精品解析：山东省济南市槐荫区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试卷

2024~2025学年度第一学期期中质量检测 九年级数学（2024.11） 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数图象在第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 如图是某位同学用带有刻度直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（ ） A. B. 2 C. D. 5 5. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（   ） A.                                         B.                                         C.                                         D. 6. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在格点上，连接交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y=（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8，则k的值为（　　） A. 8 B. 3 C. 2 D. 4 9. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，M是边的中点，N是边的中点，连接，相交于点E，连接并延长，交于点F．有以下四个结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等．不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共5个小题．每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 已知直线 y=ax（a≠0）与反比例函数 y=（k≠0）的图象一个交点 坐标为（2，4），则它们另一个交点的坐标是_____． 12. 抛物线的顶点坐标为_____． 13. 如图，直线与双曲线相交于点和点，则不等式的解集为_______． 14. 如图，在正方形中，取的中点，连接，延长至点，使，以线段为边作正方形，点在线段上，则的值是_____． 15. 如图，反比例函数的图象经过点，点A是该图象第一象限分支上的动点，连接并延长交另一分支于点，以为对角线作菱形，使，顶点在第四象限，与轴交于点，连接．在点A的运动过程中，当平分时，点的坐标是______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 如果，且，求的值． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，和的顶点都在格点上，则与相似吗？请说明理由． 18. 如图，在中，，，，求长． 19. 在如图方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为，并写出点B的对应点的坐标； （3）的内部一点M的坐标为，写出M在中的对应点的坐标． 20. 中国古代入在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣．”如图所示．其工作原理主要利用光的反射原理，已知共线，于点B，入射角， （入射角等于反射角），米，求OB的高度．（参考数据：） 21. 如图，E为上一点，． （1）求证：； （2）若平分，，，求的长． 22. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中分别为线段，为双曲线的一部分）： （1）分别求出学生注意力增强阶段和分散阶段的函数关系； （2）开始上课后第5分钟时与第30分钟时相比较，何时学生注意力更集中？ （3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？若能，最好第几分钟开始讲；若不能，说明理由． 23. 已知，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求点、、的坐标； （2）过点作交抛物线于点，求四边形的面积； （3）在线段上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． （1）求点坐标和反比例函数的解析式； （2）将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； （3）在（2）的条件下，若点C是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 25. 【问题情境】 （1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理，又称．欧几里得定理．：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．其符号语言是：如图1，在中，，垂足为，则：①，②，③；请你证明定理中的结论③． 【结论运用】 （2）如图2，正方形的边长为6，点是对角线、的交点，点在上，过点作，垂足为，连接． ①求证：； ②若，求的长． （3）如图3，正方形的边长为6，点是对角线、的交点，点是上一动点，过点作，垂足为，连接，取的中点，连接，当点在上运动时，是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值．若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中质量检测 九年级数学（2024.11） 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的性质．由设，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴． 故选：B． 2. 已知在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值，根据正切的定义计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：D． 3. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与系数的关系，解题的关键在于熟知对于反比例函数，当时，反比例函数图象位于第一、三象限，当时，反比例函数图象位于第二、四象限． ． 4. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得，解分式方程再进行检验，符合题意即可解答． 【详解】解：设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得： 解得， 经检验，是分式方程的解且符合实际意义， 即P点表示的数为． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例和分式方程，解题的关键是根据平行线分线段成比例列出分式方程． 5. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（   ） A.                                         B.                                         C.                                         D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图的方法得出△OBC是等边三角形，进而利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】 解：连接BC， 由题意可得：OB=OC=BC， 则△OBC是等边三角形， 故sin∠AOC=sin60°=． 故选D． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及基本作图方法，正确得出△OBC是等边三角形是解题关键． 6. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在格点上，连接交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：由网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 7. 一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象的综合，掌握二次函数的性质是本题的关键． 根据一次函数的图象、二次函数的图象逐项分析即可解答． 【详解】解：当时，一次函数的y随x的增大而增大，与y轴的交点在y轴正半轴的正半轴上；二次函数开口方向向上，与y轴的交点在y轴正半轴的正半轴上，且对称轴为；即C选项符合题意，A选项不符合题意； 当时，一次函数的y随x的增大而减小，与y轴的交点在y轴负半轴的正半轴上；二次函数开口方向向下，与y轴的交点在y轴正半轴的负半轴上，且对称轴为，即B、D都选项不符合题意． 故选：C． 8. 如图，矩形ABCD顶点A和对称中心在反比例函数y=（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8，则k的值为（　　） A. 8 B. 3 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设A点的坐标为（m，n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，根据中心在反比例函数y=上，求出中心的横坐标为，进而可得出BC的长度，根据矩形ABCD的面积即可求得． 【详解】解：如图，延长DA交y轴于点E， ∵四边形ABCD是矩形， 设A点的坐标为（m，n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为， ∵矩形ABCD的中心都在反比例函数y=上， ∴x=， ∴矩形ABCD中心的坐标为（，）. ∴BC=2（−m）=-2m， ∵S矩形ABCD=8， ∴（-2m）•n=8． 4k-2mn=8， ∵点A（m，n）在y=上， ∴mn=k， ∴4k-2k=8. 解得：k=4. 故选D． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键． 9. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． 10. 如图，正方形中，M是边的中点，N是边的中点，连接，相交于点E，连接并延长，交于点F．有以下四个结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】设，得，由勾股定理得，证明可证明，又，求出，，从而得出，，计算得出；过点作于点，证明，求出，证明,求出，，从而可得出；再计算得出；过点F作于点，于点可得出，进一步得出，从而得出平分 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ∵M是边的中点，N是边的中点， ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ 又 ∴ ∴， 设，则 ∴； 又 ∴ ∴， 在中，， ∴ ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴，故①正确； 过点作于点，如图， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 又 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴，故③正确； ，故④不正确； 过点F作于点，于点 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴是的角平分线， 又与是对顶角， ∴是的平分线，故②正确， 综上，正确的结论是①②③，共3个， 故选：B 【点睛】本题主要考查正方形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及角平分线的判定等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等．不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共5个小题．每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 已知直线 y=ax（a≠0）与反比例函数 y=（k≠0）的图象一个交点 坐标为（2，4），则它们另一个交点的坐标是_____． 【答案】（﹣2，﹣4） 【解析】 【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可. 【详解】∵正比例函数和反比例函数均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是（2，4）， ∴另一个交点的坐标是（-2，-4）， 故答案为（﹣2，﹣4）． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键． 12. 抛物线的顶点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质确定二次函数图象的顶点坐标是解题的关键． 根据抛物线解析式的顶点式确定顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 13. 如图，直线与双曲线相交于点和点，则不等式的解集为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合思想成为解题的关键． 观察函数图象得到当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，即的解集． 【详解】解：∵直线与双曲线相交于点和点， ∴由函数图象可得，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 14. 如图，在正方形中，取的中点，连接，延长至点，使，以线段为边作正方形，点在线段上，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． 设正方形的边长为，则，，由勾股定理可得，进而得到、、，最后代入计算即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 15. 如图，反比例函数的图象经过点，点A是该图象第一象限分支上的动点，连接并延长交另一分支于点，以为对角线作菱形，使，顶点在第四象限，与轴交于点，连接．在点A的运动过程中，当平分时，点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图：过A作轴于点E，轴于点F，则，证，利用等面积得到，再化斜为直得到，最后建立关于m的方程求解即可． 本题主要考查了反比例函数点的坐标、菱形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴ 如图：过A作轴于点E，轴于点F，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 如图：过P作于点G，交延长线于点H， ∵平分， ∴， ∴， 过A作轴于点N，过C作轴于点M， ∴．， ∴，即：，解得：， ∴． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 如果，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值以及比例的性质．令，得到关于k的方程求出k值，进一步代入k值得到代数式的值． 【详解】解：令， ∴，，． ∵， ∴， ∴． ∴，， ∴． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，和的顶点都在格点上，则与相似吗？请说明理由． 【答案】与相似；理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似． 详解】解：与相似，理由如下： 由勾股定理可得： ， ， ， ， ， ， ， ． 18. 如图，在中，，，，求长． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作，构造两个直角三角形，再利用三角函数解直角三角形即可求得BC的长度． 【详解】解：过点A作，垂足为 在中，， ， 在中， 长为 【点睛】本题考查了用三角函数解直角三角形，掌握利用三角函数求线段长度的方法是解决本题的关键． 19. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为，并写出点B的对应点的坐标； （3）的内部一点M的坐标为，写出M在中的对应点的坐标． 【答案】（1）画图见解析，点P的坐标为 （2）画图见解析，点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心，根据图形写出坐标即可； （2）连接、并延长，使、，连接即可； （3）根据位似比，求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，点P为所作； 点P的坐标为； 【小问2详解】 如图，为所作，点的坐标为； 【小问3详解】 点M在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 20. 中国古代入在公元前2世纪就制成了世界上最早潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣．”如图所示．其工作原理主要利用光的反射原理，已知共线，于点B，入射角， （入射角等于反射角），米，求OB的高度．（参考数据：） 【答案】9.4米 【解析】 【分析】根据题目中的数据，利用锐角三角函数和勾股定理，可以求得OB的长，然后根据，即可计算出OB的高度． 【详解】解：∵∠COD=30°，（入射角等于反射角）， ∴∠AOD=30°， ∴∠AOC=60°， ∵AE⊥AB，OB⊥AB，∠OAE=15°， ∴AE∥BO，∠OBA=∠OBC=90°， ∴∠OAE=∠AOB=15°， ∴∠BOC=∠AOC∠AOB=45°， ∴∠C=∠BOC， ∴OB=BC， 作AF⊥OC交OC于点F， ∵AC=12，∠C=45°， ∴AF=， ∵∠AFO=90°，∠AOF=60°， ∴， 设BC=x，则AB=12x，OB=x， ∵∠OBA=90°， ∴AB2+OB2=OA2， ∴（12x）2+x2=（）2， 解得x1=6+，x2=， ∵OB＞AB， ∴不合题意， ∴OB=≈6+2×1.7=9.4（米）， 即OB高度是9.4米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21. 如图，E为上一点，． （1）求证：； （2）若平分，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质，解决本题的关键是得到． （1）根据三角形的外角等于和它不相等的两个内角和可得，证明即可解答 ． （2）结合（1）和平分，证明，可得，进而可得答案． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 由（1）知，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ，即 ， ∴． 22. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中分别为线段，为双曲线的一部分）： （1）分别求出学生注意力增强阶段和分散阶段的函数关系； （2）开始上课后第5分钟时与第30分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？若能，最好第几分钟开始讲；若不能，说明理由． 【答案】（1）， （2）时学生注意更集中 （3）能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目，最好第分钟开始讲． 【解析】 【分析】（1）如图，运用待定系数法求解； （2）分别求函数值，比较大小判断； （3）能，求时，两函数对应的自变量值，得及，，得出结论． 【小问1详解】 解：如图，， 设直线的解析式为，得 ，解得， ∴注意力增强阶段函数关系式为． 设双曲线的解析式为，得， ∴分散阶段的函数关系式为． 【小问2详解】 解：时，； 时，； ∴时学生注意更集中． 【小问3详解】 解：能，理由如下： 时，令，得； 令，得 ∴老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目，最好第分钟开始讲． 【点睛】本题考查待定系数法确定一次函数解析式，求函数值、自变量值；观察图形获取信息是解题的关键． 23. 已知，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求点、、的坐标； （2）过点作交抛物线于点，求四边形的面积； （3）在线段上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）4 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先求出点和点，点的坐标，代入解析式求解； （2）先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立抛物线解析式组成方程组求出点的坐标，再利用三角形面积公式来求解； （3）延长到点，使，过点作轴于点，连接，则与的交点即为点，易得到，进而求出点，易得到解析式，联立直线解析式组成方程组求解． 【小问1详解】 解：当时，， 解得； 点坐标为点坐标为； 当时，， 点坐标为． 【小问2详解】 解：， 直线解析式：． 设直线的解析式为：，把代入得： ； 则直线解析式为：， 联立解析式有： 解得，； 点坐标为； ． 【小问3详解】 解：存在． 延长到点，使，过点作轴于点，连接，则与的交点即为点． ， 与关于对称． ， ． ， ， 点坐标为； 直线的解析式为； 联立方程组， 解得 点的坐标为； 在线段上存在一点，使的周长最小． 【点晴】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点的坐标的求法，函数图象交点坐标的求法，图形面积的求法，最短径，二元一次方程组的解法，理解二次函数的图象和性质是解答关键． 24. 如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． （1）求点的坐标和反比例函数的解析式； （2）将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； （3）在（2）的条件下，若点C是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）代入直线解析式，可得出点的横坐标，再将点的坐标代入反比例表达式即可求出； （2）根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，可证 ，由此可得点的坐标，由待定系数法求可求出直线的解析式； （3）根据题意作出图形，由面积比可得 设点的横坐标为，由此表达点，的坐标，进而可得和的长度，得出关于的方程，解之即可. 【小问1详解】 点在直线， ， ， ∵点在第一象限，且点的纵坐标为4， ∴, 将点代入直线 ， ； 【小问2详解】 根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点， ， ， ， 由旋转可知， ， ， ∴， ∴直线的解析式为：； 【小问3详解】 如图, ，， ， ， 即 ， 即 ， 设点的横坐标为，由（1）可知双曲线的解析式为， ， ， ， 解得 或(负值舍去) ， ∴点的坐标为 或 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合题，涉及到全等三角形的判定与性质，三角形的面积、旋转的性质等知识，证得三角形全等，把面积比转化为线段的比值是解题关键 25. 【问题情境】 （1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理，又称．欧几里得定理．：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．其符号语言是：如图1，在中，，垂足为，则：①，②，③；请你证明定理中的结论③． 【结论运用】 （2）如图2，正方形的边长为6，点是对角线、的交点，点在上，过点作，垂足为，连接． ①求证：； ②若，求的长． （3）如图3，正方形的边长为6，点是对角线、的交点，点是上一动点，过点作，垂足为，连接，取的中点，连接，当点在上运动时，是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解答；（2）①证明见解答；②的长为；（3）存在最小值，的最小值为 【解析】 【分析】（1）由于点，得，而，所以，因为，所以，则，即可证明； （2）①由正方形性质得，则，而，则，所以，推导出，再证明，得，则，所以，变形为，因为，所以； ②由，，得，则，而，则，所以，由相似三角形的性质得，则； （3）取的中点，连接、、，由正方形的性质得，，而，则，求得，由，得，由点为的中点，点为的中点，得，所以，则，所以存在最小值，的最小值为． 【详解】（1）证明：于点， ， ， ， ， ， ， ． （2）①证明：四边形是正方形，对角线、交于点， ， ， ， ， ， ， 于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②解：正方形的边长为6， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． （3）解：存在最小值，的最小值为， 理由：如图3，取的中点，连接、、， 正方形的边长为6，对角线、交于点， ，，， 于点， ， ， ， ， ， 点为的中点，点为的中点， ， ， ， 存在最小值，的最小值为． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $