专题02 二次函数7大题型（期末真题汇编，湖北专用）九年级数学上学期人教版

专题02 二次函数 7大高频考点概览 考点01 二次函数的性质 考点02 二次函数与方程、不等式 考点03 二次函数图象的平移 考点04 待定系数法求二次函数解析式 考点05 二次函数的图象与系数的关系 考点06 实际问题与二次函数 考点07 二次函数综合 地 城 考点01 二次函数的性质 1．(24-25九上·湖北随州·期末)关于的二次函数的图象过原点，则的值为（   ）． A．1 B． C． D．0 2．(24-25九上·湖北武汉·调研)已知二次函数（为常数）的图象上有两点轴，点的横坐标为，则点的横坐标为（   ） A． B．0 C． D． 3．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．对称轴是轴 C．有最高点 D．随的增大而增大 4．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)关于二次函数，下列结论正确的是（   ） A．最小值是6 B．最小值是 C．最大值是3 D．最大值是 5．(24-25九上·湖北荆州沙区·期末)已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．其图象的顶点坐标为 B．函数的最小值为 C．其图象的开口向上 D．其图象的对称轴为直线 6．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·湖北天门·期末)关于二次函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是 C．与轴交于点 D．当时，随的增大而减小 8．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)，，三点在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．(24-25九上·湖北襄阳宜城·期末)二次函数最小值是（   ） A． B．3 C． D．4 10．(24-25九上·湖北随州·期末)关于二次函数的图象，下列说法正确的是（）． A．开口向上 B．对称轴为直线 C．最小值为2 D．顶点坐标为 11．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)拋物线的顶点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 13．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)已知点，，在抛物线上．当，，时，，，三者之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 14．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族·期末)已知抛物线（）的对称轴为直线，且经过点，，则与的大小为（   ） A． B． C． D． 15．(24-25九上·湖北十堰·期末)若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 16．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)已知点，，都在抛物线上，请用“”号表示，，的关系为 ． 地 城 考点02 二次函数与方程、不等式 1．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过，两点，当p为大于0的常数时，关于x 的一元二次方程的根是整数，则p的可能取值的个数是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．(24-25九上·湖北荆州荆州经济技术开发区·期末)已知二次函数，下列说法中不正确的是（   ） A．该二次函数的图象的开口向下 B．该二次函数图象的顶点坐标是 C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D．已知点和都在这个二次函数的图象上，则 3．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线，且经过点，与x轴的一个交点位于，之间．有下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·湖北黄冈·期末)抛物线的对称轴为，与轴的一个交点坐标为，与y轴交于点，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B．当时， C． D．关于的方程有两个不等的实数根 5．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过二次函数的顶点，下列结论错误的是（   ） A．抛物线经过点 B． C．当时，则 D．与交于另一点 6．(24-25九上·湖北潜江·期末)抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 7．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)已知二次函数图象的一部分如图所示，点在该函数图象上，其对称轴为直线．则当时，自变量的取值范围正确的是（   ） A． B．或 C． D． 8．(24-25九上·湖北鄂州·期末)如图，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点坐标为，与y轴交于点，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B．当时， C． D．关于x的方程有两个不等的实数根 9．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，，则满足不等式组的整数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 . 11．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)抛物线与x轴两交点间的距离为 ． 地 城 考点03 二次函数图象的平移 1．(24-25九上·湖北武汉·调研)在平面直角坐标系中，将拋物线经平移后得到拋物线，下列平移方法正确的是（   ） A．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 2．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的抛物线顶点坐标为(    ) A． B． C． D． 4．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到抛物线是 ． 地 城 考点04 待定系数法求二次函数解析式 1．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点. (1)求，的值，并在所给的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (2)若为二次函数的图象对称轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标. 2．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)已知抛物线过点，请你确定此抛物线的表达式，写出其顶点坐标，并在网格中建立坐标系，画出该抛物线． 3．(24-25九上·湖北荆州沙区·期末)已知抛物线与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)当在什么范围时，？当在什么范围时，？ 4．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)已知抛物线(，且a为常数)，与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)直线（，且为常数）与轴交于点（异于点），与抛物线交于点，，其中点在第一象限． ①如图1，若时，，求的值； ②如图2，若点关于点的中心对称点为点，直线交抛物线于另一点，过点作交轴于点，连接，若，求点的坐标． 地 城 考点05 二次函数的图象与系数的关系 1．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．若点、点、点在该函数图象上，则 D．若方程的两根为和，且，则 2．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)下列关于二次函数（为常数）的结论：①该函数的图象可由函数的图象平移得到；②该函数的图象一定经过点；③该函数的最小值有可能是；④该函数的图象的顶点在函数的图象上．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．(24-25九上·湖北荆州荆州经济技术开发区·期末)如图，函数经过点，对称轴为直线：①；②；③；④；⑤若点、在抛物线上，则；⑥（m为任意实数），其中结论正确的有（  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 5．(24-25九上·湖北襄阳高新区·期末)已知抛物线（a、b、c为常数，）经过点，，其对称轴在y轴左侧，下列结论中，错误的是（   ） A． B．方程没有实数根 C． D． 6．(24-25九上·湖北十堰·期末)抛物线的顶点为，抛物线与y轴的交点位于x轴上方． 以下结论：①；  ②； ③；  ④ ；⑤； ⑥，其中正确的个数是 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点，其中．下列四个结论： ①若，则； ②； ③若，则抛物线与x 轴两个交点之间的距离小于2； ④若，，则关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根． 其中正确的结论是 （填写序号）． 8．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)已知抛物线（为常数）经过点，且满足．下列四个结论： ①； ②； ③抛物线上的两点，当时，则； ④关于的方程无实数根． 其中一定正确的是 ．（填写序号） 9．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)已知抛物线的开口方向向上，与轴的正半轴交于两点．下列四个结论：①；②当时，；③点，点在抛物线上，若时，总有，则；④若，则不等式的解集为．其中一定正确的是 ．（填写序号） 10．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于、两点，与轴交于点．对称轴为直线，且，下列结论：①；②；③若，则；④若点、点在该二次函数图象上，当且时，则其中正确的结论是 (填写正确结论的序号) 11．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)已知二次函数的y与x的部分对应值如下表：下列结论： x 0 1 2 y 1 3 1 ①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为；③当时，函数值y随x的增大而增大；④抛物线与x轴有两个不同交点．其中正确的结论有 ． 12．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)已知拋物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论： ①； ②； ③若关于的方程有实数根，则； ④若抛物线过点，则． 其中正确的结论序号有 ． 13．(24-25九上·湖北武汉·调研)已知抛物线过，且．下列结论： ①；②；③；④若，方程有两个不相等实数根．其中正确的是 ．（填写序号） 14．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)已知抛物线（a，b，c为常数，且）与x轴两个交点坐标分别为，，下列说法：①抛物线的对称轴为直线；②；③若，点，均在抛物线上，且，则；④当时，的最小值为，则a的值为或．其中一定正确的结论有 （填写序号）． 15．(24-25九上·北京第五中学分校·期中)抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是，其中所有正确结论的序号是 ． 地 城 考点06 实际问题与二次函数 1．(24-25九上·湖北武汉·调研)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面下降，则水面宽度增加了（   ）    A． B． C． D． 2．(24-25九上·湖北荆州荆州经济技术开发区·期末)在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购买一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构，根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式为，许愿瓶的进价为6元/个． (1)按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式； (2)若许愿瓶的进价成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润． 3．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)已知等腰三角形的周长为，等腰三角形绕它底边上的高旋转形成一个圆锥，试确定旋转形成的圆锥的侧面积的范围，并写出对应腰长的取值范围． 4．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)某地某网店专门销售甲乙两种儿童套装，乙每件的进价比甲多5元，某次用1300元购进两种儿童套装各20件．销售中发现：甲种每天销售件数y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． (1)求甲种儿童套装每件的进价； (2)求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (3)网店每天甲种套装的销售量不低于250件，当甲种套装销售单价为多少元时，每天销售甲种套装获取的利润最大，最大利润是多少？ 5．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为，另外三边用的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的门，设苗圃园垂直于墙的一边长为，苗圃园的面积为． (1)写出S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若苗圃园的面积为，求垂直于墙的一边长为多少m？ (3)苗圃园的面积能否达到？若能，请说明理由；若不能，请求出苗圃园的面积最大值． 6．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)小周同学自行设计了一盏台灯，台灯的，灯泡在点处，灯泡周围是纸质灯罩，台灯底座中心在点处（底座厚度不计）．以点为原点，以为单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系，灯罩关于轴对称．已知点到轴距离为，到轴距离为，从侧面看，纸质灯罩部分（部分）近似为二次函数的一部分． (1)求二次函数的解析式； (2)如图（1），连接并延长与轴相交于点，将的长称为可视范围半径．若点到轴的距离为，求台灯的可视范围半径为多少？ (3)小周同学为了用眼健康，需将可视范围半径扩大至，但限于灯杆长度和灯泡的位置无法改变，小周同学想到一个解决办法：先在段选取一点，作点关于轴的对称点，将纸质灯罩上的点下面部分剪掉即可，求点的坐标． 7．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)某公司生产的商品的市场建议零售价为每件元，公司的实际销售价格可以浮动个百分点（即销售价格），经过市场调研发现，这种商品的日销售量（件）与实际销售价格浮动的百分点之间的函数关系为．若该公司按浮动个百分点的价格出售，每件商品仍可获利． (1)求该商品每件的成本为多少元？ (2)当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为元？ （说明：日销售利润（实际销售价格成本）日销售量） (3)当实际销售价格定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 8．(24-25九上·湖北荆州沙区·期末)某水果店购入一批进价为元/千克的水果进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系，如下表． 销售单价 … … 日销售量 … … (1)求与的函数表达式； (2)当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 9．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)某学校科技小组的同学制作了简易“投石机”，通过实验，收集了石块相对于出发点的飞行水平距离（单位：），飞行高度（单位：）随飞行时间（单 位：s）变化的数据，如下表： 飞行时间 0 1 2 4 ... 飞行水平距离 0 10 20 40 ... 飞行高度 2 8 10 2 ... (1)科技小组发现与与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．请直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)已知投石机停在水平线的处． ①将投石机原地抬高，再投出石块，求石块落地点距点的水平距离； ②如图2，矩形处是一堵高，厚度的道具城墙，若石块从点投出能够在达到最高点后越过道具城墙，则投石机离道具城墙的水平距离的取值范围是___________． 10．(24-25九上·湖北黄冈·期末)大课间30分钟，同学们兴高采烈地参加跳绳活动，跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和均为0.9米，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点刚好落在轴上．设此抛物线的解析式为．不考虑跳跃带来的头部高度变化． (1)求该抛物线的解析式； (2)绳子甩到最高处时，最高点与地面的距离是多少米？如果身高为1.75米的张老师也想跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由； (3)小丽同学的身高为1.4米，她参加跳绳时，绳子甩到最高处时必须超过她的头顶．如果小丽同学在地面的位置离点的距离为米，请结合图象，求出的取值范围． 11．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)为创建省级文明城市，改善人居环境，幸福社区投资1万元修建一个矩形植物园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长，平行于墙的边的费用为200元，垂直于墙的边的费用为150元，设平行于墙的边长为，垂直于墙的一边长为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若植物园面积为，求的值； (3)求植物园的最大面积． 12．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)郑钦文是我国网球运动员．她在一次击球过程中，在点处发球，将网球从点正上方的点发出，球的运行轨迹是一条抛物线，网球运行的水平距离为时，网球达到最大高度，以点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立如图平面直角坐标系，已知球网与原点的水平距离约为，球网高度为，球场的边界距原点的水平距离约为．设网球运动高度与运行的水平距离． (1)若，时， ①求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； ②如果球能过网，求它的落点离边界的距离； (2)若在距地面处将球击打出去，让球一定能越过球网（不接接触球网），又不出边界（可压边界），直接写出的取值范围． 13．(24-25九上·湖北襄阳高新区·期末)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形．已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为x m（如图），矩形养殖场的总面积为． (1)求出S与x的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)矩形养殖场的总面积能为吗？如果能，求此时x的值；如果不能，请说明理由； (3)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 14．(24-25九上·湖北武汉·调研)某型号飞机着陆后从开始滑行到停止的过程中，滑行速度为（单位：）、滑行距离为（单位：）、滑行时间为（单位：s）．测得一些数据如下表： 滑行时间（单位：） 0 1 2 3 滑行速度（单位：） 80 76 72 68 滑行距离（单位：） 0 78 152 222 若滑行速度与滑行时间之间是一次函数关系，滑行距离与滑行时间之间是二次函数关系． (1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)当飞机着陆滑行时，求飞机此时的滑行速度； (3)求飞机着陆滑行过程中最后滑行所用的时间． 15．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)元旦期间，山城水果专卖店销售某品种慈口蜜桔，每箱售价60元，每天可卖50箱．为了促销，该水果专卖店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每天可多卖5箱．已知该品种慈口蜜桔每箱成本价40元．设该品种慈口蜜桔每箱售价元，每天的销售量为箱． (1)求与之间的函数关系式； (2)当该品种慈口蜜桔每天的销售利润为1000元时，求该品种慈口蜜桔每箱的售价； (3)当该品种慈口蜜桔每箱售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 地 城 考点07 二次函数综合 1．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)如图，点是正方形的边上的一个动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，面积的最小值为 ． 2．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)在平面直角坐标系中，抛物线过，，三点，且与x轴交于另一点F． (1)求抛物线的对称轴方程； (2)如图1，点C为抛物线对称轴与x轴的交点，连接，直线交抛物线于另一点H，P为直线下方抛物线上的点，连接，若，求P点坐标； (3)如图2，点M为第一象限内抛物线上一点，过点M的直线与抛物线交于第四象限内一点N，连接，分别交y轴于点D、E，且，求证：直线恒经过一定点，并求出定点坐标． 3．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称.       图1                 图2 (1)求线段的长； (2)当时，求的取值范围； (3)如图2，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值. 4．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)如图1，拋物线交轴于A，B两点（在的左边），与轴负半轴交于点，且，连接． (1)求拋物线的解析式； (2)为抛物线上一点，若，求点的坐标； (3)如图2，为线段上一动点，过点作轴交抛物线于点，第四象限的拋物线上是否存在点，连接，使与互相平分，若存在求点的坐标，若不存在，请说明理由． 5．(24-25九上·湖北随州·期末)已知抛物线的顶点为． (1)当时，直接写出抛物线开口方向及抛物线与轴的两个交点的坐标；抛物线的开口方向：_______（填“向上”或“向下”）；与轴的两个交点的坐标（_______，_______），（_______，＿＿）； (2)当取最大值时，求点的坐标； (3)当时，对于抛物线上的点，恒有，求的取值范围． 6．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)为第一象限内抛物线上一动点，过点作轴交于点，连接，当时，求点的坐标； (3)将此抛物线沿水平方向平移，得到新的抛物线记为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），设的长为，点的坐标为，求关于的函数解析式． 7．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 8．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)在平面直角坐标系中，抛物线过的三个顶点．其中点坐标是，C点坐标是． (1)求a和c的值； (2)若Q点在抛物线图像上，平分，求Q点坐标； (3)在直线上，是否存在一点E，过E点且互相垂直的两条直线分别与抛物线有唯一公共点，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由． 9．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)图，抛物线与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C． (1)直接写出点 A，B，C 的坐标； (2)如图1，连接，点 D 在抛物线上，连接，若，求点 D 的坐标； (3)如图2，点P 在对称轴右侧的抛物线上，非平行y轴的直线l与抛物线有唯一公共点P．平移直线l，使其经过点，与抛物线交于 M，N 两点，连接交 于点 E，Q 为的中点，连接，设点 P 的横坐标为m，若的面积为2，求m 的值． 10．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴，交抛物线于点，点为抛物线上一动点（点在上方），作轴交于点．当点在什么位置时，四边形的面积为2？求出此时点坐标； (3)若将上方的抛物线沿直线翻折下来，原图象其余部分不变，与翻折下来的部分组成新图象，当直线与新图象有四个交点时，直接写出的取值范围． 11．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)【问题背景】洪山区某校开展综合与实践活动．同学们发现在相同玻璃水杯内加入不同高度的水量，用筷子敲击玻璃水杯会发出不同音调． 【实验操作】由于频率不同则音调不同，因此同学们用频率仪作测量实验，获得如下水量高度与频率数据对照表． 水量高度 频率 【建立模型】用x表示对应的水量高度，用y表示频率，同学们运用信息技术描出数据散点图并发现可用二次函数近似刻画水量高度与频率关系如图． 任务1  当水量高度为时，计算频率值为___________． 任务2  若要敲击出高音3，玻璃水杯水量高度为多少？(结果保留整数)(C调音符与频率对照表：低音，中音，高音，其他参考数据：) 【反思优化】同学们通过观察图1，发现第十一组数据与利用二次函数计算得出的频率值偏差较大．决定将其数据优化为，减少偏差．通过查阅资料后知道：可将水量高度对应的频率值进行次测量，得到个结果，再计算个结果与之差的平方和，记为；越小，偏差越小． 任务3  当偏差最小时，说明y与之间关系，并阐述理由． 12．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)如图，二次函数与轴相交于点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点． (1)直接写出点的坐标； (2)如图（1），连接，，点为抛物线上一点，使，求点的坐标； (3)如图（2），过定点的直线与抛物线相交于，两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点． 13．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若连接，，并把沿翻折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出这个菱形的面积；若不存在，请说明理由； (3)当点运动到什么位置时，由，，，这四点组成的四边形的面积最大？并求出此时点的坐标和该四边形的最大面积． 14．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C． (1)直接写出结果：________，________； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上一点，连接，若N是第二象限内抛物线上一点，，求出N点的坐标； (3)如图2，若点P是抛物线上一点． ①若点P在右侧时，连接，，求面积的最大值； ②若点P是抛物线上任意一点，且，试确定满足条件的P点个数，请直接写出你的结论． 15．(24-25九上·湖北仙桃·期末)如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点（点在点的左侧）． (1)求该抛物线的解析式及，两点的坐标； (2)如图2，将位于直线上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，请求出线段的最大值． 16．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)已知如图1，平面直角坐标系中，为原点，经过点的抛物线交轴正半轴于点，与直线有两个交点，，它们的横坐标为，，且． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)如图2，将抛物线的顶点平移到原点，得新抛物线，直线交抛物线于点，（点横坐标小于），若与的交点为，过点作轴平行线交抛物线于点，试说明直线总经过定点，并求这个定点的坐标． 17．(24-25九上·湖北武汉·调研)如图，抛物线与轴交于点A，B（在的左侧），与轴交于点C． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图1，点在第一象限的抛物线上，点关于直线的对称点落在轴上，求点的坐标； (3)如图2，点是第一象限的拋物线上一动点，当的面积最大时． ①求点的坐标． ②点在轴正半轴上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若线段刚好经过点，直接写出点的坐标． 18．(24-25九上·湖北部分州·期末)如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（，为常数）与轴交于点，顶点为点．点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得取得最小值，求点坐标； (3)若点坐标为，连接，取线段的中点，将点绕点顺时针方向旋转得到点，连接，以，为邻边构造矩形． ①设的长为，求关于的函数解析式； ②请直接写出当点在矩形外部时，的取值范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 7大高频考点概览 考点01 二次函数的性质 考点02 二次函数与方程、不等式 考点03 二次函数图象的平移 考点04 待定系数法求二次函数解析式 考点05 二次函数的图象与系数的关系 考点06 实际问题与二次函数 考点07 二次函数综合 地 城 考点01 二次函数的性质 1．(24-25九上·湖北随州·期末)关于的二次函数的图象过原点，则的值为（   ）． A．1 B． C． D．0 【答案】A 【来源】湖北省随州市2024-2025学年九年级上学期期末学业水平模拟考试数学试卷 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，将代入二次函数解析式，得到关于a的方程，解方程即可，注意二次项系数不能为0． 【详解】解：∵二次函数的图象过原点， ∴，， ∴， 故选：A． 2．(24-25九上·湖北武汉·调研)已知二次函数（为常数）的图象上有两点轴，点的横坐标为，则点的横坐标为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【来源】湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题 【分析】本题考查的是二次函数的对称性，先求解抛物线的对称轴为直线，再进一步利用对称性求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数（为常数）的图象上有两点轴，点的横坐标为， ∴， ∴； 故选：D 3．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．对称轴是轴 C．有最高点 D．随的增大而增大 【答案】B 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象及性质． 由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案． 【详解】解：抛物线的开口向上，有最低点，对称轴为y轴， 当时，函数值随x的增大而减小， ∴四个选项中只有B选项的说法正确， 故选：B． 4．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)关于二次函数，下列结论正确的是（   ） A．最小值是6 B．最小值是 C．最大值是3 D．最大值是 【答案】B 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式，结合二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴二次函数的最小值是， 故选：B． 5．(24-25九上·湖北荆州沙区·期末)已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．其图象的顶点坐标为 B．函数的最小值为 C．其图象的开口向上 D．其图象的对称轴为直线 【答案】D 【来源】湖北省荆州市沙市区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点)中各项参数与函数性质的关系成为解题的关键． 根据二次函数顶点式的性质以及a的值确定开口方向，由h，k的值确定最大值、对称轴、顶点坐标逐项判断即可解答． 【详解】解：A．该函数的顶点坐标为，故该选项错误，不符合题意； B．该函数的最大值为2，故该选项错误，不符合题意； C．由，所以该二次函数图象开口向下，故该选项错误，不符合题意； D．该函数的对称轴为直线，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 6．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 7．(24-25九上·湖北天门·期末)关于二次函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是 C．与轴交于点 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【来源】湖北省天门市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 对称轴是直线，故选项 B错误，不符合题意； 当时，，即该函数图象与轴交于点，故选项C错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 8．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)，，三点在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式得出抛物线的开口向上，对称轴为直线，结合即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， 故选：B． 9．(24-25九上·湖北襄阳宜城·期末)二次函数最小值是（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【来源】湖北省襄阳市宜城市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：二次函数中，， 当时，二次函数有最小值，最小值为， 故选：A． 10．(24-25九上·湖北随州·期末)关于二次函数的图象，下列说法正确的是（）． A．开口向上 B．对称轴为直线 C．最小值为2 D．顶点坐标为 【答案】D 【来源】湖北省随州市2024-2025学年九年级上学期期末学业水平模拟考试数学试卷 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点为常数)中各项参数与函数性质的关系． 根据二次函数顶点式的性质，分析的值确定开口方向，由h，k的值确定对称轴和顶点坐标，进而判断各选项的正误． 【详解】对于二次函数，它是顶点式的形式，其中， 因为，所以该二次函数图象开口向下，A选项错误； 函数图象的对称轴为直线不是直线，B选项错误； 由于该函数图象开口向下，所以函数有最大值，没有最小值，当时，取得最大值2，C选项错误； 二次函数顶点式的顶点坐标为，已知，所以该函数图象的顶点坐标为，D选项正确． 故答案选：D． 11．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)拋物线的顶点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数解析式得出二次函数的顶点坐标为，再结合各个象限内点的坐标特征即可得解．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵拋物线的解析式为， ∴其顶点坐标为， ∴其顶点所在的象限是第四象限． 故选：D． 12．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了点的坐标与二次函数解析式的关系，解题的关键是将选项中的横坐标代入抛物线解析式，验证计算出的纵坐标是否与选项一致． 将各选项中的横坐标代入抛物线，计算对应的纵坐标，判断是否与选项中的纵坐标相等． 【详解】A、当时，，所以点不在抛物线上； B、当时，，所以点不在抛物线上； C、当时，，与选项中纵坐标0相等，所以点在抛物线上； D、当时，，所以点不在抛物线上； 故选：C． 13．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)已知点，，在抛物线上．当，，时，，，三者之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．由抛物线解析式可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，且离对称轴距离越远，值越大，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，且离对称轴距离越远，值越大， ∵，，， ∴， 故选：C． 14．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族·期末)已知抛物线（）的对称轴为直线，且经过点，，则与的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． 由于二次函数的图像的开口向上，对称轴为直线，然后根据点和点离对称轴的远近可判断与的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的图像的对称轴为直线， 又∵， ∴该函数图像的开口向上， ， ∴点离对称轴的距离比点要远， ， 故选：A． 15．(24-25九上·湖北十堰·期末)若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 【答案】 【来源】湖北省十堰市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的增减性和对称性是解题关键．先求出二次函数的对称轴是是直线，根据对称性可得当时的函数值与当时的函数值相等，即为，再根据二次函数的增减性求解即可得． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等，即为， ∵二次函数中的， ∴当时，随的增大而减小， 又∵，，为二次函数的图象上的三点，且， ∴， 故答案为：． 16．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)已知点，，都在抛物线上，请用“”号表示，，的关系为 ． 【答案】 【来源】湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是本题的关键． 分别计算出自变量为，和3时的函数值，然后比较函数值得大小即可． 【详解】解：把，，分别代入得： ，，， ∵， ∴． 故答案：． 地 城 考点02 二次函数与方程、不等式 1．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过，两点，当p为大于0的常数时，关于x 的一元二次方程的根是整数，则p的可能取值的个数是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的性质可得当时，，抛物线的对称轴为直线，再结合题意得出整数根为，或，或，即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过，两点， ∴当时，，抛物线的对称轴为直线， ∵当p为大于0的常数时，关于x 的一元二次方程的根是整数， ∴整数根为，或，或， ∴p的可能取值的个数是3个， 故选：A． 2．(24-25九上·湖北荆州荆州经济技术开发区·期末)已知二次函数，下列说法中不正确的是（   ） A．该二次函数的图象的开口向下 B．该二次函数图象的顶点坐标是 C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D．已知点和都在这个二次函数的图象上，则 【答案】B 【来源】湖北省荆州市荆州经济技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据可得该二次函数的图象的开口向下，由此即可判断选项A正确；将二次函数的解析式化成顶点式即可判断选项B错误；求出当时，的值即可判断选项C正确；根据二次函数的增减性即可判断选项D正确． 【详解】解：∵二次函数中的， ∴该二次函数的图象的开口向下，则选项A正确； 二次函数化成顶点式为， ∴该二次函数图象的顶点坐标是，则选项B错误； 当时，，解得或， ∴该二次函数的图象与轴的交点坐标是和，则选项C正确； ∵二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵点和都在这个二次函数的图象上，且， ∴，则选项D正确； 故选：B． 3．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线，且经过点，与x轴的一个交点位于，之间．有下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省孝感市孝南区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题主要考查根据二次函数图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 先根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，确定a、b、c的符号可判断A选项，再根据当时，可确定B选项；由函数图象可知抛物线与x轴有两个交点即可判断C选项；根据对称轴的位置可判断D选项． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与y轴交于点， ∴，，，即， ∴，故A选项结合错误，不合题意； 由函数图象可知：当时，即，故B选项结合错误，不合题意； 由函数图象可知：抛物线与x轴有两个交点，即，故C选项结合错误，不合题意； 由抛物线的对称轴为，即， ∴，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 4．(24-25九上·湖北黄冈·期末)抛物线的对称轴为，与轴的一个交点坐标为，与y轴交于点，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B．当时， C． D．关于的方程有两个不等的实数根 【答案】C 【来源】湖北省黄冈市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】由抛物线的对称轴是直线，据此即可判断结论C；根据轴对称的性质及中点坐标公式，可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，据此即可判断结论A；由一元二次方程根与系数的关系可得，解得，进而可得抛物线开口向下，利用图象法解一元二次不等式，据此即可判断结论B；代入、、的值将方程变形为，利用因式分解法解一元二次方程，据此即可判断结论D；综上，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴对称轴为直线， ∴，故结论C错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，与y轴交于点，， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，， ∴抛物线与x轴有两个不同交点，的两个根为，， ∴，， 解得：， ∴抛物线开口向下， ∴当时，，故结论A，结论B正确； ∵， ∴方程变形为， ∵，， ∴， ∴方程变形为， 解得：，，故结论D正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，轴对称的性质，中点坐标公式，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的图象与系数的关系，图象法解一元二次不等式，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 5．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过二次函数的顶点，下列结论错误的是（   ） A．抛物线经过点 B． C．当时，则 D．与交于另一点 【答案】C 【来源】湖北省武汉市（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）2024-2025 学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查二次函数的性质，一次函数与二次函数交点问题，由一次函数的图象经过二次函数的顶点得到，再据此计算各个选项即可． 【详解】解：当，，即抛物线经过点，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴的顶点， ∵一次函数的图象经过二次函数的顶点， ∴，整理得， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴当时，，但的符号不确定，无法确定，故C选项错误，符合题意； 当时，，解得，当时，，即与交于另一点，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 6．(24-25九上·湖北潜江·期末)抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【来源】 湖北省潜江市2024-2025学年九年级上学期期末质量检测数学试题 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式(组)、二次函数图象与系数的关系，理解题意，灵活运用所学知识是解决此题的关键，由抛物线的开口方向以及抛物线与轴的交点可得,由题意知，抛物线的对称轴为直线,可得,进而可得，，即可判断①③，根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点为,将代入，得，即可判断②，根据抛物线的对称性可得此抛物线经过点,即抛物线与直线的交点的横坐标分别为和，结合图象可得不等式的解集，即可判断④． 【详解】解：抛物线的开口向下， , 抛物线的顶点为, 抛物线的对称轴为直线,即, ， 抛物线与轴的交点在轴的上方， , ,故①正确，符合题意； 抛物线的对称轴为直线,且抛物线经过点, 抛物线与轴的另一个交点为， 将代入,得,故②正确，满足题意； , ,故③正确，满足题意； 此抛物线经过点, 此抛物线经过点, 抛物线与直线的交点的横坐标分别为和， 如图，结合图象可知， 不等式的解集是,即不等式的解集是,故④正确，满足题意. 故正确结论的序号是①②③④， 故选：D． 7．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)已知二次函数图象的一部分如图所示，点在该函数图象上，其对称轴为直线．则当时，自变量的取值范围正确的是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数图象对称性是解题的关键．根据二次函数图象的对称性，由图象过点，对称轴为直线，可得图象与x轴的另一个交点坐标为，再由二次函数图象性质得出函数值时，自变量x的取值范围． 【详解】解：∵图象过点，对称轴为直线，且， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为， 由二次函数图象性质可知， 当函数值时， 自变量x的取值范围是． 故选：D． 8．(24-25九上·湖北鄂州·期末)如图，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点坐标为，与y轴交于点，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B．当时， C． D．关于x的方程有两个不等的实数根 【答案】C 【来源】湖北省鄂州市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】由抛物线的对称轴是直线，据此即可判断结论C；根据轴对称的性质及中点坐标公式，可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，据此即可判断结论A；由一元二次方程根与系数的关系可得，解得，进而可得抛物线开口向下，利用图象法解一元二次不等式，据此即可判断结论B；代入、、的值将方程变形为，利用因式分解法解一元二次方程，据此即可判断结论D；综上，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴对称轴为直线， ∴，故结论C错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，与y轴交于点，， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，， ∴抛物线与x轴有两个不同交点，的两个根为，， ∴，， 解得：， ∴抛物线开口向下， ∴当时，，故结论A，结论B正确； ∵， ∴方程变形为， ∵，， ∴， ∴方程变形为， 解得：，，故结论D正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，轴对称的性质，中点坐标公式，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的图象与系数的关系，图象法解一元二次不等式，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 9．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，，则满足不等式组的整数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【来源】湖北省咸宁市咸安区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数的对称性可知二次函数与x轴的另一个交点坐标为，然后根据图象可知当时，x的取值范围为，然后问题可求解． 【详解】解：设二次函数与x轴的另一个交点坐标为，则由抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，，可知： ， ∴，即二次函数与x轴的另一个交点坐标为， 由图象可知：当时，x的取值范围为， ∴满足不等式组的整数只有3一个； 故选：A． 10．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 . 【答案】 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题．根据抛物线与轴没有交点，可知当时，方程没有实数根，则，从而可以求得的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴没有交点， 当时，方程没有实数根， ，， 解得，， 故答案为：． 11．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)抛物线与x轴两交点间的距离为 ． 【答案】2 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，通过解方程得抛物线与x轴的两交点的坐标，从而得到两交点间的距离． 【详解】解：当时，， 解得，， 所以抛物线与x轴的两交点的坐标为，， 所以抛物线与x轴的两交点间的距离为． 故答案为：2． 地 城 考点03 二次函数图象的平移 1．(24-25九上·湖北武汉·调研)在平面直角坐标系中，将拋物线经平移后得到拋物线，下列平移方法正确的是（   ） A．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 【答案】B 【来源】湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题 【分析】此题考查二次函数图象与几何变换．根据抛物线的平移规则：上加下减，左加右减即可得到答案． 【详解】解：∵， 而拋物线经平移后得到拋物线， 则平移的方法可以是：将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度． 故选：B． 2．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】本题考查二次函数的平移，函数图像的平移法则：左加右减、上加下减，熟记函数图像平移法则是解决问题的关键．按照函数图像平移法则求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到 故选：A． 3．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的抛物线顶点坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先把配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为，再把点向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到点的坐标为． 【详解】解：，即抛物线的顶点坐标为， 把点向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到． 故选：D． 4．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，再根据“左加右减，上加下减”的原则写出平移后的抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位， 得 ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 故选：A 5．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到抛物线是 ． 【答案】 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．根据二次函数的平移性质求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到抛物线是，即， 故答案为：． 地 城 考点04 待定系数法求二次函数解析式 1．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点. (1)求，的值，并在所给的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (2)若为二次函数的图象对称轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标. 【答案】(1)，图象见解析 (2) 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】题考查了待定系数法求函数解析式，作函数图象，点的对称性等． （1）由待定系数法求解即可得，的值，再根据抛物线的解析式画出图象即可； （2）根据抛物线的解析式得对称轴为直线，，连接交直线于点，点即为所求，设直线的解析式为，用待定系数法求出直线的解析式，将代入得y的值，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入二次函数得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 根据抛物线的解析式和，，画出图象如图所示： （2）解：抛物线的解析式， 对称轴为直线， ∴，关于直线对称， 在中，当时，， ， 连接交直线于点，点即为所求， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ． 2．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)已知抛物线过点，请你确定此抛物线的表达式，写出其顶点坐标，并在网格中建立坐标系，画出该抛物线． 【答案】抛物线的表达式为，顶点坐标为，图象见解析 【来源】湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】此题主要考查了待定系数法二次函数的解析式，求二次函数的顶点坐标，以及画二次函数的图象． 用待定系数法点代入求出a值即可求得抛物线的表达式，用配方法将表达式化成顶点式，即可得出顶点坐标，然后用描点法画出函数图象即可． 【详解】解：把点代入，得， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为． 建立坐标系，画出该抛物线如图所示， 3．(24-25九上·湖北荆州沙区·期末)已知抛物线与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)当在什么范围时，？当在什么范围时，？ 【答案】(1)； (2)，； (3)当时，；当或时，． 【来源】湖北省荆州市沙市区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查二次函数的图像与性质、二次函数图像与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数解析式，正确求得函数解析式，以及二次函数的性质是解答的关键． （1）将点代入函数解析式中求得m值即可； （2）令，解方程即可解答； （3）根据二次函数的图像与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，由解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和； （3）解：由得， ∴抛物线的开口向下，又抛物线与轴的交点坐标为和， ∴当时，；当或时，． 4．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)已知抛物线(，且a为常数)，与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)直线（，且为常数）与轴交于点（异于点），与抛物线交于点，，其中点在第一象限． ①如图1，若时，，求的值； ②如图2，若点关于点的中心对称点为点，直线交抛物线于另一点，过点作交轴于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）① 令,则，过点作交直线于点，作 于点 于点，为等腰直角三角形，证明，设点，则，那么，将 两点的坐标代入直线中得解得（舍），那么； ②点，由题意得点，设点的横坐标分别为．设直线为，直线为，直线为 ，联立直线与抛物线的解析式：整理得：，则，同理：联立直线与抛物线的解析式，整理得：，则，则，同理： 联立直线与抛物线的解析式，整理得： ，则，设直线的解析式为：，过点，得，则，则点过作轴，交于点，设点，则点 ，则，由建立方程求解即可． 【详解】（1）解：依题意将代入得： 解得：， ∴解析式为：； （2）解：① 令 ， 过点作交直线于点，作 于点 于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设点 ， 则， ∴， 将 两点的坐标代入直线中得： 解得：（舍） ； ②点，由题意得点， 设点的横坐标分别为． 设直线为，直线为，直线为， 联立直线与抛物线的解析式： 整理得： 则， 同理：联立直线与抛物线的解析式： 整理得：， 则 ， ， ， 同理：联立直线与抛物线的解析式：， 整理得：， 则， ， 设直线的解析式为：，过点 得： ，则点 过作轴，交于点， 设点 ，则点 ， ， ∴ 解得： 点在第一象限． 点的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，与一次函数的综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系，与面积的综合问题，难度大，综合性强． 地 城 考点05 二次函数的图象与系数的关系 1．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．若点、点、点在该函数图象上，则 D．若方程的两根为和，且，则 【答案】D 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】由抛物线的对称轴为直线可得，即，进而可得，由此即可判断结论；由函数图象可知当时，进而可得，由此即可判断结论；由轴对称的性质及抛物线的对称轴为直线可得，点在抛物线图象上的对称点为，由二次函数的对称性可知，由函数图象可知抛物线开口向下，因而当时，随的增大而减小，由此即可判断结论；由二次函数的对称性可知，抛物线与轴的另一交点为，因而方程的两根为或，过作轴的平行线，则直线与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，依据函数图象即可判断结论；综上，即可得出答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， ， ，故结论错误，选项不符合题意； 由函数图象可知：当时，， ，故结论错误，选项不符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线图象上的对称点为， 由二次函数的对称性可知：， 由函数图象可知：抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， ，即， ， ， 即：，故结论错误，选项不符合题意； 由二次函数的对称性可知：抛物线与轴的另一交点为， 方程的两根为或， 如图，过作轴的平行线，则直线与抛物线的交点的横坐标为方程的两根， 由函数图象可知：，故结论正确，选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号，轴对称的性质，根据二次函数的对称性求函数值，根据二次函数图象确定相应方程根的情况等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 2．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 利用抛物线开口向上得到，利用抛物线的对称轴方程得到，即可判断；由时，得，再结合得，由于，所以，即可判断；当时，取得最小值，所以，化简后即可判断；根据对称性得二次函数与直线的一个交点为，所以，，代入中即可判断． 【详解】解： 抛物线开口向上， ， 二次函数图象的对称轴为直线，即， ，故正确； 时，， ， 而， ， ， ，故正确； 时，取得最小值， （为任意实数）， 即，故正确； 点在抛物线上时，方程的两根为， 二次函数与直线的一个交点为， 二次函数图象的对称轴为直线， 二次函数与直线的一个交点为， 即，， ，故正确； 故选：D． 3．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)下列关于二次函数（为常数）的结论：①该函数的图象可由函数的图象平移得到；②该函数的图象一定经过点；③该函数的最小值有可能是；④该函数的图象的顶点在函数的图象上．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【来源】湖北省咸宁市通山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点．①二次项系数相同，由此即可得函数的图象可由函数的图象平移得到；②求出当时，求得y的值即可得；③根据二次函数的最值即可得；④先求出二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得． 【详解】解：∵二次函数和二次函数，二次项系数相同， ∴函数的图象可由函数的图象平移得到，结论①正确； 当时，， ∴该函数的图象不一定经过点，结论②错误； ∵，开口向上，抛物线的顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值为，结论③错误； ∵该函数的图象的顶点坐标为， ∴当时，， ∴该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确； 综上，所有正确的结论序号是①④； 故选：B． 4．(24-25九上·湖北荆州荆州经济技术开发区·期末)如图，函数经过点，对称轴为直线：①；②；③；④；⑤若点、在抛物线上，则；⑥（m为任意实数），其中结论正确的有（  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【来源】湖北省荆州市荆州经济技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识． ①根据图象与轴有两个交点，即可判断； ②根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断； ③根据图象可得对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，再根据抛物线增减性即可判断； ④根据图象抛物线与轴的一个交点为，可得，对称轴为，可得，将代入，即可判断； ⑤根据图象可得，即可得出，再结合对称轴，运用二次函数增减性即可判断； ⑥对称轴为， ，运用二次函数增减性即可判断． 【详解】解：①∵抛物线与轴有两个交点， ， ，故①符合题意； ②∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴与异号，即， ∵抛物线与轴交点在轴下方， ，故②不符合题意； ③∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小， ∴当时，， ，故③不符合题意； ④∵抛物线与轴的一个交点为， ， ∵抛物线对称轴为， ， ， ，故④符合题意； ∵， ∵抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大， 故⑤不符合题意； ⑥抛物线对称轴为，抛物线开口向上， 时，有最小值， （为任意实数），故⑥符合题意； 综上所述，①④⑥符合题意，共有个； 故选：B． 5．(24-25九上·湖北襄阳高新区·期末)已知抛物线（a、b、c为常数，）经过点，，其对称轴在y轴左侧，下列结论中，错误的是（   ） A． B．方程没有实数根 C． D． 【答案】B 【来源】湖北省襄阳市高新区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴，抛物线与坐标轴的交点，函数的增减性，利用数形结合思想，计算判断即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴在y轴的左侧， ∴对称轴为直线， ∵抛物线（a、b、c为常数，）经过点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得，此时无解； 当时，，解得，此时取值范围为， ∴，， ∴， 故A，C选项都正确； ∵抛物线开口向下，与x轴的一个交点坐标为，且在对称轴的右侧， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∵，且当时，， ∴， ∴， 故D选项正确； ∵， ∴方程， ∵抛物线开口向下，且经过点， ∴抛物线分布在四个象限中， ∴当时，与抛物线一定有两个不同的交点， ∴方程有实数根， 故B选项错误． 故选：B． 6．(24-25九上·湖北十堰·期末)抛物线的顶点为，抛物线与y轴的交点位于x轴上方． 以下结论：①；  ②； ③；  ④ ；⑤； ⑥，其中正确的个数是 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【来源】湖北省十堰市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，逐一分析判断，即可解题． 【详解】解：抛物线 的顶点为， 抛物线对称轴为直线， ，异号， 不能确定， 故①错误； 抛物线与y轴的交点位于x轴上方． ， 故②错误； 抛物线 的顶点为， ， 故③正确； 抛物线 的顶点为，抛物线的开口方向不确定， 的取值不确定； 故④错误； 抛物线对称轴为直线， ， ， ； 故⑤正确； 抛物线 的顶点为， ， ， 整理得， 故⑥正确． 综上所述，正确的有③⑤⑥共3个； 故选：B． 7．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点，其中．下列四个结论： ①若，则； ②； ③若，则抛物线与x 轴两个交点之间的距离小于2； ④若，，则关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根． 其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．根据题意可得，从而得到，再由，可得，再由，可判断①②；根据，即①的结论得到，，，再由，可得抛物线与x轴的另一个交点在点B的右侧，可判断③；根据一元二次方程根的判别式以及，可判断④． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， 若，由①可知，与不符， 则必有，，且， 此时抛物线开口向下， ∵抛物线 点，， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点B的右侧， ∴抛物线与x 轴两个交点之间的距离小于，故③错误； ∵， ∴关于x 的一元二次方程可化为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确． 故答案为：①②④ 8．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)已知抛物线（为常数）经过点，且满足．下列四个结论： ①； ②； ③抛物线上的两点，当时，则； ④关于的方程无实数根． 其中一定正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的对称性，增减性，二次函数与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据，得抛物线与轴的交点在轴的正半轴，进而根据对称轴直线为，且，得二次函数图象开口向下，即，可判定①；根据二次函数对称轴直线的计算方法，图象过点的知识结合可判定②；先求出关于的对称点为，根据，得，即可求出判定③；根据直线与轴交于点，交轴于点，在左侧，在上方，得直线与抛物线没有交点，可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象过两点， ∴对称轴直线为， ∵， ∴， ∵， ∴抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴抛物线（，，是常数）开口向下，， ∵ ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴对称轴直线为， ∴， ∵抛物线（为常数）经过点， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线上的两点，，对称轴直线为， ∴关于的对称点为， ∵， ∴ ∴， ∴，故③错误； ∵ ∴直线与轴交于点，交轴于点， ∵在左侧，在上方， ∴直线与抛物线没有交点， ∴关于的方程无实数根，故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ ． 9．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)已知抛物线的开口方向向上，与轴的正半轴交于两点．下列四个结论：①；②当时，；③点，点在抛物线上，若时，总有，则；④若，则不等式的解集为．其中一定正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②③ 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线与与轴的交点问题，根据抛物线的开口方向向上，与轴的正半轴交于两点，得，对称轴，，即可判断①是正确的；结合，得，此时对称轴为直线，整理得，即可判断②是正确的；再因为点，点在抛物线上，且，得，即，即可判断③是正确的；先得，得，结合，整理得，函数的开口向上，则，令解得，然后再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵抛物线的开口方向向上，与轴的正半轴交于两点． ∴，对称轴， 即， 在时，随的增大而减小，且， 把代入，得， 即 ∴， 故①是正确的； ∵抛物线的开口方向向上，与轴的正半轴交于两点． 且， ∴， ∴对称轴为直线， 即， ∴， 故②是正确的； ∵点，点在抛物线上，且 ∴，， ∵，且对称轴为直线，且抛物线的开口方向向上， ∴ ∴； ∵抛物线与轴的正半轴交于两点． ∴， 故③是正确的； ∵抛物线与轴的正半轴交于两点． ∴， ∴， ∵对称轴为直线 ∴， ∵， ∴ 设函数， ∵， ∴开口向上， 则 令则， 解得， ∵函数的开口向上， 则不等式的解集为． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 当时，则不等式的解集为． 当时，则，故不等式的解集为． 故④是不正确的； 故答案为：①②③． 10．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于、两点，与轴交于点．对称轴为直线，且，下列结论：①；②；③若，则；④若点、点在该二次函数图象上，当且时，则其中正确的结论是 (填写正确结论的序号) 【答案】①③④ 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．抛物线与轴的交点，熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的，是解题的关键．由二次函数图象的对称轴而可判断①；由时，，结合，即可判断②；判断直线过，两点，根据图象即可判断③；由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离即可判断④． 【详解】解：对称轴为直线， ， ， ，故①正确； 时，， ， ， ， ，故②错误； ，， ， ， 直线与轴的交点为， 直线过，两点， 观察图象，若，则，故③正确； 由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 抛物线开口向下， ．故④正确； 故答案为：①③④． 11．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)已知二次函数的y与x的部分对应值如下表：下列结论： x 0 1 2 y 1 3 1 ①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为；③当时，函数值y随x的增大而增大；④抛物线与x轴有两个不同交点．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③④ 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x的交点，解答本题的关键是掌握二次函数的图象及性质，根据图象上两点得出抛物线的对称轴． 由表中数据运用待定系数法可得出二次函数的解析式，根据开口方向可判断①；根据解析式得出对称轴，可判定②；根据函数图形的性质和增减性可判断③；对于，令，则，其判别式，据此判断④； 【详解】把，，代入， 得到， 解得：， 所以函数解析式为． ①由，可得抛物线的开口向下，故①正确； ②由函数的解析式，可得对称轴为，故②正确； ③由函数的对称轴以及二次项系数，可得当时，随的增大而增大，故③正确； ④对于一元二次方程，，所以抛物线与轴有两个不同交点，解得，故④正确． 正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 12．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)已知拋物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论： ①； ②； ③若关于的方程有实数根，则； ④若抛物线过点，则． 其中正确的结论序号有 ． 【答案】①②④ 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由拋物线过和两点，且，可求出抛物线对称轴范围，即可判断②；根据当时，，结合，可判断①；将抛物线解析式化为交点式为，令，即，由有实数根， 可知有实数根，则，即，可判断③；由抛物线过点，，求出的值，再结合，解不等式组即可判断④． 【详解】解：∵拋物线过和两点，且， 则， ∴， ∴对称轴为直线，②正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴当时，， ∵， ∴，①正确，故符合要求； ∵抛物线（a，b，c是常数且）过和两点， ∴抛物线的交点式为， 令，即， ∵有实数根， ∴有实数根， ∴，即，③错误，故不符合要求； ∵抛物线过点，，则， 两式相减：，则， ∵，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴，④正确，故符合要求； 故答案为：①②④． 13．(24-25九上·湖北武汉·调研)已知抛物线过，且．下列结论： ①；②；③；④若，方程有两个不相等实数根．其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【来源】湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，根据抛物线经过，可判断①，由抛物线的对称轴为直线，可判断②，由可判断③，由方程为，可得，结合可判断④． 【详解】解：∵抛物线经过， ∴， ∴，故①符合题意； ∵抛物线过，且． ∴抛物线的对称轴为直线， ∴而， ∴，故②不符合题意； ∵抛物线过， ∴，而， ∴， ∴，而， ∴，故③符合题意； ∵当时，抛物线为，而， ∴， ∴方程为， ∴， ∵由③得：，而，即， ∵， ∴， ∴， ∴当，方程有两个不相等的实根．故④符合题意； 故答案为：①③④． 14．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)已知抛物线（a，b，c为常数，且）与x轴两个交点坐标分别为，，下列说法：①抛物线的对称轴为直线；②；③若，点，均在抛物线上，且，则；④当时，的最小值为，则a的值为或．其中一定正确的结论有 （填写序号）． 【答案】①②④ 【来源】湖北省武汉市（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）2024-2025 学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，由抛物线过，可得，，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴两个交点坐标分别为，， ∴对称轴为直线， 故①正确； ∴， 把代入得，解得， ∴， 故②正确； ∵若，则抛物线开口向上，离对称轴距离越近值越小， ∴点，均在抛物线上，且，则，即， 故③错误； ∵，即对称轴在取值范围内， ∴当时，抛物线开口向上，当时有最小值，此时，即，解得； 当时，抛物线开口向下，离对称轴距离越近值越大，此时当时有最小值，此时，即，解得， 故④正确； 综上所述，正确的有①②④； 故答案为：①②④． 15．(24-25九上·北京第五中学分校·期中)抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是，其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【来源】北京市第五中学分校2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数的对称性，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质，运用数形结合的思想求解；根据二次函数的图像和性质可判断①，根据二次函数的对称性可知过，即可判断②，根据对称轴是2可判断③，由数形结合和二次函数的对称性可判断④． 【详解】解：①抛物线的开口向下， ， 抛物线的顶点为， 抛物线的对称轴为直线，即， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ， ， 故①正确，满足题意； ②抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点， 抛物线与x轴的另一个交点为， 将代入，得， 故②不正确，不满足题意； ③， ， 故③正确，满足题意； ④此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线， 此抛物线经过点， 抛物线与直线的交点的横坐标分别为和6， 不等式的解集是或， 不等式的解集是或， 故④不正确，不满足题意， 故答案为： ①③． 地 城 考点06 实际问题与二次函数 1．(24-25九上·湖北武汉·调研)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面下降，则水面宽度增加了（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系，则可确定顶点坐标为，，再把解析式设为顶点式，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y经过中点O且经过C点，则通过画图可得知O为原点，    由题意得：抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和为的一半，即，抛物线顶点C坐标为， ∴点B的坐标为， ∴这个抛物线的解析式为， 把点B坐标代入到抛物线解析式得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 当水面下降， 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出：， 解得：   ∴水面宽度增加到， ∴比原先的宽度当然是增加了， 故选：B． 2．(24-25九上·湖北荆州荆州经济技术开发区·期末)在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购买一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构，根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式为，许愿瓶的进价为6元/个． (1)按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式； (2)若许愿瓶的进价成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润． 【答案】(1)； (2)此时的销售单价为15元/个时，最大利润为1350元． 【来源】湖北省荆州市荆州经济技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，一元一次不等式的应用等； （1）找出等量关系式：销售利润单个许愿瓶销售利润销售量，据此列出函数关系式即可； （2）由进价成本不超过900元求出的取值范围，将化为顶点式，利用二次函数的性质求最值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：由题意得， 解得：， ， 当时，随着的增大而减小， 当时，取得最大值为， （元）， 故此时的销售单价为元/个时，最大利润为元． 3．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)已知等腰三角形的周长为，等腰三角形绕它底边上的高旋转形成一个圆锥，试确定旋转形成的圆锥的侧面积的范围，并写出对应腰长的取值范围． 【答案】腰长范围为时，圆锥的侧面积的范围是 【来源】湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】设等腰三角形的腰长为，则底长为，圆锥的侧面积为，根据圆锥侧面积公式得到，然后根据三角形三边关系求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，则底长为， 设圆锥的侧面积为， 则有 ∵ ∴开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 ∴当时，y随x的增大而减小 由三角形三边关系，得 解得 ∴当时， ∴当腰长x范围为时，圆锥的侧面积y的范围是． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，圆锥侧面积公式，等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识，解题的关键是表示出圆锥侧面积． 4．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)某地某网店专门销售甲乙两种儿童套装，乙每件的进价比甲多5元，某次用1300元购进两种儿童套装各20件．销售中发现：甲种每天销售件数y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． (1)求甲种儿童套装每件的进价； (2)求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (3)网店每天甲种套装的销售量不低于250件，当甲种套装销售单价为多少元时，每天销售甲种套装获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)30元 (2) (3)当销售单价为45元是，每天销售利润最大，最大利润是3750元 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】对于（1），设甲种儿童套装每件的进价为x元，可知乙每件的进价为元，再根据总价相等列出方程，求出解即可； 对于（2），将点代入关系式，求出答案； 对于（3），先列出利润和销售单价的二次函数关系式，再结合销售量不低于250件得出自变量的取值范围，讨论极值即可． 【详解】（1）解：设甲种儿童套装每件的进价为x元，可知乙每件的进价为元，根据题意，得 ， 解得， 所以甲种儿童套装每件的进价是30元； （2）解：设函数关系式为，根据题意，得 ， 解得， 所以一次函数的关系式为； （3）解：设每天销售甲种套装的总利润为w，根据题意，得 ， 且， 解得． ∵， ∴抛物线的开口向下，有最大值，对称轴是， 当时，函数值w随着x的增大而增大， 即当时，元． 所以当甲种套装销售单价为45元时，每天销售甲种套装获取的利润最大，最大利润是3750元． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，求一次函数的关系式，一元一次方程的应用，求二次函数的极值，一元一次不等式的应用，根据不等式求出自变量取值范围得出最大值是解题的关键． 5．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为，另外三边用的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的门，设苗圃园垂直于墙的一边长为，苗圃园的面积为． (1)写出S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若苗圃园的面积为，求垂直于墙的一边长为多少m？ (3)苗圃园的面积能否达到？若能，请说明理由；若不能，请求出苗圃园的面积最大值． 【答案】(1) (2) (3)不能， 【来源】湖北省孝感市孝南区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）设苗圃园垂直于墙的一边长为，矩形的长，依题意，得：即可． （2）依题意，得：，解方程，取舍根，解答即可． （3）根据题意，得，利用一元二次方程根的判别式解答即可，根据题意，得，根据二次函数性质确定最值即可． 本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，二次函数的最值，熟练掌握矩形的性质，构造二次函数求最值，一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设苗圃园垂直于墙的一边长为，则矩形的长，依题意，得：， ，， ， ． （2）解：当时，得， 故， 解得：，， ， ． 答：花园面积是，此时x的长为12米． （3）解：当时，，， ， 故方程无实数根， 苗圃园的面积不能否达到． 根据题意，得， 故当时，． 6．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)小周同学自行设计了一盏台灯，台灯的，灯泡在点处，灯泡周围是纸质灯罩，台灯底座中心在点处（底座厚度不计）．以点为原点，以为单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系，灯罩关于轴对称．已知点到轴距离为，到轴距离为，从侧面看，纸质灯罩部分（部分）近似为二次函数的一部分． (1)求二次函数的解析式； (2)如图（1），连接并延长与轴相交于点，将的长称为可视范围半径．若点到轴的距离为，求台灯的可视范围半径为多少？ (3)小周同学为了用眼健康，需将可视范围半径扩大至，但限于灯杆长度和灯泡的位置无法改变，小周同学想到一个解决办法：先在段选取一点，作点关于轴的对称点，将纸质灯罩上的点下面部分剪掉即可，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式等知识点． （1）先根据题意求出点B坐标，然后代入抛物线解析式得到a值即可； （2）先根据抛物线解析求出点C横坐标，再由A、C两点通过待定系数法求得直线的解析式，最后由点D纵坐标为0求出其横坐标，即可得到的长度； （3）在轴上取点，根据A、E两点坐标求出直线的解析式，再联立抛物线解析式求出点P的坐标． 【详解】（1）解：根据题意，点A的坐标为，则点B坐标为， 将代入中， 得， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：由题可知，点的纵坐标为3，可列方程， 解得，（舍）， 即点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入中，得 ， 解得， 即直线的解析式为， 当时，， 解得， 即， 故台灯的可视范围半径为； （3）解：在轴上取点， 设直线的解析式为， 将代入中，得 ， 解得， 即直线， 联立：， 解得，（舍）， 将代入中， 得， 点的坐标为． 7．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)某公司生产的商品的市场建议零售价为每件元，公司的实际销售价格可以浮动个百分点（即销售价格），经过市场调研发现，这种商品的日销售量（件）与实际销售价格浮动的百分点之间的函数关系为．若该公司按浮动个百分点的价格出售，每件商品仍可获利． (1)求该商品每件的成本为多少元？ (2)当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为元？ （说明：日销售利润（实际销售价格成本）日销售量） (3)当实际销售价格定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)元 (2)元或元 (3)销售价格定为元时，日销售利润最大，为元 【来源】湖北省咸宁市咸安区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】（1）设该公司生产销售每件商品的成本为元，根据该公司按浮动个百分点的价格出售，每件商品仍可获利列出方程，求出方程的解得到的值，即为每件商品的成本； （2）根据日销售利润（实际销售价格成本）日销售量，由日销售利润为元列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果； （3）设日销售利润为元，列式求出与的二次函数关系求解即可． 此题考查了一元二次方程的应用，二次函数求最值以及一次函数的应用，弄清题意是解本题的关键． 【详解】（1）解：该公司生产销售每件商品的成本为元 依题意： 解得： 即：每件商品的成本为元． （2）解：依题意： 整理得： 解得：或 当时，， 当时， 答：当实际销售价格定为元或元时，日销售利润为元． （3）解：设日销售利润为元 当时，最大，最大值为，此时 即当实际销售价格定为元时，日销售利润最大，为元． 8．(24-25九上·湖北荆州沙区·期末)某水果店购入一批进价为元/千克的水果进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系，如下表． 销售单价 … … 日销售量 … … (1)求与的函数表达式； (2)当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当销售单价定为元时，所获日销售利润最大，最大利润是元． 【来源】湖北省荆州市沙市区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查求一次函数解析式、二次函数的应用等知识，根据题意列出函数解析式是解题的关键． （1）设，然后根据待定系数法即可解答； （2）设日销售利润为元，结合单件利润乘以销售量等于总利润可建立函数解析式求解即可，然后确定售价的取值范围，最后根据二次函数的性质求最值即可解答． 【详解】（1）解：设，由题意得： ，解得：． 则与的函数表达式为． （2）解：设日销售利润为元，由题意得： ， ∵销售单价不低于进价且不超过元/千克， ∴， 则当时，有最大值元． 答：当销售单价定为元时，所获日销售利润最大，最大利润是元． 9．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)某学校科技小组的同学制作了简易“投石机”，通过实验，收集了石块相对于出发点的飞行水平距离（单位：），飞行高度（单位：）随飞行时间（单 位：s）变化的数据，如下表： 飞行时间 0 1 2 4 ... 飞行水平距离 0 10 20 40 ... 飞行高度 2 8 10 2 ... (1)科技小组发现与与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．请直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)已知投石机停在水平线的处． ①将投石机原地抬高，再投出石块，求石块落地点距点的水平距离； ②如图2，矩形处是一堵高，厚度的道具城墙，若石块从点投出能够在达到最高点后越过道具城墙，则投石机离道具城墙的水平距离的取值范围是___________． 【答案】(1)； (2)①落地点距点的水平距离是；② 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识点． （1）根据题意设出表达式，然后利用待定系数法求解即可； （2）①根据题意得到新表达式为，然后当时求出，然后代入求解即可； ②首先得到，求出顶点坐标为，将代入；然后将代入求出，然后代入，进而求解即可． 【详解】（1）根据题意得，与是正比例函数关系，与是二次函数关系 ∴设， 将代入得， ∴； 设 将，，代入得， 解得 ∴； （2）①∵将投石机原地抬高 ∴ ∴当时， 解得或（舍去） ∴ ∴石块落地点距点的水平距离是； ② ∴顶点坐标为 ∴将代入； 将代入得， 解得（舍去）或 将代入 ∵道具城墙厚度 ∴ ∴投石机离道具城墙的水平距离的取值范围是． 10．(24-25九上·湖北黄冈·期末)大课间30分钟，同学们兴高采烈地参加跳绳活动，跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和均为0.9米，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点刚好落在轴上．设此抛物线的解析式为．不考虑跳跃带来的头部高度变化． (1)求该抛物线的解析式； (2)绳子甩到最高处时，最高点与地面的距离是多少米？如果身高为1.75米的张老师也想跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由； (3)小丽同学的身高为1.4米，她参加跳绳时，绳子甩到最高处时必须超过她的头顶．如果小丽同学在地面的位置离点的距离为米，请结合图象，求出的取值范围． 【答案】(1) (2)1.8米；张老师距O点超过米且不足米跳绳时，绳子能顺利从他头顶越过；理由见解析 (3) 【来源】湖北省黄冈市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题主要考查了二次函数应用——跳绳问题．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式，是解题的关键． （1）把代入，解方程即得； （2），可知y最大值为，当时，求出x的值，即可得到绳子顺利越过张老师头顶的位置； （3）根据小丽同学头顶位置为，得，即为m的取值范围． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴； （2）解：当张老师距O点超过米且不足米跳绳时，绳子能顺利从他头顶越过，理由： 配方，， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为， 当时， ， 解得，或， ∵绳子顺利越过头顶， ∴， 故当张老师距O点超过米且不足米跳绳时，绳子能顺利从他头顶越过； （3）解：∵小丽同学所在的位置头顶E为， ∴， 解得或， ∵绳子甩到最高处时必须超过她的头顶E． ∴． 11．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)为创建省级文明城市，改善人居环境，幸福社区投资1万元修建一个矩形植物园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长，平行于墙的边的费用为200元，垂直于墙的边的费用为150元，设平行于墙的边长为，垂直于墙的一边长为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若植物园面积为，求的值； (3)求植物园的最大面积． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】（1）根据“垂直于墙的长度”即可列出函数关系式，根据墙的长度即可得出自变量的取值范围； （2）根据矩形的面积公式即可列出方程，解方程即可求出的值； （3）根据矩形的面积公式列出总面积关于的函数解析式，然后求二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：依题意得： ， ； （2）解：依题意得： ， 解得：，， ， ， 即：的值是； （3）解：设植物园的面积是， 则， ， 抛物线开口向下， 当时，取得最大值，最大值为， 植物园的最大面积为． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（图形问题），一元二次方程的应用（与图形有关的问题），一次函数的实际应用（其他问题），二次函数的最值，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程和函数解析式是解题的关键． 12．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)郑钦文是我国网球运动员．她在一次击球过程中，在点处发球，将网球从点正上方的点发出，球的运行轨迹是一条抛物线，网球运行的水平距离为时，网球达到最大高度，以点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立如图平面直角坐标系，已知球网与原点的水平距离约为，球网高度为，球场的边界距原点的水平距离约为．设网球运动高度与运行的水平距离． (1)若，时， ①求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； ②如果球能过网，求它的落点离边界的距离； (2)若在距地面处将球击打出去，让球一定能越过球网（不接接触球网），又不出边界（可压边界），直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②它的落点离边界的距离为 (2) 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、解一元一次不等式，掌握待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数解决实际问题是解题关键． （1）①利用待定系数即可解答； ②令二次函数解析式函数值，求出x的值，即可得出结论； （2）根据球一定能越过球网（不接接触球网），又不出边界（可压边界），列出不等式组即可求出结论． 【详解】（1）解：①当，时， 由题意可知：点A的坐标为， 设与的关系式为：，且顶点坐标为， 将点和代入解析式中，得， 解得：， ∴与的关系式为； ②令， 整理得：， 解得：（舍去）， 则， 答：它的落点离边界的距离为； （2）解：根据题意：在抛物线的图象上， ∴， 解得：，即， 若球一定能越过球网，则当时， ； ∴， 解得：； 若不出边界，即抛物线与x轴的右交点在的左侧或重合， 即当时，； ∴， 解得； 综上，若球网（不接接触球网），又不出边界（可压边界），h的取值范围为． 13．(24-25九上·湖北襄阳高新区·期末)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形．已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为x m（如图），矩形养殖场的总面积为． (1)求出S与x的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)矩形养殖场的总面积能为吗？如果能，求此时x的值；如果不能，请说明理由； (3)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1) (2)能，此时x的值为2米 (3)当时，S有最大值为平方米 【来源】湖北省襄阳市高新区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，矩形养殖场的长为，矩形养殖场的宽为，从而养殖场的总面积为， （2）矩形养殖场的总面积能为列方程求解，结合墙的长度为10，可得，进而可得自变量的取值范围； （3）依据题意，由，从而当时，随的增大而增大，又，进而由二次函数的性质可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，∵较小矩形的宽为，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形， ∴较大矩形的宽为， ∴矩形养殖场的长为，矩形养殖场的宽为， ∴养殖场的总面积为； （2）答：能，理由如下： 由（1）得， ∵，即， 解得，， ∵墙的长度为10米， ∴， ∴， ∴不合题意舍去， ∴能，此时x的值为2米； （3）由（1）得：， ∵墙的长度为10米，∴，∴， ∵，∴抛物线开口向下， ∴当时，S随x的增大而增大， ∴当时，S有最大值． 答：当时，S有最大值为平方米． 14．(24-25九上·湖北武汉·调研)某型号飞机着陆后从开始滑行到停止的过程中，滑行速度为（单位：）、滑行距离为（单位：）、滑行时间为（单位：s）．测得一些数据如下表： 滑行时间（单位：） 0 1 2 3 滑行速度（单位：） 80 76 72 68 滑行距离（单位：） 0 78 152 222 若滑行速度与滑行时间之间是一次函数关系，滑行距离与滑行时间之间是二次函数关系． (1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)当飞机着陆滑行时，求飞机此时的滑行速度； (3)求飞机着陆滑行过程中最后滑行所用的时间． 【答案】(1)， (2) (3)飞机着陆滑行过程中最后滑行所用的时间为． 【来源】湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题 【分析】本题考查的是一次函数，二次函数的应用； （1）根据表格信息先判断函数类型，再利用系数法求解函数解析式即可； （2）先求解当时，滑行距离最大，再求解当飞机着陆滑行的时间，再代入一次函数解析式求解即可； （3）求解当时，滑行距离最大，增大距离为：，求解当的时间，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意设一次函数的解析式为，由表可得， ，解得， ∴． 设二次函数解析式为，由表可得， ，解得 ∴． （2）解：∵的对称轴为直线， ∴当时，滑行距离最大， 当飞机着陆滑行时， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴； （3）解：由（2）得，当时， 滑行距离最大，增大距离为：， 当时， ， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴飞机着陆滑行过程中最后滑行所用的时间为． 15．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)元旦期间，山城水果专卖店销售某品种慈口蜜桔，每箱售价60元，每天可卖50箱．为了促销，该水果专卖店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每天可多卖5箱．已知该品种慈口蜜桔每箱成本价40元．设该品种慈口蜜桔每箱售价元，每天的销售量为箱． (1)求与之间的函数关系式； (2)当该品种慈口蜜桔每天的销售利润为1000元时，求该品种慈口蜜桔每箱的售价； (3)当该品种慈口蜜桔每箱售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)该品种慈口蜜桔每箱的售价为每箱售价50元 (3)当每件售价定为55元时，每天的销售利润最大，最大利润为1125元 【来源】湖北省咸宁市通山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用及一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据每降价1元，每星期可多卖5箱找出销量与售价之间的关系即可得； （2）根据题意列一元二次方程并解方程即可解决； （3）设每天的销售利润为元，根据利润（售价成本价）销量建立与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以与之间的函数关系式是． （2）解：由题意得：， 解得：（不合题意舍去）， 则该品种慈口蜜桔每箱的售价为每箱售价50元； （3）解：设每天的销售利润为元， 由题意得： ， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为1125， 答：当每件售价定为55元时，每天的销售利润最大，最大利润为1125元． 地 城 考点07 二次函数综合 1．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)如图，点是正方形的边上的一个动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，面积的最小值为 ． 【答案】 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查的是二次函数的应用、正方形性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键，过点F作交延长线于点H，先证，设，用含a的式子表示，再根据二次函数性质求最值即可． 【详解】解：过点F作交延长线于点H， ， 在正方形中，， ， ， 四边形是直角梯形， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 面积的最小值为， 故答案为：． 2．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)在平面直角坐标系中，抛物线过，，三点，且与x轴交于另一点F． (1)求抛物线的对称轴方程； (2)如图1，点C为抛物线对称轴与x轴的交点，连接，直线交抛物线于另一点H，P为直线下方抛物线上的点，连接，若，求P点坐标； (3)如图2，点M为第一象限内抛物线上一点，过点M的直线与抛物线交于第四象限内一点N，连接，分别交y轴于点D、E，且，求证：直线恒经过一定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)； (2)P点坐标为； (3)直线恒过定点． 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）根据，坐标以及对称性可求对称轴； （2）由对称轴得到，所以抛物线，再代入点A坐标，即可得，最后可得抛物线解析式为，再求出的解析式为，与抛物线联立可得．根据已知条件可转化为证明，求得．再由待定系数法可得直线的解析式，与抛物线解析式联立可解得P点坐标为； （3）设，，利用待定系数法可得直线，和的解析式，求得，，根据可列式化简整理可得，进而可得①，把①式代入直线的解析式中，化简后可得：，令，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴抛物线的对称轴方程为直线； （2）解：∵对称轴为直线， ∴， ∴抛物线，代入点， 得， 解得， ∴抛物线解析式为； ∵点C为抛物线对称轴与x轴的交点， ∴， 又∵， 设直线的解析式为， 代入得， 解得， 由待定系数法可知直线的解析式为， 联立与， 得， 解得或0（舍去）， 即． 如图1所示，设交y轴于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故， 同理，由待定系数法可得直线的解析式为， 联立直线解析式与抛物线解析式可得， 解得或， 故P点坐标为； （3）证明：如图2所示， 设，， 故由待定系数法可得直线的解析式为． ∵，再由抛物线对称性可知， 同理可得直线的解析式为， 则， 同理可得直线的解析式为， 则， ∵，即， 化简整理可得， 进而可得①， 把①式代入直线的解析式中，得： ， 令， 解得，此时， 故直线恒过定点． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，函数与方程的转化，函数恒过定点问题，难度较大，对运算变形能力要求高，熟练掌握以上内容是解题关键． 3．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称.       图1                 图2 (1)求线段的长； (2)当时，求的取值范围； (3)如图2，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值. 【答案】(1) (2)当时， (3)见解析 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查二次函数图象得性质．熟练掌握二次函数的对称性，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据对称性求出点B的坐标，即可求出的长； （2）由A、B的坐标求出抛物线解析式，求出顶点，可得y的取值范围； （3）分别过、作直线的垂线，垂直为、，根据为等腰直角三角形，可得，得到，，得根据，即得． 【详解】（1）抛物线与轴交于、两点，且对称轴为直线， ； （2）∵抛物线与轴交于，两点， ． ∴． ． ． 当时，． ∵当时，， 当时，． （3）分别过、作直线的垂线，垂直为、． 则，． ． 又为等腰直角三角形， ，． ． ． ． ，． ，， ，． ． ∵，， ∴． ． ． ． 4．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)如图1，拋物线交轴于A，B两点（在的左边），与轴负半轴交于点，且，连接． (1)求拋物线的解析式； (2)为抛物线上一点，若，求点的坐标； (3)如图2，为线段上一动点，过点作轴交抛物线于点，第四象限的拋物线上是否存在点，连接，使与互相平分，若存在求点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为 【来源】湖北省咸宁市咸安区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，二次函数的综合应用，平行四边形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先得出点的坐标为，点的坐标为，结合令是该方程的根，解得，即可作答． （2）读懂题意，然后进行分类讨论，即点在轴上方，或点在轴下方，分别作图，再运用二次函数的图象性质列式计算，即可作答． （3）依题意，假设存在点．因为与互相平分，所以且，因为且轴交抛物线于点，则，得①，②，联立①②，解得：，将代入中得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，令，得，即点的坐标为， ∵， ，即点的坐标为， 令是该方程的根， ， 得， 故抛物线的解析式为：； （2）解：依题意，设点坐标为， 如图，若点在轴上方，作轴于点， 由（1）知：， ， ， 即：， 得：或（舍去）， 此时点坐标为， 若点在轴下方， 同理得：， 即：， 得：或（舍去）， 此时点坐标为； 综上：点的坐标为或； （3）解：依题意，假设存在点． 当四边形是平行四边形时，与互相平分， 且， 且轴交抛物线于点， 则， 故点与点是一对对称点， ①， 又， ②， 联立①②，解得：， 将代入中得：， 点的坐标为． 5．(24-25九上·湖北随州·期末)已知抛物线的顶点为． (1)当时，直接写出抛物线开口方向及抛物线与轴的两个交点的坐标；抛物线的开口方向：_______（填“向上”或“向下”）；与轴的两个交点的坐标（_______，_______），（_______，＿＿）； (2)当取最大值时，求点的坐标； (3)当时，对于抛物线上的点，恒有，求的取值范围． 【答案】(1)向上；；； (2) (3)或 【来源】湖北省随州市2024-2025学年九年级上学期期末学业水平模拟考试数学试卷 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点坐标； （1）把代入，再进一步解答即可； （2）由配方法可得，可得，再进一步求解即可； （3）由可得，可得，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵当时，抛物线为： ∴抛物线的开口方向：向上， 当， 解得：，； ∴轴的两个交点的坐标； （2）解：抛物线的顶点为， ， ， ， 当的最大值为4时，． ， ； （3）解：当时，由，得 ， 则 即时， （Ⅰ）当，即时， ，即；或，即（不成立，舍去） （Ⅱ）当，即时， 即；或，即（不成立，舍去） 综上，或． 6．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)为第一象限内抛物线上一动点，过点作轴交于点，连接，当时，求点的坐标； (3)将此抛物线沿水平方向平移，得到新的抛物线记为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），设的长为，点的坐标为，求关于的函数解析式． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)； (3)． 【来源】湖北省咸宁市通山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】（）先由由得点，，然后利用待定系数法即可求解； （）设，则，，再由两点间的距离公式即可求解； （）由，则顶点坐标，根据抛物线沿水平方向平移，得到新的抛物线记为，与轴交于点，与轴交于，两点，得出新的抛物线的顶点坐标为，然后求出，根据距离公式即可求解； 本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，两点间的距离，二次函数的平移，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由得： 当时， ，则点， 当时，， 解得：，， ∴，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图， ∵直线的解析式为，点在直线上， 设， ∵轴， ∴， 由（）知：点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）或， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴顶点坐标， 由（）得：，， ∴， ∵抛物线沿水平方向平移，得到新的抛物线记为，与轴交于点，与轴交于，两点， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴新的抛物线的对称轴为， ∴新的抛物线的顶点坐标为， ∴新的抛物线解析式为：， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【来源】湖北省咸宁市咸安区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及配方法，熟练掌握这些性质和方法是解题的关键． （1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可； （2）令，得：，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出关于的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出，即可得出关于的等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 该方程总有两个实数根； （2）解：令，得：， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，，且， ∴， ∴， 化简为：， 解得：或． 8．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)在平面直角坐标系中，抛物线过的三个顶点．其中点坐标是，C点坐标是． (1)求a和c的值； (2)若Q点在抛物线图像上，平分，求Q点坐标； (3)在直线上，是否存在一点E，过E点且互相垂直的两条直线分别与抛物线有唯一公共点，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）把A点坐标是，C点坐标是代入，解方程组即可求解； （2）求出B点坐标，求得的长，设交轴于点，作于，通过解直角三角形求得，进而可求直线的函数解析式，再与联立即可求出点Q坐标； （3）设，过点的直线为，将代入得，作轴于点，过点的直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，同理可得直线，与联立，令即可求出． 【详解】（1）解：将A点坐标是，C点坐标是代入，得， 解得； （2）解： ；； ， ， ， 令， ， ， ， ， ， 设交轴于点，作于， 平分，， ， ， ， ， 设直线为， 代入， 得，， 解得，， ， ， 解得（舍去），， 当时，， ； （3）解：设，过点的直线为， 将代入得， ， ， 作轴于点，过点的直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点， ，，， ， 同理可得直线， 令，则， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 若直线与只有一个交点， ， 整理得：， ， 即， 同理可得， 可看作方程的两个实数根， ， ， ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的相关性质，一次函数的相关性质，待定系数法求函数解析式，三角形相似的性质和判定，解一元二次方程、解直角三角形等知识．第三问有难度，正确做辅助线，构建直角三角形是解本题的关键． 9．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)图，抛物线与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C． (1)直接写出点 A，B，C 的坐标； (2)如图1，连接，点 D 在抛物线上，连接，若，求点 D 的坐标； (3)如图2，点P 在对称轴右侧的抛物线上，非平行y轴的直线l与抛物线有唯一公共点P．平移直线l，使其经过点，与抛物线交于 M，N 两点，连接交 于点 E，Q 为的中点，连接，设点 P 的横坐标为m，若的面积为2，求m 的值． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷 【分析】（1）根据求得方程的解，求出当时的值即可得解； （2）作轴于，设，则，，结合，得出，进而得出，计算即可得解； （3）设，结合直线l与抛物线有唯一公共点P，求出直线l的解析式为，从而可得平移后的直线的解析式为，求出的中点Q的坐标为，得出轴，，求出的解析式为，进而可得，再结合的面积的面积的面积列方程计算即可得解． 【详解】（1）解：由得出， 解得：，， ∴，， 当时，， ∴ （2）解：如图，作轴于， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上，点D的坐标为或 （3）解：设， ∴设直线l的解析式为， 由得， 直线l与抛物线有唯一公共点P， 此方程有两个相等的实数根， ∴， ， ， 直线l的解析式为， 平移后的直线的解析式为， 由得， ， ∴， ∴的中点Q的坐标为， ∴轴，， 设直线的解析式为， ，解得， 的解析式为， 联立，解得， ， 的面积的面积的面积 ， （舍去），， ． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数综合—角度问题、二次函数综合—面积问题、解直角三角形、一元二次方程根与系数的关系、求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 10．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴，交抛物线于点，点为抛物线上一动点（点在上方），作轴交于点．当点在什么位置时，四边形的面积为2？求出此时点坐标； (3)若将上方的抛物线沿直线翻折下来，原图象其余部分不变，与翻折下来的部分组成新图象，当直线与新图象有四个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)此时P点坐标为 (3) 【来源】湖北省十堰市竹溪县2024-2025学年上学期期末学业水平检测九年级数学试卷 【分析】（1）先求出，，再将两点坐标代入抛物线求得：，从而可得抛物线的解析式为； （2）先求出点C的纵坐标为3，再代入抛物线解析式中求出，从而可求得，再设点P坐标为且（），可根据轴，可用表示出D点坐标，从而可用表示出，再用表示出，然后根据四边形的面积为2，求得，从而可得此时P点坐标为； （3）先画出图形，当直线在图示区间符合有四个交点，再求得翻折后的抛物线解析式为（0），接着根据当直线过点A时，求得，当直线于抛物线有唯一一个公共点时，求得，从而可得出当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围． 【详解】（1）∵，当时，； 当时，，解得：， ∴，， ∵抛物线过A，B两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）∵轴，， ∴点C的纵坐标为3， ，解得：或， ∴， ∴， 设点P坐标为且（）， ∵轴， ∴D点坐标为， ∴， ∵， ， ∵四边形的面积为2， ，解得：，， ∵， ， 此时P点坐标为； （3）如图所示，当直线在图示区间符合有四个交点． 翻折后的抛物线与原抛物线的形状大小一致，开口相反， 所以它们的二次项系数互为相反数， 所以翻折后的抛物线可设为， ∵，在抛物线上， ∴，解得， ∴翻折后的抛物线解析式为（）， 当直线过点A时，，解得； 当直线于抛物线有唯一一个公共点时， 方程有相等的实数解， 所以有相等的实数解， 所以， 解得:， 所以当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数图象及性质求解，解题关键是利用待定系数法求二次函数解析式． 11．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)【问题背景】洪山区某校开展综合与实践活动．同学们发现在相同玻璃水杯内加入不同高度的水量，用筷子敲击玻璃水杯会发出不同音调． 【实验操作】由于频率不同则音调不同，因此同学们用频率仪作测量实验，获得如下水量高度与频率数据对照表． 水量高度 频率 【建立模型】用x表示对应的水量高度，用y表示频率，同学们运用信息技术描出数据散点图并发现可用二次函数近似刻画水量高度与频率关系如图． 任务1  当水量高度为时，计算频率值为___________． 任务2  若要敲击出高音3，玻璃水杯水量高度为多少？(结果保留整数)(C调音符与频率对照表：低音，中音，高音，其他参考数据：) 【反思优化】同学们通过观察图1，发现第十一组数据与利用二次函数计算得出的频率值偏差较大．决定将其数据优化为，减少偏差．通过查阅资料后知道：可将水量高度对应的频率值进行次测量，得到个结果，再计算个结果与之差的平方和，记为；越小，偏差越小． 任务3  当偏差最小时，说明y与之间关系，并阐述理由． 【答案】任务； 任务．玻璃水杯水量高度约为； 任务．当偏差最小时， 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查二次函数的应用．用含的式子表示出是解决本题的关键． 任务．取，求得相应的的值即可； 任务．取，用公式法求得相应的的值即可； 任务．用含的式子表示出根据的开口方向，对称轴，求得当为多少时，偏差最小即可． 【详解】解：任务． 当时，． 故答案为：； 任务． 要敲击出高音，， ， 整理得， ， ， 舍去 答：玻璃水杯水量高度约为； 任务． 抛物线的开口向上，对称轴为直线 当偏差最小时， 12．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)如图，二次函数与轴相交于点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点． (1)直接写出点的坐标； (2)如图（1），连接，，点为抛物线上一点，使，求点的坐标； (3)如图（2），过定点的直线与抛物线相交于，两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】（1）对于，当时，，当时，则或，即可求解； （2）点在轴上方时，过点作于点，过点向上作交于点 ，由抛物线的对称性可得，，证明得，求出直线的解析式为，联立，求解即可； 点在轴下方时，同理可求得，联立：，求解即可； （3）设，求出直线，同理可得，直线，直线，因为直线经过定点，得到，求出直线解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：二次函数与轴相交于点（点在点的左侧），与轴相交于点， 令，得或，令，得， ； （2）解：当时，，即顶点的坐标为， 点在轴上方时，过点作于点，过点向上作交于点 ， ， ， 由抛物线的对称性可得，， ， ， 又， ， ， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将、两点坐标代入得： ， 解得：， 直线， 联立：， 解得：， 当时，， 点的坐标为； 点在轴下方时， 同理可求得， 联立：， 解得：， 当时，， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：设， 设直线的解析式为， 联立：， 得， 由根与系数关系可知，， 直线， 同理可得，直线，直线， ， 即， 直线经过定点， ， 整理得， 将代入中，得， 整理得， 直线解析式为， 当时，， 直线必过定点． 【点睛】本题考查了二次函数与轴、轴的交点坐标，顶点坐标，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，求二次函数与一次函数的交点，一次函数过定点问题，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 13．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若连接，，并把沿翻折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出这个菱形的面积；若不存在，请说明理由； (3)当点运动到什么位置时，由，，，这四点组成的四边形的面积最大？并求出此时点的坐标和该四边形的最大面积． 【答案】(1) (2)存在， (3)点的坐标为，四边形的面积的最大值为 【来源】湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点坐标为，则有，连接，并设交于，则有于，确定在的垂直平分线上，从而知道的纵坐标，然后将纵坐标代入二次函数中，即可求得横坐标； （3）先求得直线的解析式，然后过点作轴的平行线与交于点，与交于点，又设，则点的坐标为，那么有，推出，从而知道当时，四边形的面积最大． 【详解】（1）解：将、两点的坐标代入得 解得： 所以二次函数的表达式为：； （2）解：存在点，使四边形为菱形 设点坐标为 假设四边形是菱形，则有 连接，并设交于，则有于 点的纵坐标为 解得，（不合题意，舍去） 的长为 （3）解：设直线的解析式为， 将和两点代入，得 解得 直线的解析式为 过点作轴的平行线与交于点，与交于点 又设，则点的坐标为 当时，四边形的面积最大 此时点的坐标为，四边形的面积的最大值为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，以及图形对称变换，菱形的判定，点的坐标的确定，一元二次方程的求解，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 14．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C． (1)直接写出结果：________，________； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上一点，连接，若N是第二象限内抛物线上一点，，求出N点的坐标； (3)如图2，若点P是抛物线上一点． ①若点P在右侧时，连接，，求面积的最大值； ②若点P是抛物线上任意一点，且，试确定满足条件的P点个数，请直接写出你的结论． 【答案】(1)2，45 (2) (3)①当时，，②当时，满足条件的P点有3个；当时，满足条件的P点有4个；当时，满足条件的P点有2个 【来源】湖北省孝感市孝南区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）把点B坐标代入二次函数解析式可得b的值，然后令可得点C坐标，然后可得，进而问题可求解； （2）设交y轴于E，由题意易得，则有，轴，然后可得，则，进而可得直线，最后联立函数解析式即可求解； （3）①连接，设点，根据题意结合割补法可得，然后根据二次函数的性质可进行求解；②如图，由①可得：当时，则，进而可分当时，当时和当时，结合函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：把代入抛物线得：， ∴， 令时，则有， ∴， ∴， ∴； 故答案为2；45； （2）解：如图，设交y轴于E，当时，， 解得：（舍去），， ， ，轴， ∴， ， ∵，， ， ， ， ， 设直线，代入得，， ， ． 由, 解得：或， ． （3）解：①连接，设点， ， 当时，， ②如图，由①可得：当时，则； ∴当时，满足条件的P点有3个；当时，满足条件的P点有4个； 当时，满足条件的P点有2个． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 15．(24-25九上·湖北仙桃·期末)如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点（点在点的左侧）． (1)求该抛物线的解析式及，两点的坐标； (2)如图2，将位于直线上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，请求出线段的最大值． 【答案】(1)，， (2)①；② 【来源】湖北省仙桃市 2024—2025 学年上学期九年级期末考试数学试题 【分析】（1）先根据二次函数的对称轴可得，再将点代入二次函数的解析式可得，由此可得二次函数的解析式；然后与直线联立求解可得点的坐标； （2）①设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点，先得出，再根据菱形的性质可得，，从而可得点的坐标，然后证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，最后与抛物线的解析式联立求解即可得； ②设直线交轴于点，过点作轴，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，，再证出是等腰直角三角形，且，然后根据轴对称的性质可得，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 将点代入抛物线得：， ∴该抛物线的解析式． 联立，解得或， ∵抛物线与直线交于，两点（点在点的左侧）， ∴，． （2）解：①如图，设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点， 对于直线， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∵四边形是菱形， ∴，， 由（1）已得：，， ∴，即， ∵轴， ∴， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∵点是上方的抛物线上的一动点，且，， ∴点的横坐标大于，且小于4， ∴点的坐标为． ②如图，设直线交轴于点，过点作轴，交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， 由（1）可知，， ∵轴， ∴， ，关于直线对称， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 16．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)已知如图1，平面直角坐标系中，为原点，经过点的抛物线交轴正半轴于点，与直线有两个交点，，它们的横坐标为，，且． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)如图2，将抛物线的顶点平移到原点，得新抛物线，直线交抛物线于点，（点横坐标小于），若与的交点为，过点作轴平行线交抛物线于点，试说明直线总经过定点，并求这个定点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）联立抛物线与直线，得到，解得，结合题意进而得到，即，求出，进而得到；即可得到，求出直线的解析式，过点C作x轴的垂线，交于点，求出点E的坐标，根据的面积为代入数据即可解答； （3）由（1）知抛物线的解析式为，将抛物线的顶点平移到原点，得新抛物线的解析式为，联立直线与新抛物线的解析式，求出，联立直线与的解析式，求出点的横坐标为，进而得到，再求出直线的解析式为，即当时，，直线总经过定点． 【详解】（1）解：根据题意，将点，代入抛物线， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：联立抛物线与直线，得到， 解得，， ∵抛物线与直线有两个交点，，它们的横坐标为，，且， ∴，， ∴， ∴； ∴直线， ∴，则， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 过点C作x轴的垂线，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）解：由（1）知抛物线的解析式为，顶点坐标为， 将抛物线的顶点平移到原点，得新抛物线的解析式为， 联立直线与新抛物线的解析式，得， 解得， 联立直线与的解析式，得， 解得， ∴点的横坐标为， ∵轴，交抛物线于点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 联立， 整理得， ∴， ∴，， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴直线总经过定点． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数与二次函数综合运用，图形的面积计算，一元二次方程根与系数关系，抛物线的平移变换等，熟练掌握待定系数法和根与系数关系是解题关键． 17．(24-25九上·湖北武汉·调研)如图，抛物线与轴交于点A，B（在的左侧），与轴交于点C． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图1，点在第一象限的抛物线上，点关于直线的对称点落在轴上，求点的坐标； (3)如图2，点是第一象限的拋物线上一动点，当的面积最大时． ①求点的坐标． ②点在轴正半轴上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若线段刚好经过点，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【来源】湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题 【分析】（1）分别令，解方程即可求出抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）由题意得，设，则，可求，记与的交点为，由折叠的性质得为中点，则，可求直线表达式为：，联立直线和抛物线的表达式即可求点的坐标； （3）①过点作轴交于点，同理可求直线表达式为：，设，则，那么，由，得到面积关于的二次函数关系式，再根据二次函数求最值，即可求出点的坐标； ②设，过点作轴于点， 由旋转得，，可证明，则表示出，，可求直线表达式为：，代入即可求解点坐标． 【详解】（1）解：令，， 解得：， ∴， 令， ∴； （2）解：如图： 由（1）得 由题意得， 设， ∴， 解得：（舍负）， ∴， 记与的交点为， 由折叠的性质得为中点，则， 设直线表达式为：， ∴， 解得：， ∴直线表达式为：， 联立直线和抛物线的表达式得，， 解得：或（舍）， ∴； （3）解：①过点作轴交于点， ∵， ∴同理可求直线表达式为：， 设，则， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴当时，面积有最大值且为4， ∴； ②设，过点作轴于点，则， 由旋转得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 而， ∴， 设直线表达式为：， ∴， 解得，， ∴直线表达式为：， 代入得， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，折叠与旋转的性质，涉及待定系数法求一次函数解析式等知识点，综合性强，难度较大． 18．(24-25九上·湖北部分州·期末)如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（，为常数）与轴交于点，顶点为点．点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得取得最小值，求点坐标； (3)若点坐标为，连接，取线段的中点，将点绕点顺时针方向旋转得到点，连接，以，为邻边构造矩形． ①设的长为，求关于的函数解析式； ②请直接写出当点在矩形外部时，的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①   ②或或． 【来源】湖北省部分市州2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】（1）把，点分别代入抛物线，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）确定点A、B是关于对称轴的对称点，连接点B与点C，与对称轴的交点就是线段和最小的位置，解得即可． （3） ①根据点M坐标为，点，线段的中点Q，得到，当即时，点在点A的右侧，此时；当即时，点在点A的左侧侧，此时，解答即可； ②根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：把，点分别代入抛物线， 得， ∴， 故抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵，点满足， ∴两点是关于直线的对称点， 连接，交直线于点，则点就是满足取得最小值的点， ∵，令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． （3）解：①∵点坐标为，点， ∴线段的中点的横坐标为， ∴， 如图所示，点在点右边， ∴，即时，点在点A的右侧， 此时； 如图所示，点在点左边， ∴，即时，点在点A的左侧， 此时． 综上所述，l关于m的函数解析式为； ②点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为， 点坐标为，点是线段的中点，且， 第一种情况，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线上方，此时点在矩形外部， ∴在点中，，则，在点中，， ∴此种情况不存在； 第二种情况，如图所示，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线下方，过点作于点，当时点在矩形外部，， ∴，即， ∴，， ∴， 解得，或， ∴； 第三种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点右边，则，此时点在矩形外部， ∴； 第四种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点左边，点右边，则，当时点在矩形外部，， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点在矩形外部时，或或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，矩形的性质，解方程组与不等式，熟练掌握待定系数法，二次函数的图象与性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $