称，①正确； 对于②，曲线上两点之间最大距离，如图中两点间的距离， 其中联立与得，故， 同理可得，故，故②正确； 对于③，不妨设直线的方程，此时不妨设， 此时与曲线C有其它交点，故③错误； 对于④，曲线围成的图形的面积为4个半圆与1个正方形的面积之和， 其中4个半圆的半径均为，正方形的边长为， 其面积为，故④正确； 故答案为：①②④． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行六面体中，，，，. （1）以，，为基底向量，表示向量、； （2）求证：； （3）求长. 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用数量积求长度. 【小问1详解】 在中，根据空间向量的减法运算可得， ； 【小问2详解】 由（1）， 所以，则； 【小问3详解】 由（1）， 所以 ， 所以，即的长为 16. 已知圆的方程为，点在圆内. （1）求圆的圆心和半径； （2）求实数的取值范围； （3）求过点且与圆相切的直线l的方程. 【答案】（1）圆心，半径 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用配方法将圆的方程化成标准方程，可明确圆心和半径. （2）根据点在圆内列式，可求的取值范围. （3）分所求直线有无斜率，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求直线的方程. 【小问1详解】 由. 所以圆心，半径. 【小问2详解】 因为点在圆内，所以. 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 如图： 当过点的直线不存在斜率时，其方程为， 此时圆心到直线的距离为2，直线与圆相切； 当过点的直线存在斜率时，设斜率为，则直线：，即， 因为直线与圆相切，所以， 所以切线方程为：即. 综上，过点与圆相切的直线为：或. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，是上的点，且. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面夹角正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，利用线线平行证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系。利用空间向量证明线面垂直. （3）利用空间向量求二面角的三角函数值. 【小问1详解】 连接，交于点，连接，如图： 因为底面为正方形，所以为中点，又为中点， 所以，平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因平面，底面为正方形， 所以两两垂直. 故可以为原点建立如图空间直角坐标系. 不妨设，则，，，，. 因为为中点，所以. 因为在上，且，所以. 所以，，， 因为，. 所以，，又平面，， 所以平面. 【小问3详解】 由（2）得，平面的一个法向量为； 设平面的法向量为， 则，令，可得. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以. 18. 如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2. （1）求证：. （2）求直线和平面所成角的正弦值. （3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，. 【解析】 【分析】（1）推导出，，从而，进而，由此得到平面，从而能证明； （2）取中点，连接，，再由，，建立空间直角坐标系，利用法向量能求出直线和平面所成角的正弦值； （3）线段上存在点适合题意，设，其中，利用向量法能求出线段上存在点适合题意，且. 【详解】（1）因为在中，，分别为，的中点， 所以，. 所以，又为的中点，所以. 因为平面平面，且平面， 所以平面， 所以. （2）取的中点，连接，所以. 由（1）得，. 如图建立空间直角坐标系. 由题意得，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为. 则 即 令，则，，所以. 设直线和平面所成的角为， 则. 故所求角的正弦值为. （3）线段上存在点适合题意. 设，其中. 设，则有， 所以，，，从而， 所以，又， 所以 令， 整理得.解得. 所以线段上存点适合题意，且. 【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 19. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作. （1）已知点和点，直线：，求和. （2）已知圆C：和圆E：. （i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系； （ii）若，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线为，直线为，证明：. 【答案】（1），； （2）（i）内切；（ii）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接计算，设是上一点，分类讨论计算出，再确定最小值得； （2）（i）求出圆心坐标，根据切比雪夫距离的定义，由或求得参数，并检验是否满足题意，然后根据圆心距判断两圆位置关系； （ii）由已知求出，得出两点坐标，设直线方程为，，直线方程代入圆方程后，应用韦达定理得，从而证明，得直线与关于轴对称，然后由直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系，且，则其最小值也相等，从而证得结论成立， 【小问1详解】 ，，，所以， 直线方程为，是上一点，， 当，即时，， 当，即或时，， 所以的最小值是2，所以； 【小问2详解】 （i）圆标准方程是，圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为， ， 若，则或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 此时，，因此两圆内切； 若，则或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 此时，，两圆内切． 所以圆C和圆E内切； （ii）圆E与x轴交于M，N两点， 则方程，即（*）有两个不等的实数解， 所以，解得，又，所以， ，方程（*）的两解为，则， 由韦达定理有， 所以，解得或（舍去）， 时方程（*）为，解得，，交点为和， 点M在圆C外，则，因此，， 设直线的方程为，设， 由得， ，， ，， ， 所以，因此直线关于轴对称， 直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系， ，， 即， 所以的最小值与的最小值相等，即． 【点睛】方法点睛：本题第（2）小题的第（ii）问，证明点到两条直线的“切比雪夫距离”相等，如果单纯从“切比雪夫距离”角度考虑，这个“距离”没法求解，换个角度，在直线与圆相交问题中，利用韦达定理证得直线的斜率是相反数，它们关于轴对称，而点在轴上，因此我们可得出这两条直线上的点与点的“切比雪夫距离”所组成的集合相等，从而最小值相等，最小值即为点线间的“切比雪夫距离”，完成证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1. 直线的斜率是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 圆的圆心是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若与垂直，则（ ）. A. B. C. D. 4. 如图，在四面体中，，，．点在上，且为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 已知直线l的方向向量为，点在直线l上，则点到直线l的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点B(3，0)，过动点P引圆A切线，切点为T．若PT＝PB，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 已知直线：，直线：，则（ ） A. 当时，与的交点是 B. 直线与都恒过 C. 若，则 D. 若，则或 10. 已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 向量与、垂直 B. 向量与、共面 C. 若与分别是异面直线与方向向量，则其所成的角的余弦值为 D. 向量在向量上投影向量为 11. 已知正方体的棱长为1，点满足，则（ ） A. 若，则 B. 若，则平面 C. 若，则的最小值为 D. 若，则与平面的所成角为定值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知点，，则AB的中点坐标为__________. 13. 已知圆，直线，，则直线截圆所得弦长的最小值为__________. 14. 曲线，A，B是曲线C上任意两点，则下列说法正确的有______． ①曲线C的图象关于原点对称；②的最大值 ③直线AB与曲线C没有其它交点；④曲线C所围成的面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行六面体中，，，，. （1）以，，为基底向量，表示向量、； （2）求证：； （3）求的长. 16. 已知圆的方程为，点在圆内. （1）求圆的圆心和半径； （2）求实数的取值范围； （3）求过点且与圆相切的直线l的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，是上的点，且. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面夹角正弦值 18. 如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2. （1）求证：. （2）求直线和平面所成角的正弦值. （3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作. （1）已知点和点，直线：，求和. （2）已知圆C：和圆E：. （i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系； （ii）若，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线为，直线为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $