精品解析：福建省福州市九师联盟2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第1节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 0 D. 不存 2. 已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （ ） A. B. C. D. 3. 若椭圆的短轴长是焦距的倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ） A B. C. D. 6. 已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为为坐标原点，点在椭圆上，且满足.当变化时，的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 面积的最大值为 C. 的最大值为 D. 满足是直角三角形的点有4个 10. 在四棱柱中，底面是平行四边形，，且，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则，，，四点共面 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 四棱柱的体积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知空间向量，若，则__________. 12. 过点与圆相切的直线方程为____________． 13. 已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 14. 已知直线与直线相交于点． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程； （2）求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程． 15. 如图，在四面体中，平面分别为的中点. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点作交于点，的周长为，面积为． （1）求的方程； （2）过的直线交于、两点，若，求直线的方程． 17. 如图，已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面都是菱形，，. （1）证明：； （2）求长； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 18. 设圆C过点且与圆：相切于点． （1）求C方程； （2）已知，，三个点，点P在圆C上运动，求的最大值和最小值； （3）已知直线l：与x轴交于点G，过点G的直线m与圆C交于D，E两点，求证：为定值，并求出这个定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第1节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 0 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程即可求解. 【详解】由方程，可知直线与轴平行， 倾斜角为0， 故选：C 2. 已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间共面向量定理的推论得到，解得即可. 【详解】因为点在平面内，且， 所以，解得. 故选：D 3. 若椭圆的短轴长是焦距的倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，进而结合的关系可得，即可求解离心率. 【详解】椭圆的短轴长是焦距的倍， ，即， 则，即，则， 椭圆的离心率为. 故选：B. 4. 已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程. 【详解】∵，， ∴两圆方程相减得，，化简得. 故选：B. 5. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案. 【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，由，可得， 为的重心，所以，，， 则，，， 故点到直线的距离为. 故选：A 6. 已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合条件可得，即可求解. 【详解】由题意知到的距离， 要使圆上仅有个点到的距离为1，则，解得， 故选：A. 7. 已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为为坐标原点，点在椭圆上，且满足.当变化时，的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件，结合椭圆的定义得到点是椭圆与椭圆的公共点，两方程联立化简得到即可求解. 【详解】由题可知， 所以点同时也在以为焦点，长轴长为的椭圆上， 其椭圆方程为. 联立即 即 两式相加可得， 则， 当时，的最小值为4，即的最小值为2. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线平行可设直线的方程为，结合两平行线间距离公式运算求解即可. 【详解】因为，且直线的方程为， 设直线的方程为，， 根据题意得，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：BC． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 面积的最大值为 C. 的最大值为 D. 满足是直角三角形的点有4个 【答案】BC 【解析】 【分析】利用余弦定理判断A；利用三角形的面积公式判断B；利用椭圆的定义判断C；利用平面向量的数量积判断D. 【详解】在椭圆中，，，，且， 对于A，当时，则， 由余弦定理得， 而，则，A错误； 对于B，当点为椭圆的短轴端点时，点到轴的距离最大， 因此面积的最大值为，B正确； 对于C，由，即， 得，C正确； 对于D，当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个， 当为直角顶点时，设点，则，， ，，解得， 此时满足条件的点有个，所以满足是直角三角形的点有个，D错误. 故选：BC 10. 在四棱柱中，底面是平行四边形，，且，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则，，，四点共面 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 四棱柱的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量运算求解判断A；根据空间向量共面定理判断B；根据异面直线所成角的向量求法求解判断C，根据向量法求得点到平面的距离，代入柱体体积公式求解判断D. 【详解】由题意知， 若，则，故A正确； 由题意知，若，则， 可得，所以， 即，所以，，，四点共面，故B正确； 因为，，， 且，所以，又， 所以， 所以， 所以， 即直线与直线所成角的余弦值为，故C错误； 记点在平面内的投影为，设， 所以， 又，， 所以， ， 解得，，所以，所以，即四棱柱的高为， 所以四棱柱的体积为，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知空间向量，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量平行得到存在实数使得，进而建立关于的方程组求解即可. 【详解】因为，所以存在实数使得，即， 所以，解得， 所以. 故答案为： 12. 过点与圆相切的直线方程为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论直线的斜率是否存在，结合直线与圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆外， 当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切； 当直线过点，且斜率存在时，设方程为，即， 则，解得，故方程为； 综上所述：直线方程为或. 故答案为：或. 13. 已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将代数式转化为，记，进而将问题转化为求的最小值，数形结合即可. 【详解】， 记，则原代数式表示， 作点关于直线的对称点，则， 所以，当三点共线时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 14. 已知直线与直线相交于点． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程； （2）求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直的两直线方程的特征，利用代入法进行求解即可； （2）根据截距是否为零分类进行求解即可. 【小问1详解】 由得所以点． 设过点且与直线垂直的直线的方程为， 将点代入方程得，解得， 所以所求直线的方程为． 【小问2详解】 当直线过原点时，直线在轴上的截距与在轴上的截距都是0，显然符合题意， 设所求直线的方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为． 当直线不过原点时，设所求直线方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为，即． 综上所述，所求直线的方程为或． 15. 如图，在四面体中，平面分别为的中点. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）由和线面平行判定定理即可证明； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，再利用即可计算求解. 【小问1详解】 证明：因为分别为的中点， 所以. 因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，所以，即. 因为平面平面，所以， 故可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的一个法向量， 则即不妨设，则，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点作交于点，的周长为，面积为． （1）求的方程； （2）过直线交于、两点，若，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合椭圆定义与坐标计算即可得； （2）设出直线方程，与椭圆联立后消去得与有关韦达定理，结合，计算即可得. 小问1详解】 设，因为，所以，， 因为的周长为，面积为, 所以，， 即，，又， 所以，，， 所以C的方程为； 【小问2详解】 由（1）知，因为的长轴长为4，故的斜率不为0， 设的方程为，，， 与的方程联立，得， 消去并整理，得， 恒成立， 所以，， 又 ， 解得， 故的方程为，即． 17. 如图，已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面都是菱形，，. （1）证明：； （2）求的长； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，为线段的中点. 【解析】 【分析】（1）把问题转化为证明即可； （2）证明出，利用勾股定理即可求解； （3）建立空间直角坐标系，用表示出点的坐标，然后计算出平面的一个法向量和平面的一个法向量，最后利用二面角的向量公式列出方程即可求解. 【小问1详解】 易知， 因为， 所以， 所以，故. 【小问2详解】 由（1）知，因，所以， 所以 【小问3详解】 如图，取的中点，连结，则，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则， 设， 则 由得 解得， 所以，则. 设平面的法向量为， 由即 取，则， 设平面的法向量为， 由即 取，则， 设二面角的大小为，因为，所以. 所以， 整理得， 解得或(舍去). 故线段上存在满足题意的点，且点为线段的中点. 18. 设圆C过点且与圆：相切于点． （1）求C的方程； （2）已知，，三个点，点P在圆C上运动，求的最大值和最小值； （3）已知直线l：与x轴交于点G，过点G的直线m与圆C交于D，E两点，求证：为定值，并求出这个定值. 【答案】（1） （2）最大值88，最小值72 （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）求出圆的圆心，半径，由题意得圆C的圆心在直线上，因为直线的方程为，所以设圆心，由求得，进而得圆心C坐标及半径，可得圆C的方程； （2）设，所以，又，解得，从而可得出所求最大值及最小值． （3）解法一：由题可知，设直线m的方程为，代入，根据韦达定理及向量的数量积运算计算即可； 解法二：取中点H，则，利用向量的线性运算及数量积运算计算即可. 【小问1详解】 由已知，将圆的一般方程化为标准方程为， 所以圆的圆心，半径， 因为圆C与圆相切于点， 所以点C，，N三点共线，即圆C的圆心在直线上， 因为直线的方程为，所以设圆C的圆心， 因为，在圆C上，所以， 所以，解得， 则圆心C坐标为，半径， 所以圆C的方程为． 【小问2详解】 设，因为，，三点， 所以 ， 因为点P在圆上运动，则，解得， 所以， 当时，取得最大值88， 当时，取得最小值72． 【小问3详解】 解法一： 由题可知，， 因为直线m过点G，且直线m与圆C相交，则直线m的斜率一定存在， 所以设直线m的方程为， 将代入，得：． 设，，所以，， 所以 ， 所以为定值，这个定值为12． 解法二： 取中点H，连，则，， 所以 ． 所以为定值，这个定值为12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $