精品解析：湖北省武汉光谷实验中学2024-2025学年九年级上学期元调模拟数学试卷

武汉光谷实验中学九上数学期末模拟试卷 时间：120min 满分120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列成语所描述的事件，是随机事件的是（ ） A. 瓜熟蒂落 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 水中捞月 2. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 124 153 252 估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到）（ ） A. B. C. D. 4. 已知一元二次方程x2－4x－1＝0两根分别为m，n，则m＋n－mn的值是（ ） A. 5 B. 3 C. －3 D. －4 5. 我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题："直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，问阔及长各几步．"如果设矩形田地的长为x步，那么同学们列出的下列方程中正确的是 ( ) A x(x+12)=864 B. x(x-12)=864 C. x2+12x=864 D. x2+12x-864=0 6. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中半径，互相垂直，点在劣弧上．若，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知二次函数为常数，且的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（ ） A B. C. D. 9. 将函数（，是常数，）图象向上平移，平移后函数的图象与轴相交于点，．则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，在中，，，D为中点，则当最大时，的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 把点绕原点旋转后得到点，则点的坐标为___________． 12. 如图，从一块边长为2的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是________． 13. 信息技术课外活动中，小彬设计了一个如图的等边三角形电子靶盘，它被等分成A，B，C三个区域．根据预定程序，每按一次按钮，在靶盘的某一个区域内会有一点随机闪烁．若小彬连续按两次按钮，则闪烁的两点均在A区域内的概率是___________． 14. 已知中，，，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段只有一个交点，则r的取值范围为_________． 15. 抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；② ；③抛物线上两点与，若有且，则；④直线与抛物线两个交点的横坐标分别为与，则． 其中结论正确的是_______________． 16. 如图，等腰与等腰，，，，，垂足为H，直线交于点O．将绕点C顺时针旋转，则的长的最大值是______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 已知抛物线． （1）将 化成的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 18. 已知△ABC中，∠ACB＝135°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AED，连接CD，CE． （1）求证：△ACD为等腰直角三角形； （2）若BC＝1，AC＝2，求四边形ACED的面积． 19. 盒中有x枚白棋和y枚黑棋，这些棋子除颜色外无任何差别． （1）现从盒中随机取出一枚棋子，若它是黑棋的概率为，写出表示x与y关系的表达式． （2）往盒中再放进12枚黑棋，取得黑棋的概率变为，求x与y的值． 20. 如图，已知半径为的经过轴上一点，与轴交于、两点，连接、，平分，． （1）判断与轴的位置关系，并说明理由； （2）若，求阴影部分的面积． 21. 如下图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点均为格点，请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （1）在图1中，将绕点O旋转得到，请画出和点O； （2）在图1中，在边上找点P，使得； （3）在图2中，经过A，B，C三个格点，作的角平分线； （4）在图2中，在（3）的条件下，上一点N不在网格线上，作弦弦． 22. 飞盘运动（如图①）作为绝对的有氧运动，不会有太激烈的竞技属性，老少皆宜．小云是一名飞盘运动爱好者，一个周末，他来到山坡处进行飞盘投掷运动．以飞盘未飞出前的位置O为原点，水平方向为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的飞盘看作一个点，其飞行路线可以近似的看作抛物线的一部分，山坡上有一堵墙，其竖直截面为四边形，墙宽米，与x轴平行，点B与点O的水平距离为14米、垂直距离为4米． （1）若飞盘在空中飞行的最大高度为5米． ①求抛物线的解析式． ②飞盘能飞越这堵墙吗？请说明理由． （2）若要使飞盘恰好落在墙的顶部上（包括端点B、C）求a的取值范围． 23. 在中，，正方形的顶在边上（不与重合），顶点任直线上（不与重合）．连接． （1）如图1，若点为中点，且顶点在的延长线上时，求证：； （2）如图2，若顶点不是中点，且顶点在边上时，确定线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若，正方形绕点旋转，当时，直接写出的长是______． 24. 如图1，经过原点O的抛物线与x轴交于另一点，点在此抛物线上，过点B作直线l交y轴于点C，且直线l与抛物线有且只有一个公共点B． （1）①请直接写出：此抛物线的函数解析式为 ； ②求直线l的函数解析式； （2）设抛物线的对称轴交x轴于点D，交直线l于点E，若点P在A点右侧的抛物线上，且以P点为圆心，为半径的圆恰好经过点E，请直接写出点P的坐标为 ； （3）如图2，将原抛物线先向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到新抛物线，动点Q在新抛物线上，求动点Q到直线l的最短距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉光谷实验中学九上数学期末模拟试卷 时间：120min 满分120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列成语所描述的事件，是随机事件的是（ ） A. 瓜熟蒂落 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 水中捞月 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件．熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键． 根据随机事件的定义进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，瓜熟蒂落是必然事件，故A不符合要求； 守株待兔是随机事件，故B符合要求； 水涨船高是必然事件，故C不符合要求； 水中捞月是不可能事件，故D不符合要求； 故选：B． 2. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形解答即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 3. 如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 124 153 252 估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识．计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率． 【详解】解：估计这名球员投篮一次，投中的概率约是 ， 故选：B． 4. 已知一元二次方程x2－4x－1＝0的两根分别为m，n，则m＋n－mn的值是（ ） A. 5 B. 3 C. －3 D. －4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系先求出m＋n和mn的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若其两根分别为和，则其两个根满足，，掌握此定理是解题关键． 5. 我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题："直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，问阔及长各几步．"如果设矩形田地的长为x步，那么同学们列出的下列方程中正确的是 ( ) A. x(x+12)=864 B. x(x-12)=864 C. x2+12x=864 D. x2+12x-864=0 【答案】B 【解析】 【详解】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步． x（x-12）=864． 故选B． 6. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查利用旋转的性质，出现等腰三角形，利用好三角形的外角和三角形内角和是解决问题的关键，直接设,利用方程思想可以直接算出的度数． 【详解】解：设； ∵； ∴； ∴； ∵； ∴； ∵； ∴； ∴； 即，； 由旋转的性质可知，； ∴； 故选：C． 7. 如图，在中半径，互相垂直，点在劣弧上．若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键，根据圆周角定理可求解的度数，连接，再利用圆周角定理结合垂直的定义可求解的度数即可． 【详解】解：连接， ， ， 半径，互相垂直， ， ， ， 故选：D． 8. 已知二次函数为常数，且的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，分别计算，，时的函数值，再比较大小即可. 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ， ， ， ， 故选：D． 9. 将函数（，是常数，）的图象向上平移，平移后函数的图象与轴相交于点，．则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点，二次函数的图象平移．熟练掌握二次函数的图象平移是解题的关键． 根据图象向上平移，且开口向下，得到对称轴不变，与轴的两个交点之间的距离变大，据此求解即可判断． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴平移前函数的图象与轴相交于点，，且， ∴平移前函数图象的对称轴为直线，与轴的两个交点之间的距离为， ∵平移后函数的图象与轴相交于点，， ∴平移后函数图象的对称轴为直线，与轴的两个交点之间的距离为， ∵图象向上平移，且开口向下， ∴对称轴不变，与轴的两个交点之间的距离变大， ∴，， ∴，， 故选：B． 10. 如图，在中，，，D为中点，则当最大时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，圆的切线的性质以及三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握点、的运动轨迹和勾股定理. 取的中点，连接，证明是的中位线，得，点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，当与相切时，最大，即∠，然后由勾股定理求出的长即可. 【详解】解：如图，取的中点，连接， ， ， ∵为中点， ∴是的中位线， ， ∵点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当与相切时，最大， ， ， 故选： C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 把点绕原点旋转后得到点，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于原点对称的特点，根据关于原点对称的点的横坐标、纵坐标均为原坐标的横坐标、纵坐标的相反数即可求解，掌握关于原点对称点的特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，点绕原点旋转后的得到点，即关于原点对称， ∴， 故答案为： ． 12. 如图，从一块边长为2的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 连接，根据等边三角形的性质可求，进一步求得弧长，即底面圆的周长，再根据圆的周长公式即可求解． 【详解】解：连接，由题意得， 是边长为2的等边三角形， ∴ ， 扇形的弧长为， 圆锥的底面圆的半径是． 故答案：． 13. 信息技术课外活动中，小彬设计了一个如图的等边三角形电子靶盘，它被等分成A，B，C三个区域．根据预定程序，每按一次按钮，在靶盘的某一个区域内会有一点随机闪烁．若小彬连续按两次按钮，则闪烁的两点均在A区域内的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图求概率，先画出树状图，根据树状图可以求得所有等可能的结果以及他们选择闪烁的两点均在A区域的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】画树状图得： ∵共有种等可能的结果，闪烁的两点均在A区域内有种结果， ∴闪烁的两点均在A区域内的概率是． 14. 已知中，，，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段只有一个交点，则r的取值范围为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出，利用等面积法求出当圆与相切时，；然后得到当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是，进而求解即可． 【详解】解：过C作于D， 在中， ∵，，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴当圆与时相切时，； 当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是， 综上所述：若此圆与线段只有一个交点，r的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 15. 抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；② ；③抛物线上两点与，若有且，则；④直线与抛物线两个交点的横坐标分别为与，则． 其中结论正确的是_______________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，根据题意得到a、b、c的关系式，可以用a表示出b、c，进而得到含a的二次函数关系式，结合图像确定符号，对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线对称轴是直线，经过， ，， ，， ， ，， ，故①正确， 抛物线对称轴是直线，经过， 和关于对称轴对称， 时，， ，故②错误； 抛物线上两点与，且 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 抛物线开口向下， ，故③正确； 令，则整理得， 直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，， ， ，故④正确， 故答案为：①③④． 16. 如图，等腰与等腰，，，，，垂足为H，直线交于点O．将绕点C顺时针旋转，则的长的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长到N，使得，连接，，连接交于M，取的中点F，连接，，根据可证的，然后根据角度关系可证得，从而得到，然后得到点O为中点，可得到是中位线，从而求出，然后在中，利用勾股定理计算出，当O，A，F三点共线时即可解决问题 【详解】如图，延长到N，使得，连接，，延长交于M，取的中点F，连接，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 已知抛物线． （1）将 化成的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）； （2）抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数．解决本题的关键是利用配方法把二次函数的一般形式转化成顶点式，根据二次函数的顶点式解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． （1）利用配方法将抛物线解析式化成； （2）根据二次函数顶点式解析式可求抛物线的开口方向、对称轴、抛物线顶点坐标． 【小问1详解】 解：， 整理得：, ； 【小问2详解】 解：， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为． 18. 已知△ABC中，∠ACB＝135°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AED，连接CD，CE． （1）求证：△ACD为等腰直角三角形； （2）若BC＝1，AC＝2，求四边形ACED的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】(1)由于△AED是△ABC旋转90°得到的，根据旋转的性质易得∠CAD＝90°，AC＝AD，∠ADE＝∠ACB＝135°，易证△ACD是等腰直角三角形； (2)根据(1)知△ACD是等腰直角三角形，那么∠ADC＝∠ACD＝45°，AC＝AD＝2，根据勾股定理可求CD，又由∠ADE＝135°，易求∠CDE＝90°，那么易知，再根据三角形面积公式易求四边形的面积． 【小问1详解】 证明：∵△AED是△ABC旋转90°得到的， ，∠CAD＝90°， ∴AC＝AD， ∴△ACD是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：∵△ACD是等腰直角三角形， ∴∠ADC＝∠ACD＝45°，AC＝AD＝2， ， 由(1)知，∠ADE＝∠ACB＝135°， ∴∠CDE＝∠ADE－∠ADC＝90°， ∵DE＝BC＝1， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是先证明△ACD是等腰直角三角形，并证明△CDE是直角三角形． 19. 盒中有x枚白棋和y枚黑棋，这些棋子除颜色外无任何差别． （1）现从盒中随机取出一枚棋子，若它是黑棋的概率为，写出表示x与y关系的表达式． （2）往盒中再放进12枚黑棋，取得黑棋的概率变为，求x与y的值． 【答案】（1） （2）x的值为10，y的值为8 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率的计算，利用概率求数量等知识点，解题的关键是熟练掌握简单概率计算的公式． （1）利用简单概率公式列出代数式进行整理即可； （2）利用简单概率公式列出代数式，结合（1）的结论，进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， ， 整理得； 【小问2详解】 解：根据题意得， ， 整理得， 将代入上式得， 解得， ∴， 所以x的值为10，y的值为8． 20. 如图，已知半径为的经过轴上一点，与轴交于、两点，连接、，平分，． （1）判断与轴的位置关系，并说明理由； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的定义，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，求扇形面积；关键是掌握相关定理． （1）连接，由平分可得，又，所以，进而可得，所以，可得轴，进而可得结论； （2）过点作轴于点，则，且四边形是矩形，设可分别表达和，进而根据勾股定理可建立等式，得出的长，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：与轴相切，理由如下： 如图，连接， 平分， ， 又， ， ， ， 轴， 轴， 是半径， 与轴相切 【小问2详解】 如图，过点作轴于点， ， ， 四边形是矩形， ，， 设则， ， 在中，， ， 解得或舍去， ， ， ∴ ∴阴影部分的面积为 21. 如下图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点均为格点，请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （1）在图1中，将绕点O旋转得到，请画出和点O； （2）在图1中，在边上找点P，使得； （3）在图2中，经过A，B，C三个格点，作的角平分线； （4）在图2中，在（3）条件下，上一点N不在网格线上，作弦弦． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）图见解析 （4）图见解析 【解析】 【分析】（1）根据中心对称图形的性质，得到，得到四边形为平行四边形，在下方确定点使四边形为平行四边形，连接，与的交点即为点； （2）取点关于的对称点，连接，交于点，点即为所求； （3）取的中点，过点作，交于点，连接，即为所求； （4）连接，交于点，取格点，连接交于点，连接并延长，交于点，连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示，和点O，即为所求； 由作图可知，四边形为平行四边形， ∴可看作绕点O旋转得到； 【小问2详解】 如图所示，点即为所求； 由作图可知：； 【小问3详解】 如图所示，即为所求； 由作图和垂径定理可知：， ∴； 【小问4详解】 如图所示，点即为所求； 由作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴点与点关于对称， 由圆的对称性可知：． 【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识点，综合性强，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 22. 飞盘运动（如图①）作为绝对的有氧运动，不会有太激烈的竞技属性，老少皆宜．小云是一名飞盘运动爱好者，一个周末，他来到山坡处进行飞盘投掷运动．以飞盘未飞出前的位置O为原点，水平方向为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的飞盘看作一个点，其飞行路线可以近似的看作抛物线的一部分，山坡上有一堵墙，其竖直截面为四边形，墙宽米，与x轴平行，点B与点O的水平距离为14米、垂直距离为4米． （1）若飞盘在空中飞行的最大高度为5米． ①求抛物线的解析式． ②飞盘能飞越这堵墙吗？请说明理由． （2）若要使飞盘恰好落在墙的顶部上（包括端点B、C）求a的取值范围． 【答案】（1）①；②飞盘不能飞越这堵墙，理由见解析 （2）a的取值范围为 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数应用， ①根据题意可设飞盘飞行的函数关系式为，将点代入求得，即可得到解析式；②根据题意可知点C的坐标，将横坐标代入求得y与纵坐标比较即可判断； 根据题意可知点和，结合原点代入函数关系式分别求得a的值即可判断取值范围． 【小问1详解】 解：①∵飞盘在空中飞行的最大高度为5米， ∴设飞盘飞行的函数关系式为， 把代入解析式得：，解得：． ∴解析式为：． ②飞盘不能飞越这堵墙，理由如下： ∵墙宽米，点B与点O的水平距离为14米、 ∴把代入得： ∵， ∴飞盘不能飞越墙． 【小问2详解】 由题可知，抛物线， ∴把，代入得：， 解得； 把，代入解析式， 解得， ∴a的取值范围为． 23. 在中，，正方形的顶在边上（不与重合），顶点任直线上（不与重合）．连接． （1）如图1，若点为中点，且顶点在的延长线上时，求证：； （2）如图2，若顶点不是中点，且顶点在边上时，确定线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若，正方形绕点旋转，当时，直接写出的长是______． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得到，再利用等腰直角三角形三边关系即可得到本题答案； （2）过点作，过点作，证明，利用等腰直角三角形三边关系即可得出答案； （3）根据题意利用正方形和等腰三角形性质证明出，分两种情况，再利用勾股定理即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：连接， ∵，正方形的顶在边上， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 小问2详解】 解：点作，过点作， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵正方形的顶在边上（不与重合）， 当顶点在线段上（不与重合），当时， 过点作，，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 故, ∴, ∴是等腰直角三角形， 设：， ∴， 在中应用勾股定理， ， ，解得：， ∴在中应用勾股定理， ， ∴， 当顶点在线段的延长线上（不与重合），当时， 过点作，，连接，， ∴ 在直角三角形中， 由勾股定理得:， ∴， 解得:（负值已舍去)， 在直角三角形中， 由勾股定理得:， ∴（负值已舍去）， 综上所述：或 故答案为：或． 【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，等腰直角三角形三边关系，勾股定理． 24. 如图1，经过原点O的抛物线与x轴交于另一点，点在此抛物线上，过点B作直线l交y轴于点C，且直线l与抛物线有且只有一个公共点B． （1）①请直接写出：此抛物线的函数解析式为 ； ②求直线l的函数解析式； （2）设抛物线的对称轴交x轴于点D，交直线l于点E，若点P在A点右侧的抛物线上，且以P点为圆心，为半径的圆恰好经过点E，请直接写出点P的坐标为 ； （3）如图2，将原抛物线先向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到新抛物线，动点Q在新抛物线上，求动点Q到直线l的最短距离． 【答案】（1）①；②直线的解析式为 （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）①将点，点代入求解即可； ②根据直线过点得出直线的解析式为，再根据直线l与抛物线有且只有一个公共点B，联立得出，求出，即可解答． （2）求出点，，得出点是线段的中点，再根据，得出垂直平分．得出点是抛物线与直线的交点，求出直线的解析式，联立，求解即可． （3）求出新抛物线的解析式为，将直线向上平移d个单位：得，当直线与新抛物线有1个公共点时，求出，得出直线与新抛物线的交点为．过作直线的垂线，垂足为，过作轴于，交直线于，证明，根据相似三角形的性质列出等式求解即可． 【小问1详解】 解：①将点，点代入可得： ， 解得：． ∴抛物线的解析式为． ②设直线的解析式为，代入点得，即， ∴直线的解析式为， ∵直线l与抛物线有且只有一个公共点B． ∴联立可得：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线． ， ， ∴点是线段的中点． 又∵， 垂直平分． 根据题意得，， 点是抛物线与直线的交点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴的解析式为， 联立， 解得：，（舍去）． ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：根据题意可得新抛物线的解析式为， 如图，将直线向上平移d个单位：得， 当直线与新抛物线有1个公共点时，则， 即， 故， 解得：， 则， 解得：， 直线与新抛物线的交点为． 过作直线的垂线，垂足为，过作轴于，交直线于， ∴， 令，则，解得：， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴． ∴， ， ， ，即， ， ， 新抛物线上的动点Q到直线l的最短距离是． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，抛物线与直线的平移规律，线段垂直平分线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，两函数交点坐标的求法，二次函数与一元二次方程的关系，点到直线的距离的求法，两点间的距离公式等知识，综合性较强．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $