精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市托克托县新营子镇中学2025-2026学年高三上学期11月月考数学试题

2025-2026年度高三年级第一学期考试 数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再利用补集和交集的运算求解. 【详解】因为，所以或， 又因为，所以． 故选：B. 2. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，由，得，而， 所以a，b，c的大小关系是. 故选：D 3. 已知，则的最小值为（ ） A. 0 B. 2 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用基本不等式可得答案. 【详解】因为， 所以，  当且仅当  即时取等号. 故的最小值为8. 故选：D 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意有，解出即可求解. 【详解】由题意有：，所以， 故选：B. 5. 在平面直角坐标系中中，角以为始边，终边与单位圆交点的纵坐标是，把的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件求出，再根据与的关系得出，进而求出，最后利用二倍角的余弦公式求解. 【详解】根据三角函数的定义可得：， 因为把的终边绕端点逆时针方向旋转弧度后得到， 所以， 所以， 因为角终边与单位圆交点的纵坐标是， 所以角的终边在第一象限或第二象限， 所以，即， 当时， 所以， 当时，所以， 综上所述，， 故选：B. 6. 已知三个内角所对的边分别为，点是线段上一点，且平分，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平分，即，进而得，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】因为平分，所以， 又，所以， 即. 故选：B. 7. 氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体.500g氡气经过散发后的剩余量（单位：g）与散发时间（单位：天）的关系为，其中为常数.在此条件下，已知500g氡气散发后的剩余量从250g降到208.5g时，散发时间增加了1天，则500g氡气散发后的剩余量从200g降到166.8g时，散发时间增加了（ ） A. 0.5天 B. 1天 C. 2天 D. 5天 【答案】B 【解析】 【分析】由题意列出方程求出，再由所给函数求解即可. 【详解】由题意可知，， 即， 所以， 则500g氡气散发后的剩余量从200g降到166.8g时，散发时间增加了 （天）， 故选：B 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意整理可得，放缩可得，构造函数，结合单调性可得，即可判断AB；举反例判断CD即可. 【详解】由题意可知：， 因为， 若，即， 可得， 因为，所以，则， 又因为，所以， 构造，可得， 因为在内单调递增，则在内单调递增， 可得，即， 所以，故A正确，B错误； 例如，则，， 满足，此时，故CD错误； 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式正确的是（ ） A. B. 的最小值是4 C. 若，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据，，结合不等式的性质可判断A；根据对勾函数的单调性及正弦函数的值域可判断B；利用基本不等式可判断C；利用对数函数的单调性可判断D. 【详解】对于A：，， 因为，所以，即，故A正确； 对于B：，在上单调递减， 所以当时，取得最小值为5，故B错误； 对于C：因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以，故C正确； 对于D：，即，，解得， 即，当时，， 又因为为增函数，所以，故D错误. 故选：. 10. 若定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件，分析函数 的单调性和对称性，再根据 的性质逐项分析即可. 【详解】因为 是偶函数，所以 的图像关于直线 对称， 即当 时， 单调递增，当 时，单调递减， 对于A， ，错误； 对于B， ，正确； 对于C， ，正确； 对于D， ，正确； 故选：BCD. 11. 已知函数在上的最大值为，函数有且仅有三个不同的零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题设条件，利用二次函数的性质，直接求出的值，即可判断出A和B的正误，结合的图象，将问题转化成与有且仅有3个交点，数形结合，即可求解. 【详解】令，其对称轴为，图象开口向上， 且，则， 因为函数在上的最大值为， 若，即，则在区间上单调递增，且， 所以当时，，所以在区间上单调递增， 又，所以函数在上的最大值不为，不合题意，所以， 若，即， ①当，即，此时， 又，由二次函数的性质知，不合题意， ②当，即，由题有， 解得，所以， 此时，由二次函数的性质知，，当且仅当时取等号， 要使函数在上的最大值为，则，即， 若，即，此时在区间上单调递减， 要使函数在上的最大值为， 则，解得，无解， 综上所述，，所以A错误，B正确，的图象如图所示， 由，得到，令，由题知与有且仅有3个交点， 令，解得或， 由图知，与有且仅有一个交点， 由，消得到，由， 得到，由图知不合题意，所以，故C正确，D错误， 故选：BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】 13. 已知向量，满足，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律可得，将已知条件代入有，即可求. 【详解】由，两边平方并展开得， 所以，又，， 所以，则（负值舍）. 故答案为： 14. 已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得有两个不同的实根，分，，利用参变分离得，根据函数单调性分析求解即可. 【详解】因为，所以， 时，，无极值点，不符合题意； 时，恰有两个极值点，则方程有两个不同实根， 设，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 又时，，当时，，时，， 所以，解得， 当时，有两个变号零点（在零点的左右附近导函数值变号），符合题意． 故a的取值范围为． 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的最小值； （2）证明：. 【答案】（1）2 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式即可求解； （2）利用换元法将表达式化简，并结合指数函数值域以及不等式性质可得出证明. 【小问1详解】 由可得，即； 所以， 因为，当且仅当时，等号成立； 所以， 即的最小值为2. 【小问2详解】 令（其中为实数）， 因此可得; ; 又因为，所以， 因此， 即 16. 已知函数，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极大值，且极大值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减. （3）． 【解析】 【分析】（1）利用导数求得，可求切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论正负，从而求得的单调性， （3）由（2）可得极大值，再根据极大值小于0，求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， 当时恒成立， 在上单调递增，无极值. 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）当时恒成立，在上单调递增，无极值. 当时，在处取得极大值，极大值为. 令，解得， 所以的取值范围为. 17. 已知函数为数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2） 证：，， ， 又， ， ， ， ， 故. 【解析】 【分析】（1）利用，可求出的通项公式，注意检验是否满足即可得解； （2）由导数得，利用不等式放缩的原理得到，得到答案. 【小问1详解】 由题意知，的前项和， 当时，， 当时，， 经检验，满足， 的通项公式为； 【小问2详解】 略 18. 已知函数的图象经过点. （1）求的值； （2）若，求的取值范围； （3）设函数，若关于的方程在上有解，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入函数式可求出； （2）根据对数函数单调性及定义域列不等式组求解； （3）将问题转化为两个函数有交点，利用值域求解. 【小问1详解】 将点代入函数式得，即， 解得. 【小问2详解】 由（1） 所以， 则由得，解得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 方程，即， 所以关于的方程在上有解，即在上有解， 即在上有解， 所以函数与在上有交点， 令，则在恒成立， 所以函数在单调递增， 又，所以的值域为， 因为函数与在上有交点， 所以，即的取值范围为. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：； （3）证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助导数几何意义计算即可得； （2）令，则可构造函数，借助导数研究其单调性即可得证； （3）结合（2）中所得，可将所证不等式转化为证，从而只需令，结合导数研究函数的正负即可得. 【小问1详解】 ，则，又， 则曲线在点处的切线方程为， 化简得； 【小问2详解】 令， 令，则， 令， 则， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即， 故； 【小问3详解】 由（2）知在定义域内恒成立， 故只需证在上恒成立， 当时，只需证， 当时，只需证； 令， ， 则， 令， 则， 令， 则， 故在上单调递增，又， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 则在上单调递增，又， 故当时，，当时，， 即有当时，， 当时，，即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度高三年级第一学期考试 数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. 0 B. 2 C. 6 D. 8 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中中，角以为始边，终边与单位圆交点的纵坐标是，把的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知三个内角所对的边分别为，点是线段上一点，且平分，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体.500g氡气经过散发后的剩余量（单位：g）与散发时间（单位：天）的关系为，其中为常数.在此条件下，已知500g氡气散发后的剩余量从250g降到208.5g时，散发时间增加了1天，则500g氡气散发后的剩余量从200g降到166.8g时，散发时间增加了（ ） A. 0.5天 B. 1天 C. 2天 D. 5天 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式正确的是（ ） A. B. 的最小值是4 C. 若，则 D. 10. 若定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数在上的最大值为，函数有且仅有三个不同的零点，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 13. 已知向量，满足，，，则______． 14. 已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的最小值； （2）证明：. 16. 已知函数，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极大值，且极大值小于0，求a的取值范围． 17. 已知函数为数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 18. 已知函数的图象经过点. （1）求的值； （2）若，求的取值范围； （3）设函数，若关于的方程在上有解，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $