精品解析：云南省昆明市外国语学校禄劝分校(禄劝民族中学)2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

昆明市外国语学校禄劝分校（禄劝民族中学） 2025~2026学年高二上学期期中考试数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第3页，第I卷第3页至第6页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试 用时120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得出集合B，再应用交集的定义计算即可. 【详解】因为集合，集合， 则. 故选：B. 2. 设，向量，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率共线的坐标运算可得等价于，结合包含关系分析充分必要条件. 【详解】因为向量，， 则等价于，即， 显然是的真子集，所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以，故， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为7． 故选：D. 4. 已知曲线的焦距为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程即可求解. 【详解】由题意知，该曲线的半焦距为， 若该曲线为椭圆， 则或， 可得(舍去)或， 若该曲线为双曲线， 则，可得(舍去)， 综上，. 故选：B 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用抽象函数求定义域的相关概念，即可求解. 【详解】由，得，且，所以，因此， 故函数的定义域为. 故选：D. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求出的值，再由奇函数化简所求即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 所以，解得， 又因为，， 所以， 所以， 故选：B 7. 如图，在正三棱锥中，点G为的重心，点M是线段上的一点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理求解. 【详解】 如图，在正三棱锥中，因为点G为的重心，连接并延长交于点, 所以， 又点M是线段上的一点，且， 所以， ， 故选：A. 8. 已知函数的最小正周期为，且，则函数在区间上零点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得函数的解析式，结合三角函数的图象与性质，即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，可得，即， 又因为，即，所以，所以， 由，可得， 令，解得或，即或， 即函数在区间上的零点个数为2个； 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据向量的夹角公式计算即可；对于BC，利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可；对于D，根据向量在向量上的投影向量为计算即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误，． 故选：BC. 10. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 两个圆的公切线有2条 B. 的取值范围为 C. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D. 到两个圆的公共弦所在直线的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意确定圆心及半径，根据两圆位置关系逐项判断即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 将圆化为，可知圆心为，半径， 对于A，易知，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误； 对于B，易知的最小值为，最大值为， 所以｜PQ｜的取值范围为，故B正确； 对于C，显然两圆圆心都在直线上， 因此直线为两圆对称轴，故C正确； 对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误. 11. 已知双曲线的左、右顶点分别为是上异于的一个动点，记直线的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. C. 当时， D. 直线与恰有一个公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据离心率的定义计算；B设，利用斜率公式计算即可；C设直线的倾斜角分别为，利用计算即可；D联立直线与双曲线方程即可. 【详解】由题意可知，，则， 则离心率为，故A正确； 设，则， 因，则，故B错误； 当时，，设直线的倾斜角分别为， 则，故C正确； 联立与得，，故D正确. 故选：ACD 第I卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第I卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数的共轭复数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为： 13. 已知是直线l上一点，且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由直线的法向量可求得直线的斜率，再由点斜式方程可得解. 【详解】因为是直线的法向量， 所以直线的斜率， 又点是直线上点，所以直线的方程为， 整理得. 故答案为：. 14. 已知椭圆：，过的右焦点作轴的垂线交于，两点，，则的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用的横坐标计算出，进而可得，，进而求解离心率. 【详解】将代入椭圆方程得， 整理得，解得， 因此，点和的坐标分别为和， ，， 则， 因此. 故答案为： 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式对已知等式进行化简可得，又 ，即可得解． （2）利用平面向量数量积的运算可得，进而由余弦定理即可求解． 【小问1详解】 由已知， 所以， 所以， 因为，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 由已知可得，所以． 因为， 所以，所以． 16. “国庆小长假”即将到来，某市举办了主题为“旅游文化周”的活动为了了解该市关注“旅游文化周”活动的市民的年龄段分布，该市旅游局随机抽取了名年龄在且关注“旅游文化周”的市民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计市民年龄的平均数、第25百分位数和众数；（同一组数据用该区间的中点值代替） （2）若按照分层抽样的方法从年龄在，的市民中抽取人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取人反馈，求进行反馈的市民中至少有人的年龄在的概率. 【答案】（1）平均数为 ，第25百分位数，众数为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数、百分位数、众数的公式计算即可； （2）利用列举法计算古典概型即可. 【小问1详解】 年龄在的频率为：， 故估计该市被抽取市民的年龄的平均数为： ， 第25百分位数： 众数为； 【小问2详解】 由题意得被抽取的人中，有人年龄在，分别记为，，，； 有人年龄在，分别记为，． 记表示抽取，两人， 则“抽取人进行反馈”包含的基本事件为，，，，，， ，，，，，，，，，共种， 其中事件“至少有人的年龄在”包含的基本事件为，，，，， ，，，，共种， 故该事件发生的概率为． 17. 已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动. （1）求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程. 【答案】（1），的轨迹是以为圆心，半径为1的圆. （2）. 【解析】 【分析】（1）设中点为，且，根据中点公式，求得，将其代入圆的方程，即可求解； （2）当直线斜率不存在时，得到直线方程，结合圆的弦长公式，不满足题意；当直线斜率存在时，设方程为，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由圆，可得圆心为，半径长为2， 设线段中点为，且， 因为点的坐标是，且是线段的中点， 可得，解得， 因为点在圆上上运动，即， 所以，所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆. 【小问2详解】 解：当直线的斜率不存在时，过点的直线方程为， 则圆心到的距离为，所以弦长为，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即 因为过点的直线被曲线截得的弦长为， 设圆心到直线的距离为，可得，解得， 则，解得，所以直线的方程为. 18. 三棱台中，若平面，；，，，分别是，中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：以点为原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∴，设平面的一个法向量为， ∵，， 令，∴，∵，∴， 又∵平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出平面的一个法向量为，再证明即可； （2）求出平面的一个法向量，再利用线面角的公式求解即可； （3）利用空间向量求出点到平面的距离为，再求出的面积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， 设平面的一个法向量为，则， 令，设直线与平面所成角为θ， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 ，平面的法向量为， 设点到平面的距离为d，， 又， ，. 19. 已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于A，B两点.当时，. （1）求抛物线的方程； （2）证明：无论如何变化，是定值（为坐标原点）； （3）点，直线AM与交于另一点，直线BM与交于另一点，证明：与的面积之比为定值. 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知，， 则， . （3）证明：设，， 直线AC的方程：，直线BD的方程：， 由，得， ，同理，， ， 由（2）知，则， . 【解析】 【分析】（1）设直线，，，联立直线与抛物线的方程，由抛物线的性质可得弦长的值，由此可得的值，进而求出抛物线的方程. （2）由（1）可知，，将韦达定理代入，可得出答案. （3）设直线AC的方程：，直线BD的方程：，分别与抛物线联立求出，，由（2）求出，则，再由三角形的面积公式表示出与的面积之比，即可得出答案. 【小问1详解】 根据题意直线的斜率不为0，可设直线，，，代入抛物线方程得：， ，，， ， 当时，，， ，抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市外国语学校禄劝分校（禄劝民族中学） 2025~2026学年高二上学期期中考试数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第3页，第I卷第3页至第6页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试 用时120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，向量，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 4. 已知曲线的焦距为，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 如图，在正三棱锥中，点G为的重心，点M是线段上的一点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的最小正周期为，且，则函数在区间上零点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 10. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 两个圆的公切线有2条 B. 的取值范围为 C. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D. 到两个圆的公共弦所在直线的距离为 11. 已知双曲线的左、右顶点分别为是上异于的一个动点，记直线的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. C. 当时， D. 直线与恰有一个公共点 第I卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第I卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数的共轭复数______． 13. 已知是直线l上一点，且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为______． 14. 已知椭圆：，过的右焦点作轴的垂线交于，两点，，则的离心率为________. 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）若，求的值． 16. “国庆小长假”即将到来，某市举办了主题为“旅游文化周”的活动为了了解该市关注“旅游文化周”活动的市民的年龄段分布，该市旅游局随机抽取了名年龄在且关注“旅游文化周”的市民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计市民年龄的平均数、第25百分位数和众数；（同一组数据用该区间的中点值代替） （2）若按照分层抽样的方法从年龄在，的市民中抽取人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取人反馈，求进行反馈的市民中至少有人的年龄在的概率. 17. 已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动. （1）求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程. 18. 三棱台中，若平面，；，，，分别是，中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 19. 已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于A，B两点.当时，. （1）求抛物线的方程； （2）证明：无论如何变化，是定值（为坐标原点）； （3）点，直线AM与交于另一点，直线BM与交于另一点，证明：与的面积之比为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $