专题01 一元二次方程5大题型（期末真题汇编，湖北专用）九年级数学上学期人教版

专题01 一元二次方程 5大高频考点概览 考点01 一元二次方程的相关概念 考点02 一元二次方程根的判别式 考点03 一元二次方程的根与系数的关系 考点04 解一元二次方程 考点05 实际问题与一元二次方程 地 城 考点01 一元二次方程的相关概念 1．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（） A． B． C．2 D．4 2．(24-25九上·湖北天门·期末)若方程有一个根是，则的值是（   ） A． B． C．1 D．2 3．(24-25九上·湖北十堰·期末)一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（    ） A．3， 2 B．2， 3 C．3， D．3， 4 4．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（   ） A．，3 B．2，3 C． D．3，2 5．(24-25九上·湖北十堰·期末)若是一元二次方程的一个根，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（   ） A．和1 B．2和 C．和 D．和1 7．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解可以是（   ） 1.9 2 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0 0.44 0.69 0.96 1.25 1.56 1.89 2.24 2.61 A．1.93 B．2 C．2.73 D．2.81 28．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 9．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)写出一个二次项系数为，且一根为的一元二次方程是 ． 10．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 11．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)若是关于x的一元二次方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 12．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值及方程的另一个根． 13．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)关于x的一元二次方程有一个根是，求m的值及方程的另一个根． 14．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 15．(24-25九上·湖北随州·期末)若关于的一元二次方程有一根为1． (1)求的值； (2)求上述一元二次方程的另一个根． 16．(24-25九上·湖北武汉·调研)若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 17．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值及此方程两实数根． 地 城 考点02 一元二次方程根的判别式 1．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)下列一元二次方程中，有两个互为相反数的实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)关于x的方程有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)下列关于一元二次方程的根说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个负的实数根 4．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)关于一元二次方程，下列说法错误的是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程的两根之和为2 C．方程的两根异号 D．方程的两根互为倒数 5．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族·期末)方程的根的情况为（  ） A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 6．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)若关于的一元二次方程有实数根，则实数的值不可能是（   ） A． B．0 C． D． 7．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求实数k的取值范围； (2)若，求k的值及方程的两根． 8．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 9．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)关于的方程. (1)若方程有两个实数根，求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，，求的最小值． 10．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 11．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 地 城 考点03 一元二次方程的根与系数的关系 1．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)已知是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 2．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)若一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 3．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)一元二次方程所有实数根的积是（   ） A． B． C．3 D． 4．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)下列一元二次方程中，两实数根的和为1的方程是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·湖北武汉·调研)已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（   ） A． B． C．1 D．2 6．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)若是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 7．(24-25九上·湖北荆州荆州经济技术开发区·期末)若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 8．(24-25九上·湖北襄阳宜城·期末)一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为 ． 9．(24-25九上·湖北随州·期末)已知是方程的两个根，则的最小值为 ． 10．(24-25九上·湖北随州·期末)已知，且，则的值为 ． 地 城 考点04 解一元二次方程 1．(24-25九上·湖北襄阳宜城·期末)一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)用配方法解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)解一元二次方程，配方后得到，则的值是（　　） A．4 B．21 C．25 D．46 4．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)解一元二次方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)解一元二次方程，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·湖北武汉·调研)解一元二次方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)方程的解是（   ） A． B． C． D． 8．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)配方法是一种重要的数学方法．解一元二次方程时，可以运用配方法先将方程变形为，从而求得方程的根；对于多项式，也可以运用配方法将其变形为，从而发现二次函数，当自变量时函数取最小值．根据以上信息解决下列问题： 已知实数满足：，则的值为 ． 9．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)一个直角三角形的两条直角边的长，是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长为 ． 10．(24-25九上·湖北武汉·调研)“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解方程，它的实数解是 ． 11．(24-25九上·湖北天门·期末)解方程： (1)； (2)． 12．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)请阅读下列解方程的过程： 解方程：， 原方程变形为：， 两边同除以，得：， 解这个方程，， 所以，原方程的解为， 上述解答是否正确?若有错误，请你指出错误的步骤并说明理由，然后写出正确的解答过程. 13．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)（1）解方程：； （2）解方程：在学完一元二次方程解法后，老师出了这样一道试题“”，让同学们求解．球宝和甜宝两位同学的做法如下： 球宝同学的解答 甜宝同学的解答 解：原方程可化为 ． 当时， ， 当时， ， 所以，． 解：原方程可化为， ， ． 所以， 所以，． ①小组在交流过程中发现两位同学的结果不同，请判断 （填球宝或甜宝）同学的解法有误，错误的原因是 ； ②请你写出其他的正确解法． 14．(24-25九上·湖北十堰·期末)用适当的方法解下列方程： (1) (2) 15．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)用适当的方法解关于的一元二次方程： (1) (2) 16．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)用适当的方法解方程： 地 城 考点05 实际问题与一元二次方程 1．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)中国光谷持续推动改革创新，地区生产总值不断增长．根据有关统计数据显示，2021年生产总值约为2400亿元，2023年生产总值约为2715亿元，设这两年生产总值的年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·湖北潜江·期末)我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，可以求得矩形的宽为 步． 4．(24-25九上·湖北天门·期末)我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设矩形的长为步，根据题意可列方程 ． 5．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)在一幅长为，宽为的矩形挂画四周镶上相同宽度的金色纸边，设金色纸边的宽为，如果要使镶边后整个挂画的面积是，那么满足的方程是 ． 6．(24-25九上·湖北襄阳宜城·期末)我国古代数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中有题：直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？ 答：阔为 步；长为 步． 7．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，2月份进馆 1000人次，4月份进馆1440人次，则进馆人次的月平均增长率是 ． 8．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)2024年5月17日至19日，咸宁市第三届运动会青少年篮球比赛在通山县文体中心举行，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，问有多少支球队参赛？设有支球队参赛，依据题意列方程，化成一般式为 ． 9．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)为创建省级文明城市，改善人居环境，幸福社区投资1万元修建一个矩形植物园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长，平行于墙的边的费用为200元，垂直于墙的边的费用为150元，设平行于墙的边长为，垂直于墙的一边长为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若植物园面积为，求的值； (3)求植物园的最大面积． 10．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为，另外三边用的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的门，设苗圃园垂直于墙的一边长为，苗圃园的面积为． (1)写出S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若苗圃园的面积为，求垂直于墙的一边长为多少m？ (3)苗圃园的面积能否达到？若能，请说明理由；若不能，请求出苗圃园的面积最大值． 11．(24-25九上·湖北襄阳宜城·期末)有两张长，宽的矩形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个． (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是______（填“图1”或“图2”）． (2)若图1中裁去的小正方形边长为，则做成的纸盒的底面积是______． (3)若按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少？ 12．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)元旦期间，山城水果专卖店销售某品种慈口蜜桔，每箱售价60元，每天可卖50箱．为了促销，该水果专卖店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每天可多卖5箱．已知该品种慈口蜜桔每箱成本价40元．设该品种慈口蜜桔每箱售价元，每天的销售量为箱． (1)求与之间的函数关系式； (2)当该品种慈口蜜桔每天的销售利润为1000元时，求该品种慈口蜜桔每箱的售价； (3)当该品种慈口蜜桔每箱售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 13．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)某公司生产的商品的市场建议零售价为每件元，公司的实际销售价格可以浮动个百分点（即销售价格），经过市场调研发现，这种商品的日销售量（件）与实际销售价格浮动的百分点之间的函数关系为．若该公司按浮动个百分点的价格出售，每件商品仍可获利． (1)求该商品每件的成本为多少元？ (2)当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为元？ （说明：日销售利润（实际销售价格成本）日销售量） (3)当实际销售价格定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 14．(24-25九上·湖北十堰·期末)诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 15．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)（1）某学校组织一次篮球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都比赛一场，计划安排28场比赛，求共有几支球队参加比赛？ （2）如图，线段上共有7个点（包括端点），则图中共有________________条线段； （3）若一个边形共有20条对角线，则_______________． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 5大高频考点概览 考点01 一元二次方程的相关概念 考点02 一元二次方程根的判别式 考点03 一元二次方程的根与系数的关系 考点04 解一元二次方程 考点05 实际问题与一元二次方程 地 城 考点01 一元二次方程的相关概念 1．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【来源】湖北省十堰市竹溪县2024-2025学年上学期期末学业水平检测九年级数学试卷 【分析】本题主要考查一元二次方程解的概念，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键； 将代入一元二次方程即可求得答案． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴把代入得 解得：． 故选：C． 2．(24-25九上·湖北天门·期末)若方程有一个根是，则的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【来源】湖北省天门市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解的概念、正确计算是解题关键．把代入方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得，， 故选：A． 3．(24-25九上·湖北十堰·期末)一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（    ） A．3， 2 B．2， 3 C．3， D．3， 4 【答案】C 【来源】湖北省十堰市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握相关定义即可，注意系数包含前面的正负号. 【详解】解：∵为一般形式， ∴二次项系数和一次项系数分别为， 故选：C 4．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（   ） A．，3 B．2，3 C． D．3，2 【答案】A 【来源】湖北省咸宁市通山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可． 【详解】解：∵， ， 一次项系数和常数项分别是和3， 故选：A． 5．(24-25九上·湖北十堰·期末)若是一元二次方程的一个根，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【来源】湖北省十堰市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的定义是解题关键．将代入方程，即可求出a的值． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， 故选：D． 6．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（   ） A．和1 B．2和 C．和 D．和1 【答案】A 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 根据一元二次方程的一般形式找出一次项系数和常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数和常数项分别是和， 故选：． 7．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解可以是（   ） 1.9 2 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0 0.44 0.69 0.96 1.25 1.56 1.89 2.24 2.61 A．1.93 B．2 C．2.73 D．2.81 【答案】C 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根据表格，找出使的值最接近的x的值即可． 【详解】解：由表可知，当时，，当时，， ∵原方程为， ∴一元二次方程的一个解在范围内， ∴一元二次方程的一个近似解可以是， 故选：C． 28．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】2 【来源】湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”，利用一元二次方程的定义，可得出． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， ∴． 故答案为：． 9．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)写出一个二次项系数为，且一根为的一元二次方程是 ． 【答案】（答案不唯一） 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解答本题的关键．根据一元二次方程的一般形式写出符合题意的方程即可． 【详解】解：由题意知二次项系数为，且一根为的一元二次方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 10．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．熟记相关定义即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 11．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)若是关于x的一元二次方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 【答案】， 【来源】湖北省孝感市孝南区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一元二次方程解的定义把代入方程即可求出，根据解一元二次方程求出另一根． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， 将代入方程得：，即， ，， 方程另一根为，． 12．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值及方程的另一个根． 【答案】， 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将代入中，可解得，将代入中，得到一元二次方程，最后解方程即可． 【详解】解：将代入中，得 解得． 将代入 中，得 ， 解得 ，． 故，方程的另一个根为 ． 13．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)关于x的一元二次方程有一个根是，求m的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为． 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键；根据一元二次方程解的定义把代入方程即可求出；根据根与系数的关系可直接求出另一根． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 此时，符合题意 设方程另一根为 根据根与系数的关系可得：， 解得：， 即方程的另一个根为． 14．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．先利用根的定义将代入求得，设方程的另一个根为，再利用根与系数的关系得出，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是， ∴， 解得：， 设方程的另一个根为， 则：， 解得：， ∴，方程的另一个根为． 15．(24-25九上·湖北随州·期末)若关于的一元二次方程有一根为1． (1)求的值； (2)求上述一元二次方程的另一个根． 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省随州市2024-2025学年九年级上学期期末学业水平模拟考试数学试卷 【分析】本题考查一元二次方程的解以及根与系数的关系． （1）将已知的方程的根代入原方程，通过解方程求出的值． （2）把求得的值代入原方程，确定完整的一元二次方程，再利用韦达定理，根据已知根求出方程的另一个根． 【详解】（1）把代入方程， 得到． 解得； （2）将代入原方程， 方程变为， 即，这里， 设方程的另一个根为，已知一个根， ，则， 可得， 则一元二次方程的另一个根． 16．(24-25九上·湖北武汉·调研)若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】， 【来源】湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的根，先把代入，解得，结合是一元二次方程的两根，则，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是， ∴把代入， 得， 解得， 故关于的一元二次方程是， 设方程的另一个根为，且一个根是， 则， 17．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值及此方程两实数根． 【答案】， 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据题意得到，求出的值，再利用公式法解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 此时， 即． 地 城 考点02 一元二次方程根的判别式 1．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)下列一元二次方程中，有两个互为相反数的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查根与系数的关系，根据两个根互为相反数，得到两根之和为，进行判断即可． 【详解】解：A、，方程没有实数根，不符合题意； B、，两根之和为，符合题意； C、，方程没有实数根，不符合题意； D、，且两根之和为4，不符合题意； 故选：B． 2．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)关于x的方程有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【来源】湖北省孝感市孝南区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根；一元二次方程有两个相等的实数根；一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键． 根据方程有两个不相等的实数根，求解即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵m为整数， ∴m的最大值为3． 故答选：B． 3．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)下列关于一元二次方程的根说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个负的实数根 【答案】C 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据方程得出，即可得到答案． 【详解】解：， ， 有两个不相等的实数根， 故选：C． 4．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)关于一元二次方程，下列说法错误的是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程的两根之和为2 C．方程的两根异号 D．方程的两根互为倒数 【答案】D 【来源】湖北省武汉市（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）2024-2025 学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根的判别式，可得出，进而可得出原方程有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系，即可求出两根之和及两根之积的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根，故A选项正确，不合题意； ∴两根之和为，故B选项正确，不合题意； 两根之积为， ∴方程的两根异号，故C选项正确，不合题意； ∵两根之积不等于1， ∴方程的两根不互为倒数，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 5．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族·期末)方程的根的情况为（  ） A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根． 先求一元二次方程的判别式，由与0的大小关系来判断方程根的情况． 【详解】解：∵可化为， ∴， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)若关于的一元二次方程有实数根，则实数的值不可能是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【来源】湖北省咸宁市通山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此求得c的取值范围，再进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 故选项D中的不符合题意， 故选：D． 7．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求实数k的取值范围； (2)若，求k的值及方程的两根． 【答案】(1) (2)， 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式直接进行求解即可； （2）由题意易得，则有，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：根据一元二次方程根与系数的关系可知：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 8．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【来源】湖北省咸宁市咸安区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及配方法，熟练掌握这些性质和方法是解题的关键． （1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可； （2）令，得：，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出关于的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出，即可得出关于的等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 该方程总有两个实数根； （2）解：令，得：， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，，且， ∴， ∴， 化简为：， 解得：或． 9．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)关于的方程. (1)若方程有两个实数根，求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，，求的最小值． 【答案】(1) (2)1 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，完全平方公式的变形． （1）根据一元二次方程有两个根，可以知道其判别式大于或等于0，据此作答即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式，将转化为，结合m的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个实数根， ， 即：， 解得：； （2）解：，是方程的两个实数根， ，， ， ， ，， 时取最小值， 此时． 10．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 【答案】， 【来源】湖北省武汉市（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）2024-2025 学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解法，根据当时，方程有两个相等的实数根求得m值，进而解一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 当时，原方程化为， 解得， 所以原方程的根为． 11．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】（1）由“关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，”可得，解不等式即可求出实数的取值范围； （2）由一元二次方程的根与系数的关系可得，，若，则，，分和两种情况分别讨论，解一元一次方程即可求出的值． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ， 解得：， 实数的取值范围为； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系可得： ，， 若，则： ，， 当时，， 当时，， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式（根据一元二次方程根的情况求参数），一元二次方程的根与系数的关系，解一元一次方程，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 地 城 考点03 一元二次方程的根与系数的关系 1．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)已知是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握．利用根与系数关系求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 故选：C． 2．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)若一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【来源】湖北省孝感市孝南区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴． 故选：B． 3．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)一元二次方程所有实数根的积是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【来源】湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握如果一元二次方程的两根分别为与，则，． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出方程的两根之积即可． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程所有实数根的积是. 故选：A． 4．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)下列一元二次方程中，两实数根的和为1的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此逐项分析即可得解． 【详解】解：A、方程的两根之和为，不符合题意； B、方程的两根之和为，不符合题意； C、方程的两根之和为，不符合题意； D、方程的两根之和为，符合题意； 故选：D． 5．(24-25九上·湖北武汉·调研)已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【来源】湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若是一元二次方程的两根，则，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴， 故选：B 6．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)若是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】5 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解，将化为，分别求出、，再代入求值即可． 【详解】解：∵α、β是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：5． 7．(24-25九上·湖北荆州荆州经济技术开发区·期末)若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2025 【来源】湖北省荆州市荆州经济技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．代入原方程，再结合根与系数的关系求出，即可解决问题． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2025． 8．(24-25九上·湖北襄阳宜城·期末)一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为 ． 【答案】 【来源】湖北省襄阳市宜城市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴． 故答案为：． 9．(24-25九上·湖北随州·期末)已知是方程的两个根，则的最小值为 ． 【答案】16 【来源】湖北省随州市2024-2025学年九年级上学期期末学业水平模拟考试数学试卷 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数关系、完全平方公式，根据题意得到两根的和与积的等式，再结合完全平方公式进行化简，利用非负数的性质求解即可． 【详解】解；∵是方程的两个根， ∴，，且， 则 ， 故答案为：16． 10．(24-25九上·湖北随州·期末)已知，且，则的值为 ． 【答案】/1.5 【来源】湖北省随州市2024-2025学年九年级上学期期末学业水平模拟考试数学试卷 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数以换元思想的应用，令，结合，则z是的根，那么，x和z为方程的两根，利用根与系数的关系即可求得． 【详解】解：令， ∵， ∴， 则， 那么，x和z为方程的两根， ∴， 则， 故答案为：． 地 城 考点04 解一元二次方程 1．(24-25九上·湖北襄阳宜城·期末)一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省襄阳市宜城市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：方程整理得：， 解得：． 故选：B． 2．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)用配方法解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．根据配方法的步骤求解，即可解题． 【详解】解： 即， 故选：A． 3．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)解一元二次方程，配方后得到，则的值是（　　） A．4 B．21 C．25 D．46 【答案】A 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程， 配方得：，即， 则的值为4． 故选：A． 4．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)解一元二次方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方即可得到答案． 【详解】解： ∴ 则 ∴ 故选：A． 5．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)解一元二次方程，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法的步骤是解题的关键．利用配方法对一元二次方程进行变形即可． 【详解】解：由题知， ∴． 故选：A． 6．(24-25九上·湖北武汉·调研)解一元二次方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题 【分析】本题考查的是解一元二次方程-配方法，先移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得，， 方程两边同时加16得，， 即：， 故选：A． 7．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 运用直接开方法即可解答． 【详解】解：， ， 故选：B． 8．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)配方法是一种重要的数学方法．解一元二次方程时，可以运用配方法先将方程变形为，从而求得方程的根；对于多项式，也可以运用配方法将其变形为，从而发现二次函数，当自变量时函数取最小值．根据以上信息解决下列问题： 已知实数满足：，则的值为 ． 【答案】1 【来源】湖北省咸宁市咸安区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了配方法，二次函数的性质，令，利用配方法解关于的一元二次方程，再利用配方法求出求出最值，即可解答． 【详解】解：令， 则， ， ∴， 解得：； ∵， ∴当时，有最小值， ∴，即， ∴． 故答案为：． 9．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)一个直角三角形的两条直角边的长，是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长为 ． 【答案】 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查勾股定理求线段长，解一元二次方程，根据题意求出一元二次方程的两根是解决问题的关键．由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理即可得到直角三角形斜边的长． 【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得或， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 10．(24-25九上·湖北武汉·调研)“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解方程，它的实数解是 ． 【答案】或/或 【来源】湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题 【分析】本题考查的是利用“降次”的思想解高次方程，一元二次方程的解法，把方程化为，再进一步解方程即可． 【详解】解：， ， 或， 当， ． 当， 此时方程无解； 故答案为：或． 11．(24-25九上·湖北天门·期末)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【来源】湖北省天门市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 或 解得，； （2） 或 解得，． 12．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)请阅读下列解方程的过程： 解方程：， 原方程变形为：， 两边同除以，得：， 解这个方程，， 所以，原方程的解为， 上述解答是否正确?若有错误，请你指出错误的步骤并说明理由，然后写出正确的解答过程. 【答案】不正确，错误的步骤是，理由：时，两边不能同时除以，正确的解答过程见解析 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据解一元二次方程的方法解答即可． 【详解】解：不正确，错误的步骤是，理由：时，两边不能同时除以， 正确过程如下： 解：， 原方程变形为：， 移项得：， 因式分解得：， 化简得：， 或， 解得：， 方法二：， 原方程变形为：， 当时， 两边同除以，得：， 解这个方程，， 当时，所以，， 所以，原方程的解为，． 13．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)（1）解方程：； （2）解方程：在学完一元二次方程解法后，老师出了这样一道试题“”，让同学们求解．球宝和甜宝两位同学的做法如下： 球宝同学的解答 甜宝同学的解答 解：原方程可化为 ． 当时， ， 当时， ， 所以，． 解：原方程可化为， ， ． 所以， 所以，． ①小组在交流过程中发现两位同学的结果不同，请判断 （填球宝或甜宝）同学的解法有误，错误的原因是 ； ②请你写出其他的正确解法． 【答案】（1）；（2）①甜宝；原方程常数项移项时未变号；② 【来源】湖北省十堰市竹溪县2024-2025学年上学期期末学业水平检测九年级数学试卷 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，配方法法解一元二次方程，解题关键是掌握上述两方法求解． （1）利用因式分解法求解； （2）先判断甜宝解法错误，再找出错因，然后写出正确解法即可． 【详解】（1）解：方程左边分解因式，得：， 可得：或， 解得：，； （2）①甜宝同学的解法有误，错误的原因是原方程常数项移项时未变号； 故答案为：甜宝，原方程常数项移项时未变号； ②∵， ∴， 所以， 所以· 14．(24-25九上·湖北十堰·期末)用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省十堰市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先移项化为一般式，再用因式分解法求解； （2）直接用因式分解法求解． 【详解】（1）解： 或 解得：； （2）解： 或 解得：． 15．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)用适当的方法解关于的一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开方法、配方法、公式法、分解因式法． 把常数项移到等号的右边，然后等号的两边同时加，可得：，利用完全平方公式分解因式可得：，再把等式的两边同时开平方，可得：，等式的两边同时加求出方程的解； 把整体作为一个因式，提公因式可得：，根据两数的积为，则这两个因数中至少有一个为，可得：或，解两个一元一次方程可求方程的根． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， 或， ，． 16．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)用适当的方法解方程： 【答案】， 【来源】湖北省咸宁市咸安区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了解一元二次方程．先把方程的左边利用完全平方公式变形为，再直接开平方得到两个一元一次方程，进而求解． 【详解】解：原方程可变形为：， 直接开平方得：或， 解得：，． 地 城 考点05 实际问题与一元二次方程 1．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)中国光谷持续推动改革创新，地区生产总值不断增长．根据有关统计数据显示，2021年生产总值约为2400亿元，2023年生产总值约为2715亿元，设这两年生产总值的年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可得2023年生产总值为元，进而可求解； 掌握增长率的典型模型（）的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 2．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省武汉市（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）2024-2025 学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． 根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选：B． 3．(24-25九上·湖北潜江·期末)我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，可以求得矩形的宽为 步． 【答案】24 【来源】 湖北省潜江市2024-2025学年九年级上学期期末质量检测数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设矩形的宽为步，则矩形的长为步，再列方程，即可解答，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设矩形的宽为步，则矩形的长为步， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故答案为：24． 4．(24-25九上·湖北天门·期末)我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设矩形的长为步，根据题意可列方程 ． 【答案】 【来源】湖北省天门市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准题目中的等量关系，是解题的关键．由宽和长共六十步，可得出宽为步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设矩形的长为x步，则宽为步，根据题意得： ． 故答案为：． 5．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)在一幅长为，宽为的矩形挂画四周镶上相同宽度的金色纸边，设金色纸边的宽为，如果要使镶边后整个挂画的面积是，那么满足的方程是 ． 【答案】 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽为，根据整个挂图的面积是列出方程即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为，则挂图的长为，宽为， 根据题意得：， 故答案为：． 6．(24-25九上·湖北襄阳宜城·期末)我国古代数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中有题：直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？ 答：阔为 步；长为 步． 【答案】 24 36 【来源】湖北省襄阳市宜城市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设阔为步，则长为步，根据直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】解：设阔为步，则长为步， 根据题意得：， 整理得：， 解得：(不符合题意，舍去)， ， 阔为24步，长为36步． 故答案为：24，36 7．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，2月份进馆 1000人次，4月份进馆1440人次，则进馆人次的月平均增长率是 ． 【答案】 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，先设进馆人次的月平均增长率是，根据2月份进馆 1000人次，4月份进馆1440人次，列式，然后计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设进馆人次的月平均增长率是， 则 ， 解得（舍去） ∴进馆人次的月平均增长率是， 故答案为：． 8．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)2024年5月17日至19日，咸宁市第三届运动会青少年篮球比赛在通山县文体中心举行，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，问有多少支球队参赛？设有支球队参赛，依据题意列方程，化成一般式为 ． 【答案】 【来源】湖北省咸宁市通山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，准确找到关键语句，从而根据等量关系准确列出方程是解答的关键．根据题意，每一个球队和其它球队可打场比赛，又赛制为单循环形式，则可列出方程求解． 【详解】解：设共有x个队参赛， 依题意，得， 化为一般式为， 故答案为：． 9．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)为创建省级文明城市，改善人居环境，幸福社区投资1万元修建一个矩形植物园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长，平行于墙的边的费用为200元，垂直于墙的边的费用为150元，设平行于墙的边长为，垂直于墙的一边长为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若植物园面积为，求的值； (3)求植物园的最大面积． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】（1）根据“垂直于墙的长度”即可列出函数关系式，根据墙的长度即可得出自变量的取值范围； （2）根据矩形的面积公式即可列出方程，解方程即可求出的值； （3）根据矩形的面积公式列出总面积关于的函数解析式，然后求二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：依题意得： ， ； （2）解：依题意得： ， 解得：，， ， ， 即：的值是； （3）解：设植物园的面积是， 则， ， 抛物线开口向下， 当时，取得最大值，最大值为， 植物园的最大面积为． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（图形问题），一元二次方程的应用（与图形有关的问题），一次函数的实际应用（其他问题），二次函数的最值，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程和函数解析式是解题的关键． 10．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为，另外三边用的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的门，设苗圃园垂直于墙的一边长为，苗圃园的面积为． (1)写出S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若苗圃园的面积为，求垂直于墙的一边长为多少m？ (3)苗圃园的面积能否达到？若能，请说明理由；若不能，请求出苗圃园的面积最大值． 【答案】(1) (2) (3)不能， 【来源】湖北省孝感市孝南区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）设苗圃园垂直于墙的一边长为，矩形的长，依题意，得：即可． （2）依题意，得：，解方程，取舍根，解答即可． （3）根据题意，得，利用一元二次方程根的判别式解答即可，根据题意，得，根据二次函数性质确定最值即可． 本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，二次函数的最值，熟练掌握矩形的性质，构造二次函数求最值，一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设苗圃园垂直于墙的一边长为，则矩形的长，依题意，得：， ，， ， ． （2）解：当时，得， 故， 解得：，， ， ． 答：花园面积是，此时x的长为12米． （3）解：当时，，， ， 故方程无实数根， 苗圃园的面积不能否达到． 根据题意，得， 故当时，． 11．(24-25九上·湖北襄阳宜城·期末)有两张长，宽的矩形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个． (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是______（填“图1”或“图2”）． (2)若图1中裁去的小正方形边长为，则做成的纸盒的底面积是______． (3)若按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少？ 【答案】(1)图2 (2) (3) 【来源】湖北省襄阳市宜城市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、长方体的平面展开图等知识，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据长方体的平面展开图特点即可得； （2）先求出底面长方形的长、宽，再利用长方形的面积公式计算即可得； （3）设剪去的小正方形的边长为，根据按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是图2， 故答案为：图2． （2）解：∵图1中裁去的小正方形边长为， ∴底面长方形的长为，宽为， ∴做成的纸盒的底面积是， 故答案为：． （3）解：设剪去的小正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 答：剪去的小正方形的边长为． 12．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)元旦期间，山城水果专卖店销售某品种慈口蜜桔，每箱售价60元，每天可卖50箱．为了促销，该水果专卖店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每天可多卖5箱．已知该品种慈口蜜桔每箱成本价40元．设该品种慈口蜜桔每箱售价元，每天的销售量为箱． (1)求与之间的函数关系式； (2)当该品种慈口蜜桔每天的销售利润为1000元时，求该品种慈口蜜桔每箱的售价； (3)当该品种慈口蜜桔每箱售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)该品种慈口蜜桔每箱的售价为每箱售价50元 (3)当每件售价定为55元时，每天的销售利润最大，最大利润为1125元 【来源】湖北省咸宁市通山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用及一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据每降价1元，每星期可多卖5箱找出销量与售价之间的关系即可得； （2）根据题意列一元二次方程并解方程即可解决； （3）设每天的销售利润为元，根据利润（售价成本价）销量建立与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以与之间的函数关系式是． （2）解：由题意得：， 解得：（不合题意舍去）， 则该品种慈口蜜桔每箱的售价为每箱售价50元； （3）解：设每天的销售利润为元， 由题意得： ， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为1125， 答：当每件售价定为55元时，每天的销售利润最大，最大利润为1125元． 13．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)某公司生产的商品的市场建议零售价为每件元，公司的实际销售价格可以浮动个百分点（即销售价格），经过市场调研发现，这种商品的日销售量（件）与实际销售价格浮动的百分点之间的函数关系为．若该公司按浮动个百分点的价格出售，每件商品仍可获利． (1)求该商品每件的成本为多少元？ (2)当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为元？ （说明：日销售利润（实际销售价格成本）日销售量） (3)当实际销售价格定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)元 (2)元或元 (3)销售价格定为元时，日销售利润最大，为元 【来源】湖北省咸宁市咸安区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】（1）设该公司生产销售每件商品的成本为元，根据该公司按浮动个百分点的价格出售，每件商品仍可获利列出方程，求出方程的解得到的值，即为每件商品的成本； （2）根据日销售利润（实际销售价格成本）日销售量，由日销售利润为元列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果； （3）设日销售利润为元，列式求出与的二次函数关系求解即可． 此题考查了一元二次方程的应用，二次函数求最值以及一次函数的应用，弄清题意是解本题的关键． 【详解】（1）解：该公司生产销售每件商品的成本为元 依题意： 解得： 即：每件商品的成本为元． （2）解：依题意： 整理得： 解得：或 当时，， 当时， 答：当实际销售价格定为元或元时，日销售利润为元． （3）解：设日销售利润为元 当时，最大，最大值为，此时 即当实际销售价格定为元时，日销售利润最大，为元． 14．(24-25九上·湖北十堰·期末)诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【来源】湖北省十堰市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人； 15．(24-25九上·湖北咸宁咸安区·期末)（1）某学校组织一次篮球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都比赛一场，计划安排28场比赛，求共有几支球队参加比赛？ （2）如图，线段上共有7个点（包括端点），则图中共有________________条线段； （3）若一个边形共有20条对角线，则_______________． 【答案】（1）8支；（2）21；（3）8 【来源】湖北省咸宁市咸安区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，线段的计数方法，边形对角线公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用比赛的总场数参赛队伍数（参赛队伍数），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可解题． （2）根据线段的计数方法无遗漏的数出所有线段，即可解题； （3）根据边形对角线公式为，列式计算，即可解题． 【详解】解：（1）设共有支球队参加比赛， 根据题意有， 解得或（不合题意，舍去）， （2）因为线段上共有7个点（包括端点）， 所以图中所有线段个数为：（条）， 故答案为：； （3）因为一个边形共有20条对角线， 所以， 解得或（不合题意，舍去）， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $