湖北省十堰市郧县桂花中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题

桂花中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1.下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.已知二次函数，那么该二次函数图象的对称轴是(    ) A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3.一元二次方程配方后可变形为(    ) A. B. C. D. 4.已知点与点关于原点对称点，则的值是(    ) A. 2 B. C. D. 4 5.若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为(    ) A. B. C. 5 D. 7 6.若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 7.如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是(    ) A. B. C. 且 D. 或 8.抛物线的顶点是(    ) A. B. C. D. 9.已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为(    ) A. 13 B. 11或13 C. 11 D. 12 10.小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 11.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    ) A. B. C. D. 12.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，当时，的取值范围是其中正确结论的个数是(    ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（12分） 13.分解因式：      . 14.若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是      . 15.设，是一元二次方程的两根，则      . 16.如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与x轴的一个交点，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④；⑤当或时，有，其中正确的是      填序号 三、解答题（72分） 17.计算： 18.解方程： ； 19.先化简，再求值：，其中 20.如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，求点E与点C之间的距离． 21.如图，一条城际铁路从A市到B市需要经过C市，A市位于C市西南方向，与C市相距40在千米，B市恰好位于A市的正东方向和C市的南偏东方向处．因打造城市经济新格局需要，将从A市到B市之间铺设一条笔直的铁路，求新铺设的铁路AB的长度．结果保留根号 22.已知关于x的一元二次方程 求证：方程有两个不相等的实数根； 如果方程的两实根为，，且，求m的值. 23.某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡AB，长度为20米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，CF的延长线交水平线AM于点D，求DC的长结果保留根号 24.某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，通过调查发现，这种水产品的销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克.现商店把这种水产品的售价定为单位：元/千克 填空：每月的销售量是______千克用含x的代数式表示； 求月销售利润单位：元与售价单位：元/千克之间的函数解析式； 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 25.如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为点B，其顶点为点 求抛物线的解析式． 在抛物线的对称轴上找一点使的周长最小，求出点M的坐标． 在的条件下，连接MD，点E是直线BC上的一个动点，过点E作交抛物线于点F，以M，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选： 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度与自身重合． 2.【答案】A  【解析】解：， 对称轴是：直线 故选： 根据抛物线的顶点式，可求抛物线的对称轴． 本题考查了二次函数的解析式与对称轴的关系，利用二次函数的性质解答． 3.【答案】A  【解析】解：， ， ，即， 故选： 先移项，然后两边配上一次项系数一半的平方可得． 本题主要考查解一元二次方程的基本技能，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和根据不同方程灵活选择方法是解题的关键． 4.【答案】B  【解析】解：点与点关于原点对称点， ，， 故选： 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得，，再计算即可． 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化规律． 5.【答案】A  【解析】解：是关于x的一元二次方程的一个根， ， 解得： 故选： 把代入得到关于m的方程，即可求解． 本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．. 6.【答案】B  【解析】解：当时，方程为， 解得， 当时，方程为， 根据判别式， 解得，且， 综上所述，k的范围为， 故选： 当时，方程为一元一次方程，有一个实数解．当时，根据判别式的意义可以解得k的范围，即可得出答案． 本题考查了方程根的判别式，解题关键是熟记判别式与方程解的关系． 7.【答案】D  【解析】解：抛物线对称轴为直线，且抛物线与x轴交于， 抛物线与x轴另一交点坐标为， 不等式的解集是或， 故选： 由抛物线的对称性及抛物线与x轴交点可得抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解． 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与不等式的关系． 8.【答案】D  【解析】解：抛物线的对称轴为： ， 当时， 抛物线的顶点坐标为 故选： 根据解析式先求出对称轴为直线，将代入二次函数解析式求出顶点坐标的纵坐标即可． 本题考查了二次函数的性质，灵活二次函数顶点坐标的求法是关键． 9.【答案】B  【解析】解：， ， 或， 即，， 一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长， 当底边长和腰长分别为5和3时，， 的周长为：； 当底边长和腰长分别为3和5时，， 的周长为：； 的周长为：11或 故选： 由一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，利用因式分解法求解即可求得等腰的底边长和腰长，然后分别从当底边长和腰长分别为5和3时与当底边长和腰长分别为3和5时去分析，即可求得答案． 此题考查了因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的概念以及三角形三边关系．此题难度不大，注意分类讨论思想的应用． 10.【答案】C  【解析】解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为， 故选： 设周瑜去世时年龄的十位数字是x，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿同”知十位数字+个位数字=个位数字的平方，据此列出方程可得答案． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11.【答案】D  【解析】解：在A中，一次函数图象经过一，二、三象限，可知，，二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，可知，，故选项A错误； 在B中，一次函数图象经过一，二、三象限，可知，，二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，可知，，，故选项B错误； 在C中，一次函数图象经过一，二、四象限，可知，，二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，可知，，故选项C错误； 在D中，一次函数图象经过二，三、四象限，可知，，，二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，可知，，故选项D正确； 故选： 根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题． 本题考查二次函数的图象和一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是根据函数图象判断a、b的正负情况． 12.【答案】B  【解析】解：由函数图象可知，当一次函数图象在二次函数图象上方时，自变量的取值范围为， 当时，，故①正确； 二次函数与x轴的一个交点坐标为当， 是方程的一个解，故②正确； 抛物线经过， ，， ，， 抛物线对称轴为直线， 函数开口向上， 离对称轴越远，函数值越大， ， ，故③正确； 由函数图象可知，当时，的取值范围是不是，故④错误， 故选： 根据函数图象即可判断①②④；求出对称轴，再由开口向上得到离对称轴越远函数值越大，即可判断③． 本题主要考查了一次函数与二次函数综合，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程，与不等式之间的关系，正确记忆相关知识点是解题关键． 13.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 先提取公因式，再运用公式法进行因式分解即可． 本题主要考查提取公因式与公式法的综合应用，熟练掌握提取公因式与公式法的方法是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：关于x的方程是一元二次方程， ， 解得：， 故答案为： 根据一元二次方程的定义，形如，且a、b、c是常数，解之即可． 本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：，是一元二次方程的两根， ，， ， 故答案为： 根据一元二次方程根与系数的关系求出和，然后整体代入即可求解． 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握，是解题的关键． 16.【答案】①③④  【解析】解：抛物线的顶点坐标， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ， ， 抛物线与y轴的交点在x轴上方， ， ，故①正确； 根据抛物线与x轴交于，对称轴为直线可得：抛物线与x轴的另一个交点为， 则当时，，故②错误； 抛物线的顶点坐标， 当时，二次函数有最大值3， 方程有两个相等的实数根，故③正确； 当时，，， ， ，即， ，故④正确； 抛物线与直线交于，， 当时，，所以⑤错误； 综上所述：正确的结论是①③④， 故答案为：①③④． 根据抛物线对称轴方程，由抛物线开口方向得到，由对称轴位置可得，由抛物线与y轴的交点位置可得，可判断①；得出抛物线与x轴的另一个交点，代入表达式，可判断②；根据顶点坐标可判断③；根据a和b的关系得出a和c的关系，利用a的符号可判断④；根据函数图象得当时，一次函数图象在抛物线下方，即，则可判断⑤． 本题主要考查二次函数的图象与性质，解答本题的关键是要牢记二次函数解析式中系数对图形的影响，a决定图象的开口方向，a、b决定图象的对称轴位置，c决定图象与y轴的交点位置． 17.【答案】解：原式   【解析】利用有理数的乘方法则，零指数幂，绝对值的性质，算术平方根的定义进行计算即可． 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18.【答案】；   ，  【解析】利用完全平方公式得：， ， ， 解得：； 移项得：， ， ， ， ， 利用完全平方公式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可； 把方程变形且移项，分解因式，即可得出一个一元一次方程，求出即可． 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键． 19.【答案】，  【解析】解： ， 当时，原式 先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将a的值代入化简后的式子计算即可． 本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20.【答案】解：连接EC，即线段EC的长是点E与点C之间的距离， 在中，由勾股定理得： 将绕点B顺时针旋转得到， ， 是等边三角形   【解析】连接EC，即线段EC的长是点E与点C之间的距离，根据题意可得，根据旋转的性质可证是等边三角形，即可求EC的长． 本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． 21.【答案】解：过C作于P， 在中，千米，，，， 千米， 千米， 在中，，， 千米， 则千米．  【解析】过C作于P，在直角三角形ACP中，利用锐角三角函数定义求出AP与PC的长，在直角三角形BCP中，利用锐角三角函数定义求出PB的长，由求出AB的长即可． 此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 22.【答案】解：方程， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根； 由两根关系得，， ， ， 即， 即， 解得：，  【解析】由题意可得根的判别式，即可得证； 由根与系数的关系可得，；然后代入求出m的值即可． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 23.【答案】解：如图，设点B到AD的距离为BG，由题意可知，， 在中，米， 米， 设米，则米． 在中，， 米， 在中，，解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 米．   【解析】设点B到AD的距离为BG，在中，求出BG的长，设米，在，利用锐角三角函数求出x的值，进而求出结果即可． 本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键． 24.【答案】；   ；   销售单价应定为80元/千克．  【解析】解：依题意得： 每月的销售量为：千克， 故答案为：； 依题意得：， 其中， 故y与x之间的函数关系式为：； 依题意得：， 化简得 解得，或， 当时，月销售成本为； 当时，月销售成本为， 月销售成本不超过10000元， ， 答：销售单价应定为80元/千克． 元/千克销售，一个月可售出500千克，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克，据此列式即可； 根据销售利润=每千克利润数量，即可列出表达式； 把代入中的表达式，求出x的值，再根据销售成本不超过10000元，排除不符合题意的x的值，即可求解． 本题主要考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，根据题意，找出数量关系，列出二次函数关系式，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． 25.【答案】解：对称轴为直线， ， ， 为， 将点，代入， 得， ， ； 令，则， ， 如图1，作C点关于直线的对称点，连接与直线交点M， ， 的周长， 当A、M、三点共线时，的周长最小， ， 设直线的解析式为， 得， ， ， 当时，， ； 如图2，以M，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下： 的顶点为， ， ， 当时，以M，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形， 令，则， 或， ， 设直线BC的解析式为， ， ， ， 点E是直线BC上的一个动点， 设， ， ， ， ， 解得舍或或或， 或或； 综上所述：以M，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，E点坐标为或或  【解析】由对称轴得到a、b的关系，再将，代入即可求解析式； 作C点关于直线的对称点，连接与直线交点M，当A、M、三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式即可求M； 求出直线BC的解析式，设，则，由于，只需即可求E点坐标． 本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用轴对称求最短距离，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $