专题09 圆最值问题之隐圆模型专项训练（压轴题专项训练，四川成都专用）数学北师大版九年级下册

专题09 圆最值问题之隐圆模型专项训练 模型一、动点定长模型 若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 模型二、直角圆周角模型 固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径 模型三、四点共圆模型 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆 专项训练 一、单选题 1．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】结合题意推导得，取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得，通过线段和差计算即可得到答案． 【详解】， ， ， ， ， 取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP， 点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P， 当点O、点P、点C三点共线时，PC最小 在中， ，，， ， 最小值为 故选：D． 【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解． 2．如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案． 【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆 ∵四边形为矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上 连接OB交圆O与点N ∵点B为圆O外一点 ∴当直线BM过圆心O时，BM最短 ∵， ∴ ∴ ∵ 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识． 3．如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，即可得点E在以为直径的半圆上移动，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，根据对称性有：，则有：，则线段的长即为的长度最小值，问题随之得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O， 作正方形关于直线对称的正方形， 则点D的对应点是F， 连接交于P，交半圆O于E， 根据对称性有：， 则有：， 则线段的长即为的长度最小值，E ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故的长度最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是解题的关键． 4．如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（   ） A． B．        B．       D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动．由此可找出临界点，当点落在上时，最短，当点落在边上时，最长．根据轴对称的性质分别求解，可得出的取值，进而得最大值． 【详解】解：根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动， 如图所示： 当点正好落在边上时， ， 是等边三角形， ， 最短， 此时； 当点落在边上时，最长， 过点作于点，分别过点作的垂线，交的延长线于点． 四边形是矩形， 在菱形中，，， 点在边上，且， ，，，， ， ， ，，， 在中，，， ， ， ， 设，则，， 在中， 由勾股定理可知，， 即，解得， ， 故答案为：A． 【点睛】本题在折叠的背景下考查菱形的性质，矩形的性质，含角的直角三角形，勾股定理等知识，得出点N的运动轨迹并找到临界点是解题关键． 5．如图，的半径为4，弦的长为，点P为优弧上一动点，交直线于点C，则的面积的最大值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，选取圆心，连接，，过点O作于点D．证明，判断出点C在以为圆心，为半径的圆上运动可得结论． 【详解】解：如图，选取圆心，连接，，过点O作于点D．    ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C在以为圆心，为半径的圆上运动， 当点在的垂直平分线上时，的面积最大， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴面积的最大值． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是判断出点C的运动轨迹． 6．如图，是半径为3半圆O的直径．是圆中可移动的弦，且，连接相交于点P，弦从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转，则交点P运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先导角得到，作的外接圆，记为，连接，那么点P的轨迹为劣弧，即路径长劣弧的长度，则，连接，解直角三角形得到，路径长为． 【详解】解：连接， 由题意得，， ∴为等边三角形， ∴， 当弦从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转时， 即， ∴此时点D与点B，P重合， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 作的外接圆，记为，连接， ∴点P的轨迹为劣弧，即路径长劣弧的长度， ∴， 连接，∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴路径长为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，解直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题的关键在确定点P的运动轨迹． 二、填空题 7．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点在△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为 ． 【答案】 【分析】首先根据运动特点分析出点的运动轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上，然后分点恰好落在边上和点恰好落在边上两种情况讨论，分别利用勾股定理以及等腰三角形的性质和判定进行求解和证明即可得出两种临界情况下的长度，从而得出结论． 【详解】解：∵点B与关于DE对称， ∴，则点的运动轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上， ①如图所示，当点恰好落在边上时，此时，连接和， 由题意及“三线合一”知，，， ∴在中，， 此时，根据对称的性质，， ∴由等面积法，， ∴， 在中，； ②如图所示，当点恰好落在边上时，连接、、和， 由题意，， ∴，， ∴， 即：， ∴， 即：， ∵点B与关于DE对称， ∴，， ∴， ∴，， 由对称的性质，， ∴， ∴， ∴， 即：此时点为的中点， ∴此时，， 综上，长的范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能够根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当的三角形进行求解是解题关键． 8．如图，在中，，，将边长为1的正方形绕点B旋转一周，连结，点M为的中点，连结，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理等知识，延长到，使，连接，根据三角形的三边关系确定的取值范围，再根据是的中位线得出，得出的取值范围即可，根据三角形三边关系得出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：延长到，使，连接，如图： ∴点为为的中点， 在中，， ， ∵正方形的边长为， ∴，， ∴， 为等腰直角三角形， ， ，即， ， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ， ， ∴线段的最大值是， 故答案为：． 9．如图，在矩形中，是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了动点的轨迹问题，由题意可推出点在以E为圆心为半径的圆上运动，可得当D、、E共线时，的值最小，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴点在以E为圆心为半径的圆上运动，如图所示： 故：当D、、E共线时，的值最小， ∵， ∴， 故答案为：． 10．如图，已知正方形的边长为2，点P在射线上，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】在上取点E，连接，使，由，可得，当最小时，的值最小，作的外接圆，连接，易证为直径，再利用勾股定理及三角形三边关系可得答案． 【详解】解：如图，在上取点E，连接，使， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴最小时，的值最小． 作的外接圆，连接，如图，    ∵四边形为正方形， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴为直径， ∴则． 在中，， ∴，∴的最小值为， ∴的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考填空压轴题． 11．如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知：点C在半径为的⊙B上．在x轴上取OD=OA=6，连接CD，易证明OM是△ACD的中位线，即得出OM=CD，即当OM最大时，CD最大，由D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，根据勾股定理求出BD的长，从而可求出CD的长，最后即可求出OM的最大值． 【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在⊙B上，且半径为， 在x轴上取OD=OA=6，连接CD， ∵AM=CM，OD=OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM=CD， ∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB=OD=6，∠BOD=90°， ∴BD=， ∴CD=，且C(2,8), ∴OM=CD，即OM的最大值为， ∵M是AC的中点，则M（4,4）， 故答案为：（4,4）． 【点睛】本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识．确定OM为最大值时点C的位置是解题关键，也是难点． 12．如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值 ． 【答案】 【分析】由题意可知，，可得，可知点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧），设圆心为，连接，，，，，过点作，可知为等腰直角三角形，求得，，，，再由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，即可求得的最小值． 【详解】解：∵B、G关于对称， ∴，且 ∵E为中点，则为的中位线， ∴， ∴， ∵，即， ∴点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧） 设圆心为，连接，，，，，过点作， 则， ∵， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 又∵为中点， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据得知点在以为弦，圆周角的圆上是解决问题的关键． 13．已知正方形边长为2，点是正方形边上的动点，点在边上，且，线段、相交于点，连接，则点从点运动到点的过程中，线段扫过的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、点的运动轨迹问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线，得到点M的运动轨迹是解题的关键．先证明得到，进而证得，利用圆周角定理得到点M在以为直径的圆上运动，如图，设圆心为，连接、相交于O，连接，利用正方形的性质和圆周角定理得到点O在圆N上，根据图形结合已知得到在点从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动，由线段扫过的面积求解即可． 【详解】解：如图，四边形是边长为2的正方形， ，， 在和中， ， ， ∴， ，即， ∴点M在以为直径的圆上运动，如图，设圆心为，连接、相交于O，连接， 则，，， ∴，即点O在圆N上， ∴，， ∵，， ∴当点E在点A处时，点F在点B处，这时点M在点A处，当点E在点B处时，点F在点C处，这时点M在点O处， ∴在点从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动， ∴线段扫过的面积是， 故答案为：． 14．如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、垂径定理、锐角三角函数、隐形圆求最值问题等知识，利用圆的相关知识得到的面积最大是解答的关键．作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，由，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，，则的面积最大；设、相交于，由菱形的性质和锐角三角函数分别求得，再由垂径定理和等腰三角形的性质证得点A、O、P、、C共线，进而求得，则，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，如图，则， ∴，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，， ∵， ∴最大时，的面积最大； 如图1，设、相交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴点A、O、P、、C共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查圆的定义、三角形的中位线性质、正方形的性质，解答的关键是构造三角形的中位线和得到点P的运动轨迹，属于中考填空题的常考压轴题． 延长至T，使得，连接，根据三角形的中位线性质得到，即只需求的最大值和最小值；根据圆的定义可得点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，，利用正方形的性质和勾股定理求得，进而求得的最小值和最大值即可求解． 【详解】解：延长至T，使得，连接， ∵的中点为E， ∴是的中位线， ∴，即只需求的最大值和最小值； ∵始终保证， ∴点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，， ∵，， ∴， ∴，， ∴的最小值为，的最大值为， ∴的最小值为，的最大值为， 故答案为：，． 三、解答题 16．如图，圆O为的外接圆， ，，点D是圆O上的动点，且点C、D分别位于的两侧． (1)求圆O的半径； (2)当时，求的度数； (3)设的中点为M，在点D的运动过程中，线段的最大值为 ． 【答案】(1)⊙O的半径为4 (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、最短路径问题等知识点，掌握相关几何结论是解答的关键. （1）由题意得，即可求解； （2）连接．可推出，，根据，推出是等边三角形，，即可求解； （3）连接．可推出点M的运动轨迹以为直径的圆，设圆心为J，连接推出，求得，根据即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴⊙O的半径为4 （2）解：如图1中，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． （3）解：如图2中，连接, ∵，， ∴， ∴点的运动轨迹以为直径的圆，设圆心为J， 连接 则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，当C、J、M共线时取等号， ∴的最大值为， 故答案为：． 17．（1）如图1，等边的边长为2，点D为边上一点，连接，则长的最小值是______； （2）如图2，已知菱形的周长为16，面积为，E为中点，若P为对角线上一动点，Q为边上一动点，计算的最小值： （3）如图3，已知在四边形中，，，，E为边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取．试问在四边形内是否存在点P，使得的面积最小？若存在，请你在图中画出点P的位置，并求出的最小面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，见解析， 【分析】（1）根据垂线段最短可知，当时，线段的值最小，再根据等边三角形的边长为2，确定高，从而得出结论； （2）如图2中，作于H，在上截取，连接，，．首先证明是等边三角形，证明，可得，推出，再根据垂线段最短即可解决问题． （3）存在，如图3中，以为斜边在直线的下方作等腰直角，作于M，于N，连接，．证明点P的运动轨迹是，当点P在线段上时，的值最小，此时的面积最小． 【详解】解：（1）如图1中，根据垂线段最短可知，当时，线段的值最小， ∵是等边三角形，边长为2， ∴的高， ∴的最小值为． 故答案为：． （2）如图2中，作于H，在上截取，连接，，． ∵四边形是菱形，周长为16， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短可知，当E，P，Q′共线，且点Q′与C重合时， 的值最小，最小值． ∴的最小值为． （3）存在，理由如下： 如图3中，以为斜边在直线的下方作等腰直角， 作于M，于N，连接，． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点P的运动轨迹是， 当点P在线段上时，的值最小，此时的面积最小， 此时， ∴的面积的最小值． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，菱形的性质，垂线段最短，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 18．在中，，，为的中点，为上一点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若为外部一点，为的中点，将绕点按顺时针方向旋转到（，均在直线的左侧），连接、．若，求证：； (3)将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质，以及勾股定理求得，作的中点，连接，进而根据中位线的性质求得，进而求得，在中，勾股定理即可求解； （2）连接，过点作交于点，延长交于点，交的延长线于点，证明得出，，证明是等腰直角三角形，进而证明得出，即可得证； （3）连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段，证明，得出，设，则，，则，即在以为圆心的上运动，当在上，取得最小值，最小值为，进而求得的值． 【详解】（1）解：在中，， ∴ ∵， ∴， 如图，作的中点，连接， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 在中，; （2）证明：如图，连接，过点作交于点，延长交于点，交的延长线于点， ∵在中，，，为的中点，为的中点， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转到 ∴， ∴，即 ∴ ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∴ 在 ∴ ∴ ∴，即 （3）解：如图所示，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段， ∴ ∵将绕点按顺时针方向旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，，为的中点， ∴ 设，则，， ∵将沿直线翻折至所在平面内得到， ∴ ∴，即在以为圆心的上运动 连接过点作于点，则 ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形，则 ∴ ∴ ∵ ∴当在上，取得最小值，最小值为 ∴ 19．在中，，点D为平面内一点． (1)如图1，若点D在线段上，且，求的值； (2)如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段的数量关系，并证明； (3)若点D满足，当时，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点K，根据角平分线的性质可得，再证得是等腰直角三角形，可得，即可求解； （2）延长至点G，使，过点B作，交延长线于点F，连接，再证得是等腰直角三角形，可得，，再证明，可得，从而得到，进而得到，再由，可得，可证明，可得，即可解答； （3）以为斜边向右作等腰，，以O为圆心，为半径作圆，H是优弧上的一点，连接，则，再证得点D在圆O上，可得当点D在线段与圆O的交点处时，取得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点K， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，延长至点G，使，过点B作，交延长线于点F，连接， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，以为斜边向右作等腰，，以O为圆心，为半径作圆，H是优弧上的一点，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴点D在圆O上， ∴当点D在线段与圆O的交点处时，取得最小值，最小值为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，正切，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难点在第三问，作出合理的辅助线，找到隐圆是解答本题的关键． 20．（1）如图1，已知线段，平面内有一动点，且，则的最小值为______． （2）如图2，中，，点为的中点，点为内一动点，，连接，过点作，且，连接，求的长． （3）某工厂计划加工如图3所示的零件，要求分米，，在上有一点，连接，请你帮工人师傅计算是否存在最小值，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）3  （2）  （3）存在， 【分析】（1）C在以A为圆心，为半径的圆上运动，根据点圆最值求解即可； （2）连接，由等腰直角三角形的性质和三角函数可得 ，进而可证，再由相似的性质求解即可； （3）如图3，在下方作，使得，，证明得到，故作的外接圆，圆心为点O，则当点P在线段上时，最小，利用圆周角定理和等边三角形的判定与性质证明是等边三角形得到，，利用三角形的内角和定理和角度的运算得到，利用勾股定理求得，进而求得由求解即可． 【详解】解：（1）以A为圆心，为半径，交于，则，    当C与重合时，的值最小，， 故答案为：3； （2）连接，   ，点为的中点， 在 中，， ， 在中，， ， ， ， ， ； （3）存在． 如图3，在下方作，使得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴作的外接圆，圆心为点O，则当点P在线段上时，最小， 如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故的最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，隐圆问题，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，圆周角定理等，根据题意作圆，找到取最小值时点P的位置是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 圆最值问题之隐圆模型专项训练 模型一、动点定长模型 若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 模型二、直角圆周角模型 固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径 模型三、四点共圆模型 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆 专项训练 一、单选题 1．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 2．如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（   ） A． B．        B．       D． 5．如图，的半径为4，弦的长为，点P为优弧上一动点，交直线于点C，则的面积的最大值是（   ）    A． B． C． D． 6．如图，是半径为3半圆O的直径．是圆中可移动的弦，且，连接相交于点P，弦从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转，则交点P运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点在△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为 ． 8．如图，在中，，，将边长为1的正方形绕点B旋转一周，连结，点M为的中点，连结，则线段的最大值为 ． 9．如图，在矩形中，是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是 ． 10．如图，已知正方形的边长为2，点P在射线上，则的最小值为 ．    11．如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为 ． 12．如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值 ． 13．已知正方形边长为2，点是正方形边上的动点，点在边上，且，线段、相交于点，连接，则点从点运动到点的过程中，线段扫过的面积是 ． 14．如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为 ． 15．如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为 ，最大值为 ． 三、解答题 16．如图，圆O为的外接圆， ，，点D是圆O上的动点，且点C、D分别位于的两侧． (1)求圆O的半径； (2)当时，求的度数； (3)设的中点为M，在点D的运动过程中，线段的最大值为 ． 17．（1）如图1，等边的边长为2，点D为边上一点，连接，则长的最小值是______； （2）如图2，已知菱形的周长为16，面积为，E为中点，若P为对角线上一动点，Q为边上一动点，计算的最小值： （3）如图3，已知在四边形中，，，，E为边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取．试问在四边形内是否存在点P，使得的面积最小？若存在，请你在图中画出点P的位置，并求出的最小面积；若不存在，请说明理由． 18．在中，，，为的中点，为上一点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若为外部一点，为的中点，将绕点按顺时针方向旋转到（，均在直线的左侧），连接、．若，求证：； (3)将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，请直接写出的值． 19．在中，，点D为平面内一点． (1)如图1，若点D在线段上，且，求的值； (2)如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段的数量关系，并证明； (3)若点D满足，当时，请直接写出的最小值． 20．（1）如图1，已知线段，平面内有一动点，且，则的最小值为______． （2）如图2，中，，点为的中点，点为内一动点，，连接，过点作，且，连接，求的长． （3）某工厂计划加工如图3所示的零件，要求分米，，在上有一点，连接，请你帮工人师傅计算是否存在最小值，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $