精品解析：四川省嘉祥教育集团2025-2026学年高二上学期期中质量监测数学试题

嘉祥教育集团2025－2026学年高二上学期质量监测试题 数 学 注意事项： 1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存． 3．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 2．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 60 B. 30 C. 90 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角的定义即可得出答案. 【详解】直线的倾斜角为. 故选：D. 2. 直线和直线间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由直线，得.易知与直线平行. 由平行线间的距离公式，得直线和直线间的距离是. 故选：B. 3. 已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（ ） A. 若是对立事件，则是互斥事件 B. 若事件相互独立，则与也相互独立 C. 若事件相互独立，则与不互斥 D. 若事件互斥，则与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥，对立事件的定义，以及事件的相互独立性，即可判断选项. 【详解】A.两个事件是对立事件，则一定是互斥事件，故A正确； B.若事件相互独立，则与也相互独立，故B正确； C.若事件相互独立，则与可以同时发生，不互斥，故C正确； D. 若事件互斥，则与不能同时发生，即事件是否发生，对另一个事件是有影响的，所以两个事件不相互独立，故D错误. 故选：D 4. 圆上有（ ）个点到直线的距离为. A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系即可直接判断. 【详解】由题意可知该圆圆心为，半径为， 因为，即圆心到直线的距离为，且， 圆上点到直线的最小距离为，最大距离为. 因为，所以圆上有2个点到直线的距离为. 故选：A. 5. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】因为 依题意得，， 则点到直线的距离为. 故选：A. 6. 如图，两条异面直线a、b所成的角为，在直线a，b上分别取点A′，E和点A，F，使且．已知，， ，线段的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，利用向量的数量积运算，结合题意可得结果. 【详解】由题意知，所以， 展开得， 异面直线，所成角为，代入得 ， 所以或， 故选：D. 7. 若圆与圆N：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知圆与圆相交，故，所以点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）.分析可得代表点到直线的距离的5倍.根据圆内点到直线距离最值的求法即可求解. 【详解】由题可知圆，半径，圆，半径. ∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交， ∴， ∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）. 又， ∴代表点到直线的距离的5倍. ∵圆心到直线的距离为1， ∴圆环内的点到直线的距离， ∴的取值范围为. 故选：C. 8. 某次试验掷一个骰子5次，记录下5个点数，若已知这组数据有且仅有一个6，中位数为3，方差为2.8，则从这组数据中随机抽取1个数，该数小于众数的概率为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出5个点数为，再由古典概率的计算公式求解即可. 【详解】不妨设， 因为这组数据有且仅有一个6，中位数为3，方差为2.8， 所以，设平均数为，方差为， ， 所以， 因为，由题意分析可知，众数只能为， 若众数为，则5个点数可能为：；；；；； 计算；；；四组数的平均数和方差，方差均不为2.8. 当这五个数为：，可得， ，所以成立. 若众数为，则5个点数可能为：；. 计算这两组数的平均数和方差，方差均不为2.8. 若众数为，则5个点数可能为：；. 计算这两组数的平均数和方差，方差均不为2.8. 综上：这5个点数只能为，则的众数为，小于的数有，共2个， 则从这组数据中随机抽取1个数，该数小于众数的概率为：. 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．有2个正确答案的，每选对1个，得3分；有3个正确答案的，每选对1个，得2分；凡选错1个答案的，得0分．） 9. 某校为了解高二学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则（ ） A. a = 0.0175 B. 跳远距离在区间[ 200，260 ]的人数为150 C. 中位数是210 D. 平均数是218 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图的性质、频率与频数的关系等逐个分析即可. 【详解】对于选项，根据频率分布直方图的性质，所有小矩形面积之和为，即，解得，故正确. 对于选项，跳远距离在区间[ 200，260 ]的频率为， 又抽调了200名学生进行立定跳远测试，跳远距离在区间[ 200，260 ]的人数为，故正确. 对于选项，第一组的频率为；第二组的频率为；第三组的频率为；第四组的频率为；第五组的频率为， ，中位数在区间内， 设中位数为，则，解得，故错误. 对于选项，同一组的数据用该组区间的中点值代表，,故正确. 故选：. 10. 以下命题正确的是（ ） A. 两个不同平面， 的法向量分别为，，则 B. 若直线l的方向向量，平面 的一个法向量，则 C. 已知，，若与垂直，则实数 D. 若P、A、B、C为空间中不重合的四点且，则“ + = 1”是“A、B、C三点共线”的充要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间向量判定线面、面面关系可判定AB，根据空间向量数量积的坐标表示可判定C，根据线性运算法则，结合三点共线的性质，即可判断D. 【详解】对于A，由题意知，所以，故A正确； 对于B，由题意知，所以或，故B错误； 对于C，由题意知， 解之得，故C正确； 对于D，若，则， 所以，即， 说明A在直线BC上，故三点共线，充分性成立； 若四点共线，且，则成立， 此时，必要性不成立， 所以是三点共线的充分不必要条件，故D错误. 故选：AC 11. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，，则 B. 若对于三点A，B，C，则“”当且仅当“点A在线段BC上” C. 对于平面上任意一点N，若，则动点的轨迹长度为8 D. 若点M在圆上，点P在直线上，则的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据曼哈顿距离的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，取不共线三点，则，， ，所以.所以B不正确； 对于C，设，则，所以点N的轨迹是如图所示四条线段，所以其长度为.所以C不正确； 对于D，因为当时，. 所以要想使最小，点到直线的距离最小. 所以如图所示，过原点作直线且交圆于点M. 设，则的斜率为，所以. 代入圆的方程，得. 设，则 当时，成立； 当时，，此时； 当时，，此时； 因为，所以d（P，M）的最小值为. 所以D正确. 故选：AD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用平面法向量的定义求解即可. 【详解】因为在空间直角坐标系中，平面一般式为(不同时为)， 其一个法向量为， 因为平面方程为，所以其一个法向量为， 与平行的非零向量都是该平面的法向量. 故答案为：（答案不唯一） 13. 阅兵式上，某型防空导弹的拦截成功率为0.8，若有3枚该型导弹同时对同一目标进行拦截，则至少有2枚导弹成功拦截目标的概率为__________．（用小数表示） 【答案】 【解析】 【分析】先明确至少有2枚导弹成功拦截目标包含“恰好有2枚导弹成功拦截目标”和“有3枚导弹都成功拦截目标”这两种情况，然后分别计算这两种情况的概率，相加即可. 【详解】设“1枚导弹成功拦截目标”为事件，已知，那么“1枚导弹未成功拦截目标”为事件，则， 恰好有2枚导弹成功拦截目标的概率为，有3枚导弹都成功拦截目标的概率为， 综上，至少有2枚导弹成功拦截目标的概率为. 故答案为：. 14. 已知实数x，y满足 ， 则式子的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系式，得，所以点的轨迹为圆.将的最小值问题转化为圆上的动点到两定点间的距离之和的最小值问题，即可求得结果. 【详解】因为实数x，y满足 ，且，所以. 所以点是以点为圆心，以2为半径的圆上的动点. 记点，点，点， 则 如图所示，当三点共线，且点在线段上时，取得最小值， 最小值为. 因此的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，正方体中，分别为，的中点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求与平面所成的角． 【答案】（1） ， 连接， 因为分别为，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 所以， （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，可得，证明平面，即可得到与的位置关系； （2）由（1）可知，连接，证明平面即可得到与平面所成的角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，连接， 因为平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，由于平面， 所以， 因为，平面， 所以平面， 则与平面所成的角为 16. 已知圆，直线． （1）求证：直线恒过定点P，并求的最小值； （2）讨论直线与圆C位置关系． 【答案】（1） 直线l的方程为， 整理为关于的方程， 该方程对任意成立，因此系数均为零， 解得， 所以直线l恒过定点． 的最小值为 （2） 当​时，直线l与圆C相切； 当（，）时，直线l与圆C相交； 当 或​时，直线l与圆C相离 【解析】 【分析】（1）将直线的方程化为，若过定点，则与m无关，即可得，求解可得定点坐标；再由两点间的距离结合二次函数的性质可求出的最小值； （2）先求出圆心到直线l的距离，比较与的大小，即可判断直线与圆C位置关系． 【小问1详解】 证明略. 圆C的圆心为，半径． 点P到圆心C的距离为∣=​， 所以=，当时，取最小值​． 因此，的最小值为． 【小问2详解】 圆心到直线l的距离为 ​，半径． 