精品解析：天津市滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

北京师范大学天津生态城附属学校 2025—2026 学年度高二年级第一学期期中考试 数学试卷 命题人：闫树芝 审核人：高二数学组 注意事项： 本试卷分1卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间 120 分钟. 答 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在答题卡上，只交答题卡，试卷学生带走，以备讲评. 第 I 卷（选择题，满分 60 分） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题只有一个选项符合要求.每题 5 分，共 60 分） 1. 已知直线经过点，，该直线的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点表示直线斜率求出直线的斜率，再由斜率的定义即可得倾斜角. 【详解】因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以， 故选：C. 2. 抛物线 焦点坐标是（ ）  A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程，可得的值，进而求出焦点坐标． 【详解】由抛物线标准方程可得 ，所以 ， 因为焦点在y轴负半轴，所以焦点坐标为， 故选：C. 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于平面对称的点横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为它的相反数，可得答案. 【详解】关于平面对称的点横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为它的相反数， 从而有点关于平面对称的点的坐标为， 故选：C. 4. 若直线与直线垂直，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 0或1 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线垂直得到，求解即可. 【详解】由两条直线垂直可得：， 即， 解得：或. 故选：D 5. 已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，再根据空间向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量. 又因为，所以， 则，解得 故选：A. 6. 如图，在平行六面体中，与的交点为点，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据空间向量的运算，用为基底表示出，可得选项. 【详解】依题意可知是平行四边形对角线的交点，所以 . 故选：A. 7. “ "是“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点在轴上的椭圆的条件，列出不等式组求出的范围，再利用集合法判断即可. 【详解】因为方程+=1表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得， 故“”是“方程+=1表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 8. 光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A. B. 4x+5y-1=0 C. 3x-4y+1=0 D. 3x-4y-1=0 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称的性质，设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0），利用斜率和中点坐标可得A′，可得反射光线所在直线的方程． 【详解】设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0）， 则 解得：A′（﹣4，﹣3）． 由于反射光线所在直线经过点A′（﹣4，﹣3）和B（1，1）， 所以反射光线所在直线的方程为y﹣1＝（x﹣1）•，即4x﹣5y+1＝0． 故答案为A. 【点睛】本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，斜率，中点坐标的应用，属于基础题． 9. 双曲线的上顶点到其一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，写出顶点坐标与渐近线方程，利用点到直线距离公式，可得答案. 【详解】因为双曲线的上顶点为，渐近线方程为， 所以双曲线的上顶点到其一条渐近线的距离为. 故选：A. 10. 已知实数满足，则的最小值是（　　） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为点到直线的距离即可求解. 【详解】当取最小值时，即为点到直线的距离; 故选：A 11. 圆与圆的公共弦所在直线恒过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个圆的方程求出公共弦的直线方程，然后利用直线方程求解定点即可. 【详解】圆与圆， 两圆的方程相减得：，即公共弦所在的直线方程. 且，即， 故直线恒过点. 故选：A 12. 已知，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，满足，连接交轴于点，若，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得垂直于轴，，为的中点，运用直角三角形斜边中线为斜边的一半，结合双曲线的方程可得，再由勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求值． 【详解】解：由题意可得垂直于轴，， 因为为的中点，则为的中点， 可得， 由可得， 即有， 在直角三角形中， 可得， 即有， 可得， 即， 由可得，， 解得舍去）， 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质，注意运用直角三角形的性质和勾股定理，考查化简整理的运算能力． 第 II 卷（非选择题，满分 90 分） 二、填空题（本题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分） 13. 两条平行直线与间的距离是__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据平行满足的系数关系可得，即可利用平行线间距离公式求解. 【详解】由于与平行，故，解得， 故两直线为与，故其距离为， 故答案为：5 14. 抛物线上的一点M到焦点的距离为2，则点M的横坐标为_________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据抛物线上点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标. 【详解】抛物线的准线方程为，由抛物线上一点到焦点的距离为2，且抛物线上点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得点的横坐标为：， 故答案为：1. 15. 已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为4，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先将椭圆方程化为标准式，即可得到、，根据焦距求出. 【详解】椭圆即，焦点在轴上，所以， 所以，又椭圆的焦距为4，所以，解得． 故答案为： 16. 已知向量，则在上的投影向量坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的坐标表示，结合投影向量公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以，， 则在上的投影向量坐标为. 故答案为： 17. 已知，分别为椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，是的中点，是椭圆的中心，.（i）__________；（ii）__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】 根据椭圆方程，可得，又因为点在椭圆上， 根据椭圆定义：， 在中，是的中点，是的中点， 所以为的中位线，所以， 又因为，所以 故答案为：； 18. 已知圆，则过点的最短弦所在的直线方程是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题知，弦最短时，圆心与点的连线与直线垂直，进而求解直线方程即可. 【详解】解：根据题意：弦最短时，圆心与点的连线与直线垂直, 因为圆，即，圆心为：， 所以，所以， 所以所求直线方程为：. 故答案为：. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点.（i）异面直线与所成角的余弦值为__________；（ii）若点在线段上运动，则到直线的距离的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求异面直线所成角的余弦值即可；构建相似三角形，根据相似边的比确定点坐标，再利用空间向量的方法求点到直线距离，结合二次函数的最值，即可求解. 【详解】 因为为正方体，建立如图所示以为坐标原点， 以、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， 所以，，设直线与所成角为， 则. 过点作于，过作于，过作于， 因为为正方体，所以平面， 又因为平面，所以， 平面，平面，， 所以，且平面， 在底面中，，，所以， ，，所以， 设，，因为，所以， 所以，所以，所以，所以， 在中，， 在中，，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 设点到直线距离为，，， 根据空间点到直线距离公式有：， 所以， 整理得，， 所以当时，到直线的距离最小，最小值为. 故答案为：； 20. 已知双曲线的右焦点为，两条渐近线分别为.直线过抛物线的焦点和双曲线的虚轴端点，且直线与的一条渐近线平行.（i）__________；（ii）若以为直径的圆交于两点（为坐标原点），点在上，且，则双曲线的方程为__________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据两点斜率公式以及渐近线斜率可得，即可求解，写出圆的方程以及渐近线方程，联立可得，根据向量共线可得，将代入渐近线方程中即可求解. 【详解】的渐近线方程为， 双曲线的虚轴端点为，的焦点为 因此的斜率为，故，故, 设，则圆：， 不妨设直线， 联立与可得，故， 因此， 由于，故，故， 由于在，故， 结合，解得， 故双曲线方程为， 故答案为：2， 三、解答题 21. 已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为． （1）求圆的方程； （2）从圆外一点向圆引切线，求切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出圆的半径，由此可得出圆的方程； （2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在第一种情况下，写出切线方程，直接验证即可；在第二种情况下，设出切线方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，由此可得出所求切线的方程. 【小问1详解】 解：圆心到直线的距离为， 所以，圆的半径为， 因此，圆的方程为. 【小问2详解】 解：当切线的斜率不存在时，则切线的方程为，且直线与圆相切，合乎题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由题意可得，解得，此时，切线方程为. 综上所述，所求切线的方程为或. 22. 如图，是边长为4的正方形，平面，，且. （1）求证: 平面; （2）求平面与平面 夹角的余弦值； （3）求点D到平面的距离. 【答案】（1）证明见详解； （2）； （3）. 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面位置关系，计算面面角及点面距离即可. 【小问1详解】 根据题意可以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 易知平面的一个法向量为， 显然，又平面， 所以 平面； 【小问2详解】 由上坐标系可知，则， 设平面与平面的一个法向量分别为， 则有，， 取，则，即， 设平面与平面的夹角为，则； 【小问3详解】 由（2）得平面的一个法向量为， 又，所以点D到平面的距离. 23. 已知椭圆：离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的左焦点且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和短轴一个端点到右焦点的距离为，建立方程组，求解可得方程； （2）先联立方程，结合韦达定理和弦长公式可得. 【详解】（1）由题意知：，即 ① ∵短轴的一个端点到右焦点的距离为，即 ② 又 ③ 由①②③解得：，，∴椭圆的方程为：. (2)由(1)知：椭圆的左焦点，∴直线l的方程为：， 设，，联立： ，整理得：， ，， . 24. 已知椭圆的右焦点为为短轴的一个顶点，且，其中为坐标原点. （1）求椭圆的离心率； （2）斜率为1的直线与椭圆有唯一公共点，与轴相交于点的面积为2. （i）求椭圆的方程； （ii）设分别为椭圆的左，右顶点，直线过点，且与轴垂直，为直线上关于轴对称的两点，直线与椭圆相交于异于的点，直线与轴的交点为，当与的面积之差取得最大值时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）或 【解析】 【分析】（1）由已知，可得，，又，即可求得椭圆的离心率； （2）（i）设直线的方程为，和椭圆方程联立，可得，进而解出点坐标，点坐标，由的面积为2可求得，得 ,即可得到椭圆的方程； （ii）由已知设，设直线的方程为，和椭圆方程联立，得，可得点的坐标为，进而表示出直线的方程，令， 得点的坐标为，则得，则当时，最大，可得，可得直线的方程. 【小问1详解】 由已知，椭圆的右焦点为为短轴的一个顶点，且， 如图，，则，, 则. 【小问2详解】 （i）设直线的方程为， 由（1）知,联立， 化简得， 由，得， 由对称性不妨令，则， 所以，解得， 代入，即，得， 所以，， 所以， 解得，又,则, 所以椭圆的方程为； （ii）由（i）知， 因为直线过点，且与轴垂直，则直线的方程为， 又为直线上关于轴对称的两点， 设， 设直线的方程为， 联立，得， 解得， 将代入得， 所以直线与椭圆相交于异于的点的坐标为， 直线的方程为， 令，解得， 所以直线与轴的交点的坐标为， 则， 则当时，最大， 则即， 所以直线的方程为， 即或. 【点睛】关键点点睛：（2）（ii）由已知设，设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得点的坐标，进而表示出直线的方程，得到点的坐标，则得，则当时，最大，求得，可得直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学天津生态城附属学校 2025—2026 学年度高二年级第一学期期中考试 数学试卷 命题人：闫树芝 审核人：高二数学组 注意事项： 本试卷分1卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间 120 分钟. 答 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在答题卡上，只交答题卡，试卷学生带走，以备讲评. 第 I 卷（选择题，满分 60 分） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题只有一个选项符合要求.每题 5 分，共 60 分） 1. 已知直线经过点，，该直线的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 2. 抛物线 的焦点坐标是（ ）  A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与直线垂直，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 0或1 5. 已知是直线一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，与的交点为点，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C D. 7. “ "是“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A. B. 4x+5y-1=0 C. 3x-4y+1=0 D. 3x-4y-1=0 9. 双曲线的上顶点到其一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 2 10. 已知实数满足，则的最小值是（　　） A. B. C. 1 D. 11. 圆与圆的公共弦所在直线恒过点（ ） A. B. C. D. 12. 已知，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，满足，连接交轴于点，若，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 第 II 卷（非选择题，满分 90 分） 二、填空题（本题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分） 13. 两条平行直线与间的距离是__________. 14. 抛物线上的一点M到焦点的距离为2，则点M的横坐标为_________. 15. 已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为4，则的值为________． 16. 已知向量，则在上的投影向量坐标为______. 17. 已知，分别为椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，是的中点，是椭圆的中心，.（i）__________；（ii）__________. 18. 已知圆，则过点最短弦所在的直线方程是_________. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点.（i）异面直线与所成角的余弦值为__________；（ii）若点在线段上运动，则到直线的距离的最小值为__________. 20. 已知双曲线的右焦点为，两条渐近线分别为.直线过抛物线的焦点和双曲线的虚轴端点，且直线与的一条渐近线平行.（i）__________；（ii）若以为直径的圆交于两点（为坐标原点），点在上，且，则双曲线的方程为__________. 三、解答题 21. 已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为． （1）求圆的方程； （2）从圆外一点向圆引切线，求切线方程． 22. 如图，是边长为4的正方形，平面，，且. （1）求证: 平面; （2）求平面与平面 夹角的余弦值； （3）求点D到平面的距离. 23. 已知椭圆：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的左焦点且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，求. 24. 已知椭圆的右焦点为为短轴的一个顶点，且，其中为坐标原点. （1）求椭圆的离心率； （2）斜率为1的直线与椭圆有唯一公共点，与轴相交于点的面积为2. （i）求椭圆方程； （ii）设分别为椭圆的左，右顶点，直线过点，且与轴垂直，为直线上关于轴对称的两点，直线与椭圆相交于异于的点，直线与轴的交点为，当与的面积之差取得最大值时，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $