专题07 二次函数与一元二次方程综合的两种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学北师大版九年级下册

专题07 二次函数与一元二次方程综合的两种考法 类型一、二次函数中定值问题 1．如图1，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点． (1)直接写出点，两点的坐标； (2)若点是对称轴上一点，当为锐角时，设点的纵坐标为，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，点为线段上一动点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，，当为定值时，判断点是否为定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由． 2．如图，已知抛物线与轴交于点，（为坐标原点），抛物线与关于轴对称，点是抛物线在第三象限内的一点，连接并延长，交抛物线于点． (1)点的坐标为_____，抛物线的解析式为_____， (2)设点的横坐标为，点的横坐标为，若，求的值． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，与交于点，连接并延长交于点，点的横坐标为，试判断是否为定值．若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 3．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，直线，且与抛物线交于M，N两点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)设点M，N的横坐标分别为，试判断的值是否会改变？若不变，求出该值；若改变，请说明理由； (3)若直线在直线上方运动，交点在点的左侧．作直线与交于点，如图2所示．在直线运动的过程中，试说明：点的横坐标是一个定值． 4．如图1，抛物线与轴相交于点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)请直接写出点、、的坐标； (2)如图1，过定点的直线与此抛物线交于两点，连接，当时，求直线的解析式； (3)如图2，若点、是此抛物线上的两个动点，且，连接，以、分别为切点作此抛物线的切线，两切线交于点，过点作轴交于点，求证：线段的长度为定值． 5．如图①，已知抛物线与轴交于点、点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线．点是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点． (1)点坐标为_____； (2)设点的横坐标为，点的横坐标为，若，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点，过点作直线，分别交抛物线和于点、（、均不与点重合），设点的横坐标为，点的横坐标为，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 6．如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点． (1)求点，，的坐标； (2)如图1，点，是两动点，分别连接，，请求出的最大值，并求的值； (3)如图2，的角平分线交轴于点，过点的直线与射线，分别于，，当直线绕点旋转时，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 类型二、二次函数中的定点问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为2的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标； (3)一次函数：（）图象交二次函数于，两点，抛物线上是否存在定点，连接，，当点与点，不重合时，总有，若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，二次函数顶点为P，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交与点C． (1)求； (2)点E、点F分别在x轴上，且（不重合），连接，直线交抛物线与Q、R两点，直线是否经过一个定点，有请证明． 3．如图1，抛物线交轴于两点（点在点的左边），交轴于点． (1)直接写出点的坐标． (2)如图1，点为抛物线上一点，直线和直线交于点，若，求点坐标． (3)如图2，点和分别是抛物线上两点，且点在点的左侧，点在点的右侧，直线和交于点，直线和交于点，连接，若点横坐标为，求证：的中点是定点，且在此抛物线上． 4．如图，直线与抛物线：交于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线． (1)若点A的横坐标为，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，如图1，抛物线上两点D、E，其中点D与点B纵坐标相等，点E在直线下方抛物线上运动；连接交直线于点F．求的最大值，及此时的点E坐标； (3)将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点H，直线分别交抛物线于另一点M，N．则直线是否恒过一个定点？若是求出该点坐标，若不是请说明理由． 5．已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．    (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图2，、是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 6．拋物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且与y轴交于点C． (1)如图①，求点A，B，C的坐标； (2)点D是抛物线上x轴下方一点，点E位于第一象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8，求点E的横坐标； (3)如图②，直线与抛物线交于M，N两点，点P坐标为，连接，分别与抛物线交于E，F两点，连接，求证：直线过定点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次函数与一元二次方程综合的两种考法 类型一、二次函数中定值问题 1．如图1，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点． (1)直接写出点，两点的坐标； (2)若点是对称轴上一点，当为锐角时，设点的纵坐标为，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，点为线段上一动点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，，当为定值时，判断点是否为定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)为定点 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、勾股定理、根和系数的关系等，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键； （1）令，解方程，即可求解； （2）先求得点的坐标，进而求得当为直角时，点的坐标，结合图形，即可求解； （3）设点的坐标分别为：，求出直线的解析式，和直线的解析式，直线的解析式，从而表示出，，根据即可得出，即可求解． 【详解】（1）解：当时， 解得： ∵在的左侧， ∴，， （2）解：∵ ∴抛物线对称轴为直线， ∴， 抛物线，与轴交于点． 当时，， ∴， 又， ∴，， 当时， ∴ 解得：或 ∴当为锐角时，或； （3）是定点，理由如下： 由题意，的坐标为， 设点的坐标分别为： (点在点左侧)， ∴把的坐标代入中得， 解得： 直线的解析式为：， 同理：直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ∴， 则， 同理可得，， ∴， ∴， 即， ∴直线的解析式为：与无关， ∴， 即为定点． 2．如图，已知抛物线与轴交于点，（为坐标原点），抛物线与关于轴对称，点是抛物线在第三象限内的一点，连接并延长，交抛物线于点． (1)点的坐标为_____，抛物线的解析式为_____， (2)设点的横坐标为，点的横坐标为，若，求的值． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，与交于点，连接并延长交于点，点的横坐标为，试判断是否为定值．若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)是，定值为6 【分析】（1）把代入求出点A的坐标即可，根据关于y轴对称的特征写出抛物线的解析式即可； （2）将代入，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式得，求出，再代入求值即可； （3）先根据平移得出的解析式为，联立，的解析式得，求出点的坐标为，设点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为①，联立①式和的解析式得，得出，根据 ， 求出结果即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：或， ∴点A的坐标为， ∵抛物线与关于轴对称， ∴抛物线的解析式为． （2）解：将代入，得， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将点的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为， 联立直线和抛物线的解析式得， 解得（舍），， 即， ． （3）解：是定值． ∵抛物线的解析式为， 又∵将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线， ∴的解析式为， 联立，的解析式得， 解得：， 把代入得：， 则点的坐标为， 设点的坐标为， 设直线的解析式为，代入，得： ， 解得： ∴直线的解析式为①， 联立①式和的解析式得 整理得， ∴， ∵， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和平移特点． 3．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，直线，且与抛物线交于M，N两点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)设点M，N的横坐标分别为，试判断的值是否会改变？若不变，求出该值；若改变，请说明理由； (3)若直线在直线上方运动，交点在点的左侧．作直线与交于点，如图2所示．在直线运动的过程中，试说明：点的横坐标是一个定值． 【答案】(1)， (2)不变， (3)证明见解析 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，进而求出点坐标，待定系数法求出直线的解析式； （2）根据两直线平行值相等，设出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，得到一元二次方程，根据根与系数的关系即可得出结果； （3）设出的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点的横坐标，进而得到两条直线的值的数量关系，联立两条直线的解析式求出点的横坐标，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，点， ∴； 解得：， ∴抛物线为； 当时，则：， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴； （2）解：不会改变：理由如下： ∵直线， ∴设直线的解析式为：， ∵直线与抛物线交于，两点， ∴令， 整理，得：， 则：是方程的两个实数根， ∴，为定值； （3）解：设直线的解析式为：， 联立，则：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， 联立，则：， 解得：， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 联立，则：， ∵，不重合， ∴， 解得：， ∴，即：点的横坐标是一个定值． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，根与系数的关系等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 4．如图1，抛物线与轴相交于点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)请直接写出点、、的坐标； (2)如图1，过定点的直线与此抛物线交于两点，连接，当时，求直线的解析式； (3)如图2，若点、是此抛物线上的两个动点，且，连接，以、分别为切点作此抛物线的切线，两切线交于点，过点作轴交于点，求证：线段的长度为定值． 【答案】(1)，， (2)或 (3)1 【分析】（1）分别令和求解即可； （2）首先求出顶点，如图所示，设点，连接，然后求出，然后根据求出，得到，然后表示出直线表达式为，然后与抛物线联立，求出，，然后代入求解即可； （3）设待定系数法求得直线的解析式为：，联立抛物线解析式得出，根据根与系数的关系得出，进而求得，得出，代入得，进而求得的长为定值，即可求解． 【详解】（1）∵， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，； （2）∵， ∴顶点， ∵过定点的直线与此抛物线交于两点， ∴如图所示，设点，连接， ∴轴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 将代入得，， ∴， ∴， ∴将直线和抛物线联立得， ， 整理得，， ∴，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为或； （3）证明：设， ， 则， ∴， 待定系数法求得直线的解析式为：， 联立， 解得， ， 设解析式为， 联立得， ∵与抛物线相切线交于点， ∴与抛物线只有1个交点，此交点为， 则， ， ， 同理可得， 联立， 解得：， 又∵ ， ， 则， ∵轴， ， 将代入， 得， ， ∴线段的长度为定值． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，面积问题，一次函数与二次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，点的坐标，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．如图①，已知抛物线与轴交于点、点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线．点是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点． (1)点坐标为_____； (2)设点的横坐标为，点的横坐标为，若，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点，过点作直线，分别交抛物线和于点、（、均不与点重合），设点的横坐标为，点的横坐标为，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)是定值，为6 【分析】（1）把代入解析式即可求解； （2）求出点坐标，再求出直线的表达式，求出点坐标即可求解； （3）求出直线的表达式为：，联立上式和的表达式得：，进而求解． 【详解】（1）解：由题意得：； 当时， ，， 点坐标为， 故答案为： （2）解：把代入得，， 点 ∵点， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去），， 则； （3）解：联立、得：， 解得：， 则点，， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和的表达式得：， 整理得：， 则，即， 即， 即为定值． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 6．如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点． (1)求点，，的坐标； (2)如图1，点，是两动点，分别连接，，请求出的最大值，并求出的值； (3)如图2，的角平分线交轴于点，过点的直线与射线，分别于，，当直线绕点旋转时，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)为定值 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． （1）当时，求得的值，从而得出点坐标，令，求得的值，进而求得、两点坐标； （2）将点向上平移个单位至，作点关于直线的对称点，作直线交直线于点，则最大值是：的长，进一步求得结果； （3）根据题意过点作轴，交于点，过点作，交射线于点，过点作，交射线于点，根据相似三角形的性质求出，进而即可进行分析解答． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时， 解得： （2）如图1， 将点向上平移个单位至，作点关于直线的对称点，则 ∴ 作直线交直线于点，，则最大值是：的长， 的最大值为， 直线的解析式为：， 当时，， ； （3）为定值，理由如下： 过点作轴，交于点，过点作，交射线于点，过点作，交射线于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得 由（1）得，，， ， ， ， ∴为定值． 类型二、二次函数中的定点问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为2的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标； (3)一次函数：（）图象交二次函数于，两点，抛物线上是否存在定点，连接，，当点与点，不重合时，总有，若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）根据题意得到，，由三角形面积得到，，再利用待定系数法即可求解； （2）连接交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，利用平行四边形的性质得到，，设，利用中点坐标公式可得，代入点到，求出的值得到点的坐标，设，利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案； （3）过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为，设，，联立一次函数和抛物线的解析式，整理得，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，进而表示出，，再通过证明，推出，设，根据图形的坐标列出等式，结合点是定点，求出的值，得出点的坐标，再检验是否符合题意即可解答． 【详解】（1）解：抛物线：（）， 当时，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，连接交于点， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：，， 当时，， 设，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴； 当时，， 设，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴； ∴综上所述，点的横坐标为或． （3）解：如图，过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为， 设，， 联立， 消去整理得：， ∴，， ∴， ， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵点是定点， ∴，，， 解得：，， 经检验，在抛物线上，符合题意； ∴抛物线上存在定点，点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求解析式、平行四边形的性质、一元二次方程根与系数的关系、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，运用数形结合的思想解决问题是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的辅助线构造能力，同时涉及的运算量较大，适合有能力解决压轴题的学生． 2．在平面直角坐标系中，二次函数顶点为P，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交与点C． (1)求； (2)点E、点F分别在x轴上，且（不重合），连接，直线交抛物线与Q、R两点，直线是否经过一个定点，有请证明． 【答案】(1) (2)直线过定点，证明见解析 【分析】（1）对于二次函数，分别令，，求出，，，从而得到，，，，．过点A作于点G，根据的面积求出，从而在中，根据正弦的定义即可求解； （2）由二次函数可得顶点P的坐标为．将抛物线及各点向左平移1个单位长度，向上平移4个单位长度．可得平移后对应的二次函数为，顶点为原点，直线的解析式为，，设，，由，得到，设直线的解析式为，点，点，由方程组得，因此，．求出直线的解析式为，直线的解析式为，因此，，又，，即可得到，得到，因此直线的解析式为，即直线过定点，再由平移即可得到原直线过定点． 【详解】（1）解：连接 对于二次函数， 令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， ∴，，， ． 过点A作于点G， ∴，即， ∴， ∴在中，． （2）解：直线过定点．证明如下： ∵二次函数， ∴顶点P的坐标为， 将抛物线及各点向左平移1个单位长度，向上平移4个单位长度，如图所示， ∴平移后的二次函数为，顶点为原点，直线的解析式为，，， 设，， ∴，即， 设直线的解析式为，点，点， 由方程组得， ∵点，点是直线与抛物线的交点， ∴，是方程的解， ∴，， 由点可得直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴，即， 由点可得直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴，即， ∵点，点在抛物线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴当时，， 即直线过定点， ∵点向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度，得到点， ∴原直线过定点． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象与坐标轴的交点，锐角三角函数值，图象的平移，一元二次方程根与系数的关系，分式的运算等，掌握图象的平移变化是解题的关键． 3．如图1，抛物线交轴于两点（点在点的左边），交轴于点． (1)直接写出点的坐标． (2)如图1，点为抛物线上一点，直线和直线交于点，若，求点坐标． (3)如图2，点和分别是抛物线上两点，且点在点的左侧，点在点的右侧，直线和交于点，直线和交于点，连接，若点横坐标为，求证：的中点是定点，且在此抛物线上． 【答案】(1)，， (2)或 (3)见解析 【分析】（1）把和分别代入抛物线的解析式求出点的坐标即可； （2）分两种情况：当D点在第一象限时，当D点在第三象限时，分别画出图形，求出结果即可； （3）设直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，设直线的解析式为，求出P点坐标为，Q点坐标为，根据M是的中点，得出M点横坐标是，求出．得出点M为定点，代入抛物线验证即可． 【详解】（1）解：把代入得， 解得：，， ∴，； 把代入得， ∴； （2）解：当D点在第一象限时，将绕着A点顺时针旋转，得到， ∴为等腰直角三角形． ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵，， ∴． ∴，． ∴，设直线的解析式为， 代入H点坐标，得到：， 解得：， ∵BG//HC， ∴设直线的解析式为． 代入，可得：， 解得． ∴直线的解析式为， 联立抛物线，可得：， 解得：（舍）． ∴D点坐标为． 过点B作，交于点，交抛物线于点，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴此时点也符合题意， 过点D作轴于点E， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：，， 把代入得， ∴点坐标为； 综上分析可知点D的坐标为或． （3）解：设直线的解析式为，直线的解析式为， 联立抛物线，可得：， 解得：， 同理：． 设直线的解析式为，设直线的解析式为， 联立抛物线，可得：， 解得：． 同理：． 因此，，． 整理得：，， 联立直线和，可得：， 解得：． ∵． ∴， 代入，， ∴， ∴． 同理，联立直线和，可得：， ∴， ∵，， ∴P点坐标为，Q点坐标为． ∵M是的中点，根据中点坐标公式可得： M点横坐标是， M点纵坐标是． ∵， ∴． 即：点M为定点， 且满足， ∴点M在抛物线上． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，求抛物线与x轴，y轴的交点坐标，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线的判定和性质，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 4．如图，直线与抛物线：交于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线． (1)若点A的横坐标为，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，如图1，抛物线上两点D、E，其中点D与点B纵坐标相等，点E在直线下方抛物线上运动；连接交直线于点F．求的最大值，及此时的点E坐标； (3)将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点H，直线分别交抛物线于另一点M，N．则直线是否恒过一个定点？若是求出该点坐标，若不是请说明理由． 【答案】(1)或 (2)； (3)是； 【分析】本题考查待定系数法，二次函数与相似三角形的综合问题，根与系数的关系等知识，运用数形结合思想和函数交点与方程（组）的关系是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）作轴，作轴，联立方程组可求出点的坐标，继而求出点H的坐标，点 ，证明，得到，即，再根据二次函数的最值求解即可； （3）根据题意得出的解析式为，令，利用根与系数的关系得出得出，，设直线的解析式为，令，同理得出，设直线的解析式为，令，再同理得出，继而得到，设直线的解析式为，令，得到，得到，从而得到直线的解析式为，从而求出定点． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，设顶点坐标为：， ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得， ∴， 把A的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为；    或 ； （2）解：作轴，作轴，分别交直线与点H、G 由题意得，， 解得或， ∴， ∵点D与点B纵坐标相等， ∴点D与点B关于直线对称， ∴   ∵点H在直线上，横坐标是， ∴  则    设点 ) 则点G(t， t) ∴ ∵轴，作轴 ∴ ， ， ∴ ∴ ， 即    ∴ 当 时，有最大值， 此时，点； （3）证明：∵将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， 令， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， 令， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当，即时，， ∴直线经过定点． 5．已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．    (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图2，、是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 【答案】(1)点，点，点 (2)证明见解析， 【分析】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象的性质等知识，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）令和，解方程可求解； （2）设点，，直线，直线，直线，将点、的坐标代入可得：，，联立直线与抛物线的解析式可得出，，同理：，，进而可得：，，根据直线与直线的交点始终在直线上，可得，，即直线，故直线恒过定点． 【详解】（1）解：对于，令，则， ，， 点，点， 令，则， 点； （2）证明：如图2，设点，，，， 直线，直线，直线，    将点代入直线的解析式得：， 将点代入直线的解析式得：， 联立直线与抛物线的解析式得：， 整理得：， 则，， 同理：，， ，， ，， ， ， 联立直线与直线的解析式得：， 解得：， 直线与直线的交点始终在直线上， ， 化简得：， ， 直线， 不论为何值，均有时，， 即：直线恒过定点． 6．拋物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且与y轴交于点C． (1)如图①，求点A，B，C的坐标； (2)点D是抛物线上x轴下方一点，点E位于第一象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8，求点E的横坐标； (3)如图②，直线与抛物线交于M，N两点，点P坐标为，连接，分别与抛物线交于E，F两点，连接，求证：直线过定点． 【答案】(1)，， (2)或2 (3)见解析 【分析】本题考查了抛物线与面积、特殊四边形的综合问题，涉及二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，以及定值定点问题． （1）根据抛物线的解析式求得时x的值，和时y的值，即可得点A、B、C的坐标； （2）求得的表达式为，设，过D点作轴，交于F点，则，由可求得m的值，即D点的横坐标，根据，即可求得E点的横坐标； （3）设，然后求出直线的表达式为，直线的表达式为，直线的表达式为，直线的表达式为，可得直线经过定点，则得到，而直线过点，代入得到，同理，将，代入，得到，最后把代入直线，整理得：，则当时，，此时，即可确定过定点． 【详解】（1）解：由得， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴； （2）解： 设的表达式为， 则，解得， ∴的表达式为， 过D点作轴，交于F点， 设， 则， ∴， ∵由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当时， 解得（舍去），， 当时， 解得， ①当时，D点在第三象限，如图： ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 解得； ②当时，D点在第四象限，如图： ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 解得， 综上，点E的横坐标为或2； （3）证明：设， 设直线的表达式为 ∴， 解得， ∴直线的表达式为， 同理可求直线的表达式为， 直线的表达式为， 直线的表达式为， ∵直线， ∴直线经过定点， 将点代入直线：， 则， ∴， ∵直线过点， ∴， ， ∴ 同理：， ∴， 将，代入，则， 化简得：， 把代入直线， 整理得：， ∴当时，，此时， ∴直线经过定点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $