专题04 圆8大题型（期末真题汇编，湖北专用）九年级数学上学期

专题04 圆 8大高频考点概览 考点01 圆的概念和正多边形 考点02 圆周角与圆心角 考点03 垂径定理 考点04 点/直线和圆的位置关系 考点05 切线的性质和判定 考点06 弧长和扇形面积 考点07 圆与网格作图（武汉） 考点08 圆的综合 地 城 考点01 圆的概念和正多边形 1．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)如图是小亮同学用等分圆周的方法画出的美丽图案，将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省咸宁市咸安区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了旋转对称图形的性质，正确理解求解方法是关键．根据题意可得园内是一个正八边形，求出中心角，得到旋转后能重合的最小旋转角，即可求解． 【详解】解：根据题意可得圆内是一个正八边形，则， 将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度是的整倍数， ，不是整数， 旋转角度不能是， 故选：B． 2．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】本题考查了正多边形的性质，三角函数等；连接，过作交于，由正多边形的性质得，由正弦函数得 ，结合三角形的面积，即可求解；能构建直角三角形，并熟练利用正多边形的性质及三角函数进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作交于， 正八边形内接于， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 解得：， 的半径为； 故选：B． 3．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．如图，六边形是的内接正六边形，把每段弧二等份，即可得到的内接正十二边形，取弧的中点G；连接．若，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省武汉市（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）2024-2025 学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】连接，过点作于点，则，可得，则，则由勾股定理得，，在中，运用勾股定理求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵六边形是的内接正六边形， ∴点在直径上，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵点把二等分， ∴， ∴， 则由勾股定理得， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∵为直径， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆与正多边形，角直角三角形，圆周角定理，勾股定理等知识点，正确构造辅助线，利用圆与正多边形求解是解题的关键． 4．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)如图，正六边形内接于． (1)如图1，若半径为2，请直接写出图中阴影部分面积； (2)如图2，若点为上一点，连接，，，探究，，之间数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）连接，过点O作于点H，易证是等边三角形，得到，易求出，再利用勾股定理求出，再用即可得出结果； （2）在上截取，连接，求得，根据圆周角定理得到，求得，同理，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到． 【详解】（1）解：连接，过点O作于点H， ∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积为：； （2）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， 多边形是正六边形， ∴， ∴ ∴ 同理 ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在与中， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，不规则图形的面积，正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，正确地作 出辅助线是解题的关键． 地 城 考点02 圆周角与圆心角 1．(24-25九上·湖北荆州沙区·期末)下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．直线和圆有公共点，则直线与圆相交 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．半圆（或直径）所对的圆周角是直角 【答案】D 【来源】湖北省荆州市沙市区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理、直线和圆的位置关系等知识点，灵活运用圆有关定理和性质是解题的关键． 由垂径定理可判定A选项；由直线和圆的位置关系得出选项B选项；由圆心角、弧、弦的关系得出选项C选项；由圆周角定理得出选项D选项． 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故A不正确，不符合题意； B．若直线和圆有公共点，则直线和圆相交或相切，故B不正确，不符合题意； C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C不正确，不符合题意； D．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，故D正确，符合题意． 故选D． 2．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)如图，中，弦相交于P点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角的性质．先根据三角形外角的性质求出，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． 故选C． 3．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)如图，是⊙的直径，是上半圆上一点，且满足是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】取中点M，连接，由圆周角定理得到，由含30度角的直角三角形的性质求出，得到，由直角三角形斜边中线的性质推出，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得到，于是线段的最小值是． 【详解】解：取中点M，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴线段的最小值是． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形三边关系，直角三角形斜边的中线，圆周角定理，关键是由三角形三边关系定理得到． 4．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)如图，内接于圆，，，以C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，连接，并延长交圆于点D，连接，，则下列结论错误的是（   ） A．为直径 B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省孝感市孝南区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线性质，圆内接四边形性质及几何图形的综合推理，解题的关键是结合定理逐一分析选项． 利用圆周角定理，角平分线性质判断各选项：分析是否为直径，与的关系，与的和，以及与的关系． 【详解】A： ，根据圆周角定理，的圆周角所对的弦是直径， 为直径，A正确，不符合题意； B：由作图知平分，即．同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故，则，B正确，不符合题意； C： 是直径， ．若，则，但由已知条件无法推出，实际分析：所对的弧为，结合圆的性质，，C错误．符合题意； D：D正确，不符合题意，证明如下： 证明：延长至点E，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故选：C． 5．(24-25九上·湖北襄阳宜城·期末)如图，是的直径，P是延长线上的一点，切于点C，，，则的半径等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【来源】湖北省襄阳市宜城市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质．证明，得，所以，可将的长求出，进而可得的半径． 【详解】解：如图，连接，，， 切于点， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 即， 解得， ， 故的半径为2． 故选：A． 6．(24-25九上·湖北天门·期末)如图，内接于，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省天门市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题主要考查圆周角定理及扇形面积公式，熟练掌握圆周角定理及扇形面积公式是解题的关键；由题意易得，然后根据扇形面积公式及割补法可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 7．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)如图，交于点，切于点，点在上．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质，解题的关键是熟练掌握圆心与切点的连线垂直切线．根据切线的性质得到，根据圆周角定理得出，根据直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵切于点C， ∴ ∴ ∴，故B正确． 故选：B． 8．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)如图，点C是中优弧的上一点，过P点的两条切线夹角，A，B为切点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和得到，根据圆周角定理可计算出． 【详解】解：∵和为的两条切线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9．(24-25九上·湖北荆州沙区·期末)如图，在中，，，则弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省荆州市沙市区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题主要考查弧长公式、圆周角的性质等知识点，掌握弧长的计算公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）是解题关键． 根据圆周角定理求出圆心角的度数，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ． ∴弧的长为． 故选：A． 10．(24-25九上·湖北部分州·期末)如图，若是的直径，是的弦，，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省部分市州2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，根据圆周角定理求解即可． 【详解】是的直径 即 根据圆周角定理： 故选：A． 11．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)为半圆的直径，点为半圆上一点，且．为的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省咸宁市通山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了考查了圆周角定理．先利用圆周角定理求得，得到，根据是的中点，可得，据此求解即可． 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故选：C． 12．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)如图， 是的直径，点C在上，点I为的内心，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷 【分析】延长交于点，连接，由圆周角定理可得，从而得出，由三角形内心的定义可得，求出，得出，从而可得，，再由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：如图：延长交于点，连接，   ， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内心的性质、勾股定理、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 13．(24-25九上·湖北襄阳高新区·期末)已知中最长的弦长度为，是的弦，，则弦所对的圆周角度数为 ． 【答案】或 【来源】湖北省襄阳市高新区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了直径的定义，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆的基本性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 连接、，结合题意证明为等边三角形得到即可． 【详解】解：如图，连接、，    中最长的弦长度为， ∴直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 则弦所对的圆心角是， 即弦所对的圆周角度数是或， 故答案为：或． 14．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)如图，边长为的正方形的顶点、在半径为的圆上，顶点、在圆内，将正方形沿圆的内壁按逆时针方向作无滑动的滚动，当点再一次落在圆上时，点运动的路径长为 ． 【答案】 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了轨迹，正方形的性质，弧长公式等知识，解决问题的关键是弄清运动的过程．可得出经过三次点再次落在圆上，其中两次是在半径为，圆心角是度的弧上运动，一次是在半径为圆心角是度的弧上运动，根据弧长公式得出结果． 【详解】解：如图， 设圆心为，连接，，， ， 和是等边三角形， ， ， ， 点运动的路径长为 故答案为：． 15．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)如图，正六边形的中心为原点O，顶点A的坐标为，则顶点B的坐标为 ． 【答案】 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题主要考查正多边形与圆、等边三角形的性质与判定及勾股定理、图形与坐标，熟练掌握正多边形与圆、等边三角形的性质与判定及勾股定理、图形与坐标是解题的关键；连接，过点B作轴于点H，由题意易得是等边三角形，则有，然后问题可求解． 【详解】解：连接，过点B作轴于点H，如图所示： ∵正六边形的中心为原点O，顶点A的坐标为， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； 故答案为． 16．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)如图，四边形是的内接四边形，是的直径，弦平分，若，则 ． 【答案】 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补等知识．根据是的直径得到，进而求出，根据圆内接四边形性质即可求出，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵弦平分， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 17．(24-25九上·湖北荆州荆州经济技术开发区·期末)如图，在半径为5的中，弦，D为优弧的中点，C为上一点，于点E，于点H，连接．若，则 ． 【答案】 【来源】湖北省荆州市荆州经济技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】过点作于点G，连接，证明是等腰三角形，由等腰三角形三线合一可得，根据三角形外接圆的性质可得点O在上，利用勾股定理求出，进而得到，利用勾股定理求出，，由圆周角定理得到，结合，证明，推出即可． 【详解】解：过点作于点G，连接， ∵D为优弧的中点， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∵是的外接圆， ∴点O在上， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点H，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键． 18．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)如图，中，，，点在上，以A为切点，为切线的经过点A，点在上，且，则的长是 ． 【答案】 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】设交于点I，连接，由切线的性质得，而，求得，则，，所以可证明，而，则，取的中点E，连接，则，可证明垂直平分，由，求得，则，所以，由即可求得的长． 【详解】解：设交于点I，连接，则， ∵为切线的经过点A， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 取的中点E，连接，则， ∵， ∴点O、点E都在的垂直平分线上， ∴OE垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 19．(24-25九上·湖北武汉·调研)如图，是的半径，，弦于点，点在上，连接，则的大小是 ． 【答案】/度 【来源】湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，圆周角定理，掌握以上知识，数形结合分析，确定，是解题的关键． 如图所示，连接，则，则有，根据，得到，即，由圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， 故答案为： ． 地 城 考点03 垂径定理 1．(24-25九上·湖北襄阳宜城·期末)如图，中，弦，的半径长为，则圆心O到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省襄阳市宜城市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．过点作交于点，连接．根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作交于点，连接． ，， ， 在中利用勾股定理，得， 圆心到的距离为． 故选：A． 2．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)日晷仪简称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据与晷盘垂直的晷针投射到晷盘上的影子，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍的计时仪器．如图，日晷的晷盘是以点为圆心的圆，直线是日晷的底座，于点，交于点，为某一时刻晷针的影长，点在上，连接，交于点，若比小2，则的半径为（　　） A．24 B．25 C．26 D． 【答案】B 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，过O作于E，设，则，根据垂径定理得出，进而求出，，半径，在中，根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，则， 【详解】解：过O作于E， 则， ∵， ∴设，则， ∴，， ∵比小2， ∴， 又， ∴半径， 在中，， 在中，， ∴， 整理得， 解得，（此时，故舍去）， ∴半径， 故选：B． 3．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)下列命题中，①圆是中心对称图形；②垂直于弦的直线必经过圆心；③平分弦的直径必平分弦所对的两条弧；④圆内接四边形的对角互补．其中真命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了命题、中心对称图形、垂径定理、垂径定理推论、圆内接四边形，熟练掌握垂径定理与垂径定理推论是解题关键．根据中心对称图形、垂径定理、垂径定理推论、圆内接四边形逐个判断即可得． 【详解】解：圆是中心对称图形，则①是真命题； 垂直于弦且平分弦的直线必经过圆心，则②是假命题； 平分弦（非直径）的直径必平分弦所对的两条弧，则③是假命题； 圆内接四边形的对角互补，则④是真命题； 综上，真命题的个数为2个， 故选：B． 4．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)如图（1）是一款中药碾槽，碾槽底部为近似圆弧形（本题以圆弧记），槽内可以安放一个带轴的碾轮．将中药放入碾槽中，使碾轮滚动，可将中药粉碎，碾槽截面平面示意图如图（2）．设碾轮中心轴的截面图圆心为，当碾轮经过碾槽最低点时，恰好与相切于点，并且此时切点与点的距离刚好为，若所在圆半径为，且的长度为，则点，间的距离大约是（结果精确到，，）． A．19.4 B．20.6 C．21.8 D．22.0 【答案】C 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题主要考查了垂径定理、弧长公式、切线的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键，设所在的圆心为，由求出，进而得到是等边三角形，再根据特殊角，则，建立方程求解即可． 【详解】解：如图， 设所在的圆心为，所对的圆心角的度数为， ∵所在圆半径为，且的长度为， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 由题易知点F是中点， ∴， 设，则， 根据题意：， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 5．(24-25九上·湖北十堰·期末)为了美化城市环境，十堰市政府对百二河进行了全部改建和绿化，在上游建了一座圆形拱桥， 其跨度， 拱高， 则弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省十堰市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．补全图形，设，则，再根据勾股定理求出r的值即可． 【详解】解：如图，设圆心为，连接，，则共线，， 设，则， ， ． 在中， ，即， 解得． 故选：A． 6．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)如图，将一张圆形纸片进行如下操作：将圆形纸片左右对折，折痕为；将圆形纸片上下折叠，使，两点重合，折痕与相交于点；将圆形纸片沿折叠，使，两点重合，折痕与相交于；连结，，．则的面积与的面积之比为 ． 【答案】 【来源】湖北省咸宁市通山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】连接，由题意得：，，，根据三角函数，求出，然后证明是等边三角形，根据性质得，设的半径为，由勾股定理得，则，最后由面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设的半径为， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴的面积与的面积之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，垂径定理，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 7．(24-25九上·湖北天门·期末)如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以为圆心的圆的一部分，，垂足为，路面宽为，若圆的半径为，则隧道的最大高度 ． 【答案】 【来源】湖北省天门市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，理解题意，正确作出辅助线是解题关键．连接，先根据垂径定理可得，在中，利用勾股定理求出，进一步计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， 垂足为，且， 是中的弦的中点， ∴， ∵的半径长为，则， 在中，， 则． 故答案为：9． 8．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)如图，是的内接三角形，，，将绕点A逆时针旋转后得到（点B，C的对应点分别为D，E）．当与相切时，恰好所在的直线也与相切，若的半径为3，则的长为 ． 【答案】/ 【来源】湖北省武汉市（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）2024-2025 学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】先画出图形，设所在的直线也与的切点为，连接，，，，连接过的直径，连接，连接交于，过作于，由，的半径为3，可得，，，再由旋转可得，，由切线长定理可得，，，，得到，，再证明，求出，再在中利用勾股定理求即可． 【详解】解：设所在的直线也与的切点为，连接，，，，连接过的直径，连接，连接交于，过作于， ∵，的半径为3， ∴，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转后得到， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵当与相切时，恰好所在的直线也与相切， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， 由图可得，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的综合，涉及切线长定理，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点． 9．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)如图，是半圆的直径，是上一点，点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定，熟知垂径定理、圆周角定理及平行线的判定是解题的关键． （1）先根据点D是的中点，结合圆周角定理得出，进一步得出即可解决问题． （2）连接，交于点M，先根据勾股定理求出，进而得出的长，再利用勾股定理求出的长，进而得出的长，再连接，求出的长，最后在中利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：点是的中点， ． ． 在中，， ． ． ． （2）解：连接交于点，连接． 为的直径， ． 在中，， 由勾股定理得，． 点是的中点， ． 为的半径， 根据圆的对称性可知，． 即． 在中，，由勾股定理得， ． ． 在中，， 由勾股定理得，． 为的直径， ． 在中，，由勾股定理得， ． 10．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)如图是一条隧道的横截面，它的“拱顶”部分是以点O为圆心的圆的一部分，如果的半径为，跨度为． (1)求“拱顶”部分表示拱高的线段的长度； (2)若要在离隧道中心处（即）安装一支柱（垂直于），求支柱的长度． 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明，然后在用勾股定理即可得到答案； （2）作于，连接不妨设，先证明四边形是矩形，然后推出，，，然后在中用勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）解：， 的半径为 ， （2）解：作于，连接不妨设 ， 四边形是矩形 ，， 在中，，， ，（舍） 11．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 【答案】直径为 【来源】湖北省十堰市竹溪县2024-2025学年上学期期末学业水平检测九年级数学试卷 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过O点作交于点E，延长交于点F．结合垂径定理得，，再根据勾股定理列式，因为半径相等得，解得，即可作答． 【详解】解：如图所示，假设O点为圆心所在位置． 过O点作交于点E，延长交于点F．连接 由矩形纸条可得， ∵ ∴，即E，O，F三点共线, ∵纸条宽度． ∴ ∵，，， ∴， 设， 则， 则 ∵半径相等， ∴ ∴ 解得， ∴, 答：碗口直径为 12．(24-25九上·湖北随州·期末)如图，都是的半径，与交于点．若，求的长． 【答案】2 【来源】湖北省随州市2024-2025学年九年级上学期期末学业水平模拟考试数学试卷 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用得到，再结合勾股定理求出半径，即可得到的长，在圆的问题中，垂径定理通常和勾股定理一起使用，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：如图，由， ． ， ， ， ． 地 城 考点04 点/直线和圆的位置关系 1．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)已知的半径为，点在外，则线段的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省咸宁市咸安区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，（为圆半径，为点到圆心距离）当，点在圆内；当，点在圆外；当，点在圆上；据此作答即可． 【详解】解：∵的半径为，点在外， ∴线段的长度． 故选：D． 2．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)已知的半径是，点是外一点，则的长可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点是外一点，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径是，点是外一点， ∴； ∴的长可能是． 故选D． 3．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)点P在半径为的内，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】此题考查了点与圆的位置关系．当该点在圆内，则半径大于点到圆心的距离，据此即可作答． 【详解】解：∵的半径为，点在内， ∴， 则A、B、C、D四个选项，只有D选项的不符合题意， 故选：D． 4．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)如图，在中，，以为圆心，为半径作，则下列说法正确的是（    ） A．点在上 B．点在外 C．直线与相切 D．直线与只有一个交点 【答案】C 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，熟练掌握位置关系是解题的关键．根据点在圆外，点在圆上判断选项A B错误；再根据直线与圆的位置关系判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 故点在外，故选项A错误； ，故点在上，故选项B错误； ，故直线与相切，故选项C正确； 直线与有两个交点，故选项D错误． 故选C． 5．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)在矩形中，，，点为对角线，的交点，以点为圆心，为半径作，则（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．点与位置关系不能确定 【答案】C 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查勾股定理，矩形的性质，点与圆的位置关系，解题的关键在于熟练掌握相关知识．利用勾股定理求出，再结合矩形的性质得到，最后根据点到圆心的距离与半径的数量关系判断到点与圆的位置关系判断，即可解题． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴， ∴， ∵以点为圆心，为半径作， ∴点在外 故选：C． 6．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)在平面直角坐标系中，以为圆心，1为半径的圆与坐标轴的位置关系(    ) A．与x轴相切 B．与x轴相离 C．与y轴相切 D．与y轴相交 【答案】A 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握点到直线的距离与半径的大小关系是判断直线与圆位置关系的关键．根据，可判断直线与圆的位置关系． 【详解】解：点到轴的距离为， ， 点为圆心，为半径的圆与轴相切， 故选：A． 地 城 考点05 切线的性质和判定 1．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)如图，是的半径，是的弦，过点作的切线交的延长线于点，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省十堰市竹溪县2024-2025学年上学期期末学业水平检测九年级数学试卷 【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，由切线和平行线的性质可得，，由等腰三角形的性质和三角形外角性质可得，即可证，得到，进而得为等边三角形，得到，再根据等腰三角形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的切线，点是切点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，, ∴， 故选：． 2．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．结合等腰三角形三线合一的性质和平角的定义分析即可． 【详解】解：A、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； B、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； C、由，可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； D、不能判断出直线是切线，符合题意； 故选：D． 3．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族·期末)如图，，切于A、B两点，切于点E，交，于C，D．若的半径为r，的周长等于，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查的是切线的性质，特殊角的三角函数值，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，在优弧上取点，连接，根据切线长定理求出，根据正切的定义求出，根据圆周角定理，圆内接四边形的性质计算，得到答案． 【详解】解：连接，在优弧上取点，连接，    ∵切于两点， ， ∵切于点， ∴， ∵的周长等于， ∴， ∴， ， 在中，， ， ， ， 由圆周角定理得：， ， 故选：C． 4．(24-25九上·湖北十堰·期末)如图，的半径为2，点O到直线l的距离为5，点 P 是直线l上的一个动点．若切于点 B，则的最小值是 【答案】 【来源】湖北省十堰市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定最小时点的位置是解题的关键，难度一般． 因为为切线，所以是直角三角形．又为定值，所以当最小时，最小，根据垂线段最短，知时最小，根据勾股定理得出结论即可． 【详解】解：连接， ∵切于⊙于点， ∴， ∴． 又， ∴，即， ∴当最小时，有最小值． 又∵点到直线的距离为， ∴的最小值为， ∴． 故答案为：． 5．(24-25九上·湖北随州·期末)如图，的内切圆分别与三边相切于点，则的面积为 ． 【答案】24 【来源】湖北省随州市2024-2025学年九年级上学期期末学业水平模拟考试数学试卷 【分析】本题考查了切线长定理和勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握切线长定理的相关内容，找到线段之间的关系．直接利用切线长定理得出，，，设，再结合勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：的内切圆分别与斜边、直角边、切于点D、E、F，，， ，，， 设， ∵在中，， ∴， 整理得，， 解得：，（不合题意舍去）， 则，    ， ， 故的面积为24， 故答案为：24． 6．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)如图，已知，以为直径的与分别交于点D，E，与过E点的切线垂直，垂足为F． (1)求证：平分； (2)当时，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【来源】湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质． （1）利用切线的性质求得，利用平行线的性质求得，再等边对等角即可得到，即可得到平分； （2）证明，推出，即可证明． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 7．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)如图1，是的直径，，是的切线，B，C是切点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，过点 D 作，分别交，于E，F两点，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷 【分析】（1）连接，由切线的性质可得，，，结合圆周角定理可得，即可得证； （2）证明四边形是平行四边形，得出，进而可得，，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：连接， ，都是的切线， ，，， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， 又 ， 四边形是平行四边形， ， ，， 在中，， ，，即的半径为2． 【点睛】本题考查了切线的性质定理、圆周角定理、勾股定理、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 8．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)某校举行冬季运动会中，“独轮车大赛”项目深受大家喜爱．如图①，比赛用到的独轮车又被称为“手推车”，在古代主要用于短途运输．如图②所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，以边为直径作，交于点，是的切线，且，垂足为点，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】湖北省十堰市竹溪县2024-2025学年上学期期末学业水平检测九年级数学试卷 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，平行的判定与性质，解题关键在于辅助线的构造，一是构造过切点的半径，二是构造直径所对的圆周角． （1）先根据切线的性质，得出，结合，可得，再利用平行线的性质可得，然后利用等角对等边得出，从而可得； （2）先根据直径所对的圆周角是直角，证得，再根据等角对等角证得，从而可得点M是的中点，由此可求得，再证明，，设，用表示出，再利用勾股定理得到关于的方程求解求得，从而可得，再利用勾股定理求得线段的长· 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴· （2）连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点M是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得：(负值舍去)， ∴， ∴， ∴线段的长为· 9．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)点P是外一点，某同学想过P点作的切线，他的作法是这样的，先连接，再作出线段OP的中点A，然后以A点为圆心，为半径作圆，与的一个交点为点B，连接，则直线PB与相切．请你说明理由． 【答案】理由见解析 【来源】湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题主要考查切线的判定，连接，证明即可 【详解】解：连接， 如图，是的直径，故， 又∵B点在上， ∴直线与相切． 10．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)如图，中，，以为直径的半交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】湖北省咸宁市咸安区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】（1）先由直径所对的圆周角是90度得，结合等腰三角形的三线合一得，接着证明是的中位线，因为，，所以，即可作答． （2）运用勾股定理算出，再结合等面积法列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：如图，连接． 是半圆的直径， ， ， ， ， ∴是的中位线， ， 又， ， 又点在半圆上， 是半的切线； （2）解：由（1）知，Rt中，， ∴ ∵，且 则， ∴， 即， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，中位线的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 11．(24-25九上·湖北襄阳宜城·期末)如图，是的直径，与相交于点B，． (1)求证：是的切线． (2)若，求弧的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】湖北省襄阳市宜城市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】（1）要证明是的切线，只需证明即可； （2）利用含有角的直角三角形性质，可求出和的关系，的度数而，，根据其值，进而求出的半径长度，根据弧长公式即可求得答案． 【详解】（1）证明：是直径， ，即， ， ， ， 是的切线； （2）解：设半径长度为，则， 是的切线， ， ， ，， ， ，，， ， ， 弧的长度． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，圆周角定理和切线的判定，弧长公式等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 12．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)如图，为的直径，E为上一点，平分交于点C，过点C作，交的延长线于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【来源】湖北省孝感市孝南区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）连接，先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，利用平行线的判定与性质可证明，进而利用切线的判定可得结论； （2）过O作于F，利用垂径定理可得，，证明四边形为矩形得到，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为半径， 是的切线； （2）解：过O作于F， ，， ，， 又， 四边形为矩形， ， 在中，，即：， ， 即的半径长为5． 【点睛】本题考查切线的判定、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握切线的判定是解答的关键． 地 城 考点06 弧长和扇形面积 1．(24-25九上·湖北襄阳襄州区·期末)如图，是的弦，延长相交于点P．已知，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省襄阳市襄州区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】如图，连接，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而求出的长，可得答案．本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，弧长公式，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的度数20°． 即． 故选：B． 2．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)如图，是用绸布所制作的清代官员夏日官帽，要制作一个底面半径为，高为的圆锥形官帽，则所需扇形绸布的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省十堰市竹溪县2024-2025学年上学期期末学业水平检测九年级数学试卷 【分析】本题主要考查圆锥的侧面积，已知底面半径和高，根据勾股定理可计算出母线长为，同时计算出展开后扇形弧长为，所以侧面积为． 【详解】解：如图， 根据题意：， ∴圆锥形官帽的母线长为：， ∵圆锥形官帽展开后扇形弧长为：， ∴侧面积为． 故选：C． 3．(24-25九上·湖北天门·期末)用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（   ） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】C 【来源】湖北省天门市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题主要考查扇形的弧长公式，掌握圆锥的底面周长等于圆锥展开扇形的弧长，是解题的关键．先求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵扇形的弧长， ∴圆锥的底面半径． 故选：C． 4．(24-25九上·湖北荆州沙区·期末)如图，正三角形的边长为，点，，分别为，，的中点，以，，三点为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省荆州市沙市区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】连接，根据等边三角形的性质可得，，求得圆的半径都是4，再利用求解即可．本题考查等边三角形的性质、扇形的面积公式及勾股定理，把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解题的关键． 【详解】解：连接， 则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即三个圆的半径都是4， 在中，， ∴． 故选：A． 5．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)如图，将绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【来源】湖北省孝感市孝南区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题主要考查旋转的性质及扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质及扇形面积公式是解题的关键；由旋转的性质可知阴影部分的面积即为扇形的面积，然后根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∵与有一个公共部分， ∴； 故答案为． 6．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)如图，从一块直径为6的圆形铁皮上剪出一个圆周角为的扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ． 【答案】 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】本题考查的是圆锥的计算，连接，过点O作于D，根据垂径定理得到，求出，进而求出，再根据扇形弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于D， 则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 设圆锥的底面圆的半径为r， 则， 解得：， 故答案为：． 7．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)如图，从直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形和一个最大的圆形材料，刚好能围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的周长是 ． 【答案】 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设扇形的半径为，则圆锥底面圆的直径为，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长即可求得． 【详解】解：设扇形的半径为，则圆锥底面圆的直径为， 根据题意，得， 解得， 所以这个圆锥的底面圆的周长是． 故答案为：． 8．(24-25九上·湖北荆州沙区·期末)已知一个扇形的半径为，扇形的周长为，则该扇形的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【来源】湖北省荆州市沙市区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式（其中l为扇形的弧长，R为扇形所在圆的半径）是解题的关键． 先求得该扇形的弧长为，然后利用利用扇形的面积公式（其中l为扇形的弧长，R为扇形所在圆的半径）求解即可． 【详解】解：设扇形的弧长为l，则， 由题意可得：． 故答案为：． 9．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)用一个圆心角为的扇形做一个圆锥的侧面，此时圆锥的底面圆半径为3，则这个圆锥的母线长为 ． 【答案】6 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥底面的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，则，然后解方程即可． 【详解】解：设圆锥底面的半径为r， 根据题意得， 解得：． 故答案为：6． 10．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)如图是中国邮政集团公司发行的《二十四节气》特殊版式小全张，图（1）是由24枚大小相同的邮票组成的一个圆环，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，图（2）以“大雪”节气单枚邮票为例，该邮票的“直边长”为d，则“上圆弧”长与“下圆弧”长 的差为 （用含，d的式子表示）． 【答案】 【来源】湖北省武汉市（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）2024-2025 学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查弧长的实际应用，求出该邮票的对应的圆心角度数，设“下圆弧”的半径为，分别表示出和，再求差即可． 【详解】解：∵由24枚大小相同的邮票组成的一个圆环，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案， ∴每一枚邮票的圆心角为， 设“下圆弧”的半径为，则设“上圆弧”的半径为， ∴“上圆弧”长， “下圆弧”长， ∴“上圆弧”长与“下圆弧”长 的差为， 故答案为：． 11．(24-25九上·湖北十堰·期末)为了提高学生的动手能力，学校定期开展了手工制作活动，小伟同学准备用硬纸制作一个圆锥形的帽子，其底面直径，高，则需要硬纸 【答案】 【来源】湖北省十堰市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了求圆锥侧面积，熟记公式圆锥侧面积，根据题意求出母线长即可求解； 【详解】解：由题意得：圆锥形帽子的底面半径为， ∵高， ∴其母线长为； ∴圆锥的侧面积为 ， 即：需要硬纸 ； 故答案为： 地 城 考点07 圆与网格作图（武汉） 1．(24-25九上·湖北武汉·调研)如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三个格点都在上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中画出的圆心，并在弦上方的圆弧上画点，使得； (2)点在上，，在图2中画出所有满足条件的点． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【来源】湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题 【分析】（1）如图，取格点，连接，则交点即为圆心，取格点，且且过点，，连接，交圆于，交于，连接交于，连接并延长交圆于，则即为所求； （2）如图，取格点，连接，则交点即为圆心，取格点，且且过点，，连接，交圆于，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 理由如下： ∵， ∴为直径， ∵是的垂直平分线， ∴交点为圆心， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 结合三角形的内角和定理可得：， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∴； （2）解：如图，即为所求； ∵,， ∴, ∴点A、B、C、E四点共圆，即点E在上， 结合（1）可得：， ∴． 【点睛】本题考查的是复杂作图，圆周角定理的应用，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，弧，弦，圆心角定理的含义，熟练的作图是解本题的关键． 2．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，过格点，且与格线交于点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题． (1)在图1中，先画圆心，再画的中点； (2)在图2中，先画点关于点的中心对称点；再过点作的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）根据垂径定理和网格的特征进行作图即可； （2）连接并延长交于点，延长交于点G，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示： 点，点即为所求； ∵， ∴是的直径， ∵点在弦的垂直平分线上， ∴弦的垂直平分线过圆心， ∴弦的垂直平分线与的交点即为圆心， 由网格的特点可知，弦与网格线的交点N即为弦的中点，根据垂径定理可知，与的的交点即为的中点； （2）如图，点，切线即为所求． 由网格的特点可知，点是矩形对角线的交点， ∴， 即点关于点的中心对称点为点； ∵是的直径， ∴，即 ∴，垂直平分， ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是直径， ∴是的切线． 3．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)如图，是由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，过格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题． (1)在图（1）中，点为与格线的交点．作出圆心，作出的中点： (2)在图（2）中，点为与格线的交点．在上作出点，使得，在上作出点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作直径，交于点，连接交格点于，连接，延长交于点，点，点即为所求； （2）连接，得到是等腰三角形，交于点，连接交圆于，连接，得到． 【详解】（1）解：如图，点为圆的圆心，点为的中点； （2）解：如图，点、点即为所求作的点． 4．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)如图，是由边长为的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆过格点，，，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题． (1)在图1中画圆心，并过点作圆的切线； (2)在图2中作的角平分线，与圆交于点； (3)在图2中，作弦，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了圆的对称性，圆的切线的判定等知识，解决问题的关键是利用一些特殊的格线． （1）根据 的圆周角所对的弦是直径，两条直径的交点是圆心；根据边长矩形和的矩形的对角线垂直画图； （2），根据正方形的对角线平分对角，画出图形； （3）根据和的角平分线的对称性画出图形． 【详解】（1）解：如图1， ①连接格点，及格点，，则交点是圆心， ②连接格点，则是的切线； （2）如图2， 连接格点，，交于点，则是的平分线； （3）①连接格点，，交于点， ②连接，则． 5．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，、两点为格点，过、两点的圆交格线于点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图（1），先画圆心，再将线段绕点旋转180°，使点的对应点为，画出旋转后的线段； (2)如图（2），先在图上画点，连，使评分，在经过点画圆的对称轴交直线于点，然后过点画圆的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）由网格可知，，则为的直径，与垂直平分线的交点为圆心，连接并延长，与交于点，线段即为所求作； （2）根据网格的特点确定点，连接，连接并延长，交直线于点，取线段与网格的交点，此时点为的中点，连接并延长交点所在的网格线于点，易证，即，即为圆的切线． 【详解】（1）解：如图即为所求作； （2）解：如图即为所求作． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，旋转作图，圆的性质，圆的切线的性质，全等三角形的应用，掌握相关知识点正确作图是解题关键． 地 城 考点08 圆的综合 1．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且的周长为，，． (1)求的值； (2)若，将线段绕点逆时针旋转到点在上止，求点的运动路径长． 【答案】(1)； (2)． 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查了切线长定理，圆周角定理，弧长公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由切线长定理得，，，故有 ，又的周长为，得出，求解即可； （）连接，，由圆周角定理得，则，然后用弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，，分别相切于点，，， ∴，， ， ∴ ， ∵的周长为， ∴， ∵ ， ∴； （2）解：连接，， ∵，分别与相切于点，， ∴，， ∵所对圆周角和圆心角分别是，，， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴点运动的路径长． 2．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)在一次数学探究活动中，李老师设计了一份学习任务单： 已知线段，在的上方画，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？各学习小组内部交流后有什么发现？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． (1)该弧所在圆的半径长为______________； (2)“求真”学习小组的小明同学对“追梦”学习小组的汇报结论提出质疑：他所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图2所示的弓形外部，记为点．请你解答小明同学的质疑：此时___________（填“=”，“＜”或“＞”），并说明理由； 针对同学们的探究成果，李老师又提出了一个变式应用问题： (3)如图3，四边形中，，点在边上运动，当是直角三角形时，的长度为______________．（直接写出结果） 【答案】(1)4 (2)＜，见解析 (3)1或2或4或5 【来源】湖北省咸宁市咸安区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】（1）设圆心为O，连接，由题意易得，则有是等边三角形，进而问题可求解； （2）设与圆相交于点D，连接，由题意易得，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （3）由题意可分①当时，②当时，③当时，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：设圆心为O，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴； 故答案为4； （2）解：，理由如下： 设与圆相交于点D，连接，如图所示： ∴， ∵是的外角， ∴，即； 故答案为＜； （3）解：当是直角三角形时，则可分： ①当时，过点H作，垂足为Q，如图所示： ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，分别过点E、H作，垂足分别为T、Q，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可知：，， ∴， 设，则有， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验：或是原方程的解， ∴或； ③当时，如图所示： 由①可知：， ∴； 综上所述：当当是直角三角形时，的长度为1或2或4或5； 故答案为1或2或4或5． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数及圆周角的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数及圆周角的性质是解题的关键． 3．(24-25九上·湖北荆州沙区·期末)如图1，A，是上的两点，，C是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，将线段绕圆心逆时针旋转，得到线段，交于点，连接，若，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【来源】湖北省荆州市沙市区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）如图1，连接，证明是等边三角形，则，同理，进而得到即可证明结论； （2）如图2，连接，求出、，则平分得到，则、，再运用勾股定理求出、，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 同理∶， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：如图2，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵将线段绕圆心逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的周长为． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、菱形的判定、等边三角形的判定和性质、勾股定理、图形的旋转等知识点，熟练掌握菱形的判定、等边三角形的判定和性质是解题的关键． 4．(24-25九上·湖北随州·期末)已知为的直径，弦交点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，过点作的切线交的延长线于，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省随州市2024-2025学年九年级上学期期末学业水平模拟考试数学试卷 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角得出，根据等腰三角形性质得出得出，根据圆周角定理得出，求出，最后求出结果即可； （2）根据切线性质得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，解直角三角形得出． 【详解】（1）解：∵为的直径， ， ∵， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （2）解：如图，连接， ∵过点作的切线交的延长线于， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 则， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形的相关计算，勾股定理，切线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质． 5．(24-25九上·湖北襄阳宜城·期末)如图，为的直径，点D在上，． (1)尺规作图：作出弧的中点C（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，交与点E，求扇形的面积． 【答案】(1)见解答 (2) 【来源】湖北省襄阳市宜城市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】（1）作的垂直平分线，利用垂径定理解答即可； （2）先根据垂径定理可得，则，最后由扇形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：如图1所示：点即为所求； （2）解：如图2， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， 扇形的面积． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，直角三角形的性质，基本作图-线段垂直平分线等知识，掌握垂径定理是解题的关键． 6．(24-25九上·湖北武汉·调研)如图，内接于是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)5 【来源】湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为是的直径，，则，结合，故，即可作答． （2）因为，是的直径，所以，即，运用勾股定理，列式，，代入数值进行计算，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：连接，如图所示： ∵，是的直径， ∴， ∴， 设的半径为， ∵， ∴中，， ∴中，， 即， 解得， ∴的半径为5． 7．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)如图，为圆O的直径，C为圆上一点，E为弦的中点，过C作圆O的切线交延长线于点P，交圆O于点D．连接． (1)证明：为圆O的切线； (2)过点D作，交于H，交于F，，求圆O的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题主要考查了垂径定理、切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由得，由E为弦的中点，根据垂径定理可得垂直平分，则，所以，由切线的性质得，则，即可再证明结论； （2）由证明，则，推导出再证明得，而，所以，则，求得，则，于是得方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E为弦的中点， ∴， ∵垂直平分，点P在的延长线上， ∴， ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴为的切线． （2）解：∵E为弦的中点， ∴于点E， ∵于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴，解得：． ∴⊙O的半径长为． 8．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)如图，已知，其中A、B、C三点在上，分别连接，，延长交于点M，交过点C的直线l于点P，． (1)求证：是的切线； (2)若直线l与相切，已知，半径是5．求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)54 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题主要考查切线的性质与判定、平行四边形的性质及垂径定理的推论，熟练掌握切线的性质与判定、平行四边形的性质及垂径定理的推论是解题的关键； （1）由垂径定理的推论可得，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，由题意易得，然后根据勾股定理可得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵过圆心O，且， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，如图所示： ∵直线l与相切， ∴， ∵，半径是5， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 9．(24-25九上·湖北天门·期末)如图，切于点，是直径，是上一点，，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】湖北省天门市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】（1）如图，连接，先证出，得出，进而即可得证； （2）证出得出，再由勾股定理即可得出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ，，， ， ， ， 又点在上， 是的切线； （2）解：， ，， ， ，， ， ， ． ， ， 在中，由勾股定理可得：． 【点晴】本题主要考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 10．(24-25九上·湖北鄂州·期末)如图，是的直径，是的弦，半径，交于点F，点D在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】湖北省鄂州市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）连接，由等边对等角可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，即，然后根据切线的判定定理即可得出结论； （2）由三角形的内角和定理可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，切线的判定，三角形的内角和定理，含度角的直角三角形，勾股定理，求其他不规则图形的面积，三角形的面积公式，求扇形面积等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 11．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交于点． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)直线与的位置关系是相切，理由见解析 (2)的长为． 【来源】湖北省咸宁市通山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】（1）连接，由得到，由平分得到 ，则，求出，进而得到，根据切线的判定得出即可； （2）根据勾股定理得出方程，求出方程的解得到的半径，再利用三角函数的定义求得，利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：直线与的位置关系是相切， 理由是：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 即， 为半径， ∴线与的位置关系是相切； （2）解：设的半径为， 则， 在中， 由勾股定理得：， 即， 解得：，即的半径是， ∴，， ∴， ∴， ∴的长． 【点睛】本题考查圆与直线的位置关系和勾股定理，弧长公式，角函数的定义．解题的关键是掌握圆与直线的位置关系和勾股定理． 12．(24-25九上·湖北黄冈·期末)如图，是的直径，是的弦，半径，交于点，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】湖北省黄冈市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了切线的判定和性质、等腰三角形的性质以及扇形面积的计算： （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，，求得，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据三角形的内角和定理得到，求得，，求得 ，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接． ， ． ， ． ， ． ， ， ． ， ． 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ． ， ， ， ． ， ，． 图中阴影部分的面积的面积扇形的面积． 13．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)如图，已知等腰中，，以为直径作交于点，过作于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】（1）连接，根据易得到，结合半径相等得到，进而得到，结合得到，再利用切线的判定求解； （2）根据，进而得到，结合易得到，利用勾股定理求出、的长度，进而得到的长度，最后用来求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ． 又， ， ， ． ， ． 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ． 而， ， ， 即． 又， ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，求出圆的半径和、、的长度是解答关键． 14．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)已知等腰三角形的周长为，等腰三角形绕它底边上的高旋转形成一个圆锥，试确定旋转形成的圆锥的侧面积的范围，并写出对应腰长的取值范围． 【答案】腰长范围为时，圆锥的侧面积的范围是 【来源】湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】设等腰三角形的腰长为，则底长为，圆锥的侧面积为，根据圆锥侧面积公式得到，然后根据三角形三边关系求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，则底长为， 设圆锥的侧面积为， 则有 ∵ ∴开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 ∴当时，y随x的增大而减小 由三角形三边关系，得 解得 ∴当时， ∴当腰长x范围为时，圆锥的侧面积y的范围是． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，圆锥侧面积公式，等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识，解题的关键是表示出圆锥侧面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04圆 ☆8大高频考点概览 考点01圆的概念和正多边形 考点02圆周角与圆心角 考点03垂径定理 考点04点/直线和圆的位置关系 考点05切线的性质和判定 考点06弧长和扇形面积 考点07圆与网格作图（武汉） 考点08圆的综合 目目 考点01 圆的概念和正多边形 1.(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)如图是小亮同学用等分圆周的方法画出的美丽图案，将该图案绕其中 心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度不能是() A.45° B.60° C.90 D.180° 2.(24-25九上湖北武汉东湖新技术开发区期末)如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O,连接AE,HE, 若S△4EH=4V2,则⊙0的半径为() 1/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G H B A.2 B.2V2 C.2V3 D.4 3.(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”， 就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，如 图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，把每段弧二等份，即可得到⊙O的内接正十二边形，取弧CD 的中点G;连接FG.若AB=2,则FG的长为() E 0 53 A A.4 B.22 C.23 D.V2+6 4.(24-25九上湖北武汉汉阳区·期末)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O. (1)如图1，若⊙0半径为2，请直接写出图中阴影部分面积： D 图2 (2)如图2，若点P为CD上一点，连接EP,CP,AP,探究EP,CP,AP之间数量关系，并说明理由. 2/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图2 目目 考点02 圆周角与圆心角 1,(24-25九上湖北荆州沙区期末)下列说法正确的是（） A,平分弦的直径垂直于弦 B,直线和圆有公共点，则直线与圆相交 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.半圆（或直径）所对的圆周角是直角 2.(24-25九上湖北宜昌夷陵区期末)如图，⊙0中，弦AC,BD相交于P点，∠A=40°，∠APD=75°，则 LC=() A,40° B.25° C.35 D.75° 3.(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)如图，AB是⊙0的直径，AB=4,C是上半圆AB上一点，且 满足∠CAB=30°，D是下半圆AB上一个动点，过点A作CD的垂线，垂足为E,则点D从点A运动到点B的过程 中，线段BE的最小值是() C E D A.号 B.9 C.7-3 D.7+ 4 4.(24-25九上湖北孝感孝南区·期末)如图，△ABC内接于圆，AC<BC,∠ACB=90°，以C为圆心，适当 3/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 长为半径画弧，交CA于点M,交CB于点N,分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点 H,连接CH,并延长交圆于点D,连接AD,BD,则下列结论错误的是() D A.AB为直径 B.AD=BD C.∠CAD+∠ADB=180° D.AC+BC=2CD 5.(24-25九上湖北襄阳宜城期末)如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，PC切⊙0于点C, PC=V5,PB=1,则⊙0的半径等于() A.2 B.3 C.4 D.5 6.(24-25九上湖北天门期末)如图，△ABC内接于⊙0，连接0A,0B.若0A=4,∠C=45°，则图中阴 影部分的面积为() A.T-2 B.4π-4 C.4π-8 D.4π-42 7.(24-25九上湖北孝感云梦县·期末)如图，OA交⊙0于点B,AC切⊙0于点C,D点在⊙0上，若 ∠D=25°，则∠A为() 4/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.25° B.40° C.50° D.65° 8.(24-25九上湖北宜昌宜都期末)如图，点C是⊙O中优弧AB的上一点，过P点的两条切线PA、PB夹角 LAPB=80°，A,B为切点，则∠ACB的度数是() B A.80° B.60° C.50 D.40 9.(24-25九上·湖北荆州沙区·期末)如图，在⊙0中，∠C=30°，0A=2,则弧AB的长为() A号 B.月 c. D. 10.(24-25九上湖北部分州期末)如图，若AB是⊙0的直径，CD是⊙0的弦，∠CDB=65°，则LABC度数 为() 0 ⊙ D A.25 B.35 C.45 D.65 11.(24-25九上湖北咸宁通山县期末)AB为半圆0的直径，点C为半圆0上一点，且∠ABC=40°，D为BC的 中点，则LCAD的度数为() 5/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.15° B.20° C.25° D.30 12.(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙0上，点I为△ABC的内心， 若∠BI0=2LAI0,I0=1,则A0的长是() A.2+1 B.V3+1 C.22 D.5 13.(24-25九上·湖北襄阳高新区期末)已知⊙0中最长的弦长度为10cm,AB是⊙0的弦，AB=5cm,则 弦AB所对的圆周角度数为 14.(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)如图，边长为3的正方形的顶点A、B在半径为3的圆上，顶点C、D在 圆内，将正方形ABCD沿圆的内壁按逆时针方向作无滑动的滚动，当点B再一次落在圆上时，点B运动的路 径长为 A B 15.(24-25九上湖北宜昌宜都期末)如图，正六边形的中心为原点O,顶点A的坐标为(2,0)，则顶点B的 坐标为一 6/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16.(24-25九上湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的 直径，弦BD平分∠ABC,若∠C=57°，则∠ADB=. D O 17.(24-25九上湖北荆州荆州经济技术开发区·期末)如图，在半径为5的⊙0中，弦AB=8,D为优弧AB 的中点，C为AD上一点，DE⊥AC于点E,DH⊥BC于点H,连接DB.若HB=6,则DE=· H 18.(24-25九上湖北武汉汉阳区期末)如图，△ABD中，∠BAD=120°，AB=V3,点0在BD上，以A为切 点，AD为切线的⊙0经过点A,点C在⊙0上，且∠BCD=150°，则AC的长是一· B D 19.(24-25九上湖北武汉·调研)如图，OA是⊙O的半径，OB=AB,弦CD⊥0A于点B,点E在⊙O上，连 接EC,ED,则∠CED的大小是· 7/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 目目 考点03 垂径定理 1,(24-25九上湖北襄阳宜城期末)如图，⊙0中，弦AB=8cm,⊙0的半径长为5cm,则圆心O到AB的 距离为() A B A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 2.(24-25九上·湖北武汉青山区期末)日晷仪简称日晷，是观测日影计时的仪器.它是根据与晷盘垂直的晷 针投射到晷盘上的影子，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍的计时仪器，如图，日晷的晷盘是 以点O为圆心的圆，直线l是日晷的底座，OA11于点A,交⊙0于点D(AD>10),OC为某一时刻晷针的影长， 点C在⊙0上，连接AC,交⊙0于点B,若0M=39=号AD比AB小2，则⊙0的半径为《） A.24 B.25 C.26 D.153 3,(24-25九上·湖北宜昌夷陵区期末)下列命题中，①圆是中心对称图形；②垂直于弦的直线必经过圆心； ③平分弦的直径必平分弦所对的两条弧；④圆内接四边形的对角互补，其中真命题的个数为() A,1 B.2 C.3 D.4 4,(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)如图(1)是一款中药碾槽，碾槽底部为近似圆弧形（本题以圆弧 记)，槽内可以安放一个带轴的碾轮，将中药放入碾槽中，使碾轮滚动，可将中药粉碎，碾槽截面平面示 8/25 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 意图如图(2)，设碾轮中心轴的截面图圆心为G,当碾轮经过碾槽最低点E时，⊙G恰好与BC相切于点F, π 并且此时切点F与点E的距离刚好为(43-4)cm,若BC所在圆半径为r,且BC的长度为r,则点B,C间的距 离大约是（结果精确到0.1cm,V3≈1.73，V2≈1.41）， G 图(1) 图(2) A.19.4 B.20.6 C.21.8 D.22.0 5.(24-25九上湖北十堰期末)为了美化城市环境，十堰市政府对百二河进行了全部改建和绿化，在上游建 了一座圆形拱桥，其跨度AB=16m,拱高CD=4m,则弧AB所在圆的半径为() C B D A.10m B.8m C.6m D.4m 6.(24-25九上湖北咸宁通山县·期末)如图，将一张圆形纸片进行如下操作①将圆形纸片左右对折，折痕 为AB;②将圆形纸片上下折叠，使A,B两点重合，折痕CD与AB相交于点O;③将圆形纸片沿EF折叠，使 B,O两点重合，折痕EF与AB相交于G;④连结AE,AF,EF,则△AEF的面积与⊙O的面积之比 为一 B 7.(24-25九上湖北天门期末)如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以0为圆心的圆的一部分， C0⊥AB,垂足为M,路面AB宽为6m,若圆的半径为5m,则隧道的最大高度CM=m. AM B 8.(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)如图，△ABC是⊙0的内接三角形， 9/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC>BC,∠ACB=45°，将△ABC绕点A逆时针旋转后得到△ADE(点B,C的对应点分别为D,E),当 AD与⊙O相切时，恰好DE所在的直线也与⊙O相切，若⊙O的半径为3，则BC的长为· 0 9.(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)如图，AB是半圆O的直径，C是AB上一点，点D是BC的中 点，连接AD, (I)求证：ACIOD; (2)若AB=10,AC=8,求AD的长. 10.(2425九上·湖北宜昌宜都期末)如图是一条隧道的横截面，它的“拱顶”部分是以点0为圆心的圆的一 部分，如果⊙O的半径为5m,跨度AB为8m. D B (I)求“拱顶”部分表示拱高的线段CD的长度； (②)若要在离隧道中心3m处（即CE=3m)安装一支柱EF(EF垂直于AB)，求支柱EF的长度， 11.(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的 碗口的直径.以下是他的测量方案和相关数据： 测量主 测量碗口的直径 题 10/25