方法技巧专题(3) 圆的切线的证明-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

跨单元整合 方法技巧专题（三） 圆的切线的证明 01考点突破 3.(2025·天水模拟)如图，CD是⊙O的直径， 点B在⊙O上，连接BC,BD,过圆心O作 类型一直线与圆有公共点：连半径，证垂直 解题技巧 OE∥BC交BD于点G,连接EB并延长，交 已知直线与圆有公共点，证明直线与圆相切的方 DC延长线于点A,且∠D=∠E. 法是：连接公共点和圆心，然后证明连线与直线垂直 求证：AE是⊙O的切线. 证明垂直的方法有以下几种：(1)利用勾股定理的逆 定理证垂直；(2)利用特殊角或一般角之间的转化证 垂直；(3)利用三角形全等证明要证的角等于已知的 某个直角；(4)利用平行线的性质证明要证的角等于 已知的某个直角等. (一)利用勾股定理逆定理证垂直 1.如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延 长线上，⊙O的半径为3，PB=2,PC=4. 求证：PC是⊙O的切线. (三)利用三角形全等转化证垂直 4.如图，已知AB是⊙O的直径，BC切⊙O于 点B,D是⊙O上异于A,B的一个动点，连 接AD,过O作OC∥AD交BC于点C. 求证：CD是⊙O的切线 (二)利用特殊角或一般角之间的转化证垂直 2.(2025·沈阳模拟)如图，BC是⊙O的直径， 点D是BC延长线上一点，AB=AD,AE是 ⊙O的弦，∠AEC=30°. 求证：直线AD是⊙O的切线. 101九年级数学·上册 (四)利用平行线转化证垂直 02素养提升 5.(2024·甘孜州)如图，AB为⊙O的弦，C为 7.如图，点C在以AB为直径的⊙O AB的中点，过点C作CD∥AB,交OB的延 上，延长AB到点E,连接CE,过 长线于点D.连接OA,OC. 点A作AD⊥CE,交EC的延长线 求证：CD是⊙O的切线. 于点D,交⊙O于点F,连接BC,CF,若 ∠DCF=∠DAB. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若BC=5,DF=3,求⊙O的半径. 类型二直线与圆无公共点：作垂直，证半径 解题技巧 若直线与圆没有公共点，证明直线与圆相切的方 法是：过圆心作直线的垂线，然后证明垂线段的长等 于半径 6.(2025·宜昌模拟)如图，四边形ABCD中， ∠DAB=∠ABC=90°，点O是AB的中点， ∠COD=90°，以AB为直径作半圆⊙O. 求证：CD是⊙O的切线. 助学助教优质高数102∠BAC,DE⊥AC,∴.DE=DB=r.:DE⊥AC,∴AC与⊙D相切.5.50°6.(1) 34°(2)C7.证明：连接OC..AD⊥CE,∴.∠D=90°..EC切⊙O于C,.∠OCE =90°=∠D..AD∥OC.∴∠DAC=∠ACO.:OA=OC,.∠ACO=∠CAE.∴ ∠DAC=∠EAC.8.16π9.10010.2√311.(1)证明：连接OD..BC为圆O 的切线，∴.BC⊥OB,即∠CBO=90..ED∥OC,∴.∠COB=∠DEO,∠COD= ∠EDO..OD=OE,∴.∠DEO=∠EDO.∴.∠COB=∠COD..OB=OD,OC=OC .△BCO2△DCO..∴.∠CDO=∠CBO=90°.即OD⊥CD.又OD为圆的半径，. CD为圆O的切线；(2)解：设⊙O的半径长为x,则AO=x+1..AO=AD+OD, .(1+x)2=2+x2.解得x=1.5.答：⊙O的半径长为1.5. 第11题图 第12题图 12.(1)证明：连接OC,AD⊥CD,∠D=90°.：点C为EB的中点，.EC=BC ∠EAC=∠BAC.'OA=OC,.∠BAC=∠OCA.∴.∠EAC=∠OCA..AE∥OC. ∴.∠ADC=∠OCG=90°.即OC⊥DC.又OC为⊙O的半径，∴.CD是⊙O的切线；(2) 解：设⊙O的半径为r,过点O作OF⊥AE于F,则∠OFD=∠OFA=90°，AF=EF 又… ∠D=∠DCO=90°，∴.四边形OCDF是矩形..OF=DC=2,OC=DF=r. EF=AF=r-1.在Rt△OFA中，OA2=AF2+OF2,∴.r2=(r-1)2+22.解得r=2.5. ..⊙0的半径是2.5. 方法技巧专题（三）圆的切线的证明 1.证明：连接OC,由题意，得PO=5,OC=3,则OC+PC=32+4=25,而OP2=5 =25,∴.OC2+PC2=OP..∴.∠OCP=90°，即OC⊥CP.又.CO是半径，.PC是⊙O 的切线 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.证明：连接OA,:∠AEC=30°，AC=AC,∴∠B=∠AEC=30°，∠AOC=2∠AEC =60°.AB=AD,∴.∠D=∠B=30°..∠OAD=180°-∠AOC-∠D=90°，即OA ⊥AD.OA是⊙O的半径，∴.直线AD是⊙O的切线.3.证明：连接OB,.CD是 ⊙O的直径，.BC⊥BD.OE∥BC,∴.OE⊥BD..∠DGO=∠BGE=90°.∠D= ∠E,∴.∠DOE=∠DBE.OD=OB,.∴.∠D=∠DBO..∠D+∠DOG=90°， ∠OBD+∠DBE=90°.∴.∠OBE=90°，即OB⊥BE..'OB是⊙O的半径，∴.AE是 ⊙O的切线.4.证明：连接OD,BC切⊙O于点B,∴.∠OBC=90°.由OD=OA 得：∠OAD=∠ODA..OC∥AD,.∠DOC=∠ODA,∠BOC=∠OAD.∴.∠DOC ∠BOC.又.OD=OB,OC=OC,.∴.△ODC2△OBC.∴.∠ODC=∠OBC=90°..OD ⊥CD.又：OD是半径，.CD是⊙O的切线.5.证明：设OC交AB于点E,:C是 AB的中点，∴.AC=BC..∠AOC=∠BOC.又OA=OB,.OC⊥AB,即∠OEB= 90°..CD∥AB,∴.∠OCD=∠OEB=90°，即OC⊥CD..OC是⊙O的半径，.CD是 ⊙O的切线」 第5题图 第6题图 第7题图 6.证明：延长DO交CB的延长线于点E,过点O作OF⊥CD,垂足为F.:点O是AB 的nn&6∠6oooo6AoDD62oE, ∠DOC.又，OC=OC,,∴.△DOC≌△EOC..∴.∠DCO=∠ECO,即OC平分∠DCB. 又OF⊥CD,OB⊥CB,.OF=OB=r.又OF⊥DC,∴.DC是⊙O的切线.7.(1) 证明：连接OC,AC,BF,BF交CO于H.AB是直径，AD⊥CD,∴∠D=∠AFB 90°.∴BF∥CD.∴.∠1=∠2.BC=BC,∠1= 2∠DAB,∠3=∠2=∠1= ∠DAB..∠3=∠5.又.OA=OC,∴.∠4=∠3=∠5.∴.OC∥AD.∴.∠OCD=180 ∠D=90°.即OC⊥DE.又.OC是半径，.DE是⊙O的切线；(2)由(1)知∠D ∠DCO=∠DFH=90°，.四边形DCHF是矩形.∴.DF=CH=3,∠CHF=90°.∴. 在Rt△BCH中，BH=√BC-C平=√5-3=4.设⊙O的半径为r,则OH=r 3.在Rt△OBH中，OH+BH=B0,∴(-3)+4=r.解得，=25 6 21