位置关系取决于d与2的比较： 当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相离． 由得 ，平方两边，整理得， 解得：． 所以，当​时，直线l与圆C相切； 当（，）时，直线l与圆C相交； 当 或​时，直线l与圆C相离． 17. 四棱锥中，底面，底面满足，，，． （1）画出底面的平面图及四棱锥的直观图（不要求写画法）； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 底面的平面图及四棱锥的直观图如下： （方向可不同） （2） （3） 【解析】 【分析】（1） 由题意直接画出底面的平面图及四棱锥的直观图. （2）先求出四棱锥的底面积和高，再由锥体的体积公式求解即可. （3）以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 底面面积分为和： 为直角三角形，面积为． 由已知可得，于是有， 因此，故的面积． 总底面面积，高，体积V =． 故四棱锥的体积为． 【小问3详解】 底面 中，． 以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立直角坐标系. 设点 ． 由 ，得； 由，得， 两式相减，得，即 ． 代入，得， 解得：，∴． 显然平面的法向量可取， 注意到，∴， 设平面的法向量为， ，所以， 取，则， ∴ 平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 所以. 进而平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为． 18. 第六届嘉祥杯足球赛不同于以往的淘汰赛制（输一局就淘汰），采用双败赛制（如下图），四支队伍A、B、C、D．其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p（＜p＜1），而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时，A和C同组，B和D同组． （1）若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场表演赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率； （2）若，在淘汰赛赛制下，A和B获得冠军的概率分别为多少？ （3）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此证明双败赛制对强队更有利． 【答案】（1） （2）， （3） 淘汰赛赛制：． 双败赛制：双败赛制流程如下： 第一轮（胜者组）：A vs C、B vs D，胜者组决赛：第一轮胜者比赛，败者组第一轮：第一轮败者比赛，败者组决赛：败者组第一轮胜者 vs 胜者组决赛败者， 总决赛：胜者组决赛胜者vs败者组决赛胜者. 计算A夺冠概率需考虑所有可能路径． 通过案例分析，可得 ． 比较：要证明双败赛制对强队更有利，因为 ． 所以当 时，． 因此，双败赛制对强队更有利． 【解析】 【分析】（1）古典概率的计算公式求解即可； （2）根据淘汰赛赛制的比赛规则，结合独立事件概率公式分别计算A和B获得冠军的概率； （3）作差得到，因式分解后判断即可. 【小问1详解】 从4支队伍中随机选出2支，总共有 6种可能组合：AB、AC、AD、BC、BD、CD． 其中选出的两支队伍恰好是A和B只有1种情况． 因此，概率为． 【小问2详解】 淘汰赛赛制分组为A vs C、B vs D，胜者进入决赛． A获得冠军的概率：A必须赢半决赛和决赛． P（A赢半决赛）= P（A赢C）= p =． 决赛对手是B或D，但无论对手是谁， P（A赢决赛）= p =，因此，PA =． B获得冠军的概率：B必须赢半决赛和决赛． P（B赢半决赛）= P（B赢D）=． 决赛对手是A或C：P（对手是A）= P（A赢半决赛）=，P（B赢A）= 1－p =． P（对手是C）= P（C赢半决赛）=1－p =，P（B赢C）=． 因此，P（B赢决赛）=，PB =． 综上，PA =，PB =． 【小问3详解】 略 19. 过点作圆的切线，切点分别为（在上方）． （1）求直线的方程； （2）若我们把题目中的点换做圆外任意一点，请你根据（1）中结果猜想现在直线的方程（用、表示）并证明； （3）为直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，连接与交于点，点，求线段长度的取值范围． 【答案】（1）直线，直线，直线 （2），证明： 猜想：.    过点作圆的切线，切点分别为（在上方）． 则切点在以为直径的圆上，圆心为，半径， 则圆的方程是：， 整理为： 又点在圆上， 两圆方程相减得到，即直线的方程是. （3） 【解析】 【分析】（1）讨论切线方程的斜率存不存在，利用圆心到直线距离等于半径可求出直线的方程，由此求出，进而求出直线的方程； （2）切点在以为直径的圆上，求出圆的方程，又点在圆上，两圆方程相减可求出直线的方程； （3）先求出直线的方程，可知直线过定点，且，所以点在以为直径的圆上运动且不过原点，由点与圆的位置关系可求出线段长度的取值范围． 【小问1详解】 当斜率不存在时，直线为，明显不符合； 当斜率存在时，设切线方程：. 由圆心到直线距离等于半径得，解得或， 所以两直线为：或，化简可得：或， 所以直线：；直线. 显然，联立与可得：， 解得：，所以，故. 则直线的方程为：，化简可得：. 所以直线的方程为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设由（2）可知直线， 则，则，解得：， 则直线过定点， 设直线的方程为， 则，所以直线与直线垂直， 所以点在以为直径的圆上运动且不过原点， 设以为直径的圆圆心为，半径， ∵到圆心的距离为 ∴=，（最小值为，取不到）， ∴取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉祥教育集团2025－2026学年高二上学期质量监测试题 数 学 注意事项： 1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存． 3．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 2．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 60 B. 30 C. 90 D. 0 2. 直线和直线间的距离是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（ ） A. 若是对立事件，则是互斥事件 B. 若事件相互独立，则与也相互独立 C. 若事件相互独立，则与不互斥 D. 若事件互斥，则与相互独立 4. 圆上有（ ）个点到直线的距离为. A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 5. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，两条异面直线a、b所成的角为，在直线a，b上分别取点A′，E和点A，F，使且．已知，， ，线段的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 若圆与圆N：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 某次试验掷一个骰子5次，记录下5个点数，若已知这组数据有且仅有一个6，中位数为3，方差为2.8，则从这组数据中随机抽取1个数，该数小于众数的概率为（ ） A. 0 B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．有2个正确答案的，每选对1个，得3分；有3个正确答案的，每选对1个，得2分；凡选错1个答案的，得0分．） 9. 某校为了解高二学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则（ ） A. a = 0.0175 B. 跳远距离在区间[ 200，260 ]的人数为150 C. 中位数是210 D. 平均数是218 10. 以下命题正确的是（ ） A. 两个不同平面， 的法向量分别为，，则 B. 若直线l的方向向量，平面 的一个法向量，则 C. 已知，，若与垂直，则实数 D. 若P、A、B、C为空间中不重合的四点且，则“ + = 1”是“A、B、C三点共线”的充要条件 11. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，，则 B. 若对于三点A，B，C，则“”当且仅当“点A在线段BC上” C. 对于平面上任意一点N，若，则动点的轨迹长度为8 D. 若点M在圆上，点P在直线上，则的最小值是 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为__________． 13. 阅兵式上，某型防空导弹的拦截成功率为0.8，若有3枚该型导弹同时对同一目标进行拦截，则至少有2枚导弹成功拦截目标的概率为__________．（用小数表示） 14. 已知实数x，y满足 ， 则式子的最小值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，正方体中，分别为，的中点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求与平面所成的角． 16. 已知圆，直线． （1）求证：直线恒过定点P，并求的最小值； （2）讨论直线与圆C位置关系． 17. 四棱锥中，底面，底面满足，，，． （1）画出底面的平面图及四棱锥的直观图（不要求写画法）； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 第六届嘉祥杯足球赛不同于以往的淘汰赛制（输一局就淘汰），采用双败赛制（如下图），四支队伍A、B、C、D．其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p（＜p＜1），而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时，A和C同组，B和D同组． （1）若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场表演赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率； （2）若，在淘汰赛赛制下，A和B获得冠军的概率分别为多少？ （3）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此证明双败赛制对强队更有利． 19. 过点作圆的切线，切点分别为（在上方）． （1）求直线的方程； （2）若我们把题目中的点换做圆外任意一点，请你根据（1）中结果猜想现在直线的方程（用、表示）并证明； （3）为直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，连接与交于点，点，求线段长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $