培优03 旋转章末10种图形归类（专项训练）数学人教版九年级上册

培优03 旋转 题型1 生活中的旋转现象 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 2．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）将如图所示的图形绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）下列现象中不属于旋转的是（    ） A．B．C．    D． 4．（24-25七年级上·河北承德·阶段练习）将4张扑克牌按图1的方式放在桌面上，将其中1张扑克牌旋转了后得到图2，则被旋转过的扑克牌是（　　） A． B． C． D． 题型2 旋转的三要素 由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 5．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 7．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，三角形绕点P逆时针旋转一个角度得到三角形，则下列选项中不能表示旋转角的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）旋转中心是 ， （2）旋转角为 ． 题型3 利用旋转的性质解决规律探索问题 9．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（2023·河南许昌·二模）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 11．（2023·河南开封·一模）如图，在矩形中，已知，，矩形在直线上绕其右下角的顶点向右旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置，...，以此类推，这样连续旋转2024次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·广西河池·期中）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）． 13．（20-21九年级上·黑龙江·期中）如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向作无滑动的连续反转，点依次落在点，，的位置，则点的坐标为 ． 题型4 利用旋转的性质求解 已知旋转，立马得到以下结论： 1）对应点到旋转中心的距离相等； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等，进而对应边与对应角相等. 【易忽略】 1）旋转一定出等腰三角形. 2）若旋转角为60°，得等边三角形. 3）若旋转角为90°，得等腰直角三角形. 14．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，点D为等边边中点，点P为上一动点，连接，将绕点C逆时针旋转得，连接，求证：为定角． 15．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）如图，在等腰三角形中，，，于点D，将线段绕点C顺时针旋转角后得到线段，连接． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 16．（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．若，；求的度数． 17．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）（1）如图1，正方形的边长为4，对角线、相交于点是边上点（点不与、重合），将射线绕点逆时针旋转，所得射线与交于点，则四边形的面积为___________． 【类比迁移】（2）如图2，矩形的对角线的交点是矩形的一个顶点，将矩形绕着点旋转，与边相交于点．与边相交于点，连接，猜想之间的数量关系．并进行证明． 【拓展应用】（3）如图3，在直角中，，，，的顶点在边的中点处，，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，则的长度为___________cm． 题型5 旋转对称图形的识别 要准确识别旋转对称图形，核心是紧扣其定义：在平面内，将图形绕着一个定点（旋转中心）按某个角度（旋转角，0°< 旋转角 < 360°）旋转后，能与自身完全重合的图形。基于此定义，可按 “定中心→算角度→验重合” 的三步法解题. 18．（24-25九年级上·广东东莞·期末）我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，旋转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为． (1)判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）： ①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ ②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ (2)写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 19．（23-24八年级上·山东烟台·期末）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转或后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角． 根据以上规定，回答问题：(1)下列选项是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A．矩形    B．正五边形    C．菱形    D．正六边形 (2)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是度的有：________（填序号）．    (3)下列三个结论：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③平行四边形是旋转对称图形．其中正确的个数有________个； A．0    B．1    C．2    D．3 (4)如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有，，，，将图形补充完整．    题型6 求旋转后点的坐标 求旋转后点的坐标，核心是根据旋转中心（原点或任意定点）、旋转方向（顺时针或逆时针）和旋转角度，利用坐标变换规律计算。 常见场景：1）旋转中心为坐标原点 2）旋转中心为任意点 20．（24-25九年级上·福建福州·期末）将点顺时针旋转得到点，则的值是 ． 21．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则的坐标是 ． 22．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 23．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）在平面直角坐标系中，，线段的中点绕旋转后对应点的坐标为 ． 24．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标是，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ． 25．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段绕点B顺时针旋转，则点A的对应点C的纵坐标是 ． 题型7 费马点模型 【费马点】运用旋转的方法，以∆ABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短，得出最短长度. 【加权费马点】前面学的PA+PB+PC最小值的费马点问题线段前面系数都是l，如果现在求mPA+nPB+xC最小值，前面系数不是1，那么此类题目就叫做“加权费马点”. 【关键】系数的改变只是影响了旋转角度的改变，依然考的是旋转. 类型一 费马点 26．（24-25九年级上·云南临沧·期末）已知等腰，，点为三角形内一点，连，，． (1)如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长； (2)如图，若，，求的最小值． 27．（2025·陕西咸阳·二模）综合与实践： (1)如图1，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B 的对应点 D 恰好落在边上．则 ； (2)如图2，在中，，点D为边的中点，， 如果在平面内有一点P，且点 P到点D的距离为1，则线段长度的最大值是 ； (3)如图3是某公园的设计示意图，已知，，．弧的半径为米，圆心角为，为方便游客游览的体验感，现计划在该区域内铺设三条赏花小路，，，且满足点P在图形内部，Q在弧上．为了节约成本，三条小路的长度和（即）越小费用越低，求铺设这三条小路的长度之和的最小值（小路宽度不计）． 28．（24-25九年级上·广东惠州·期末）【问题情景】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 【理解运用】 （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程： 当的三个内角均小于时，如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，可知为_______（选“直角”或“等边”）三角形，故，又，故，由_______（选“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”）可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有_______（填写角度数）；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为_______（选“A”或“B”或“C”）点； 【深入探究】 （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点为的“费马点”，求的值． 29．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 30．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ，， 为等边三角形， ， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 类型二 加权费马点 31．（2021九年级·全国·专题练习）如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求： （1）的最小值； （2）的最小值 （3）的最小值； （4）的最小值 （5）的最小值； （6）的最小值 （7）的最小值； （8）的最小值 题型8 利用旋转的性质构造手拉手模型求解 32．（24-25九年级上·河南新乡·期末）【问题发现】 （1）在数学活动课上，老师给出如下问题：“如图1所示，是等腰直角三角形，，，点D在上，连接，探究，，之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下： 图示 思路 将线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，，易证，得到，，在中，易得，由，得，，之间的数量关系为________ 【类比分析】 （2）如图2所示，当点D在线段的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你的推导过程； 【拓展延伸】 （3）若（1）中的点D在射线上，且，，请直接写出的长度． 33．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）问题呈现：如图1，在中，，，，以为边向外作等边，求的长． 操作探索：小明同学为了寻找与已知线段、之间的数量关系，他将问题特殊化，将线段绕点顺时针旋转到上，如图2，进而联想到自己非常熟悉的图3模型，以为边作等边，连．（1）如图3，直接写出与间的数量关系 　　； （2）如图1，求的长． 理解运用：根据以上探索，如图4，在四边形中，，，．若，，求的长． 延伸拓展：已知，如图5，P为正内一点，，．直接写出以、、为边构成的三角形各个内角的度数． ​ 34．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． 【问题初探】（1）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当两个三角板如图1所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明： 【类比探究】（2）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积． 题型9 利用旋转设计图案 35．（25-26九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知的三个顶点坐标分别为点． (1)把向右平移5个单位长度，得到，请你画出；（点A、、的对应点分别为点、、） (2)把绕原点逆时针旋转后得到，请作出旋转后的．（点、、的对应点分别为点、、） 36．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)画出将绕原点顺时针旋转得到的． (2)画出关于原点成中心对称的，并直接写出点的坐标． (3)在直角坐标系坐标轴上是否存在点P，使得以，，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 37．（2025·陕西咸阳·三模）如图，在正六边形中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图，连接，将绕点逆时针旋转，得到． (2)如图，是的中点，将绕点顺时针旋转，得到． 38．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，先画的高，再将线段绕点D逆时针旋转，画对应线段； (2)在图2中，先画的角平分线，再将线段绕点F旋转，画对应线段（点G与点A对应）． 题型10 旋转综合 在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用. 类型一 线段问题 39．（24-25九年级上·河南郑州·期末）课本再现（北师大版九年级上册第29页~30页） 问题解决你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些剪拼的过程中，剪下的图形是经过怎样的运动最后拼接在一起的？ （1）平行四边形；（2）三角形；（3）菱形． 小涵所在的学习小组对课本上的这道题进行了分工合作，小涵的任务是把三角形纸片剪拼得到一个矩形． (1)动手操作 小涵任意剪了一个三角形纸片，他分别找到、边的中点、，连接．分别过点、作边的垂线、，垂足为、．再将和分别绕点、旋转，即可得到矩形（如图1）．则与的关系为：______． (2)探究发现 小涵在动手操作的基础上发现，也可以过点作于点，再将和分别绕点、旋转，即可得到矩形（如图2）．小涵通过测量发现，，． ①求的面积； ②在绕点顺时针旋转的过程中，点的对应点为，若与一边平行时，请直接写出此时的长度． 40．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 41．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）在中，，，为平面内的一点． (1)如图1，当点在边上时，，且，求的长； (2)如图2，当点在的外部，且满足，求证：； (3)如图3，，当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为，直线与的交点为，连接，直接写出旋转中面积的最大值． 42．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）在数学活动课上，黄老师给出如下问题：在中，，，点D和点B位于直线异侧，且． 【问题初探】（1）当时，求证：． 数学活动小组同学经过讨论得出下面的解题思路并解决了这个问题． 解题思路：如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．易证是等边三角形，易证，将线段之间的数量关系转化为线段之间的数量关系． 数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，发现此题还有不同位置的情况，请你解答 ②如图3，点D不在的延长线上时，连接，求证：． 【类比探究】数学活动小组还有同学提出将其角度变化进行变式，请你解答． （2）当时，①发现点D在的延长线上时，点D与点C重合（不需要证明）． ②如图4，点D不在的延长线上时，连接，判断（1）②中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，请写出正确的结论并说明理由． 【拓展提升】黄老师在此基础上提出了下面的问题，请你解答． （3）当，点D不在的延长线上时，连接，若，，求的长． 类型二 角度问题 43．（24-25九年级上·广西钦州·期末）综合与实践． 【问题初探】（1）如图，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点旋转，得到，则的取值范围可解．请作出并直接写出的取值范围； 【问题解决】（2）如图，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小（提示：将绕点顺时针旋转）； 【问题拓展】（3）如图，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，，，求的面积． 44．（23-24九年级上·北京朝阳·期末）已知线段和点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接为的中点，连接．    (1)如图1，点在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点在线段的上方，写出一个的度数，使得成立，并证明． 45．（22-23八年级下·四川成都·期末）在等腰直角中，，，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为，连接CP，PB．          (1)如图1，当时，求BP的长； (2)如图2，若，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由； (3)在旋转过程中，当时，求旋转角的度数． 46．（22-23九年级上·安徽黄山·期末）如图，点是等边内一点，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接． (1)当时，通过上述旋转可得到三条线段、、之间的等量关系，请写出这个等量关系，并说明理由； (2)探究：当为多少度时，是等腰三角形？（只填出探究结果即可）= ． 47．（21-22九年级上·黑龙江黑河·期末）综合与实践 如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF，裁成一个边长为4的正方形ABCD和一个长为4、宽为2的长方形CEFD如图2．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至，旋转角为α． (1)当点恰好落在EF边上时，求旋转角α（0°＜α＜90）的值； (2)如图3，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：； (3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与存在两次全等，请你帮助小军直接写出当与全等时，旋转角α的值． 类型三 面积问题 48．（24-25九年级上·河北保定·期中）图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，但大小不同，其中 ，，，现利用这两张卡片分别裁剪拼接出两个正方形．嘉嘉利用纸片1按图示方法截取正方形，设． (1)①纸片1中的 （用含x 的代数式表示）；若正方形的面积为27，则可列一元二次方程： ． ②请解①中的方程，并求的长． (2)①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知识拼出一个面积最大的正方形．请在图2中画出正确的图形（剪拼痕迹均用虚线表示）． ②若图2中，请比较（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，哪个面积较大？ 49．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小.李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转60°，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接.将求分成求和的和即可.请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小； 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积； 【问题拓展】（3）如图3，在四边形，，，，求的长. 50．（23-24九年级上·广东清远·期末）在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片和叠放在一起，固定矩形，将矩形绕的中点O逆时针旋转 . (1)初步发现：在旋转过程中，对角线与边、分别交于点S、T，如图2，则线段与始终存在着怎样的数量关系?请说明理由； (2)继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形时，如图2. ①求证：四边形为菱形； ②随着矩形纸片的旋转，四边形的面积会发生变化，若，，请求出四边形的最大面积与最小面积． 51．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 数学课上，同学们将两块大小不一的等腰直角三角板叠放在一起，使得其中的一个顶点重合，然后绕着这个顶点转动一个三角板，可以得到如图1，图2所示的两种情况，据此得到如图3，图4所示的两个图形． （1）小明发现：图3中存在全等三角形，进而发现，且； （2）小强发现：图4中存在相似三角形，进而发现． 请你直接写出小强发现的所有的相似三角形．__________．（对应顶点要写在对应的位置） 【类比分析】 小红发现，图3中的两个全等三角形可以看做是将一个三角形绕着顶点A逆时针旋转得到的，她在图4中进行了类似的操作，进而发现了，，之间的数量关系． 请你先进行小红的操作，再探究，，之间的数量关系． 【学以致用】 如图5，在等边中，点D，E在边上，，，，则的面积是__________．（直接写出答案） 类型四 旋转与函数综合 52．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B． (1)直接写出： ， ； (2)在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标； (3)将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围． 53．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图1，已知二次函数图象与轴交点为，其顶点为． (1)求二次函数的表达式； (2)直线与轴交于，现将线段上下移动，若线段与二次函数的图象有交点，求向上和向下平移的最大距离； (3)若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕点顺时针旋转，得到抛物线，如图2所示，直线与交于，两点，为上位于直线左侧一点，求面积最大值，及此时点的坐标． 54．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点坐标为，反比例函数的图象分别与，交于点，，点为线段上的动点，反比例函数的图象经过点，交于点，连接．    (1)求直线的函数表达式； (2)将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，求的值； (3)当点为线段中点时，将绕点旋转得到，其中，的对应点分别为，，当时，求点的坐标． 55．（22-23九年级上·山东德州·期末）如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为B．    (1)请求出该抛物线的函数解析式； (2)点D是第二象限抛物线上一点，设点D横坐标为m． ①如图2，连接，，，当面积为4时，求点D的坐标； ②如图3，连接，将线段绕O点顺时针旋转，得到线段，过点E作轴交直线于F，求线段的最大值及此时点D的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优03 旋转 题型1 生活中的旋转现象 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：“握手”的变换顺序是轴对称→平移→旋转． 故选：A． 2．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）将如图所示的图形绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形旋转，分析出图中图形的构造方式即可求解． 【详解】解：此图形可看作由一个基本图形旋转组成的，故这个角度可以是或的整数倍， 故选C． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）下列现象中不属于旋转的是（    ） A．B．C．    D． 【答案】D 【分析】本题考查了判断生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键：旋转是围绕一点旋转一定角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键． 根据旋转的定义逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：A. 属于旋转现象，故选项不符合题意； B. 属于旋转现象，故选项不符合题意； C. 属于旋转现象，故选项不符合题意； D. 属于平移现象，不属于旋转现象，故选项符合题意； 故选：． 4．（24-25七年级上·河北承德·阶段练习）将4张扑克牌按图1的方式放在桌面上，将其中1张扑克牌旋转了后得到图2，则被旋转过的扑克牌是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是旋转的性质，根据图形旋转的性质解答即可． 【详解】解：由图可知，将图1其中1张扑克牌旋转了后得到图形与图2相同，只有当梅花3被旋转过时才能出现这种情况． 故选：B． 题型2 旋转的三要素 由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 5．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，连接，线段的垂直平分线的交点就是旋转中心点P． 【详解】解：由图形可知，对应点的连线的垂直平分线的交点是点， 根据旋转变换的性质，点即为旋转中心． 故旋转中心坐标是． 故选：D． 6．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，理解旋转角成为解题的关键．根据旋转的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形， ∴旋转角为：，，旋转中心为点A， 根据网格可知：， ∴，故A、B、D正确，不符合题意； ∵， ∴，故C错误，符合题意． 故选：C． 7．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，三角形绕点P逆时针旋转一个角度得到三角形，则下列选项中不能表示旋转角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的旋转问题，解题的关键是掌握旋转角的定义．根据旋转角的定义即可得到答案． 【详解】解：根据旋转角的定义，，，都可以表示旋转角，不是旋转角； 故选：D． 8．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）旋转中心是 ， （2）旋转角为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了旋转的性质；①当点的对应点为点时，②当点的对应点为点时，根据网格的特点得出旋转中心与旋转角，即可求解． 【详解】解：①当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为； 根据网格可得 ②当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为． 根据网格可得 综上所述：这个旋转中心的坐标为或，旋转角为 故答案为或；． 题型3 利用旋转的性质解决规律探索问题 9．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 10．（2023·河南许昌·二模）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，规律探索，循环节的计算，根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可． 【详解】根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可， ∵在第四象限， ∴除以4后的余数为2， ∵， 故选D．   ． 11．（2023·河南开封·一模）如图，在矩形中，已知，，矩形在直线上绕其右下角的顶点向右旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置，...，以此类推，这样连续旋转2024次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可． 【详解】解：转动一次的路线长是：， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 转动五次的路线长是：， 以此类推，每四次循环， 故顶点转动四次经过的路线长为：， 顶点转动2024次经过的路线长为：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键． 12．（24-25九年级上·广西河池·期中）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）． 【答案】4 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，直接利用已知图案得出旋转规律进而得出答案． 【详解】解：每次4个图案为一个周期，， 则第2024个图案中箭头的指向与第4个图案方向一致． 故答案为：4． 13．（20-21九年级上·黑龙江·期中）如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向作无滑动的连续反转，点依次落在点，，的位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据图形的翻转，分别得出、、的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标，进一步得出答案即可． 【详解】解：由题意可知、的横坐标是1，的横坐标是2.5，、的横坐标是4，的横坐标是 依此类推下去，、的横坐标是2017，的横坐标是2018.5，的横坐标是2020， 的坐标是， 故答案为． 【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的性质及坐标与图形性质，根据题意得出、、的横坐标，得出规律是解答此题的关键． 题型4 利用旋转的性质求解 已知旋转，立马得到以下结论： 1）对应点到旋转中心的距离相等； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等，进而对应边与对应角相等. 【易忽略】 1）旋转一定出等腰三角形. 2）若旋转角为60°，得等边三角形. 3）若旋转角为90°，得等腰直角三角形. 14．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，点D为等边边中点，点P为上一动点，连接，将绕点C逆时针旋转得，连接，求证：为定角． 【答案】见解析 【分析】本题考查的等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转，三线合一，掌握知识点是解题的关键． 首先确定，，由将绕点C逆时针旋转得，可推导出，继而证明，则，即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为定角． 15．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）如图，在等腰三角形中，，，于点D，将线段绕点C顺时针旋转角后得到线段，连接． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由旋转得，，可得，证明，可得； （2）由旋转得，，则，由勾股定理得，即可得． 【详解】（1）解：， 将线段绕点C顺时针旋转角后得到线段， ，， ， ， （2）， ，， , 由（1）知，， ， ． 16．（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．若，；求的度数． 【答案】 【分析】由旋转的性质得．根据等腰三角形的性质可得，从而得到，再证 ，由全等三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：由旋转知． ，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质等，证明 是解题的关键． 17．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）（1）如图1，正方形的边长为4，对角线、相交于点是边上点（点不与、重合），将射线绕点逆时针旋转，所得射线与交于点，则四边形的面积为___________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的对角线的交点是矩形的一个顶点，将矩形绕着点旋转，与边相交于点．与边相交于点，连接，猜想之间的数量关系．并进行证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在直角中，，，，的顶点在边的中点处，，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，则的长度为___________cm． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）如图①中，证明即可解决问题． （2）延长交于，连接，，证明，得到，，再根据，得到，最后根据，得到； （3）根据在线段上和线段外分情况讨论，延长至，使，连接，，证明，得到，，结合得到，再证明，得到，即，最后根据中，，代入列方程求解即可． 【详解】解：（1）如图， ∵正方形的边长为4，对角线、相交于点， ∴，，， 由旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图1，延长交于，连接，， ∵矩形的对角线的交点是矩形的一个顶点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）当在线段上时，如图，延长至，使，连接，， ∵在边的中点处， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵中，， ∴， 解得， ∴； 当在线段外时，如图，延长至，使，连接，， ∵在边的中点处， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵中，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 题型5 旋转对称图形的识别 要准确识别旋转对称图形，核心是紧扣其定义：在平面内，将图形绕着一个定点（旋转中心）按某个角度（旋转角，0°< 旋转角 < 360°）旋转后，能与自身完全重合的图形。基于此定义，可按 “定中心→算角度→验重合” 的三步法解题. 18．（24-25九年级上·广东东莞·期末）我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，旋转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为． (1)判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）： ①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ ②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ (2)写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)①对；②对 (2)正五边形；正十边形 【分析】本题考查旋转对称图形，掌握旋转对称图形的旋转角的计算方法，是解题的关键： （1）①根据旋转对称图形和旋转角的定义，进行判断即可；②根据旋转对称图形和旋转角的定义，进行判断即可； （2）将当作最小旋转角，进行计算即可． 【详解】（1）解：①， ∴正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为； ②， ∴长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为； 故答案为：对，对； （2），， 正五边形满足有一有旋转角为，是轴对称图形，但不是中心对称图形， 正十边形有一个旋转角为，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 19．（23-24八年级上·山东烟台·期末）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转或后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角． 根据以上规定，回答问题： (1)下列选项是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A．矩形    B．正五边形    C．菱形    D．正六边形 (2)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是度的有：________（填序号）．    (3)下列三个结论：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③平行四边形是旋转对称图形．其中正确的个数有________个； A．0    B．1    C．2    D．3 (4)如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有，，，，将图形补充完整．    【答案】(1)B (2)（1）（3）（5） (3)C (4) 【分析】（1）本题考查旋转图形及中心对称图形的判断，根据旋转图形及中心对称图形定义逐个判断即可的答案； （2）本题考查旋转图形，根据旋转对称图形的定义逐个判断即可得到答案； （3）本题考查旋转图形，根据旋转对称图形的定义逐个判断即可得到答案； （4）本题考查旋转图形，根据旋转角有，，，，结合等腰直角三角形的性质作图即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 矩形，菱形，正六边形即是旋转对称图形又是中心对称图形， 正五边形是是旋转对称图形但不是中心对称图形， 故选：B； （2）解：由图形可得， （1）（3）（5）的旋转角有度， （2）（4）的旋转角最小为， （6）的旋转角是及其整数倍数， 故答案为：（1）（3）（5）； （3）解：由题意可得， 中心对称图形是旋转对称图形，平行四边形是旋转对称图形，①③正确， 等腰三角形不是旋转对称图形，②错误， 故选：C； （4）解：由题意可得， ∵旋转角有，，，， ∴每一个四分之一半圆里均要有两个等腰直角三角形， ∴图形如下图所示， 题型6 求旋转后点的坐标 求旋转后点的坐标，核心是根据旋转中心（原点或任意定点）、旋转方向（顺时针或逆时针）和旋转角度，利用坐标变换规律计算。 常见场景：1）旋转中心为坐标原点 2）旋转中心为任意点 20．（24-25九年级上·福建福州·期末）将点顺时针旋转得到点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，点的坐标，点到坐标轴的距离． 根据旋转的性质， 可推导出，再证明，则，求出点的坐标为，即可解答． 【详解】解：设为点A，连接， 过点B作轴于点C，过点A作轴于点D，如图 ∴，， ∴， 由旋转，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 即． 故答案为：． 21．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点作的垂线，垂足为M，利用全等三角形的判定与性质结合点A的坐标即可解决问题． 【详解】解：过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点作的垂线，垂足为M， 由旋转可知，，， ∴． 又∵，轴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵点A的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 22．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，画出的中垂线，得到点的横坐标，设出点坐标，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵由绕点旋转得到， ∴， ∵， ∴点的横坐标为：， 设， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴； 故答案为：． 23．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）在平面直角坐标系中，，线段的中点绕旋转后对应点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，先求得线段的中点，然后分类讨论，画出图形，结合图形，即可求解． 【详解】解：∵，设为的中点， ∴， 如图所示，当绕点 逆时针旋转得到，过点分别作的垂线，垂足分别为，    ∴， ∴， ∴， ∴即 当绕顺时针旋转时，同理可得 故答案为：或． 24．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标是，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转．根据题意画出图形，连接，作轴于点B，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转，可得点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 【详解】解：如图所示：连接，作轴于点B， ∵点A坐标是． ∴，， ∴， ∴， 当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转， ∴点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 故答案为：． 25．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段绕点B顺时针旋转，则点A的对应点C的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】把绕B点顺时针旋转得到，延长交x轴于E点，过C点作轴于H点，如图，根据旋转的性质得到，，，，所以，利用等腰直角三角形的性质计算出，，则，，所以，从而得到C点坐标． 【详解】解：∵，， ∴，， 把绕B点顺时针旋转得到，延长交x轴于E点，过C点作轴于H点，如图， ∴，，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴C点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，把线段绕点B顺时针旋转转化为把绕B点顺时针旋转得到是解决问题的关键． 题型7 费马点模型 【费马点】运用旋转的方法，以∆ABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短，得出最短长度. 【加权费马点】前面学的PA+PB+PC最小值的费马点问题线段前面系数都是l，如果现在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系数不是1，那么此类题目就叫做“加权费马点”. 【关键】系数的改变只是影响了旋转角度的改变，依然考的是旋转. 类型一 费马点 26．（24-25九年级上·云南临沧·期末）已知等腰，，点为三角形内一点，连，，． (1)如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长； (2)如图，若，，求的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点于点重合，连接，过点作交的延长线于点，如图所示，可得是等边三角形，，，在中，，，，可得，则是直角三角形，所以，在中，，，则，，在中，由勾股定理得：，即可求解； （2）将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，过点作于点，连接，如图所示，可证和均为等边三角形，则，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，根据“两点之间线段最短”得：，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点于点重合，连接，过点作交的延长线于点，如图所示： 由旋转的性质得：，，， 是等边三角形， ，， 在中，，，， ， ， 是直角三角形，即， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 的度数是，边的长为； （2）解：将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，过点作于点，连接，如图所示： 由旋转的性质得：，，，， 和均为等边三角形， ，， ， 在中，，，于点， ，， 在中，由勾股定理得：， 是等边三角形，， ， ， ， 点，，在同一条直线上， ， 在中，由勾股定理得：， ， 根据“两点之间线段最短”得：， ， 即， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，掌握旋转的性质，“费马点”模型的计算是关键． 27．（2025·陕西咸阳·二模）综合与实践： (1)如图1，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B 的对应点 D 恰好落在边上．则 ； (2)如图2，在中，，点D为边的中点，， 如果在平面内有一点P，且点 P到点D的距离为1，则线段长度的最大值是 ； (3)如图3是某公园的设计示意图，已知，，．弧的半径为米，圆心角为，为方便游客游览的体验感，现计划在该区域内铺设三条赏花小路，，，且满足点P在图形内部，Q在弧上．为了节约成本，三条小路的长度和（即）越小费用越低，求铺设这三条小路的长度之和的最小值（小路宽度不计）． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】（1）在等腰中，易得，根据点B的对应点D恰好落在边上，即，求出，根据即可求解； （2）连接，在中，易得，根据已知，可得点P在以D为圆心，半径为1的圆上，，即、、三点共线时取最值； （3）将绕点顺时针旋转得到，则、都是等边三角形，，根据弧的半径为米，圆心角为，过点作于点，可得，在等边中，求出点到的距离为，从而求出，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ， 点B的对应点D恰好落在边上， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图所示，连接， 在中， ，点D为边的中点，， ， ， 点P在以D为圆心，半径为1的圆上， ， 故答案为：； （3）如图所示，将绕点顺时针旋转得到， 则，，，， 、都是等边三角形， ， ， 弧的半径为米，圆心角为， 如图所示，，， 过点作于点， ，， ， ， ， 在等边中，点到的距离为， ， ， 铺设这三条小路的长度之和的最小值为米． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定及性质、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． 28．（24-25九年级上·广东惠州·期末）【问题情景】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 【理解运用】 （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程： 当的三个内角均小于时，如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，可知为_______（选“直角”或“等边”）三角形，故，又，故，由_______（选“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”）可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有_______（填写角度数）；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为_______（选“A”或“B”或“C”）点； 【深入探究】 （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点为的“费马点”，求的值． 【答案】（1）等边；两点之间，线段最短；；A；（2）5 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，将三角形进行旋转是解题的关键： （1）根据等边三角形的判定和性质，以及两点之间线段最短，以及旋转的性质和全等三角形的性质，进行作答即可； （2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，进而得到当在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长，进行求解即可． 【详解】（1）解：①等边；②两点之间，线段最短；③；④A． 分析如下：， 为等边三角形； ， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ， ， 由旋转可知， ， ， ； ， ， ， 三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又已知当有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点． 该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间，线段最短；③；④A． （2）将绕点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ， ， 又， ， 由旋转性质可知：， ， 最小值为5． 29．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A． (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论； （2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可， （3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为等边三角形； ∴，， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴，， ∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④． （2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，    ∵， ∴， 又∵ ∴， 由旋转性质可知：， ∴， ∴最小值为， （3）∵总的铺设成本 ∴当最小时，总的铺设成本最低， 将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， 当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，    过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为 总的铺设成本（元） 故答案为： 【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 30．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ，， 为等边三角形， ， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 【答案】（1），理由见详解（2）（3） 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由旋转的性质得，即可求解； （2）同理将绕点逆时针旋转得到，当四点在同一直线上时，最小，此时，由等边三角形的性质及直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，即可求解； （3）绕点逆时针旋转得到，过作交的延长线于，同理可得 ，设正方形的边长为，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：； 理由如下： 是等边三角形， ， 四点在同一直线上， ， ， 由旋转得： ， ， ； （2）解：如图，由【问题解决】同理将绕点逆时针旋转得到， 当四点在同一直线上时， 最小， 此时， 由旋转得：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在中 ， 故最小值为； （3）解：如图，绕点逆时针旋转得到，过作交的延长线于， 当四点在同一直线上时， 最小， 此时 ， 由旋转得：， ， ， 设正方形的边长为，则有 ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：，（舍去）， ， 故正方形的边长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，正方形的性质；掌握“费马点”典型模型的解法是解题的关键． 类型二 加权费马点 31．（2021九年级·全国·专题练习）如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求： （1）的最小值； （2）的最小值 （3）的最小值； （4）的最小值 （5）的最小值； （6）的最小值 （7）的最小值； （8）的最小值 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）26；（7）；（8） 【分析】（1）将绕点B顺时针旋转得到，则，，，可以推出为等边三角形，得到，则，即可得到A、P、、四点共线时，最小，最小值为，然后证明，由此利用勾股定理求解即可； （2）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，从而得到，则当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案； （3）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，则，故当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案； （4）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接，先证明，则可以得到，故当，，，共线时最小，最小为，然后证明，即可利用勾股定理求解； （5）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到，同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为，然后证明，由此求解即可； （6）由可由（5）得：的最小值为26； （7）由可由（4）得的最小值为； （8）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小．在中，，，过点作交延长线于E，然后求出，的长，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图3-2，将绕点B顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴A、P、、四点共线时，最小，最小值为 同理可证为等边三角形， ∴，， ∴， ∴； ∴的最小值为； （2）如图3-4，将绕点C逆时针旋转得到， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为 ∵， ∴ ∴， 过点A再作的垂线，垂足为E， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴的最小值为； （3）如图3-6，将绕点C逆时针旋转得到， ∴，，，，， ∴， 过点C作于E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为 ∵， ∴ ∴， 过点A再作的垂线，垂足为E， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为； （4）如图3-8，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接 由旋转的性质得，，，， ∴，，，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当，，，共线时最小，最小为， ∵， ∴， ∴的最小值为； （5）如图3-10，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到， 同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为， ∵，在中，， ， 最小为； （6）∵ ∴由（5）得：的最小值为26； （7）∵ ∴由（4）得的最小值为； （8）如图3-12，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到， 同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小． 在中，，， 过点作交延长线于E， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，位似，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够作出辅助线，找到P点在什么位置时，线段的和最小． 题型8 利用旋转的性质构造手拉手模型求解 32．（24-25九年级上·河南新乡·期末）【问题发现】 （1）在数学活动课上，老师给出如下问题：“如图1所示，是等腰直角三角形，，，点D在上，连接，探究，，之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下： 图示 思路 将线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，，易证，得到，，在中，易得，由，得，，之间的数量关系为________ 【类比分析】 （2）如图2所示，当点D在线段的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你的推导过程； 【拓展延伸】 （3）若（1）中的点D在射线上，且，，请直接写出的长度． 【答案】（1）；（2）（1）中结论成立，理由见解析；（3）或 【分析】（1）根据证明，结合等腰直角三角形的性质，勾股定理，等量代换思想解答即可． （2）仿照第1问的解答解题即可． （3）利用分类思想，结合前面的结论解答即可． 【详解】（1）线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，， 根据旋转性质，得， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）将线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，， 根据旋转性质，得， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，∴， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：如图1，当点在线段上时，根据题意，得，， ∴， 根据题意，得， 解得，（舍去）； 当点在线段的延长线上时，根据题意，得，， ∴， 根据题意，得， 解得，（舍去）； 故的长为或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，点在射线上的意义，三角形全等的判定和性质，直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 33．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）问题呈现：如图1，在中，，，，以为边向外作等边，求的长． 操作探索：小明同学为了寻找与已知线段、之间的数量关系，他将问题特殊化，将线段绕点顺时针旋转到上，如图2，进而联想到自己非常熟悉的图3模型，以为边作等边，连． （1）如图3，直接写出与间的数量关系 　　； （2）如图1，求的长． 理解运用：根据以上探索，如图4，在四边形中，，，．若，，求的长． 延伸拓展：已知，如图5，P为正内一点，，．直接写出以、、为边构成的三角形各个内角的度数． ​ 【答案】（1） （2）7 理解运用：5 延伸拓展：以，，为边的三角形的三内角的度数分别为，， 【分析】（1）根据等边三角形的性质证明，得即可； （2）以为边作等边三角形，连接，过点作垂直于延长线于点，由“”可证，可得，利用勾股定理可求，，即可求解； 理解运用：如图4，连接、，在四边形的外部以为一边作等边，连接，证明，得，然后证明，根据勾股定理求出，进而可以解决问题； 延伸拓展：如图5，将绕点顺时针旋转得，可以证明是等边三角形则，则就是以，，三边为边的三角形，然后分别求出的三个内角的度数即可． 【详解】解：（1），理由如下： 与是等边三角形， ，， ， ， 即． 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）如图1，以为边作等边三角形，连接，过点作垂直于延长线于点， 与是等边三角形， ，， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 理解运用：如图4，连接、，在四边形的外部以为一边作等边，连接， 在中，，， 是等边三角形， ，， 又是等边三角形， ，， ， 即， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，， ， ； 延伸拓展：如图5， 将绕点顺时针旋转得，则， ，，， 是等边三角形， ，， 就是以，，三边为边的三角形， ， ， ， ， ， 以，，为边的三角形的三内角的度数分别为，，． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，证明熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 34．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． 【问题初探】 （1）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当两个三角板如图1所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明： 【类比探究】 （2）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）24 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的判定与性质，三角板中角度计算问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，则证明，即可作答． （2）与（1）同理证明，所以，；延长与交于点，所以，整理得，即； （3）过作交延长线于，过作交于，得出，结合，故，证明，因为点A到直线的距离为7，所以，，结合，得出，，故． 【详解】解：（1）∵和是两个都含有角的大小不同的直角三角板， ∴，，， ∴， ∴； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，； 延长与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过作交延长线于，过作交于， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 题型9 利用旋转设计图案 35．（25-26九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知的三个顶点坐标分别为点． (1)把向右平移5个单位长度，得到，请你画出；（点A、、的对应点分别为点、、） (2)把绕原点逆时针旋转后得到，请作出旋转后的．（点、、的对应点分别为点、、） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平移作图、旋转作图等知识点，根据相关性质确定其对应点的位置成为解题的关键． （1）先根据平移的性质确定点A、、的对应点分别为点、、，然后顺次连接即可； （2）先根据旋转的性质确定点A、、的对应点分别为点、、，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． 36．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)画出将绕原点顺时针旋转得到的． (2)画出关于原点成中心对称的，并直接写出点的坐标． (3)在直角坐标系坐标轴上是否存在点P，使得以，，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或或或或或 或或． 【分析】本题主要考查了图形的旋转、中心对称以及等腰三角形的判定，熟练掌握图形变换的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）依据旋转的性质，确定各顶点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标，进而画出． （2）根据中心对称的性质，求出各顶点关于原点对称的点的坐标，画出，并得到的坐标． （3）先确定、的坐标，再依据等腰三角形的性质，分点在轴和轴两种情况，讨论满足以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形的点的坐标． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）解：如图，为所求， 的坐标为； （3）解：由（2）图可得，． ． 当点在轴上时，设， 若，则， 解得，即． 若，则， 解得．即或． 若，则， 两边平方得， 即，解得或，即或． 当点在轴上时，设： 若，则， 解得，即． 若，则， 解得或，即或． 若，则， 解得．即或． 综上，点P的坐标为或或或或或或 或或． 37．（2025·陕西咸阳·三模）如图，在正六边形中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图，连接，将绕点逆时针旋转，得到． (2)如图，是的中点，将绕点顺时针旋转，得到． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了旋转的定义、无刻度直尺作图，正六边形的性质、勾股定理，理解旋转的定义和无刻度直尺作图的常见方法是解答本题的关键． 根据正六边形的性质可得正六边形的每个内角都是，将绕点逆时针旋转，与重合，延长与的延长线的交点即为点； 连接、相交于点，连接，线段即为绕点顺时旋转得到的线段． 【详解】（1）解：如下图所示， 正六边形的每个内角的度数是， ， 将绕点逆时针旋转，与重合， 延长与的延长线的交点即为点；     （2）解：如下图所示， 过点作垂足在的延长线上，设正六边形的边长为， ， ， ， 又点是的中点， ， ， ， ， 连接交于点， 则，，， ，， ， ，， ， ， 连接，过点作， 则， ，， 则， ， ， ， 即为绕点顺时旋转得到的线段． 38．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，先画的高，再将线段绕点D逆时针旋转，画对应线段； (2)在图2中，先画的角平分线，再将线段绕点F旋转，画对应线段（点G与点A对应）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）取格点T，连接交于点D，线段即为的高．取格点J，构造等腰直角三角形，交于点E，线段即为所求； （2）取格点T，作射线交于点F，线段即为所求．取格点K，J，连接交射线于点H（可以证明），取格点M，N，连接交的延长线于点G（，由，推出），连接，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，线段，即为所求； （2）解：如图2中，线段即为所求． ． 题型10 旋转综合 在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用. 类型一 线段问题 39．（24-25九年级上·河南郑州·期末）课本再现（北师大版九年级上册第29页~30页） 问题解决你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些剪拼的过程中，剪下的图形是经过怎样的运动最后拼接在一起的？ （1）平行四边形；（2）三角形；（3）菱形． 小涵所在的学习小组对课本上的这道题进行了分工合作，小涵的任务是把三角形纸片剪拼得到一个矩形． (1)动手操作 小涵任意剪了一个三角形纸片，他分别找到、边的中点、，连接．分别过点、作边的垂线、，垂足为、．再将和分别绕点、旋转，即可得到矩形（如图1）．则与的关系为：______． (2)探究发现 小涵在动手操作的基础上发现，也可以过点作于点，再将和分别绕点、旋转，即可得到矩形（如图2）．小涵通过测量发现，，． ①求的面积； ②在绕点顺时针旋转的过程中，点的对应点为，若与一边平行时，请直接写出此时的长度． 【答案】(1)平行于且 (2)①；② 或 【分析】（1）根据三角形中位线定理求解，即可解题； （2）①根据题意设，则，利用勾股定理建立方程求出，，进而得到，，再根据三角形面积公式求解，即可解题； ②根据与一边平行分情况讨论当时，当时，结合平行线性质，旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理进行求解，即可解题． 【详解】（1）解： 、边的中为点、， 与的位置关系为平行，数量关系为， 平行于且等于的一半， 故答案为：平行于且． （2）解：（2）① ，． 设，则， ， ， ， 解得， ，， 、边的中为点、， ，， 的面积为； ② 、、在同一直线上， 与不平行； 旋转过程中，记的对应点为， 当时， 四边形为矩形， ， ， ，的面积为， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知， ， ， ， ； 当时，作于点， ， ， ， 由旋转的性质可知， ， ，，， ， ， 四边形为矩形； ， ， ， ； 综上所述，的长度为 或 ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行线性质，旋转的性质，矩形的判定与性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 40．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)或或 【分析】（1）①由旋转的性质可得，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由角平分线的定义可得，，根据三角形的内角和定理即可得的度数； ②在上截取，连接，证明，可得，即可得证； （2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质可得出的度数． 【详解】（1）解：①∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴的度数为； ②证明：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴； ③当时， ∴； 综上，∠AEC的度数为或或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用所学知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 41．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）在中，，，为平面内的一点． (1)如图1，当点在边上时，，且，求的长； (2)如图2，当点在的外部，且满足，求证：； (3)如图3，，当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为，直线与的交点为，连接，直接写出旋转中面积的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）将沿折叠，得到，连接，利用全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可； （2）过作，且，连接，利用全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可； （3）连接交于G，证明出，得到，然后证明出为直角三角形，点P在以中点M为圆心，为半径的圆上，连接交所在直线于点N，当时，点P到直线的距离最大，然后利用三角形中位线和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，将沿折叠，得到，连接，    ∵， ∴， 将沿折叠，得到， ∴ ∴，，， ∴， ∴为等边三角形，为等腰直角三角形 ∴， ∴； （2）如图，过作，且，连接，交于点O    ∵ ∴， 又∵， ∴ ∴ 又∵， ∴，，即 ，， ∴ ∴； （3）如图3，连接交于G点 ∵绕A点旋转 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴为直角三角形 ∴点P在以中点M为圆心，为半径的圆上，连接交所在直线于点N， 当时，点P到直线的距离最大， ∵ ∴A、P、B、C四点共圆 ∵， ∴N是的中点 ∵M是的中点 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴点P到所在直线的距离的最大值为 ． ∴的面积最大值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线性质，四点共圆性质，勾股定理等知识，作出辅助线是解本题的关键． 42．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）在数学活动课上，黄老师给出如下问题：在中，，，点D和点B位于直线异侧，且． 【问题初探】 （1）当时，求证：． 数学活动小组同学经过讨论得出下面的解题思路并解决了这个问题． 解题思路：如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．易证是等边三角形，易证，将线段之间的数量关系转化为线段之间的数量关系． 数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，发现此题还有不同位置的情况，请你解答 ②如图3，点D不在的延长线上时，连接，求证：． 【类比探究】 数学活动小组还有同学提出将其角度变化进行变式，请你解答． （2）当时， ①发现点D在的延长线上时，点D与点C重合（不需要证明）． ②如图4，点D不在的延长线上时，连接，判断（1）②中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，请写出正确的结论并说明理由． 【拓展提升】 黄老师在此基础上提出了下面的问题，请你解答． （3）当，点D不在的延长线上时，连接，若，，求的长． 【答案】（1）②，证明见解析；（2）②不成立，；（3）的长为6或 【分析】（1）②将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，证明是等边三角形，得，证明，可得，证明，根据勾股定理可得结论； （2）将线段绕点A顺时针旋转，得到线，连接．由旋转得 ，，证明，得，证明，根据勾股定理可得结论； 根据题意知点D有两处，如图3，过点C作，交的延长线于点E，证是等边三角形，得，，根据勾股定理求出，，，，从而根据可求出；如图4，过点C作，垂足为点F，求出，，，根据可求出 【详解】（1）② 证明：如图1，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． 由旋转可得，， ∴是等边三角形 ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴ ∴ 即 ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ （2）② 中的结论不成立， 如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． 由旋转可得，， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ 即 ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． （3）如图3，过点C作，交的延长线于点E， ∵，， ∴是等边三角形 ∴， ∵ ∴ ∵在中，， ∴， 在中， ∴ ∴ 由（1）②得， ∴ 如答图4，过点C作，垂足为点F， ∵，， ∴是等边三角形 ∴， ∵ ∴ ∵在中，， ∴， 在中， ∴ ∴ 由（1）②得， ∴ 答：的长为6或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确作出辅助线构造全等三角形，运用直角三角形的性质是解答本题的关键． 类型二 角度问题 43．（24-25九年级上·广西钦州·期末）综合与实践． 【问题初探】（1）如图，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点旋转，得到，则的取值范围可解．请作出并直接写出的取值范围； 【问题解决】（2）如图，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小（提示：将绕点顺时针旋转）； 【问题拓展】（3）如图，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，，，求的面积． 【答案】（1）图见解析，；（2）；（3） 【分析】（1）如图，将绕点旋转，得到，连接，由旋转得到，，证明四边形是平行四边形，根据三角形三边的关系得到，从而得到的取值范围； （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转可知，证明是等边三角形得，在中，运用勾股定理逆定理可得，求出，结合旋转可求解； （3）将绕点顺时针旋转得到，由旋转可知，，，，推出，证明，求出即可． 【详解】解：（1）如图，将绕点旋转，得到，连接， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， 又∵， ∴，即， ∴， ∴的取值范围为； （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的大小为； （3）如图，将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∵四边形是正方形，，，， ∴，， ∴点在的延长线上， ∴， ， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查旋转的综合应用，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是旋转构造全等进行转换． 44．（23-24九年级上·北京朝阳·期末）已知线段和点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接为的中点，连接．    (1)如图1，点在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点在线段的上方，写出一个的度数，使得成立，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）依题意即可补全图形， 连接，由题意得，即，，推出，由旋转的性质得到，进而得到，易得，根据F为的中点，得到，易证，，推出，即可求解； （2）延长到点，使得，连接，连接并延长，与的延长线相交于点．证明，，即可证明结论． 【详解】（1）解：补全图1，如图，连接， ， ，即， ， ， ， ， ， ， F为的中点， ， ，， ， 同理， ， ， ， ； （2）， 证明：延长到点，使得，连接，连接并延长，与的延长线相交于点．   是的中点， ． ，， ． ． ． ． 在中， ． ，， ． ． ． ， ． ． ． ． 【点睛】本题是一道几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 45．（22-23八年级下·四川成都·期末）在等腰直角中，，，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为，连接CP，PB．          (1)如图1，当时，求BP的长； (2)如图2，若，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由； (3)在旋转过程中，当时，求旋转角的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）点P落在上，解等腰直角，，所以； （2）解：如图，延长到点F，使得，连接，可证，于是，，结合三角形内和定理，可求证，于是，得，所以； （3）解：分两种情况：①当点P在内部，如图 ，过点P作，交于点G，过点C作，垂足为E，求证，于是，所以，中 ，，于是；②当点P在外部，如图，延长，交于点I，过点A作,垂足为点H，求证，于是，进一步证得，，而，所以，即． 【详解】（1）解：时，点P落在上， 等腰直角中，， ∴ ∴ （2）解：如图，延长到点F，使得，连接 ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 中，， ∴ ∴    ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 而 ∴ （3）解：分两种情况：①当点P在内部 如图 ，过点P作，交于点G，过点C作，垂足为E，    ∵ ∴， 中， ∴ 由（2）推证知 ∴ 又， ∴ ∴ 又 ∴中 ， ∴ ②当点P在外部 如图，延长，交于点I，过点A作,垂足为点H    ∵ ∴， ∵，， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 综上，或 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，特殊直角三角形，勾股定理，注意动态问题的分类讨论，添加辅助线构造全等三角形，寻求线段之间的关系是解题的关键． 46．（22-23九年级上·安徽黄山·期末）如图，点是等边内一点，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接． (1)当时，通过上述旋转可得到三条线段、、之间的等量关系，请写出这个等量关系，并说明理由； (2)探究：当为多少度时，是等腰三角形？（只填出探究结果即可）= ． 【答案】(1)，理由见解析 (2)或或 【分析】（1）由旋转的性质可得 即，进而得到是等边三角形即则，最后根据勾股定理即可解答； （2）分、、三种情况，然后分别根据等腰三角形的性质和旋转的性质求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵将绕点按顺时针方向旋转得 ∴ ，          ∴ ∴是等边三角形     ∴     ∴ ∴是直角三角形        ∴ ∴． （2）解：①要使，需 ∵， ∴，解得：； ②要使，需 ∴ ∴， ∴； ③要使，需 ∴， ∴，解得 综上，当的度数为或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用等腰三角形的判定与性质成为解答本题的关键． 47．（21-22九年级上·黑龙江黑河·期末）综合与实践 如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF，裁成一个边长为4的正方形ABCD和一个长为4、宽为2的长方形CEFD如图2．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至，旋转角为α． (1)当点恰好落在EF边上时，求旋转角α（0°＜α＜90）的值； (2)如图3，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：； (3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与存在两次全等，请你帮助小军直接写出当与全等时，旋转角α的值． 【答案】(1)30° (2)见解析 (3)135°；315° 【分析】（1）根据旋转的性质得，在Rt△中，，，则，然后根据平行线的性质即可得到旋转角α的值； （2）由为中点可得，根据旋转的性质得，，则，然后根据“SAS”，可判断，则； （3）根据正方形的性质得，而，则为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当与为钝角三角形时，可计算出，当与为锐角三角形时，可计算出． 【详解】（1）解：∵长方形CEFD绕点顺时针旋转至， ∴， 在Rt△中，，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵为中点， ∴， ∴， ∵长方形CEFD绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴， 在中， ， ∴（SAS）， ∴； （3）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴为腰相等的两等腰三角形， 当时， ， 当与为钝角三角形时， 则， 当与为锐角三角形时， ， 则， 综上旋转角α的值为135°或315°． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，正方形和矩形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，解题关键是掌握旋转前后图形的对应关系． 类型三 面积问题 48．（24-25九年级上·河北保定·期中）图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，但大小不同，其中 ，，，现利用这两张卡片分别裁剪拼接出两个正方形．嘉嘉利用纸片1按图示方法截取正方形，设． (1)①纸片1中的 （用含x 的代数式表示）；若正方形的面积为27，则可列一元二次方程： ． ②请解①中的方程，并求的长． (2)①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知识拼出一个面积最大的正方形．请在图2中画出正确的图形（剪拼痕迹均用虚线表示）． ②若图2中，请比较（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，哪个面积较大？ 【答案】(1)①，；② (2)①见解析；②（1）中的正方形，面积较大． 【分析】（1）①由正方形的性质结合题意可求出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理即可求出，最后根据正方形的面积公式列方程即可； ②根据直接开平方法求出x的值，即可求出和的长，最后根据求解即可； （2）①过点A作，设为裁剪线，将绕点A逆时针旋转得出，从而可证四边形为正方形，即此时拼出的正方形面积最大； ②由（2）①可知，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，可求出的长，从而可求出，最后比较即可． 【详解】（1）解：①∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； ②解：， ， ∴，（舍）， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：①过点A作，设为裁剪线， ∵图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同， ∴，， ∴将绕点A逆时针旋转得出，如图， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴C、D、N三点共线， ∴， ∴四边形为矩形， ∴矩形为正方形，即此时拼出的正方形面积最大； ②由（2）①可知， 又∵图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（1）中的正方形，面积较大． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，旋转的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 49．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小.李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转60°，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接.将求分成求和的和即可.请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小； 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积； 【问题拓展】（3）如图3，在四边形，，，，求的长. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将绕B点逆时针旋转得到，连接，则为等边三角形，.再由 得到，用勾股定理逆定理得到是直角三角形，，从而得到； （2）将绕点逆时针旋转得到，得到，证明得到； （3）证明是等腰直角三角形，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则为等腰直角三角形，，再计算得，用勾股定理得到，从而利用全等三角形的性质得到. 【详解】解：（1）如图，将绕B点逆时针旋转得到，连接，则 ，， ∴为等边三角形. ∴， 又∵ ∴ ∴ 是直角三角形，， （2）由正方形的性质得：，， 如图，将绕点逆时针旋转得到， ，， ∴， ， ∵，，， （3）∵，， ∴是等腰直角三角形，， 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接. 则，，， 为等腰直角三角形. ， 又 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理及其逆定理等知识，利用旋转作出正确作出辅助线是解题的关键. 50．（23-24九年级上·广东清远·期末）在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片和叠放在一起，固定矩形，将矩形绕的中点O逆时针旋转 . (1)初步发现：在旋转过程中，对角线与边、分别交于点S、T，如图2，则线段与始终存在着怎样的数量关系?请说明理由； (2)继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形时，如图2. ①求证：四边形为菱形； ②随着矩形纸片的旋转，四边形的面积会发生变化，若，，请求出四边形的最大面积与最小面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①见解析；②四边形的最大面积为20，最小面积为16 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，矩形的性质，菱形的判定，勾股定理． （1）由矩形的性质可得，，从而通过“”证明，即可得到； （2）①过点Q作于点K，作于点L．由矩形和矩形得到，，因此四边形是平行四边形．通过“”证明，得到，从而得证是菱形； ②由菱形的面积公式可得，而在中，，因此当为最大值时，有最大值，当为最小值时，有最小值．而随着矩形纸片的旋转，逐渐减小，当时为最小值，然后逐渐增大．当点F与点C重合时或点E与点B重合时， 有最大值；当点N与点K重合时，，为最小值．分别求解即可解答． 【详解】（1），理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ （2）①过点Q作于点K，作于点L． ∵四边形，四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ， ∴，， ∴， ∵四边形，四边形是矩形， ∴，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∵矩形和的宽相等，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∴是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∵在中，， ∴当为最大值时，有最大值，当为最小值时，有最小值． ∵随着矩形纸片的旋转，逐渐减小，当时为最小值，然后逐渐增大． 如图①，当点F与点C重合时，有最大值，此时点A与点Q，点D与点K重合， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴ ∴， ∴ ， 或如图②，当点E与点B重合时，有最大值，此时点D与点G，点N重合 同理设，， 在中，，即， 解得， ∴， ∴ ∴ ， 即菱形面积的最大值为20； 如图③，当点N与点K重合时，，为最小值，此时， ∴ 即菱形面积的最小值为16； 综上所述，四边形的最大面积为20，最小面积为16． 51．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 数学课上，同学们将两块大小不一的等腰直角三角板叠放在一起，使得其中的一个顶点重合，然后绕着这个顶点转动一个三角板，可以得到如图1，图2所示的两种情况，据此得到如图3，图4所示的两个图形． （1）小明发现：图3中存在全等三角形，进而发现，且； （2）小强发现：图4中存在相似三角形，进而发现． 请你直接写出小强发现的所有的相似三角形．__________．（对应顶点要写在对应的位置） 【类比分析】 小红发现，图3中的两个全等三角形可以看做是将一个三角形绕着顶点A逆时针旋转得到的，她在图4中进行了类似的操作，进而发现了，，之间的数量关系． 请你先进行小红的操作，再探究，，之间的数量关系． 【学以致用】 如图5，在等边中，点D，E在边上，，，，则的面积是__________．（直接写出答案） 【答案】【问题初探】，；【类比分析】；【学以致用】 【分析】【问题初探】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，；结合题意推得，；根据三个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边成比例可推得，，即可求得；即可得出答案． 【类比分析】先根据题意推得；根据两边及其夹角对应相等的两个三角形是全等三角形可证明，判断得出可以看做将绕着顶点A逆时针旋转得到的；即可推得将绕点逆时针旋转得到，连接；根据旋转前和旋转后的图形是全等图形可得，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等可得，，；根据等腰直角三角形的旋转可推得；根据全等三角形的判定和性质可得，结合直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平分即可推得． 【学以致用】将和分别绕点逆时针旋转得到和，连接，过点作交于点，过点作的延长线交于点，根据等边三角形的三个角都是，三条边都相等可得，；根据旋转的性质和全等三角形的性质可得，，，，，，根据直角三角形两锐角互余可得，根据直角三角形中，所对的边是斜边的一半和勾股定理可分别求出、、的值，根据全等三角形的判定和性质可求得； 根据等边三角形三线合一可得，结合勾股定理求出的值，即可根据三角形的面积公式求解． 【详解】【问题初探】解：由题可得，，， ∵，， ，， ∴，； ∵，，， ∴， ∴； 即； ∵，，， ∴， ∴； 即； 则； 故答案为：，． 【类比分析】解：如图： 由题可得，，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 故可以看做将绕着顶点A逆时针旋转得到的． 如图：将绕点逆时针旋转得到，连接， 则， ∵， ∴，，； ∵， ∵，， ∴， 即； ∵，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴． 【学以致用】解：将和分别绕点逆时针旋转得到和，连接，过点作交于点，过点作的延长线交于点，如图： ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，，，，，， ∴， 在中，，， ∴，； ∴， 在中，， 则； ∵，， ∴， 又∵， ∴； ∵，，， ∴， ∴， 故； 则， ； 在中，； 故的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质等；通过旋转和全等三角形的判定和性质推得，根据直角三角形的性质和勾股定理求出的值是解题的关键． 类型四 旋转与函数综合 52．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B． (1)直接写出： ， ； (2)在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标； (3)将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围． 【答案】(1)；2 (2)当时，四边形面积最大，其最大值为8，此时 (3)或 【分析】（1）令，由，得点坐标，令，由，得点坐标，将、的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式； （2）连接，设，求出，得到，再根据二次函数的性质求得最大值，便可得点的坐标； （3）根据旋转性质，求得点和点的坐标，令点和点在抛物线上时，求出的最大和最小值便可． 【详解】（1）解：令，得， ∴， 令，得，解得，， ∴， 把、两点代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图， 设， 令，得， 解得：或， ∴； 则 ， ∴当时，四边形面积最大，其最大值为， 此时M的坐标为； （3）解：∵将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图， ∴，， ∴，， 当在抛物线上时，有， 解得，， 当点在抛物线上时，有， 解得，或， ∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 【点睛】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（3）关键是确定，点的坐标与位置． 53．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图1，已知二次函数图象与轴交点为，其顶点为． (1)求二次函数的表达式； (2)直线与轴交于，现将线段上下移动，若线段与二次函数的图象有交点，求向上和向下平移的最大距离； (3)若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕点顺时针旋转，得到抛物线，如图2所示，直线与交于，两点，为上位于直线左侧一点，求面积最大值，及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)CM向下平移的最大距离为，向上平移的最大距离为6． (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①设直线向下平移最大距离为，由△，即可求解；②设直线向上平移最大距离为，同理可解； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：顶点， 设二次函数的解析式为， 把代入得：， ， ， 即； （2）解：由点、的坐标得，直线解析式为， ， ①设直线向下平移最大距离为， 平移后的直线解析式为， 此时直线与抛物线有一个交点， 把 代入， 得， ， △， 即：． ②设直线向上平移最大距离为， 此时，对应点为，， 则， 当恰在二次函数上时， ， ， 向上平移的最大距离为6． 综上，向下平移的最大距离为，向上平移的最大距离为6； （3）解：二次函数平移后顶点与原点重合时顶点为， 则函数的解析式为：， 设 为 上一点， 绕顺时针旋转 后，对应点为， 则， 则，， ， 若在轴左侧同理可证成立，即满足横坐标为纵坐标的平方， 所以， 把 代入， ， 解得：，； 则，， 设：， 过点作轴交于点， ， ， ， ， 当 时，有最大值，， 此时． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、面积的计算、图象的旋转等，有一定的综合性，难度较大． 54．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点坐标为，反比例函数的图象分别与，交于点，，点为线段上的动点，反比例函数的图象经过点，交于点，连接．    (1)求直线的函数表达式； (2)将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，求的值； (3)当点为线段中点时，将绕点旋转得到，其中，的对应点分别为，，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据反比例函数 的图象分别与，交于点，，求得的坐标，然后待定系数法求解析式即可； （2）连接交于点，求得直线的解析式为 ，则 ，根据翻折的性质可得，，，根据点、分别为、的中点，建立方程，解方程求解即可； （3）①如图，过点作于点，过点作于点，证明，，根据相似三角形的性质求得 ， ，根据即可求得的坐标，②如图，过点作于点，过点作于点，方法同①，根据即可求得的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数 的图象分别与，交于点，， ，，， ， 设直线的函数表达式为， 则，解得：， 直线的函数表达式为 ； （2）如图，连接交于点，   反比例函数 的图象交于点，交于点， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为 ， ， 将沿所在直线翻折得到， ，， ， 点、分别为、的中点， ，解得： ； （3）①如图，过点作于点，过点作于点，    ， ，点为线段中点 ， ， ， 在中， ， 由旋转得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， 点的横坐标为： ，纵坐标为： ， ； ②如图，过点作于点，过点作于点，    ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， 点的横坐标为： ，纵坐标为： ， ； 综上，点的坐标为或 ． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形、一次函数，待定系数法求解析式，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 55．（22-23九年级上·山东德州·期末）如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为B．    (1)请求出该抛物线的函数解析式； (2)点D是第二象限抛物线上一点，设点D横坐标为m． ①如图2，连接，，，当面积为4时，求点D的坐标； ②如图3，连接，将线段绕O点顺时针旋转，得到线段，过点E作轴交直线于F，求线段的最大值及此时点D的坐标． 【答案】(1) (2)①点D的坐标为；②线段的最大值为3，此时点D的坐标为 【分析】（1）先求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求出该抛物线的函数解析式即可； （2）①先求出点B的坐标，然后可得直线的解析式，过点D作轴交于P，设点D横坐标为m，则，，可得，然后根据面积为4列式求出m的值，进而可得点D的坐标； ②过点D作于点H，交y轴于点G，证明，设点D横坐标为m，则，求出点E坐标和直线的解析式，可得F点坐标为，表示出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点C，当时，；当时，； ∴点A坐标为，点C坐标为， ∵抛物线过A、C两点， 将A、C两点坐标带入得：， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：当时， 解得：，， ∴B点坐标为， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点D作轴交于P，    设点D横坐标为m，则，， ∴， ∵面积为4， ∴， 解得：， ∴； ②如图，过点D作于点H，交y轴于点G， ∴，    由旋转得：，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设点D横坐标为m，则， ∴，， ∴，， 又∵点D在第二象限，绕点O顺时针旋转得， ∴点E在第一象限． ∴点E坐标为， ∵轴交直线于点F， ∴点F的纵坐标与点E纵坐标相等， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得, ∴直线的解析式为， 将F点纵坐标代入得， 解得， ∴F点坐标为， ∴， ∴当时，最大，最大值为3， 当时，， ∴点D的坐标为， ∴线段的最大值为3，此时点D的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，待定系数法的应用，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，二次函数的应用等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $