专题07 相似三角形之K字模型综合（压轴题专项训练，四川成都专用）数学北师大版九年级上册

专题07 相似三角形之K字模型综合 1．如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝ ． 3．如图，在中，点，，分别在，，边上，，． （1）求证：； （2）设，若，求线段的长． 4．如图1，正方形和正方形，连接 (1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间的数量关系是___________；位置关系是___________； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)[应用]：在（2）情况下，连结（点E在上方），若，且，，求线段的长． 5．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 6．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 7．矩形中，，分别以 所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当点F运动到边的中点时，点E的坐标为　 ． (2)连接，求的正切值； (3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求的长度． 8．如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 9．（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 10．问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，过点E作交于点G．若，则的面积为_________． 问题探究 （2）如图2，在矩形中，，点P是边上一动点，点Q是的中点将．沿着折叠，点A的对应点是，将沿着折叠，点D的对应点是．请问是否存在这样的点P，使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 问题解决 （3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形中，，点D到的距离为，且．若过点D作，过点A作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点C作于点F，连接．设的长为，四边形的面积为． ①根据题意求出y与x之间的函数关系式； ②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用． 11．在中，，，． （1）如图1，折叠使点落在边上的点D处，折痕交、分别于、，若，则＿＿＿． （2）如图2，折叠使点落在边上的点处，折痕交、分别于、．若，求证：四边形是菱形． （3）如图3，在（1）（2）的条件下，线段上是否存在点，使得和相似？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 12．如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值； (2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当是等腰三角形时，请求出的值． 13．【推理】 如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G． （1）求证：． 【运用】 （2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长． 【拓展】 （3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 14．如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 15．（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． 16．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，将反比例函数 的图象沿直线向下翻折，翻折后的图象与轴交于点，点在该反比例函数图象上，以为边在上方作正方形，点恰好落在轴上，已知点的纵坐标为2， (1)求的值． (2)设边与反比例函数 的图象的交点为，求点的坐标． 18．在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片，点E在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点A的对应点记为点F．    (1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形的边上，直接写出一个与相似的三角形； (2)深入探究：如图2，若点F落在矩形的边的下方时，、分别交于点M、N，过点F作，，垂足分别为点G、H，当点G是的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论； (3)问题解决：在（2）的条件下，若，，求的长． 19．如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接． (1)求证：； (2)当时，的面积为 ； (3)当为等腰直角三角形时，求线段的长； (4)作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似三角形之K字模型综合 1．如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折的性质等知识点，作，可推出四边形、四边形、四边形均是矩形；由翻折可知：，得到；推出，得，求出；证得，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： 则四边形、四边形、四边形均是矩形， ∴，， 由翻折可知：， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C 2．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝ ． 【答案】3． 【分析】过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长． 【详解】如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，AB＝CD＝2， 又∵∠BEF＝90°， ∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC， ∴∠FEG＝∠EBC， 又∵∠C＝∠G＝90°， ∴△BCE∽△EGF， ∴＝＝，即＝＝， ∴FG＝EC，GE＝2＝CD， ∴DG＝EC， 设EC＝x，则DG＝x，FG＝x， ∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2， ∴（x）2+x2＝（）2， 解得x2＝9， 即CE2＝9， ∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形． 3．如图，在中，点，，分别在，，边上，，． （1）求证：； （2）设，若，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）4． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后根据线段的和差即可得． 【详解】（1）， ， 在和中，， ； （2）， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 4．如图1，正方形和正方形，连接 (1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间的数量关系是___________；位置关系是___________； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)[应用]：在（2）情况下，连结（点E在上方），若，且，，求线段的长． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 (3)4 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形和矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）证明，则；延长交于Q，交于H，由三角形全等可知，证明，即可得到结论； （2）证明，则，，则，再证明，即可得到； （3）与的交点记作M，先证明点B，E，F在同一条直线上，则，根据勾股定理得，；由得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 如图，延长交于Q，交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）如图，延长交于I，交于H， ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 即：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，与的交点记作M， ∵， ∴， 在中，， ∴， 根据勾股定理得， ， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴点B，E，F在同一条直线上，如图4， ∴， 在中，根据勾股定理得，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 5．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 拓展：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE， ∴∠ACP=∠BPE， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP， ∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B， ∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE， 则PB=AC=8， ∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP， ∵∠B=∠CPE， ∴∠ECP=∠B， ∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE， ∴， 即， 解得：， ∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 6．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）结论仍成立； 理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 7．矩形中，，分别以 所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当点F运动到边的中点时，点E的坐标为　 ． (2)连接，求的正切值； (3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先确定出点A，B坐标，进而求出点C坐标，再用点F是中点，求出点F坐标，利用待定系数法求出k，最后将点E的纵坐标为3代入反比例函数解析式中即可求出点E坐标； （2）设出点，代入反比例函数中得出，进而用m表示出，即可得出结论． （3）如图所示，过点E作于H，证明，得到，则． 【详解】（1）解：， ， 四边形是矩形， ， ， 点F是的中点， ∴ 点F在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点E在反比例函数的图象上，且纵坐标为3， 点E的横坐标为， （2）解：如图，设点， ∴， 点E，F在反比例函数的图象上， ， ， ， 在中，； （3）解：如图所示，过点E作于H， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∵， ∴，∴， ∴，∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，求角正切值，折叠的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 8．如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论； （2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ； （2）解：，， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ①当时， ， ， ， ， ， 点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上， 此情况不符合题意． ②当时，如图，   ， 由（1）可知：，， ∴， ， ； ③当时，，    ∵ 是等腰三角形，，即， ． 综上，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键． 9．（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 10．问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，过点E作交于点G．若，则的面积为_________． 问题探究 （2）如图2，在矩形中，，点P是边上一动点，点Q是的中点将．沿着折叠，点A的对应点是，将沿着折叠，点D的对应点是．请问是否存在这样的点P，使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 问题解决 （3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形中，，点D到的距离为，且．若过点D作，过点A作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点C作于点F，连接．设的长为，四边形的面积为． ①根据题意求出y与x之间的函数关系式； ②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用． 【答案】（1）；（2）存在，或；（3）①；②963.3元． 【分析】（1）先由矩形的性质得，再由三角形面积公式求解即可； （2）由折叠的性质得：，再证，然后根据相似三角形的性质列比例式求解； （3）①先证得，然后根据相似三角形的性质求得，然后根据面积公式列式求解； ②根据二次函数性质求最值 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∵点E为的中点， ∴ 故答案为：； （2）存在，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴． ∵Q是的中点，∴． 由折叠的性质得：， 当点P、、三点在同一条直线上时，， ∴． ∵， ∴． ∵∵， ∴， ∴，即， 解得：或； （3）①根据题意做出辅助线，如图所示． 由题意得：． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 由，则． ∵， ∴， ∴， ∴ ； ②由①知，， 当时，四边形的面积取得最小值为， ∴最低造价为（元）， ∴四边形金属部件每个的造价最低费用约为963.3元． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质、梯形面积公式、三角形面积公式以及二次函数的应用等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 11．在中，，，． （1）如图1，折叠使点落在边上的点D处，折痕交、分别于、，若，则＿＿＿． （2）如图2，折叠使点落在边上的点处，折痕交、分别于、．若，求证：四边形是菱形． （3）如图3，在（1）（2）的条件下，线段上是否存在点，使得和相似？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，满足条件的值为或8或． 【分析】（1）利用勾股定理求出AC，设HQ＝x，根据SΔABC=9SΔDHQ，构建方程即可解决问题； （2）由翻折的性质可得AE=EM，AF=FM，然后证明出AE=AF即可； （3）设AE＝EM＝FM＝AF＝4m，则BM＝3m，FB＝5m，构建方程求出m的值，然后根据QH=4，AQ=，求出QC=，设PQ=x，分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）如图， 在中， ∵，，， ∴ 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴ 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴． （2）如图 由翻折的性质可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴AE=AF， ∴， ∴四边形是菱形； （3）如图，连接MP、HP， 设． 则，， ∴，解得 ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ 设， ①当时， ∴， 解得： ∴， ②当时，， 解得：或． ∴或． 综上所述，满足条件的值为或8或． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了翻折变换、三角形的面积、菱形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 12．如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值； (2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当是等腰三角形时，请求出的值． 【答案】(1)4， (2)是， (3)或4 【分析】（1）作于交于．由，推出，只要求出、即可解决问题； （2）结论：的值为定值．证明方法类似（1）； （3）连接交于，在中，，代入数据求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：作于交于． 四边形是矩形， ，，， ． 在中，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为4，． （2）结论：的值为定值． 理由：由，可得．，，， ， ； （3）连接交于． ，所以只能， ， ， ， ， 垂直平分线段， 在中，， ， ， ， ． 综上所述，的值为． 【点睛】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大． 13．【推理】 如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G． （1）求证：． 【运用】 （2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长． 【拓展】 （3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）根据ASA证明； （2）由（1）得，由折叠得，进一步证明，由勾股定理得，代入相关数据求解即可； （3）如图，连结HE，分点H在D点左边和点在点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE的长，再由勾股定理得，代入相关数据求解即可． 【详解】（1）如图，由折叠得到， ， ． 又四边形ABCD是正方形， ， ， ， 又 正方形 ， ． （2）如图，连接， 由（1）得， ， 由折叠得，， ． 四边形是正方形， ， ， 又， ， ． ，， ，． ， ， （舍去）． （3）如图，连结HE， 由已知可设，，可令， ①当点H在D点左边时，如图， 同（2）可得，， ， 由折叠得， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． ， ， ， （舍去）． ②当点在点右边时，如图， 同理得，， 同理可得， 可得，， ， ， （舍去）． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 14．如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段之间数量关系：，理由见解析． 【分析】此题主要考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握，本题符合“一线三等角”模型． （1）先根据同角的余角相等可得，利用两角相等证明三角形相似即可； （2）先根据勾股定理得出，再根据，列比例式可得结论； （3）先根据，证明，可得，证明，则，同理可得：，相加可得结论． 【详解】（1）证明：，， ，， ，， ， ， ． （2）解：中， ，， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． （3）解：线段之间数量关系：， 理由是：如图，过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 15．（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． 【答案】（1），（2）； 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据一线三垂直模型容易证明，进而由相似三角形性质即可求解； （2）过点作垂足为H，根据（1）可知，根据相似三角形性质结合已知求出，，，，再由四边形的面积=矩形的面积即可求解； 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为， （2）如图，过点作垂足为H， 同理（1）得：， ∴， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即：， ∴，解得：， ∴，，， ∵四边形的面积=矩形的面积， ∴四边形的面积=． 16．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3)时，时，时， 【分析】（1）根据，求出与交点的坐标，即可求解； （2）先求出直线的表达式为，再联立直线与直线求出，再求出点，利用坐标系中两点距离公式求出，结合即可求解； （3）证明，得到或，分四种情况画图求解． 【详解】（1）证明：由知，， 则， 则点、的坐标分别为：， 当时，，则， 即点， ； （2）解：， 理由： 设直线的表达式为：， 将代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和得， 解得． 即点， 同理（1）可得，点， ， ， ； （3）解：分别过点作轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， 设点，由（2）知，点、的坐标分别为：、， ①若，如图2，则， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ∴时，， ②若，如图3， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：． 时，； ③若，当时， 如图4，， AI， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ； ④的情况不存在， 综上，时，时，时，． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等知识点，分类求解是解题的关键． 17．如图，将反比例函数 的图象沿直线向下翻折，翻折后的图象与轴交于点，点在该反比例函数图象上，以为边在上方作正方形，点恰好落在轴上，已知点的纵坐标为2， (1)求的值． (2)设边与反比例函数 的图象的交点为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过设交点坐标表示出线段的长度，再利用勾股定理求出点的坐标，将点的坐标代入函数解析式即可求出的值； （2）过点作轴于点，则点的横坐标是线段的长度，纵坐标是线段的长度，利用可以求出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则． 又 ， ． 设，则点关于直线对称的点的坐标为，点的坐标为， 又点 关于直线 对称的点和点 都在反比例函数上， ，解得， ． （2）由（1）知， 在正方形中，， 又 （点拨：也可通过证，求的值）．                                   如图，过点作轴于点，则． ， ， ． 又， （提示：“一线三直角”相似模型）， ， 设，则，， （点拨：根据的几何意义建立方程）， 解得 ，（舍去）， 点的坐标为 【点睛】本题是一道反比例函数与几何综合题，主要考查了求反比例函数的解析式、勾股定理、正方形的性质和用相似三角形求点的坐标等，熟练掌握勾股定理、三角形相似求点的坐标是解题的关键． 18．在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片，点E在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点A的对应点记为点F．    (1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形的边上，直接写出一个与相似的三角形； (2)深入探究：如图2，若点F落在矩形的边的下方时，、分别交于点M、N，过点F作，，垂足分别为点G、H，当点G是的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论； (3)问题解决：在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)； (2)相似，证明见解析； (3)或． 【分析】（1）四边形是矩形，，，由折叠的性质可知，，，，； （2）分别延长、交于点P，四边形是矩形，，，，四边形、四边形、四边形都是矩形，，，由折叠的性质可知，，，，，，，，点G是的中点，，，，，； （3）由（2）可知，，，由折叠的性质可知，，，，，分情况讨论，①当点E在上时，，，，②当点E在的延长线上时，，，． 【详解】（1）解：与相似 证明：∵四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ； （2）解：， 理由：如图，分别延长、交于点P，    ∵四边形是矩形， ， ， ， ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ，，点G是的中点， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）可知，， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ①当点E在上时，如图，    ， ， ， ②当点E在的延长线上时，如图，    ， ， ． 综上所述，的长为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，相似的性质和判定，三角函数等知识点，属于压轴题，难度较大，熟练掌握相关性质定理和分类讨论思想是解题的关键． 19．如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接． (1)求证：； (2)当时，的面积为 ； (3)当为等腰直角三角形时，求线段的长； (4)作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3) (4) 【分析】（1）由同角的余角相等可以证明，再根据有两个角分别对应相等的两个三角形相似得出， （2）先求出，，再由，可得，列比例方程求出，由此即可求出的面积， （3）当为等腰直角三角形时，即，由得出，设，则，，，在中，列方程即可求解， （4）解：延长、交于点，延长、交于点，、是关于对称，由此得出点在上，进而可得，再利用当时，四边形是矩形，得出，由此可知，设，，利用列比例式即可求出，于是可得． 【详解】（1）证明：∵，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴的面积． （3）解：当为等腰直角三角形时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴ ∵在中，， ∴， 解得：，（不合题意舍去）， 即． （4）解：延长、交于点，延长、交于点， ∵线段的垂直平分线， ∴、是关于对称， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴点、相互重合， ∴、是关于对称， ∵作点关于的对称点， ∴点在上，如图所示， ∴， 当时，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设，， 则， ∴，， 由（3）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判断和性质，三角函数，熟练掌握三角形相似的判定定理．难点是问题（4）证明点关于的对称点在上，进而得出． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $