专题03 二次函数的压轴题（期末真题汇编，天津专用）九年级数学上学期人教版

专题03 二次函数的压轴题 1．(24-25九上·天津第一中学滨海学校·期末)如图，抛物线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为． (1)求此拋物线的函数解析式． (2)点P是直线上方拋物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，求的最大值，及此时P点的坐标． (3)点M为该拋物线上的点，当时，请直接写出满足条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以为对角线作正方形，可得，与抛物线的另一个交点即为，如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，设，则，求解，进一步求解直线为：，直线为，再求解函数的交点坐标即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴ ； 当时，有最大值； 此时； （3）解：如图，以为对角线作正方形， ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴, ∴， 由可得： ∴， 解得：， ∴， 设为：， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， ∵，，，正方形， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的坐标为或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 2．(24-25九上·天津滨海新区·期末)已知抛物线经过原点O，交x轴于点，顶点B的纵坐标为4． (1)求拋物线的解析式； (2)若点C在上，且C点的横坐标为，E为线段上一动点（不与点O重合），在的右侧作平行四边形． ①当点D落在抛物线上时，求点D的坐标； ②连接，，当取最小值时，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点 【分析】（1）先设顶点式，再用待定系数法求解； （2）①可求直线的解析式为，则，由四边形为平行四边形，得到，那么当时，，解得或，即可求解； ②设点，由平移可得点过点B作直线轴，则，作点D关于直线l的对称点，连接，则，故当，B、E共线时，为最小．由和，得直线的解析式为：，将点B的坐标代入上式得：，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：顶点B的坐标， ∴．     将点A的坐标代入上式得：， 解得：．     ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵，， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为．     把代入中，得． ∴．     ∵四边形为平行四边形，如图：    ∴． ∴当时，， 解得或．     ∵点D落在右侧的抛物线上， ∴； ②设点， ∵，由平移可得点， 过点B作直线轴，则， ∴作点D关于直线l的对称点．    连接，则， 当，B、E共线时，为最小． 由和， 设直线的解析式， ∴， 解得：， 得直线的解析式为：，     将点B的坐标代入上式得：． 解得：． 则点． 【点睛】本题是二次函数与平行四边形的综合问题，涉及待定系数法求一次函数与二次函数解析式，平行四边形的性质，轴对称的性质，平行四边形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 3．(24-25九上·天津西青区·期末)如图，已知抛物线（为常数）的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点左侧），与轴相交于点． (1)求该抛物线的解析式及点的坐标． (2)抛物线上一点在直线上方，其横坐标为，过点作轴，垂足为点，交线段于点． ①若，求点的坐标； ②连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)①；②， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及求二次函数解析式，二次函数与线段关系，二次函数与面积问题； （1）由对称轴是直线，得到，即可求出解析式；再令解方程即可求出点的坐标． （2）①先点坐标为，直线的解析式为，由轴表示出点的坐标为，点的坐标，即可得到，，再由列方程求解即可； ②根据表示出四边形面积，再根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：抛物线（为常数）的对称轴是直线，， 解得， 该抛物线的解析式为， 当时，有，解得，， 点在点左侧， 点的坐标是． （2）解：①由抛物线的解析式为可知点坐标为， 设经过点，两点的直线的解析式为， ∴， 解得， 直线的解析式为， 抛物线上一点在直线上方，其横坐标为， ，点的坐标为， 轴，交线段于点， 点的坐标为， ，， ， ， 解得，， ， 取， 此时点的坐标为； ②∵点，， ∴，， ， 由①知，， ， 当时，四边形面积最大，的最大值是，此时点的坐标为． 4．(24-25九上·天津第二十一中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，过点的抛物线．分别交轴于两点（点在点的左侧），交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点是抛物线对称轴上一点，当的周长取得最小值时，求点的坐标及的周长． (3)当，两点满足：，，且时，若符合条件的点的个数有2个，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的周长为 (3)的取值范围为 【分析】(1)将点P的坐标代入抛物线表达式，即可求解； (2)求出抛物线的对称轴，抛物线与轴的交点两点的坐标，根据对称性可得两点关于对称轴对称，连接，交对称轴于点，连接，此时取得最小值，即可求出的周长，然后求出直线的函数表达式，进而即可得点的坐标； (3)分别求出、、，当时，根据勾股定理可得，化简可得关于的一元二次方程，由符合条件的点的个数有2个可得，解不等式结合已知条件即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线上， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； （2）， 抛物线的对称轴为直线， 由，得，， ，， 由得，， ， ∴由勾股定理得，， ， 两点关于对称轴对称， 连接，交对称轴于点，连接，如图， ， ，由两点之间，线段最短，此时取得最小值，即为的长， 是定值， 的周长此时最小为， 设直线的函数表达式为， ，解得， ， 当时，， 点的坐标为； （3）解：， ，， ， ， ， 整理得：， 符合条件的点的个数有2个， ， ， 解得：， ， 的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了抛物线的图象和性质的综合应用，勾股定理，求一次函数解析式，根的判别式，最短距离等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 5．(24-25九上·天津河北区·期末)抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴交于C点，点D为顶点． (1)求二次函数解析式及B点坐标； (2)第一象限内，抛物线上有一动点，过点作轴于，连接交于点，当取最大值时，求点的坐标； (3)过点D作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，点G在线段上，点I在线段上，若，求的最小值及此时G点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)最小值， 【分析】（1）将点A坐标代入即可得解； （2）设出M的坐标为，将和用含有m的式子表示，得到，进而根据二次函数的最值求解即可； （3）由题易知为等腰直角三角形，所以，得到，过点作轴，在上取，构造得出，进而推出当在上时有最小值，再过点向作垂线，垂足为，，解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得， 故二次函数解析式为， 令，得， 解得，， 故； （2）解：由在抛物线上，且在第一象限内，设； 轴于， ， 把代入得， ， 设，代入，， 得， 解得， 即， 交于点， ， ， 由，当时，有最大值4，此时； （3）解：点为抛物线的顶点， 故，，， 故，即， 由轴交直线于点，轴交直线于点，则，， 在等腰直角中，，， ，； 又， ，故， 过点作轴，在上取， 有，， ，， 则，， 故在上时有最小值， 此时，过点向作垂线，垂足为， 在中，，，， 在，， 中，，， ， 即， 解得，， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数点的坐标特征、二次函数的最值问题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 6．(24-25九上·天津西青区·期末)如图，已知抛物线（为常数）的对称轴是直线，与轴相交于A，B两点（点A在点左侧），与轴相交于点． (1)求该抛物线的解析式及点的坐标． (2)抛物线上一点在直线上方，其横坐标为，过点作轴，垂足为点，交线段于点． ①若，求点的坐标； ②连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)； (2)①②点的坐标为，四边形面积最大值为 【分析】（1）根据抛物线的对称轴求出b，再令，解一元二次方程即可； （2）①表示出点M、E的坐标，表示出线段的长度，列方程即可求解；②四边形面积是和的面积和，求出的面积的最大值即可求解． 【详解】（1）解：抛物线（为常数）的对称轴是直线， 所以，解得，， 抛物线解析式为：； 当时，，解得，，， 因为点A在点左侧，所以点的坐标为． （2）解：①当时，，所以点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得 直线的解析式为， 点在直线上方，其横坐标为， 则点的坐标为， 因为轴，垂足为点，交线段于点， 则点的坐标为， ，， 因为， 所以， 解得，，（舍去 点的坐标为， ②四边形面积是和的面积和， ，， ， 当时，的面积的面积最大，最大值为， 此时点的坐标为，四边形面积最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，解题关键是求出二次函数解析式，表示点的坐标，利用坐标表示出线段长或三角形面积，列出方程． 7．(24-25九上·天津河西区·期末)已知抛物线，（，为常数，），抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），且两点坐标分别为，，与轴相交于点，顶点为． (1)若，求顶点的坐标； (2)连接，若，求的值； (3)若点在抛物线上，点的横坐标为，满足，且，过点作轴，垂足为，当时，求此时和的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． （）先求出的值，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再将其化成顶点式即可得解； （）由题意可知，抛物线的解析式为，令，即可求出点，然后用各点坐标分别求出和，再代入，解方程即可求出的值； （）由抛物线解析式可求出顶点的坐标为，对称轴为直线：，过点作于点，则，证明，根据相似三角形的性质可得，则，解得，当时，则，联立即可求出此时和的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴抛物线的解析式为， ， ∴顶点的坐标为； （2）解：由题意可知，抛物线的解析式为， 令，则， ∴点， ∴， 由，可得：， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由（）可知，抛物线的解析式为， 则点，其中， ∵， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线：， 如图，过点作于点，则， 延长，交轴于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴解得：， ∵轴，且， ∴， ∴， 联立，得：， 解得：，． 8．(24-25九上·天津红桥区·期末)抛物线（b，c为常数）的顶点为P，其与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点，O为原点． (1)若抛物线经过点M， ①当点A的坐标为时，求点B的坐标； ②连接，当时，求b的值； (2)若，连接，，当取得最小值时，求b的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①先根据待定系数法求出抛物线的解析式，然后再求出点B的坐标即可； ②先求出顶点，过点作轴，垂足为，求出，，根据，得出，求出结果即可； （2）先求出点的坐标为，得出点的坐标为，将点向右平移2个单位，向上平移1个单位，得点，连接，得出四边形为平行四边形，从而得出，作点关于轴的对称点，得出，说明当点共线时，取得最小值，求出直线的解析式为，得出当时，，求出，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：①根据题意，得：， 解得， 该抛物线的解析式为：． 由，得， ∴点的坐标为． ②根据题意，得该抛物线的解析式为：，其中， 又， 可得顶点， 过点作轴，垂足为， 可得，， ， ∴为等腰直角三角形， ， 则， 或， 解得或．    （2）解：当时，， 顶点的坐标为， 由，得， 解得， 点在点的左侧， 点的坐标为， ∴将点向右平移2个单位，向上平移1个单位，得点， 连接， ∵将点P向右平移2个单位，向上平移1个单位，得点， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于轴的对称点， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为 ， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，， 解得， 此时点的坐标为， ， 解得：．    【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，轴对称的性质，平移的性质，求一次函数解析式，求二次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 9．(24-25九上·天津南开区·期末)抛物线（为常数，）的顶点为，抛物线与轴相交于和两点，抛物线与轴相交于点． (1)若，点在抛物线上，设点的横坐标为，且． ①求抛物线的解析式和顶点的坐标； ②若的面积与的面积相等，求的值； (2)和是轴上的两动点，当的最小值为时，直接写出和的值． 【答案】(1)①，；②，或，或 (2) 【分析】（1）①，和代入，求得，配方 ，得；②求出，解析式，根据 ，得，求出解析式，得，解得，点A关于点B的对称点为，则，同理得解析式为，则，解得，或； （2）和代入，求得，得， ，取点C关于x轴的对称点，向右作线段，，连接，则，， ，当N运动到上时， 取得最小值，，，∴解得，得，，求出直线的解析式，当时，，得，解得． 【详解】（1）解：①，和代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∴， 设解析式为， 则， 解得， ∴ ∵， ∴， 当点Q在下面时， 设解析式为， 则， ∴， ∴， ∵点Q为与抛物线的交点， ∴， 解得，或（舍去）； 当点Q在上面时， 作点A关于点B的对称点， 则， 同理可得的解析式为， 则， 解得，或； 综上，，或，或； （2）解：和代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， 取点C关于x轴的对称点， 向右作线段，使，连接， 则，，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当N运动到上时，，取得最小值， ∵，的最小值为， ∴， ∵， ∴解得， ∴，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴， 解得，． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数和图象和性质，一次函数的图象和性质，平移性质，轴对称性质，两点之间线段最短，是解题的关键． 10．(23-24九上·天津第六十一中学·期末)如图，点A，B，C都在抛物线（其中）上，轴，，且． (1)当时，用配方法求抛物线的顶点坐标； (2)①用含m的式子表示抛物线的顶点坐标 _________； ②求点C到直线的距离（用含a的式子表示）； (3)若点C到直线的距离为1，当时，y的最大值为2，求m的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）配方法，将一般式转化为顶点式，即可得出结果； （2）①配方法，将一般式转化为顶点式，即可得出结果；②过点C作，交的延长线于D，进而得到，用含的代数式表示出点的坐标，设点C到直线的距离为d，进而得到点的坐标，将点的坐标代入函数解析式，求出的值即可； （3）点C到直线的距离为1，求出的值，根据增减性，分，以及三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）当时，抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）①∵， ∴顶点坐标为； 故答案为：； ②如图，过点C作，交的延长线于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴对称轴为直线 ∵， ∴点B的横坐标为， ∵点B在抛物线上， ∴， ∴点， 设点C到直线的距离为d， ∴， ∴点C， ∵点C在抛物线上， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴点C到直线的距离为； （3）∵点C到直线的距离为1， ∴， ∴，经检验是原方程的根， ∴抛物线的解析式为． ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 分三种情况考虑： ①当，即时，有， 整理，得：， 解得：（舍去），（舍去）； ②当，即时，有， 解得：； ③当，即时，有， 整理，得：， 解得：（舍去），． 综上所述：m的值为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形，解一元二次方程以及二次函数的最值，掌握二次函数的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 11．(24-25九上·天津滨海新区·期末)如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，点P为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段PQ的长，并求出线段PQ的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段PQ取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形PBMN是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为，对称轴为直线 (2)当时，的最大值为4 (3)存在，M的坐标是或 【分析】（1）设抛物线的表达式为，根据抛物线与x轴交点可得交点式，化简即可求解； （2）先求出直线的表达式，再设点，求出，最后利用二次函数的性质即可求出的最大值； （3）当四边形是菱形时，，设点，可列方程，求出m的值，即得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 因为抛物线与x轴交于点，， 所以， 则抛物线的对称轴为直线； （2）解：设直线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得， 解得， 故直线的表达式为， 设点，则点， 则， ， 故有最大值， 当时，的最大值为4； （3）解：存在，理由： 当时，点， 设点，而点； 四边形是菱形， 则， 即，， 解得：， 即点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的交点式，求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，菱形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质及菱形的性质是解题的关键． 12．(24-25九上·天津河西区·期末)在平面直角坐标系中，点，，．已知抛物线（a为常数，），与y轴相交于点C，P为顶点． (1)当抛物线过点A时，求该抛物线的顶点P的坐标； (2)若点P在x轴上方，当时，求a的值； (3)在（1）的情况下，连接，，点E，点F分别是线段，上的动点，且，连接，，求最小值，并求此时点E和点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，此时， 【分析】（1）把代入，求得，从而得出抛物线的解析式为，即可得出抛物线的顶点坐标； （2）先求出抛物线的顶点的坐标为．再点作轴于点，则．可知，即，解之即可求解； （3）过点作轴，且使得，连接，可证得，则．所以．当，，三点共线时，取得最小值．由勾股定理可求的最小值；此时点是与的交点，求出直线与直线的交点，则，所以．则，即可得出点E坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为． ∴该抛物线的顶点为． （2）解：∵抛物线的顶点的坐标为． 由点在轴上方，时，知点在第一象限． 过点作轴于点，    ∴． ∴，即， 解得． （3）解：由（1）得， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作轴，且使得，连接， ∴， ∴， 又∵，    ∴， ∴． ∴． 当，，三点共线时，取得最小值． ∴ ∴的最小值为． 此时点是与的交点， ∵，，设的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴同理可得：直线的解析式为， 联立，解得， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴ ∴的最小值为，此时，． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数与一次函数解析式，抛物线上点的坐标特征，求最短距离问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形性质．熟练掌握用待定系数法求二欠函数与一次函数解析式，二次函数图像性质是解题的关键，题目属中考压轴题目，综合较强． 13．(23-24九上·天津西青区·期末)如图，已知抛物线（为常数）经过点，点与点关于原点对称，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），与轴相交于点． (1)求该抛物线的函数解析式及点，，的坐标． (2)连接，抛物线上点在线段上方，其横坐标为，过点作轴于点，交线段于点． ①当为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？ ②当线段取最大值时，连接，，在抛物线上是否存在点（点不与点重合），使得的面积与的面积相等？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)；点、、的坐标分别为、、 (2)①当时，线段的长有最大值，最大值是；②存在，点的坐标为或． 【分析】（1）先确定点的坐标，然后代入求出的值即可； （2）①设点，则点，得到，根据二次函数的性质即可得解； ②过点作直线交轴于点，得到直线的表达式为，即可求解；在点的下方处作直线，交抛物线于点，且使，得到直线的表达式，和抛物线解析联立方程组，求解即可． 【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称， ∴点， ∵抛物线（为常数）经过点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数解析式为， 当时，得：， 当时，得：，解得：或， ∴点、、的坐标分别为、、； （2）①设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ∴， ∵， ∴当时，线段的长有最大值，最大值是； ②存在， 理由：由①知，当线段取最大值时，， ∴点，， ∴， 过点作直线交轴于点， ∵轴，即轴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即将直线向上平移个单位得到直线， ∴直线的解析式为， 由解得：（不符合题意，舍去）， 在点的下方处作直线，交抛物线于点，且使， 即将直线向下平移个单位得到直线， ∴直线的解析式为， 由解得：，， ∴点的坐标为或， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合运用，考查了待定系数法确定二次函数解析式，待定系数法确定一次函数的解析式，二次函数图像与坐标轴的交点坐标，二次函数的最值，平行四边形的判定和性质，两点之间的距离，关于原点对称的坐标特征，直线平移的特征，二次函数与一次函数的交点坐标，三角形的面积等，运用了分类讨论的思想，掌握二次函数的性质是解题的关键． 14．(23-24九上·天津河北区·期末)如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A 在点B的左侧），点C，D在抛物线上，的平分线交于点M，点N是的中点，已知 ． (1)求抛物线的解析式； (2)分别为轴， 轴上的动点，顺次连接 构成四边形求四边形周长的最小值； (3)在轴下方且在抛物线上是否存在点P，使 中边上的高为 ？若存在， 求出点 P的坐标； 若不存在， 请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由点在轴正半轴且点在线段上得到点在轴正半轴上，所以．由于四边形为矩形，故有，所以点在第四象限，横坐标与的横坐标相同，进而得到点坐标．由抛物线经过点、，用待定系数法即求出其解析式． （2）画出四边形，由于点、分别在轴、轴上运动，故可作点关于轴的对称点点，作点关于轴的对称点点，得、．易得当、、、在同一直线上时最小，故四边形周长最小值等于．根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点、、、坐标，即求得答案． （3）因为可求，且已知中边上的高，故可求的面积．又因为的面积常规求法是过点作平行轴交直线于点，把拆分为与的和或差来计算，故存在等量关系．设点坐标为，用表示的长即列得方程．求得的值要讨论是否满足点在轴下方的条件． 【详解】（1）解：点在线段上，，， ， 四边形是矩形， ， ∵， ， 抛物线经过点、， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）如图1，作点关于轴的对称点点，作点关于轴的对称点点，连接、、， ， 抛物线对称轴为直线， 点、在抛物线上，且轴，， ，即点、关于直线对称， ，即， ，， 平分，， ， ， ， 点、关于轴对称，点在轴上， ，， 为中点， ， 点、关于轴对称，点在轴上， ，， ， 当、、、在同一直线上时，最小， ， 四边形周长最小值为． （3）存在点，使中边上的高为． 过点作轴交直线于点， ， ，直线解析式为， 设点坐标为，，则点， ①如图2， 当时，点在点左侧， ， 中边上的高， ， ， 方程无解， ②如图3， 当时，点在点右侧， ， ， ， 解得：（舍去），， ， 综上所述，点坐标为满足使中边上的高为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题，勾股定理，坐标系中求三角形面积，抛物线的平移，解题的关键是对点、、坐标位置的准确说明，及明白点左侧不存在满足的在点左侧的讨论． 15．(23-24九上·天津南开区·期末)在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于点，与轴交于点和点，拋物线的顶点为. (1)求此抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)若点，均在此拋物线上，其横坐标分别为，且，两点的纵坐标的差为 ①求的值 ②将点向上平移个单位得到点，将拋物线沿轴向右平移个单位得到新拋物线，点的对应点为点，点的对应点为点，顶点的对应点为点在抛物线平移过程中，当的值最小时，请填空：______，新抛物线的顶点的坐标为______，的最小值为______. 【答案】(1)， (2)①；②，， 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据题意列出方程，解方程即可求解； ②分别表示出，勾股定理表示出，转化为两点到轴的距离的和的最值问题，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得：， ∴ ∴顶点坐标为； （2）解：①∵点，均在此拋物线上，其横坐标分别为，且，两点的纵坐标的差为 ∴①或②； 方程①无解，解方程②得或（舍去） ∴； ②当时，， 解得：或， ∴, ∵将点向上平移个单位得到点， ∴， ∵横坐标为,横坐标， ∴的纵坐标为，的纵坐标为， 即，， ∴，， ∴ 即点与的距离和最小值， 取点关于的对称点为， ∴与的距离即为的最小值， ∴的最小值为 设过点与的直线解析式为 ∴ 解得：，即 令，解得：，即 ∴为 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，轴对称求线段和的最值问题，勾股定理求最值问题，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 16．(24-25九上·天津河东区·期末)如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求两点的坐标； (2)如图2，轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与，分别交于点，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标及最大面积； (3)抛物线上是否存在点，使是直角三角形，如果存在，求出点坐标，如果不存在，请说明理由； (4)若点为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点在轴，轴上分别找点，使四边形的周长最小，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)四边形的面积最大为，点的坐标为 (3)存在，，，， (4)， 【分析】（1）令，则，求得，，即可得解； （2）先求出，得出，待定系数法求出的解析式为，设，则，，根据得出关系式，由二次函数的性质即可得到答案； （3）设，由勾股定理可得，，，分三种情况：当时，则，当时，则，当时，则，分别求解即可得出答案； （4）先求出的坐标，作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，交轴于点，交轴于点，由轴对称的性质可得：，，，，则四边形的周长，当、、、在同一直线上时，的值最小，为，待定系数法求出直线的解析式，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点， 令，则， 解得：，， ，； （2）解：在中，令，则， ， 轴， 点的纵坐标为， 在中，令，则， 解得：，， ， ， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 设，则， ， 轴，轴， ， ， ， 当时，最大为，此时， ； （3）解：设， ，， ，，， 当时，则， ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，， ； 当时，则， ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，， ； 当时，则， ， 整理得：， 解得：，，（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）， 当时，， 当时，， ， 综上所述：，，， ； （4）解：点为抛物线的顶点，， ， 点是该抛物线上的一点， ， ， 如图，作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，交轴于点，交轴于点， ，   由轴对称的性质可得：，，，， 四边形的周长， 当、、、在同一直线上时，的值最小，为， 设直线的解析式为：， 将，代入可得：， 解得：， 直线的解析式为：， 在中，令，则，令，则， 解得：， ，． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数的性质、勾股定理、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 17．(24-25九上·天津静海区·期末)如图，已知抛物线与x轴交于点和点A，与y轴交于点C，作直线．    (1)求a的值． (2)若P为直线上方抛物线上的动点，作轴交直线于点H，求的最大值； (3)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为G．把直线向下平移n个单位与图像G有且只有三个交点，请直接写出此时n的值． 【答案】(1) (2)取得最大值为 (3)n的值为或 【分析】（1）把代入求出a的值即可； （2）设，得出点的纵坐标为，求出直线的解析式为，得出，求出，根据二次函数的最值求出结果即可； （3）分两种情况进行讨论，分别画出图象，求出n的值即可． 【详解】（1）解：∵拋物线与轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：二次函数解析式为：， 设， ∵轴， 点的纵坐标为， 把代入得， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ，开口向下， 当时，取得最大值为； （3）解：直线向下平移n个单位后的关系式为， 如图，当平移后的直线过点B时，直线与图像G有且只有三个交点， 把代入得：， 解得：； 原抛物线上方折叠到下方的抛物线解析式为：， 当平移后的直线与抛物线相切时，直线与图象G有且只有三个交点， ∴此时方程有两个相等的实数根， 即方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：； 综上分析可知，n的值为或．    【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，一次函数解析，二次函数的最值，一次函数图象的平移，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 18．(24-25九上·天津红桥区·期末)已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a>0）经过A(-1，0)和B(3，0)两点，点C(0，-3)，连接BC，点Q为线段BC上的动点． (1)若抛物线经过点C； ①求抛物线的解析式和顶点坐标； ②连接AC，过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，AQ，△PAQ与△PBQ面积记为S1，S2，若S=S1+S2，当S最大时，求点P坐标； (2)若抛物线与y轴交点为点H，线段AB上有一个动点G，AG=BQ，连接HG，AQ，当AQ+HG最小值为时，求抛物线解析式． 【答案】(1)①；(1，-4) ②， (2) 【分析】（1）①运用待定系数法可求出抛物线的解析式；将抛物线解析式化为顶点式即可求出抛物线的顶点坐标；②如图①，连接CP，过点P作PD⊥x轴于E，交BC于点D，过点C作CF⊥PD，可得出S=S△PCQ+S△PBQ=S△CPB=S△CPD+S△BPD，求出直线BC的解析式为y=x﹣3，设P()，D()(0<m<3)，得PD=，根据S=S△CPD+S△BPD可得S=，从而进一步可得结论； （2）如图②，把线段AB绕点A逆时针旋转45°，得到线段AE，连接EH交x轴于点G，由y＝ax2+bx+c经过A(-1， 0)，B(3， 0)得y＝ax2﹣2ax﹣3a，可得H (0，﹣3a)，当点E，G，H共线时，AQ+HG值最小，即HE=，过点E作EN⊥y轴，ET⊥x轴，可得E（），根据勾股定理列方程，求出a的值即可解决问题 【详解】（1）∵抛物线抛物线y＝ax2+bx+c经过A(-1， 0)，B(3， 0)和C(0，-3) ∴y=a (x+1) (x﹣3) 把C(0，-3)代入， 解得a=1 ∴抛物线解析式为 ∵ ∴顶点坐标为（1，﹣4） ②如图①，连接CP，过点P作PD⊥x轴于E，交BC于点D，过点C作CF⊥PD ∵PQ//AC ∴S△PAQ=S△PCQ ∴S=S1+S2=S△PAQ+S△PBQ ∴S=S△PCQ+S△PBQ=S△CPB=S△CPD+S△BPD· 设直线BC的解析式为 解得． ∴直线BC的解析式为y=x﹣3. 设P()，则D()，(0<m<3) ∴PD= S=S△CPD+S△BPD ∴S= ∵ ∴ ∴P， （2）如图②，把线段AB绕点A逆时针旋转45°，得到线段AE，连接EH交x轴于点G， ∴AE=AB=4，∠EAB=45°. ∵y＝ax2+bx+c经过A(-1， 0)，B(3， 0)· ∴y=a (x+1) (x﹣3) ∴y＝ax2﹣2ax﹣3a 令x=0，可得y=﹣3a ∴H (0，﹣3a) . ∵∠BOC=90°，OB=OC=3， ∴∠OBC=∠OCB=45° ∴∠EAB= ∠OBC=45°. 又∵AG=BQ ∴ΔAEG≌ΔBAQ. ∴EG=AQ ∴AQ+HG=EG+HG≥HE. 当点E，G，H共线时，AQ+HG值最小 即HE= 过点E作EN⊥y轴，ET⊥x轴， 在RtΔATE中，∠EAT=45° ∴sin∠EAT=，cos∠EAT= ∴ ∴E（） 在Rt△ENH中， ∴ 可得 解得 ∵ ∴ ∴抛物线的解析式为 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识，运用数形结合思想是解题关键． 19．(24-25九上·天津武清区·期末)如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知，P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式； （2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值； （3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），直线l的表达式为：；（2）最大值：18；（3）存在，M的坐标为：或或或． 【分析】（1）将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解； （2），即可求解； （3）分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可． 【详解】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：， 故直线l的表达式为：， 将点A、D的坐标代入抛物线表达式， 同理可得抛物线的表达式为：； （2）直线l的表达式为：，则直线l与x轴的夹角为， 即：则， 设点P坐标为、则点， ，故有最大值， 当时，其最大值为18； （3）由题意得，， ①当NC是平行四边形的一条边时， 设点P坐标为、则点， 由题意得：，即：， 解得或0或4（舍去0，此时M和C重合）， 则点M坐标为或或； ②当NC是平行四边形的对角线时， 则NC的中点坐标为， 设点P坐标为、则点， N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点， 即：， 解得：或（舍去0，此时M和C重合）， 故点； 故点M的坐标为：或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 20．(23-24上·天津和平区第九十中学·期末)已知抛物线（a，b为常数，）与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和点C的坐标； (2)若M为抛物线对称轴上一动点，若，求点M的坐标； (3)若点P为直线上方的抛物线上一点，轴交于D点，过点D作于E点．设，求m的最大值及此时P点坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)m的最大值为， 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到对称轴直线为，当时，设，由两点之间距离公式得到，由勾股定理得到，代入计算即可求解； （3）如图，设与x轴的交点为F，点，直线的解析式为，，，，结合二次函数最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：把两点代入解析式， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （2）解：抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴直线为， 当时，设， ， ， ， ， ， ，整理，得， 解得， 此时或； （3）解：如图，设与x轴的交点为F，点， ，设直线的解析式为．， ， 解得， 直线的解析式为， ， ， ， ， ，连接， ， ， ， ， 抛物线开口向下， 有最大值，且当时，取得最大值，且为， 此时， ∴点． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与直角三角形，勾股定理计算线段长，二次函数与几何图形面积的计算，掌握二次函数图象的性质，二次函数最值的计算方法是关键． 2 / 56 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数的压轴题 1．(24-25九上·天津第一中学滨海学校·期末)如图，抛物线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为． (1)求此拋物线的函数解析式． (2)点P是直线上方拋物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，求的最大值，及此时P点的坐标． (3)点M为该拋物线上的点，当时，请直接写出满足条件的点M的坐标． 2．(24-25九上·天津滨海新区·期末)已知抛物线经过原点O，交x轴于点，顶点B的纵坐标为4． (1)求拋物线的解析式； (2)若点C在上，且C点的横坐标为，E为线段上一动点（不与点O重合），在的右侧作平行四边形． ①当点D落在抛物线上时，求点D的坐标； ②连接，，当取最小值时，求点D的坐标． 3．(24-25九上·天津西青区·期末)如图，已知抛物线（为常数）的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点左侧），与轴相交于点． (1)求该抛物线的解析式及点的坐标． (2)抛物线上一点在直线上方，其横坐标为，过点作轴，垂足为点，交线段于点． ①若，求点的坐标； ②连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 4．(24-25九上·天津第二十一中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，过点的抛物线．分别交轴于两点（点在点的左侧），交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点是抛物线对称轴上一点，当的周长取得最小值时，求点的坐标及的周长． (3)当，两点满足：，，且时，若符合条件的点的个数有2个，请直接写出的取值范围． 5．(24-25九上·天津河北区·期末)抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴交于C点，点D为顶点． (1)求二次函数解析式及B点坐标； (2)第一象限内，抛物线上有一动点，过点作轴于，连接交于点，当取最大值时，求点的坐标； (3)过点D作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，点G在线段上，点I在线段上，若，求的最小值及此时G点的坐标． 6．(24-25九上·天津西青区·期末)如图，已知抛物线（为常数）的对称轴是直线，与轴相交于A，B两点（点A在点左侧），与轴相交于点． (1)求该抛物线的解析式及点的坐标． (2)抛物线上一点在直线上方，其横坐标为，过点作轴，垂足为点，交线段于点． ①若，求点的坐标； ②连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 7．(24-25九上·天津河西区·期末)已知抛物线，（，为常数，），抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），且两点坐标分别为，，与轴相交于点，顶点为． (1)若，求顶点的坐标； (2)连接，若，求的值； (3)若点在抛物线上，点的横坐标为，满足，且，过点作轴，垂足为，当时，求此时和的值． 8．(24-25九上·天津红桥区·期末)抛物线（b，c为常数）的顶点为P，其与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点，O为原点． (1)若抛物线经过点M， ①当点A的坐标为时，求点B的坐标； ②连接，当时，求b的值； (2)若，连接，，当取得最小值时，求b的值． 9．(24-25九上·天津南开区·期末)抛物线（为常数，）的顶点为，抛物线与轴相交于和两点，抛物线与轴相交于点． (1)若，点在抛物线上，设点的横坐标为，且． ①求抛物线的解析式和顶点的坐标； ②若的面积与的面积相等，求的值； (2)和是轴上的两动点，当的最小值为时，直接写出和的值． 10．(23-24九上·天津第六十一中学·期末)如图，点A，B，C都在抛物线（其中）上，轴，，且． (1)当时，用配方法求抛物线的顶点坐标； (2)①用含m的式子表示抛物线的顶点坐标 _________； ②求点C到直线的距离（用含a的式子表示）； (3)若点C到直线的距离为1，当时，y的最大值为2，求m的值． 11．(24-25九上·天津滨海新区·期末)如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，点P为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段PQ的长，并求出线段PQ的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段PQ取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形PBMN是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 12．(24-25九上·天津河西区·期末)在平面直角坐标系中，点，，．已知抛物线（a为常数，），与y轴相交于点C，P为顶点． (1)当抛物线过点A时，求该抛物线的顶点P的坐标； (2)若点P在x轴上方，当时，求a的值； (3)在（1）的情况下，连接，，点E，点F分别是线段，上的动点，且，连接，，求最小值，并求此时点E和点F的坐标． 13．(23-24九上·天津西青区·期末)如图，已知抛物线（为常数）经过点，点与点关于原点对称，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），与轴相交于点． (1)求该抛物线的函数解析式及点，，的坐标． (2)连接，抛物线上点在线段上方，其横坐标为，过点作轴于点，交线段于点． ①当为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？ ②当线段取最大值时，连接，，在抛物线上是否存在点（点不与点重合），使得的面积与的面积相等？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 14．(23-24九上·天津河北区·期末)如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A 在点B的左侧），点C，D在抛物线上，的平分线交于点M，点N是的中点，已知 ． (1)求抛物线的解析式； (2)分别为轴， 轴上的动点，顺次连接 构成四边形求四边形周长的最小值； (3)在轴下方且在抛物线上是否存在点P，使 中边上的高为 ？若存在， 求出点 P的坐标； 若不存在， 请说明理由． 15．(23-24九上·天津南开区·期末)在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于点，与轴交于点和点，拋物线的顶点为. (1)求此抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)若点，均在此拋物线上，其横坐标分别为，且，两点的纵坐标的差为 ①求的值 ②将点向上平移个单位得到点，将拋物线沿轴向右平移个单位得到新拋物线，点的对应点为点，点的对应点为点，顶点的对应点为点在抛物线平移过程中，当的值最小时，请填空：______，新抛物线的顶点的坐标为______，的最小值为______. 16．(24-25九上·天津河东区·期末)如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求两点的坐标； (2)如图2，轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与，分别交于点，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标及最大面积； (3)抛物线上是否存在点，使是直角三角形，如果存在，求出点坐标，如果不存在，请说明理由； (4)若点为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点在轴，轴上分别找点，使四边形的周长最小，直接写出点的坐标． 17．(24-25九上·天津静海区·期末)如图，已知抛物线与x轴交于点和点A，与y轴交于点C，作直线．    (1)求a的值． (2)若P为直线上方抛物线上的动点，作轴交直线于点H，求的最大值； (3)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为G．把直线向下平移n个单位与图像G有且只有三个交点，请直接写出此时n的值． 18．(24-25九上·天津红桥区·期末)已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a>0）经过A(-1，0)和B(3，0)两点，点C(0，-3)，连接BC，点Q为线段BC上的动点． (1)若抛物线经过点C； ①求抛物线的解析式和顶点坐标； ②连接AC，过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，AQ，△PAQ与△PBQ面积记为S1，S2，若S=S1+S2，当S最大时，求点P坐标； (2)若抛物线与y轴交点为点H，线段AB上有一个动点G，AG=BQ，连接HG，AQ，当AQ+HG最小值为时，求抛物线解析式． 19．(24-25九上·天津武清区·期末)如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知，P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式； （2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值； （3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 20．(23-24上·天津和平区第九十中学·期末)已知抛物线（a，b为常数，）与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和点C的坐标； (2)若M为抛物线对称轴上一动点，若，求点M的坐标； (3)若点P为直线上方的抛物线上一点，轴交于D点，过点D作于E点．设，求m的最大值及此时P点坐标． 2 / 56 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $