专题03 旋转6大题型（期末真题汇编，湖北专用）九年级数学上学期人教版

专题03 旋转 6大高频考点概览 考点01 旋转的性质 考点02 画旋转图形 考点03 坐标与图形变换 考点04 中心对称图形及其性质 考点05 关于原点对称的点的坐标 考点06 旋转综合 地 城 考点01 旋转的性质 1．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)如图，轩轩不小心将家中装垃圾的灰斗碰倒了，此时与地面的夹角为，，轩轩将其扶正后，点落在地面上，则绕点旋转的角度为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·湖北仙桃·期末)如图，点是等边内一点，，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到对应，若点恰好在边上，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)如图，在等边中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，那么线段的长为（   ） A． B．6 C． D． 5．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族·期末)如图所示的阴影图案是由绕O点旋转形成的，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．(23-24九上·湖北武汉青山区·期中)小明在如图所示的方格纸中，将三个顶点都在格点上的经过旋转后得到，则其旋转中心是（    ） A．格点M B．格点P C．格点Q D．格点N 7．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)如图是小亮同学用等分圆周的方法画出的美丽图案，将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度不能是（   ） A． B． C． D． 8．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)如图，五角星图案围绕中心旋转，至少旋转多少度才能与自身重合（　　） A． B． C． D． 9．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)如图，在中，，，D为边（端点除外）上的动点，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，，则周长的最小值是 ． 10．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)如图，将绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是 ． 11．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)如图，在等边中，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为点，连接，当线段最小时，的长为 ． 12．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，取的中点D，的中点E．则在旋转过程中，线段的最小值为 ，线段的最大值为 ． 13．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点B，D，E在同一条直线上，，则的度数为 ． 14．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)如图，将绕点A顺时针旋转，旋转角为（），得到，这时点C旋转后的对应点D恰好在直线上，则用含的式子表示为 ． 15．(24-25九上·湖北随州·期末)如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，则的度数为 ． 16．(24-25九上·湖北潜江·期末)点是以为斜边的等腰直角三角形内一点，若，则的面积是 ． 17．(24-25九上·湖北黄冈黄梅县部分学校·月考)如图，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到，边绕点A逆时针旋转得到，连接．若，，且，则①的度数是 ；② ． 18．(24-25九上·湖北鄂州·期末)如图所示，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接，，并延长交于点D，则的度数是 ，的长为 ． 19．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． (1)则___________； (2)若，求的长． 20．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点 C的对应点E恰好落在边的延长线上，求的大小． 21．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)如图，已知四边形是矩形． (1)尺规作图：将矩形绕着点顺时针旋转一定角度得到矩形，使点落在边上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若旋转角，则_____（用含的代数式表示）． 22．(24-25九上·湖北襄阳宜城·期末)如图，已知正方形，点E是对角线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转至的位置，连接．求证：． 23．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接． (1)判断的形状为___________； (2)若，求的度数． 24．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)如图，在中，，，将绕着点顺时针方向旋转得，，相交于点． (1)求和的大小； (2)若，则直接写出的大小． 25．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到，使得，求的度数． 26．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)如图，在中，，，点D为上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转到（点D的对应的为E），连接． (1)求证：； (2)若，，直接写出线段的长为 ． 27．(24-25九上·湖北武汉·调研)如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若A，D，E三点在一条直线上，求的大小． 28．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)如图，和都是等边三角形，点在上（不与、重合），连接．    (1)由等边三角形的性质易证（不需证明），将旋转可与重合，指出旋转中心，旋转方向和旋转角： 旋转中心：________________； 旋转方向：________________；（填“顺时针”或“逆时针”） 旋转角：________________；（填角度大小） (2)在（1）的基础上，当时，求的度数． 地 城 考点02 画旋转图形 1．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，． (1)以A为旋转中心，将绕A点逆时针旋转，画出旋转后的对应的，C点的对应点为，写出点的坐标； (2)求（1）中，点C旋转到点所经过的路径长．（结果保留根号和） 2．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，先画的高，再将线段绕点D逆时针旋转，画对应线段； (2)在图2中，先画的角平分线，再将线段绕点F旋转，画对应线段（点G与点A对应）． 3．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△的顶点都在格点上． (1)把△向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到，画出； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出； (3)试判断与的位置关系． 4．(24-25九上·湖北仙桃·期末)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标，，都在格点上． (1)若平移后得到，当的坐标为，画出，并写出，的坐标； (2)将绕原点逆时针旋转得到，画出，并直接写出点的坐标； (3)求的面积． 5．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，它们的坐标分别是，，，将绕点逆时针旋转后得到（与对应，与对应） (1)画出旋转后的三角形； (2)的长度为 ． 6．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)如图，在正方形网格中，的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作关于点对称的； (2)在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 7．(24-25九上·湖北随州·期末)如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出绕点A逆时针旋转后得到的，并直接写出点的坐标； (2)在（1）的条件下，求点旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 地 城 考点03 坐标与图形变换 1．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)如图，按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，点的坐标为，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)如图，点的坐标为，将线段绕原点逆时针旋转，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)如图，已知点的坐标为，点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点．将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．(23-24九上·湖北恩施土家族苗族利川忠路镇小河初级中学·期末)如图，将绕原点O逆时针旋转得到，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)如图，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点的坐标为 ． 地 城 考点04 中心对称图形及其性质 1．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)农历乙巳蛇年快到了，乐乐准备到集市上买一些漂亮的窗花，请你帮她挑选出既是中心对称图形，又是轴对称图形的窗花（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·湖北襄阳襄州区·期末)下列消防安全标志图中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)下列绿色能源图标中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)下列图案是我国国产汽车的标识，在这些图案中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标，它（    ） A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 D．既是轴对称图形又是中心对称图形 6．(24-25九上·湖北天门·期末)2025年1月5日，是二十四节气的小寒．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“立夏”，“大雪”，“小寒”，“立春”，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)下列四幅图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 8．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 9．(24-25九上·湖北襄阳宜城·期末)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 10．(24-25九上·湖北宜昌五峰土家族自治县·期末)下列图形中，是中心对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 11．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所（院）的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．长春光学精密机械与物理研究所 B．西安光学精密机械研究所 C．武汉岩土力学研究所 D．数学与系统科学研究院 12．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)博物馆在社会教育中发挥着重要作用，通过展示和解释文物，博物馆可以帮助公众了解历史传承文化．下列是我国部分省市博物馆的图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 13．(24-25九上·湖北随州·期末)以下是在围棋谱中截取的由黑白棋子摆成的图案，是中心对称图形的是（   ）． A．B． C． D． 14．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)2024年9月21日，中国载人航天工程迎来立项32周年．中国载人航天用30年跨越了发达国家半个世纪的发展历程．下列航天图标是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 15．(24-25九上·湖北武汉·调研)下列图形中，不是中心对称图形的是（   ） A．  B．  C．   D．   16．(24-25九上·湖北潜江·期末)二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点05 关于原点对称的点的坐标 1．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)已知点与点Q关于原点对称，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·湖北十堰·期末)已知点A 和点B 关于原点对称， 则 ． 3．(23-24九上·湖北荆州沙第十一中学·期中)在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是 ． 地 城 考点06 旋转综合 1．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)如图1，在中，，，点D在边（端点除外）上，连接，将线段绕点B顺时针旋转，得到对应线段，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，，交于点G． ①求证：； ②连接，若，，直接写出的长． 2．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)问题背景： （1）如图（1），将绕点逆时针旋转得到，此时三点在同一直线上，求证：平分； 尝试运用： （2）如图（2），在（1）的条件下，，连接，点为的中点，点为的中点，连接，求证：； 拓展创新： （3）如图（3），在中，，点为线段上一动点，在左侧作，当点从点运动至点的过程中，点的运动路径长为___________． 3．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)【问题背景】如图，正方形和正方形，，，三点共线，，，将正方形绕点顺时针旋转，连接，． 【问题解决】 (1)如图，求证：； (2)如图，在旋转过程中，当，，三点共线时，试求的长； (3)在旋转过程中，是否存在某时刻，使得，若存在，请直接写出的长，若不存在，请说明理由． 4．(24-25九上·湖北荆州荆州经济技术开发区·期末)在数学综合与实践活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)探究一：小明将矩形纸片绕顶点C顺时针旋转到矩形位置，连接，，，如图1，则的形状为________． (2)探究二：小明将矩形绕顶点C顺时针旋转得到矩形，当点F恰好落在的延长线上时，设与相交于点M，如图2，若，，求的长． (3)探究三：小明将矩形绕顶点A逆时针旋转一定角度，得到矩形，且点E恰好落在边上，如图3，连接交于点O，连接．求证：O是的中点． 5．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)如图，已知，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点恰好落在边上 (1)求证：平分； (2)当时，其它条件不变，如图，连接，判断线段与线段的位置关系，并说明理由； (3)如图，请连接，猜想与的数量关系，并说明理由； (4)如图，当，，时，求的长. 6．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)在中，，，D为直线上一点（点D不与点B、C重合）． (1)如图1，当点D在线段上时，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．判断线段与的数量关系和位置关系，并证明； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，写出此时线段、、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点F为外部一点，若，，，请直接写出的长． 7．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)将正方形的边，绕着点顺时针旋转至，连接． (1)如图1，连接，若，则___________． (2)如图2，与关于正方形的中心对称（其中点的对称点分别是点，连接，过点作交的延长线于点，连接． ①求的度数； ②若，请直接写出的长． 8．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)在和中，，，，连，，分别为，的中点，为中点，连，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，探究线段，间的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)当，，绕点旋转过程中，若，，三点在同一条直线上，请画出旋转后的对应图形，并直接写出，两点的距离． 9．(24-25九上·湖北襄阳襄州区·期末)如图①，已知，，，．将绕点A按逆时针方向旋转得到，使点落在内部，与交于点O．     (1)_________； (2)过点B作，交的延长线于点F，与交于点G． ①当绕点A按逆时针方向旋转时，________； ②当时，请猜想线段和的数量关系，并加以证明； (3)如图②，当时，过点B作干点M．求的长． 10．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)在矩形中，，连接和的中点，，把四边形绕点逆时针旋转（）到四边形的位置，的延长线交于点． (1)当点落在线段边上时，如图，直接写出的度数、与的数量关系； (2)当，，在同一直线上时，如图，交于点，求与的数量关系； (3)当，，在同一直线上时，如图，交于点，探究与的数量关系． 11．(24-25九上·湖北荆州沙区·期末)如图，点是正方形内一点，，，，绕点A顺时针旋转得到，连接，延长与相交于点． (1)求线段的长； (2)求角的大小； (3)求正方形的面积． 12．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)如图1，在正方形中，为对角线上一点，连接，． (1)线段，的数量关系为： ，并证明你的结论； (2)如图2，将线段绕点按逆时针方向旋转一定角度，得到线段，其中点恰好在上，连接，求证：是等腰直角三角形； (3)如图3，在（2）的基础上，分别延长和，两线相交于点，若，，求线段的长． 13．(24-25九上·湖北随州·期末)矩形中，，点分别在边上，．    (1)如图1，连接，若，求证：； (2)如图2，若，求的值； (3)如图3，连接，若，求的长． 14．(24-25九上·湖北天门·期末)探究：如图1和图2，四边形中，已知，，点、分别在、上，． (1)①如图1，若、都是直角，把绕点A逆时针旋转至，使与重合，直接写出线段、和之间的数量关系______； ②如图2，若、都不是直角，但满足，线段、和之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (2)拓展：如图3，在中，，，点、均在边边上，且，若，求的长． 15．(24-25九上·湖北部分州·期末)如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（，为常数）与轴交于点，顶点为点．点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得取得最小值，求点坐标； (3)若点坐标为，连接，取线段的中点，将点绕点顺时针方向旋转得到点，连接，以，为邻边构造矩形． ①设的长为，求关于的函数解析式； ②请直接写出当点在矩形外部时，的取值范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 旋转 6大高频考点概览 考点01 旋转的性质 考点02 画旋转图形 考点03 坐标与图形变换 考点04 中心对称图形及其性质 考点05 关于原点对称的点的坐标 考点06 旋转综合 地 城 考点01 旋转的性质 1．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)如图，轩轩不小心将家中装垃圾的灰斗碰倒了，此时与地面的夹角为，，轩轩将其扶正后，点落在地面上，则绕点旋转的角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省十堰市竹溪县2024-2025学年上学期期末学业水平检测九年级数学试卷 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平角的定义，根据题意可求出左边图中，的度数，则可得到绕点A逆时针旋转的度数，据此可得答案． 【详解】解：如左边图所示，∵与地面的夹角为， ∴， ∵， ∴， ∴， 如右边图所示，∵点D落在地面上， ∴绕点A逆时针旋转了， ∴绕点旋转的角度为， 故选：C． 2．(24-25九上·湖北仙桃·期末)如图，点是等边内一点，，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省仙桃市 2024—2025 学年上学期九年级期末考试数学试题 【分析】将绕点顺时针旋转得，连接，可得是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，得到，过作交的延长线于点，然后利用勾股定理和直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得，连接， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， 如图，过作交的延长线于点， ， ， 由勾股定理得，， ， ， 如图，过点作交于点， ， ， 由勾股定理得， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，旋转的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 3．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到对应，若点恰好在边上，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，利用勾股定理求出，根据旋转的性质可得，，由，即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由旋转的性质得，， ∵点恰好在边上， ∴， 故选：B． 4．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)如图，在等边中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，那么线段的长为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】由等边三角形的性质可得，由线段中点的定义可得，由三线合一可得，则，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，，由此可得是等边三角形，由等边三角形的性质可得，于是得解． 【详解】解：是等边三角形， ， 又是的中点， ，， ， ， 将线段绕点逆时针旋转后得到， ，， 是等边三角形， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，三线合一，线段中点的有关计算等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质及旋转的性质是解题的关键． 5．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族·期末)如图所示的阴影图案是由绕O点旋转形成的，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】该题主要考查了旋转性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 根据旋转性质和三角形内角和定理以及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ∴， 故选：A． 6．(23-24九上·湖北武汉青山区·期中)小明在如图所示的方格纸中，将三个顶点都在格点上的经过旋转后得到，则其旋转中心是（    ） A．格点M B．格点P C．格点Q D．格点N 【答案】C 【来源】湖北省武汉市青山区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查找旋转中心，根据旋转的性质，旋转中心为对应点连线的中垂线上，连接，两条线段的中垂线的交点即为旋转中心．掌握旋转的性质，是解题的关键． 【详解】解：旋转的性质，旋转中心为对应点连线的中垂线上，连接，两条线段的中垂线的交点即为旋转中心． ， 故选C． 7．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)如图是小亮同学用等分圆周的方法画出的美丽图案，将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省咸宁市咸安区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了旋转对称图形的性质，正确理解求解方法是关键．根据题意可得园内是一个正八边形，求出中心角，得到旋转后能重合的最小旋转角，即可求解． 【详解】解：根据题意可得圆内是一个正八边形，则， 将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度是的整倍数， ，不是整数， 旋转角度不能是， 故选：B． 8．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)如图，五角星图案围绕中心旋转，至少旋转多少度才能与自身重合（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查了旋转图形，由旋转图形得，即可求解；理解旋转图形的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 至少旋转才能与自身重合； 故选：D． 9．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)如图，在中，，，D为边（端点除外）上的动点，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，，则周长的最小值是 ． 【答案】 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质，连接，作点关于直线的对称点，连接，，证明点、、、四点共圆得出，从而可得，由轴对称的性质可得，，得出的周长，当点、、三点共线时，周长有最小值，计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，， ∵将线段绕点D逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∴， ∵点和点关于直线对称， ∴，， ∴的周长， 当点、、三点共线时，周长有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 10．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)如图，将绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【来源】湖北省孝感市孝南区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题主要考查旋转的性质及扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质及扇形面积公式是解题的关键；由旋转的性质可知阴影部分的面积即为扇形的面积，然后根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∵与有一个公共部分， ∴； 故答案为． 11．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)如图，在等边中，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为点，连接，当线段最小时，的长为 ． 【答案】 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 根据旋转的性质，垂线段最短，求出当最小时，、的长度，的度数，即可求解． 【详解】解：根据旋转的性质得：，， 当最小时最小， ∵点到直线距离，垂线段最短， ∴当时，、最小， ∵等边，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 12．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，取的中点D，的中点E．则在旋转过程中，线段的最小值为 ，线段的最大值为 ． 【答案】 2.5 6.5 【来源】湖北省孝感市孝南区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后，对应边线段及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．连接，根据将绕顶点顺时针旋转得到，可得，，由为的中点，知，求出，即可得当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，当在延长线上时，取最大值． 【详解】解：连接，如图： 将绕顶点顺时针旋转得到， ，， 为的中点， ， ，为中点， ， 在中，， 当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时， 如图： 的最小值为， 同理，当在延长线上时，取最大值，此时， 的最大值为， 故答案为：2.5；6.5 13．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点B，D，E在同一条直线上，，则的度数为 ． 【答案】 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了旋转的性质．根据旋转的性质得出，，，推出，即可推出结果． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)如图，将绕点A顺时针旋转，旋转角为（），得到，这时点C旋转后的对应点D恰好在直线上，则用含的式子表示为 ． 【答案】 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，得到，最后结合三角形内角和定理出推导与旋转角的关系． 【详解】解：点C旋转后的对应点恰好在直线上， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．(24-25九上·湖北随州·期末)如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，则的度数为 ． 【答案】/110度 【来源】湖北省随州市2024-2025学年九年级上学期期末学业水平模拟考试数学试卷 【分析】本题主要考查旋转的性质，四边形内角和，涉及到互补的关系，能熟练运用旋转的性质是解题关键．根据旋转的性质得到对应角相等，然后在四边形中，利用四边形内角和为，求出的度数． 【详解】根据旋转可得：， ， ， 在四边形中， 故答案为：． 16．(24-25九上·湖北潜江·期末)点是以为斜边的等腰直角三角形内一点，若，则的面积是 ． 【答案】 【来源】 湖北省潜江市2024-2025学年九年级上学期期末质量检测数学试题 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质．等边三角形的判定与性质，将绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质得，，，，则可判断为等腰直角三角形，所以，，然后根据勾股定理的逆定理可判断为直角三角形，；则，所以，可以判断点、、共线，得到为直角三角形，然后利用的面积进行计算，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到， ， ，，，， 为等腰直角三角形， ，， 在中，，，， 而， ， 为直角三角形，； ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 点、、共线， 为直角三角形， 的面积 ． 故答案为：． 17．(24-25九上·湖北黄冈黄梅县部分学校·月考)如图，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到，边绕点A逆时针旋转得到，连接．若，，且，则①的度数是 ；② ． 【答案】 /120度 【来源】湖北省黄冈市黄梅县部分学校2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试卷 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，勾股定理，旋转的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 作交的延长线于，由三角形的内角和定理可得，，由，可解，从而求出及，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ，， ， ， ， ， ，， 在中，则有，， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：，． 18．(24-25九上·湖北鄂州·期末)如图所示，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接，，并延长交于点D，则的度数是 ，的长为 ． 【答案】 /45度 【来源】湖北省鄂州市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质．过点作交的延长线于点．由旋转的性质，得，，，．所以，求得的度数，得到是等腰直角三角形，根据勾股定理，求得．证明，求得的长．再根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 由旋转的性质，得，，，． ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴根据勾股定理，得， 在中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：，． 19．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． (1)则___________； (2)若，求的长． 【答案】(1)90 (2) 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． （1）先根据旋转的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，由此即可得； （2）先根据旋转的性质可得，利用勾股定理可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90． （2）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴在中，． 20．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点 C的对应点E恰好落在边的延长线上，求的大小． 【答案】 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质，依题意得，从而得出，，证明为等边三角形得出，即可得解． 【详解】解：依题意，得， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 21．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)如图，已知四边形是矩形． (1)尺规作图：将矩形绕着点顺时针旋转一定角度得到矩形，使点落在边上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若旋转角，则_____（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题主要考查尺规作图，矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质． （1）用圆规以点为圆心，为半径画圆，交于点，再过点作的垂线，在上截取，再分别以点为圆心，为半径画弧，再以A为圆心，为半径画弧，两弧交于点，则四边形即为所作； （2）利用旋转的性质得到且，利用等腰三角形的性质以及矩形的性质即可求解． 【详解】（1）解：四边形如图所示： ； （2）解：由旋转的性质可知， ∴，， ， ， ∵四边形是矩形, ∴， ∴， 故答案为：． 22．(24-25九上·湖北襄阳宜城·期末)如图，已知正方形，点E是对角线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转至的位置，连接．求证：． 【答案】见解析 【来源】湖北省襄阳市宜城市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键，由旋转的性质可得，由正方形的性质得到，从而推出，再利用，即可证得． 【详解】解：∵绕点D顺时针旋转至的位置， ∵四边形为正方形， ， ， 即． 在与中， ， ． 23．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接． (1)判断的形状为___________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)等腰三角形 (2) 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质， （1）根据旋转的性质可推出结论； （2）根据旋转的性质得出，根据平行线的性质得出，从而得出结果； 解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等． 【详解】（1）解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴的形状为等腰三角形， 故答案为：等腰三角形； （2）∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴ ． ． ∴， ∴的度数为． 24．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)如图，在中，，，将绕着点顺时针方向旋转得，，相交于点． (1)求和的大小； (2)若，则直接写出的大小． 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识；熟练掌握旋转的性质和平行线的性质，求出的度数是解题的关键． （1）先根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出，由旋转的性质可得，再根据邻补角的定义求出，由四边形内角和为即可解答； （2）由旋转的性质可得，，再由平行线的性质得，进而推出，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得的度数，结合（1）即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴； （2）解：由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 25．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到，使得，求的度数． 【答案】 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质得出，再结合，可推出结果． 【详解】解：将绕点旋转到， ， ， 又 ， ， ， ∴． 26．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)如图，在中，，，点D为上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转到（点D的对应的为E），连接． (1)求证：； (2)若，，直接写出线段的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】湖北省武汉市（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）2024-2025 学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识． （1）先由旋转的性质得，，再由已知证明即可得出结论； （2）连接，先由得，，再由已知推出，进而可得，再由勾股定理得，再由可得答案． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点C顺时针旋转到， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 由（1）得，， ∴， 故答案为：． 27．(24-25九上·湖北武汉·调研)如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若A，D，E三点在一条直线上，求的大小． 【答案】 【来源】湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，先求解，证明，，，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴． 28．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)如图，和都是等边三角形，点在上（不与、重合），连接．    (1)由等边三角形的性质易证（不需证明），将旋转可与重合，指出旋转中心，旋转方向和旋转角： 旋转中心：________________； 旋转方向：________________；（填“顺时针”或“逆时针”） 旋转角：________________；（填角度大小） (2)在（1）的基础上，当时，求的度数． 【答案】(1)点A；逆时针； (2) 【来源】湖北省咸宁市咸安区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了旋转图形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握旋转图形的性质，等边三角形的性质是解题的关键， （1）根据旋转图形的特征作答即可； （2）由，得，再证，从而得，即可得解。 【详解】（1）解：将旋转可与重合，指出旋转中心，旋转方向和旋转角： 旋转中心：点； 旋转方向：逆时针； 旋转角：； 故答案为：点A；逆时针； （2）解： 又 是等边三角形， ∴ 地 城 考点02 画旋转图形 1．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，． (1)以A为旋转中心，将绕A点逆时针旋转，画出旋转后的对应的，C点的对应点为，写出点的坐标； (2)求（1）中，点C旋转到点所经过的路径长．（结果保留根号和） 【答案】(1)见详解， (2) 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了旋转作图点的坐标，勾股定理以及求弧长，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据旋转性质画出，再读取点的坐标，即可作答． （2）运用勾股定理求出，再求出弧长，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： ， ∴点的坐标为； （2）解：， 则点C旋转到点所经过的路径长． 2．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，先画的高，再将线段绕点D逆时针旋转，画对应线段； (2)在图2中，先画的角平分线，再将线段绕点F旋转，画对应线段（点G与点A对应）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷 【分析】本题考查作图-旋转变换，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）取格点T，连接交于点D，线段即为的高．取格点J，构造等腰直角三角形，交于点E，线段即为所求； （2）取格点T，作射线交于点F，线段即为所求．取格点K，J，连接交射线于点H（可以证明），取格点M，N，连接交的延长线于点G（，由，推出），连接，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，线段，即为所求； （2）解：如图2中，线段即为所求． ． 3．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△的顶点都在格点上． (1)把△向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到，画出； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出； (3)试判断与的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)． 【来源】湖北省十堰市竹溪县2024-2025学年上学期期末学业水平检测九年级数学试卷 【分析】本题考查了作图——平移变换和旋转变换，熟练掌握平移的性质及旋转的性质找出对应点或对应边是解题的关键． （1）根据平移的规则，画出即可； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）由平移的性质得：，由旋转的性质得：，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由平移的性质得：， 由旋转的性质得：， ∴． 4．(24-25九上·湖北仙桃·期末)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标，，都在格点上． (1)若平移后得到，当的坐标为，画出，并写出，的坐标； (2)将绕原点逆时针旋转得到，画出，并直接写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)画图见解析，， (2)画图见解析，点 (3) 【来源】湖北省仙桃市 2024—2025 学年上学期九年级期末考试数学试题 【分析】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，平移作图，数形结合是解题的关键． （1）由题意可得：向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到，画出图形，并写出点，的坐标； （2）根据旋转的性质即可画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，，； （2）如图所示，即为所求，点； （3）． 5．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，它们的坐标分别是，，，将绕点逆时针旋转后得到（与对应，与对应） (1)画出旋转后的三角形； (2)的长度为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查坐标与旋转，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出旋转图形即可； （2）利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）由勾股定理，得：． 6．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)如图，在正方形网格中，的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作关于点对称的； (2)在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】湖北省咸宁市通山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查旋转作图，作中心对称图形，熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质是解题的关键． （1）利用中心对称的性质，分别作出点A、B、C关于点O的对称点、、，再顺次连接即可； （2）根据旋转的性质，分别作出点B、C绕点A顺时针方向旋转得到对应点、，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作； ； （2）解：如图，即为所作； ． 7．(24-25九上·湖北随州·期末)如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出绕点A逆时针旋转后得到的，并直接写出点的坐标； (2)在（1）的条件下，求点旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 【答案】(1)见解析； (2) 【来源】湖北省随州市2024-2025学年九年级上学期期末学业水平模拟考试数学试卷 【分析】此题考查了作图——旋转变换，弧长公式，解题的关键是掌握旋转的性质和弧长公式． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点、，即可画出图形； （2）先计算出的长，然后根据弧长公式计算点旋转到点所经过的路径长； 【详解】（1）解：如图，即为所求； 点的坐标为； （2）解：根据题意得：， ∴点旋转到点所经过的路径长为． 地 城 考点03 坐标与图形变换 1．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)如图，按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，点的坐标为，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】根据每次旋转得出绕原点顺时针旋转6次回到起始位置，根据，得出第2024次旋转结束时，点对应点的坐标和第2次旋转结束时点对应点的坐标相同，然后根据旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识求出，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴将绕原点顺时针旋转6次回到起始位置， ∵， ∴第2024次旋转结束时，点对应点的坐标和第2次旋转结束时点对应点的坐标相同， 第2次旋转结束图形如下： 过轴于C， ∵点的坐标为， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵旋转两次， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴第2024次旋转结束时，点对应点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转，点的坐标规律探索，勾股定理，含角的直角三角形的性质，正确找出规律是解题的关键． 2．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)如图，点的坐标为，将线段绕原点逆时针旋转，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省咸宁市咸安区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作轴于点，由点的坐标可得：，，由旋转可得：，，证明，得到，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 点的坐标为， ，， 由旋转可得：，， ， 轴，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为， 故选：C． 3．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)如图，已知点的坐标为，点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点．将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，坐标与图形，三角函数，由菱形的性质及三角函数得，按 次一个循环，即可求解；能由旋转的性质、形的性质、三角函数求出旋转后对应点的坐标，找出规律是解题的关键． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 由旋转得：， 同理可求：，，， 按 次一个循环， ， 第2024次旋转结束时，点的坐标为； 故选：A． 4．(23-24九上·湖北恩施土家族苗族利川忠路镇小河初级中学·期末)如图，将绕原点O逆时针旋转得到，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州利川市忠路镇小河初级中学2023－2024学年九年级上学期期末数学模拟试题 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，根据旋转前后对应线段的长度不变解答即可． 【详解】由图易知，，，， ∵将绕原点O逆时针旋转得到， ∴，，， ∵点D在第二象限， ∴点D的坐标是． 故选：A． 5．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)如图，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【来源】湖北省咸宁市通山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了旋转的性质．根据题意作轴，轴，证即可求解． 【详解】解：如图所示：作轴，轴， 由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的坐标为， 故答案为：． 地 城 考点04 中心对称图形及其性质 1．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)农历乙巳蛇年快到了，乐乐准备到集市上买一些漂亮的窗花，请你帮她挑选出既是中心对称图形，又是轴对称图形的窗花（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省十堰市竹溪县2024-2025学年上学期期末学业水平检测九年级数学试卷 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 据此即可求解． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、该图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2．(24-25九上·湖北襄阳襄州区·期末)下列消防安全标志图中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省襄阳市襄州区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题主要考查了中心对称图形，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意． 故选D． 3．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)下列绿色能源图标中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：B． 4．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)下列图案是我国国产汽车的标识，在这些图案中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键．根据把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，故符合题意； C、不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 5．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标，它（    ） A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 D．既是轴对称图形又是中心对称图形 【答案】D 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是正确掌握中心对称图形的定义．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：该图形既是轴对称图形又是中心对称图形 故选：D． 6．(24-25九上·湖北天门·期末)2025年1月5日，是二十四节气的小寒．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“立夏”，“大雪”，“小寒”，“立春”，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省天门市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B．是中心对称图形，故B选项符合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 7．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)下列四幅图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【来源】湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 8．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的识别是解题的关键．根据中心对称图形的特征，将图形旋转后与原图形重合即为中心对称图形，即可得到答案． 【详解】 解：不是中心对称图形，故选项A不符合题意； 是中心对称图形，故选项B符合题意； 不是中心对称图形，故选项C不符合题意； 不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选B． 9．(24-25九上·湖北襄阳宜城·期末)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省襄阳市宜城市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，关键是掌握中心对称图形、轴对称图形的定义．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C符合题意； D、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 10．(24-25九上·湖北宜昌五峰土家族自治县·期末)下列图形中，是中心对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【来源】 湖北省宜昌市五峰土家族自治县2024-2025学年九年级上学期期末阶段性学业水平诊断数学试题 【分析】本题主要考查中心对称图形的概念．找到图形的对称中心，使图形绕着对称中心旋转后能够与原图形完全重合的即是中心对称图形． 【详解】解：A 、绕着圆心旋转不能与原图形完全重合，不是中心对称图形； B、绕着圆心旋转能与原图形完全重合，是中心对称图形； C、绕着圆心旋转不能与原图形完全重合，不是中心对称图形； D、绕着圆心旋转不能与原图形完全重合，不是中心对称图形； 故选：B． 11．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所（院）的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．长春光学精密机械与物理研究所 B．西安光学精密机械研究所 C．武汉岩土力学研究所 D．数学与系统科学研究院 【答案】D 【来源】湖北省咸宁市通山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 12．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)博物馆在社会教育中发挥着重要作用，通过展示和解释文物，博物馆可以帮助公众了解历史传承文化．下列是我国部分省市博物馆的图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形．如果把一个图形绕某个点旋转，这个图形可以与它本身重合，这个图形就是中心对称图形；如果把一个图形沿某直线折叠，折叠后直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故B选项符合题意； C选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意． 故选：B． 13．(24-25九上·湖北随州·期末)以下是在围棋谱中截取的由黑白棋子摆成的图案，是中心对称图形的是（   ）． A．B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省随州市2024-2025学年九年级上学期期末学业水平模拟考试数学试卷 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A．该图案是中心对称图形，故此选项符合题意； B．该图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 14．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)2024年9月21日，中国载人航天工程迎来立项32周年．中国载人航天用30年跨越了发达国家半个世纪的发展历程．下列航天图标是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省武汉市（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）2024-2025 学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形（在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形能互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形）的识别方法是解题的关键．利用中心对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 15．(24-25九上·湖北武汉·调研)下列图形中，不是中心对称图形的是（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【来源】湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题 【分析】本题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可． 【详解】解：A、选项中的图形是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图形是中心对称图形，故此选项不合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 16．(24-25九上·湖北潜江·期末)二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】 湖北省潜江市2024-2025学年九年级上学期期末质量检测数学试题 【分析】此题主要考查了轴对称图形，中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义，和轴对称图形的定义，即可判断答案．关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：选项A是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意； 选项B是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意； 选项C不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； 选项D是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意； 故选：D． 地 城 考点05 关于原点对称的点的坐标 1．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)已知点与点Q关于原点对称，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案． 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是． 【详解】解：平面直角坐标系中，已知点与点Q关于原点对称， 则Q点坐标为． 故选：C． 2．(24-25九上·湖北十堰·期末)已知点A 和点B 关于原点对称， 则 ． 【答案】 【来源】湖北省十堰市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，代数式求值，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，由题意得：，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故答案为： 3．(23-24九上·湖北荆州沙第十一中学·期中)在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是 ． 【答案】 【来源】湖北省荆州市沙市第十一中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点关于原点对称点的坐标是 故答案为： 地 城 考点06 旋转综合 1．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)如图1，在中，，，点D在边（端点除外）上，连接，将线段绕点B顺时针旋转，得到对应线段，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，，交于点G． ①求证：； ②连接，若，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷 【分析】（1）由旋转的性质可得，，证明即可得证； （2）①由(1)中，可得，推出，求出，在上截取，连接，则为等边三角形，得出，，证明，得出，即可得证；②先证明垂直平分，得出，设，求出，，再结合，列方程计算即可得解． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由(1)中，可得， ∴， 又∵， ∴， ∴ ； 在上截取，连接， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②如图，延长交于，连接， ， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)问题背景： （1）如图（1），将绕点逆时针旋转得到，此时三点在同一直线上，求证：平分； 尝试运用： （2）如图（2），在（1）的条件下，，连接，点为的中点，点为的中点，连接，求证：； 拓展创新： （3）如图（3），在中，，点为线段上一动点，在左侧作，当点从点运动至点的过程中，点的运动路径长为___________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的应用，巧妙运算三角函数值证明相似是解题关键． （1）根据旋转的性质和等边对等角的性质，即可证明； （2）延长交于点，连接、，由旋转和等腰三角形的性质，得出，，再结合特殊角的正弦值，证明，得到，即可得到结论； （3）作，作于点，连接，先利用特殊角的正弦值，证明，从而说明、、三点共线，进而得到点在直线上运动线段为点的运动路径，再利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，， ， ， 平分； （2）解：如图，延长交于点，连接、， 由旋转的性质可知，，，， ， 点为的中点，点为的中点， ，，，， ，即， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，作，作于点，连接， ，， ， ，， ，即， ， ， ， ， 、、三点共线， 点在直线上运动， 当点在点处时，点在点处；当点在点处时，点在点处，即线段为点的运动路径， ， ，， 在中，， ， ， ， ， 点的运动路径为1． 3．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)【问题背景】如图，正方形和正方形，，，三点共线，，，将正方形绕点顺时针旋转，连接，． 【问题解决】 (1)如图，求证：； (2)如图，在旋转过程中，当，，三点共线时，试求的长； (3)在旋转过程中，是否存在某时刻，使得，若存在，请直接写出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【来源】湖北省十堰市竹溪县2024-2025学年上学期期末学业水平检测九年级数学试卷 【分析】（）根据正方形的性质可得，，，然后证明，由全等三角形的性质即可求证； （）连接交于点，由四边形是正方形，，则，，，，然后通过勾股定理和线段和差即可求解； （）过点作，交的延长线于点，由，则，所以，然后通过勾股定理和线段和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形和均为正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接交于点， ∵四边形是正方形，， ∴，，，， ∴，， ∵，，三点共线， 在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：存在，，如图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，含角的特殊直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用是题的关键． 4．(24-25九上·湖北荆州荆州经济技术开发区·期末)在数学综合与实践活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)探究一：小明将矩形纸片绕顶点C顺时针旋转到矩形位置，连接，，，如图1，则的形状为________． (2)探究二：小明将矩形绕顶点C顺时针旋转得到矩形，当点F恰好落在的延长线上时，设与相交于点M，如图2，若，，求的长． (3)探究三：小明将矩形绕顶点A逆时针旋转一定角度，得到矩形，且点E恰好落在边上，如图3，连接交于点O，连接．求证：O是的中点． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2) (3)见解析 【来源】湖北省荆州市荆州经济技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】（1）由，可知是等腰三角形，再由，推导出，即可判断出是等腰直角三角形， （2）证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，勾股定理列出方程，解得即可； （3）如图，作于，结合旋转可得：，，，证明，结合，可得，进一步可得结论． 【详解】（1）解：两个完全相同的矩形纸片和， ， 是等腰三角形， ，．， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形， （2）解：，，， ， ， ，， ， ，， ， 在中，， ， 解得． （3）解：如图，作于， 由旋转可得：，，， ∴， ∵矩形，矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴O是的中点． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 5．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)如图，已知，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点恰好落在边上 (1)求证：平分； (2)当时，其它条件不变，如图，连接，判断线段与线段的位置关系，并说明理由； (3)如图，请连接，猜想与的数量关系，并说明理由； (4)如图，当，，时，求的长. 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 (4) 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）由旋转的性质可得：，，所以，求得，即可得证； （2）由旋转的性质可得：，，，进而可得，由得，所以，即，即可求解； （3）由旋转的性质得到：，，，进而可得，由三角形内角和定理得：，再结合，即可求解； （4）由旋转的性质得到：，，，，进而得到，所以，由（3）可知，，求得，在中,求得，设，则，在中，，所以，解出的值即可． 【详解】（1）证明：由旋转得到，由旋转的性质可得：，， ， ， 平分； （2）解：，理由： 由旋转的性质可得：，，， ，， ， 在中，， ， ，即， ； （3）解：，理由： 由旋转得到， ，，， ， 在中：， ， ； （4）解：由旋转得到 ，，，， ， ， 由（3）可知，， 又， 在中，，则， 设，则， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形的内角和定理、解直角三角形，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 6．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)在中，，，D为直线上一点（点D不与点B、C重合）． (1)如图1，当点D在线段上时，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．判断线段与的数量关系和位置关系，并证明； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，写出此时线段、、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点F为外部一点，若，，，请直接写出的长． 【答案】(1)，，证明见解析 (2)，见解析 (3) 【来源】湖北省孝感市孝南区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转变换的性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的性质即可解答； （2）证明，得到，根据勾股定理以及等量代换计算即可； （3）如图3，将绕点逆时针旋转至，连接、，则是等腰直角三角形，易证明得到，由勾股定理可得，最后根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ，即． 故答案为：，． （2）解：，理由如下： 如图2，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ，即． ，即． （3）解：如图3，将绕点逆时针旋转至，连接、，则是等腰直角三角形， ， ∵， ， 同理得：， ， 中，， ， ∵是等腰直角三角形， ，即，解得：． 7．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)将正方形的边，绕着点顺时针旋转至，连接． (1)如图1，连接，若，则___________． (2)如图2，与关于正方形的中心对称（其中点的对称点分别是点，连接，过点作交的延长线于点，连接． ①求的度数； ②若，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①；② 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】（1）由正方形和旋转可得，，，结合得到是等边三角形，即可得到，利用等腰三角形得到，求出， （2）①连接与交于点，连接，过点A作，交延长线于点Q，设，则，，得到 ，再由对称得到，，，即可得到四边形是平行四边形，得到，推出，再证明，得到； ②过点作于，过点作于，先证明四边形是矩形，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，则，最后根据结合三线合一得到． 【详解】（1）解：∵正方形的边，绕着点顺时针旋转至， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①连接与交于点，连接，过点A作，交延长线于点Q， 则， ∵四边形是正方形，， ∴，，正方形的中心为O， ，， 设， ，， ， ∵点A、E的对称点分别是点C、F， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ， 又， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； ②过点作于，过点作于，则， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质． 8．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)在和中，，，，连，，分别为，的中点，为中点，连，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，探究线段，间的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)当，，绕点旋转过程中，若，，三点在同一条直线上，请画出旋转后的对应图形，并直接写出，两点的距离． 【答案】(1)见解析 (2)，；理由见解析 (3)2或1 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）根据可证明； （2）由三角形中位线定理得出，，，，由全等三角形的性质得出，，证出，则可得出结论； （3）分两种情况，由（1）（2）的结论可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，；理由如下： ∵F，G，H分别是，，的中点， ∴是中位线，是中位线， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）解：分以下两种情况： 当A，E，D位于点C的上方， 由（1）可知，， ∴， 由（2）可知为的中位线， ∴，， ∴， ∵，为中点， ∴，， ∴，， ∴，C，H，G三点共线， ∴， ∴， ∴； 当A，E，D位点C的下方，同理可得，， ∴． 综上所述，的长为2或1． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运用全等三角形的性质是解本题的关键． 9．(24-25九上·湖北襄阳襄州区·期末)如图①，已知，，，．将绕点A按逆时针方向旋转得到，使点落在内部，与交于点O．     (1)_________； (2)过点B作，交的延长线于点F，与交于点G． ①当绕点A按逆时针方向旋转时，________； ②当时，请猜想线段和的数量关系，并加以证明； (3)如图②，当时，过点B作干点M．求的长． 【答案】(1) (2)①，②，证明见解析 (3) 【来源】湖北省襄阳市襄州区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】（1）利用勾股定理求出，根据旋转的性质即可得到答案； （2）①由题意可得，，解得，即可得得到；②证明，则由即可证明结论成立； （3）过点作于点，证明，得到，由得到，根据解得，则，得到，根据即可得到． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴， 故答案为： （2）①由题意可得，， ∴，， ∴， 解得， ∴ 故答案为： ②，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ （3）过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵，即， 解得， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴ ∴，即 ∴ 【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理、旋转的性质、全等三角形是判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质和锐角三角函数是解题的关键． 10．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)在矩形中，，连接和的中点，，把四边形绕点逆时针旋转（）到四边形的位置，的延长线交于点． (1)当点落在线段边上时，如图，直接写出的度数、与的数量关系； (2)当，，在同一直线上时，如图，交于点，求与的数量关系； (3)当，，在同一直线上时，如图，交于点，探究与的数量关系． 【答案】(1)； (2) (3) 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）连接，依题意得出边形，是正方形，根据正方形的性质可得，进而得出；证明四边形是平行四边形，得出； （2）设，则；连接，，根据题意得出是等边三角形，得出，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理得出，进而求得，即可求解； （3）证明得出，设，则，勾股定理可得；进而求得，设，则，，勾股定理可得，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，连接和的中点，， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形， 同理可得四边形是正方形 如图所示，连接，则 ∵把四边形绕点逆时针旋转（）到四边形的位置， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点落在线段边上，是正方形的对角线 ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：设，则； 如图所示，连接，， ∵四边形是正方形，当，，在同一直线上时， ∴ 又∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴ 又∵ ∴ 在中，， ∴ ∴ 在中， ∴， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ 在中，，， ∴ ∴ ∴； （3）解：在和中， ∴ ∴， 设，则， 在中，， ∴ 解得：； ∴，， ∴， ∴， 连接 在中， ∴ ∴ 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，正方形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．(24-25九上·湖北荆州沙区·期末)如图，点是正方形内一点，，，，绕点A顺时针旋转得到，连接，延长与相交于点． (1)求线段的长； (2)求角的大小； (3)求正方形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)13． 【来源】湖北省荆州市沙市区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、勾股定理逆定理、正方形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据正方形的性质得、，再利用旋转的性质得，，于是可判断是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理即可解答； （2）由等腰直角三角形性质知，利用旋转的性质得，再根据勾股定理的逆定理可证明为直角三角形且，然后利用平角定义求得的度数； （3）如图：作，垂足为E，由、，求出，在中，再运用勾股定理求出，最后根据正方形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴、， ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴． （2）解：∵是等腰直角三角形， ， 在中，，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形且， ∴． （3）解：如图：作，垂足为E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为． 12．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)如图1，在正方形中，为对角线上一点，连接，． (1)线段，的数量关系为： ，并证明你的结论； (2)如图2，将线段绕点按逆时针方向旋转一定角度，得到线段，其中点恰好在上，连接，求证：是等腰直角三角形； (3)如图3，在（2）的基础上，分别延长和，两线相交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】（1）由正方形的性质可得，，然后利用可证得，进而由全等三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）得，，由全等三角形的性质可得，分别延长和，两线相交于点，由旋转的性质可得，进而可得，由等边对等角可得，进而可得，由正方形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，由三角形外角的性质可得，于是结论得证； （3）连接，由正方形的性质可得，则，由直角三角形的两个锐角互余可得，由（2）得，，即，进而可得，由等角对等边可得，进而可得，又由（2）得，即，因而是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，设正方形的边长为，则，，由（2）得，进而可得，由勾股定理可得，，即，解方程即可求出正方形的边长，在中，根据勾股定理可得，由此即可求出线段的长． 【详解】（1）解：，理由如下： 证明结论： 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， 故答案为：； （2）证明：由（1）得：，， ， 如图，分别延长和，两线相交于点， 由旋转的性质可得：， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，连接， 四边形是正方形， ， ，， 由（2）得：，， 即：， ， ， ， 又由（2）得：， 即：， 是的垂直平分线， ， 设正方形的边长为，则，， 由（2）得：， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：， ， 整理，得：， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 在中， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，因式分解法解一元二次方程，线段垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的性质，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 13．(24-25九上·湖北随州·期末)矩形中，，点分别在边上，．    (1)如图1，连接，若，求证：； (2)如图2，若，求的值； (3)如图3，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【来源】湖北省随州市2024-2025学年九年级上学期期末学业水平模拟考试数学试卷 【分析】（1）由等边对等角可得出，根据三角形内角和定理可得出，根据直角三角形两锐角互余可得出，，进而可得出 ，则可得出． （2）由，将绕点顺时针旋转，得，则，再证明，由全等三角的性质得出，设，由勾股定理得出，进而求出，，进而可得出答案． （3）将绕点顺时针旋转，得，证明，由全等三角形的性质得出，作交的延长线于点，再利用勾股定理求出， 设，由 再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：如图，，   ， 而 则， 又∵是矩形， ∴， ． （2）解：如图，由，将绕点顺时针旋转，得    则 则 又 ， 设，由 ∴． 即． 则（舍去） （3）解：如图，绕点顺时针旋转，得    则 则 又 作交的延长线于点 设，由 得 则（舍去） ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，勾股定理等知识，掌握旋转的性质是解题的关键． 14．(24-25九上·湖北天门·期末)探究：如图1和图2，四边形中，已知，，点、分别在、上，． (1)①如图1，若、都是直角，把绕点A逆时针旋转至，使与重合，直接写出线段、和之间的数量关系______； ②如图2，若、都不是直角，但满足，线段、和之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (2)拓展：如图3，在中，，，点、均在边边上，且，若，求的长． 【答案】(1)①；②成立，证明见解析 (2) 【来源】湖北省天门市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】（1）①根据旋转的性质得出，，，求出，证，根据全等三角形的性质得出，即可求出答案；②结合①中证明过程即可求解； （2）作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出，，根据旋转的性质得出，，，求出，证，根据全等得出，设，则，，根据勾股定理得出方程，求出即可． 【详解】（1）解：①，理由如下， 如图1， 把绕点逆时针旋转至，使与重合， ，，，， ， 、、共线， ，， ， ， 即， 在和中， ， ≌， ， ， ； ②成立， 理由：如图，把绕点旋转到，使和重合， 则，，， ， ， 、、在一条直线上， 与①同理得，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：中，，， ， 由勾股定理得：， 如图，把绕点旋转到，使和重合，连接． 则，，， ， ， ， 在和中，， ， ， 设，则， ， ， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用．运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高． 15．(24-25九上·湖北部分州·期末)如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（，为常数）与轴交于点，顶点为点．点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得取得最小值，求点坐标； (3)若点坐标为，连接，取线段的中点，将点绕点顺时针方向旋转得到点，连接，以，为邻边构造矩形． ①设的长为，求关于的函数解析式； ②请直接写出当点在矩形外部时，的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①   ②或或． 【来源】湖北省部分市州2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】（1）把，点分别代入抛物线，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）确定点A、B是关于对称轴的对称点，连接点B与点C，与对称轴的交点就是线段和最小的位置，解得即可． （3） ①根据点M坐标为，点，线段的中点Q，得到，当即时，点在点A的右侧，此时；当即时，点在点A的左侧侧，此时，解答即可； ②根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：把，点分别代入抛物线， 得， ∴， 故抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵，点满足， ∴两点是关于直线的对称点， 连接，交直线于点，则点就是满足取得最小值的点， ∵，令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． （3）解：①∵点坐标为，点， ∴线段的中点的横坐标为， ∴， 如图所示，点在点右边， ∴，即时，点在点A的右侧， 此时； 如图所示，点在点左边， ∴，即时，点在点A的左侧， 此时． 综上所述，l关于m的函数解析式为； ②点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为， 点坐标为，点是线段的中点，且， 第一种情况，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线上方，此时点在矩形外部， ∴在点中，，则，在点中，， ∴此种情况不存在； 第二种情况，如图所示，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线下方，过点作于点，当时点在矩形外部，， ∴，即， ∴，， ∴， 解得，或， ∴； 第三种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点右边，则，此时点在矩形外部， ∴； 第四种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点左边，点右边，则，当时点在矩形外部，， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点在矩形外部时，或或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，矩形的性质，解方程组与不等式，熟练掌握待定系数法，二次函数的图象与性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $