培优02 二次函数的图像与性质（进阶）（4种题型12重难点突破）（专项训练）数学人教版九年级上册

培优02 二次函数的图像与性质（进阶） （4种题型12重难点） 题型1 二次函数与多结论问题 重难点一 已知对称轴 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③，其中；④．其中正确结论的有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2024·安徽安庆·二模）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程无实数根．其中正确结论的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①④ 4．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，二次函数的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，且．有下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确结论为 ． 重难点二 过定点 5．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论有（  ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，与轴交点为，其部分图象如图所示．现给以下结论：①；②；③若点、在抛物线上，则；④；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论有 ． 8．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线经过点，且满足下列四个结论：①；②；③若，则不等式的解集或；④抛物线上的两个点，，当，且时，．其中一定正确的是 ．（填写序号） 重难点三 分式处理 9．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知抛物线（a，b，c，是常数，）经过点，其中．下列结论：①；②关于x的一元二次方程一定有一个根是小于1的正数；③当时，y随x的增大而减小；④分式的值小于3．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2024·湖北武汉·二模）抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其中．下列结论：①；②关于x的一元二次方程一定有一个根在到0之间；③当时，y随x的增大而增大；④分式的值小于2．其中正确的结论是 （填写序号）． 题型2 与二次函数有关的求面积问题 如图1，三角形的一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”三角形的面积，直接用面积公式； 如图2，先把三角形补成梯形，算出梯形面积再减去两个规则三角形ADB、CEB的面积； 如图3，把三角形割成两个三角形，用“水平宽、铅锤高”的方法，计算面积方法如下: 图1 图2 图3 如图4，同底等高三角形的面积相等，平行线间的距离处处相等； 如图5，三角形底相同时，面积比等于高之比； 如图6，三角形高相同时，面积比等于底之比. 图4 图5 图6 重难点一 割补法 11．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，，且交轴于另一点． (1)求点，的坐标及抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； 12．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，抛物线过点，与x轴交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点C为抛物线的顶点，直接写出点C的坐标； (3)求（2）中四边形的面积． 13．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．    (1)如果抛物线还经过点． ①求抛物线的解析式； ②求四边形的面积； 重难点二 铅锤法 14．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； 15．（24-25九年级下·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为二次函数图象上一动点． (1)求二次函数的表达式与直线的表达式； (2)已知点在直线上方，当的面积最大时，求点的坐标． 16．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)若的面积与的面积相等，求点的坐标． 重难点三 平行转化法 17．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标； (3)点是抛物线上一点，若，求点的坐标． 题型3 与二次函数有关的面积转化问题 重难点一 面积比转化为高的比 19．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，若顶点D的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点F是抛物线上位于第一象限的动点，直线分别与y轴、直线交于点E，H． ①当时，求的长； ②连接，若与面积之比是，请直接写出点F的坐标． 20．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，直线与 x、y轴分别交于B，C两点，抛物线经过B，C 两点，且交x轴于另一点A． (1)求B，C两点的坐标及该抛物线所表示的二次函数的表达式： (2)如图1，若直线为抛物线的对称轴，请在直线上找一点M，使得 最小，求出点M的坐标； (3)如图2，若在直线上方的抛物线上有一动点P（与 B，C两点不重合），过点P作轴于点H，与线段交于点N，连接，当的面积是面积的3倍时，求点P的坐标． 重难点二 面积相等转化为直线平行 21．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的右侧），连接，作轴交抛物线于点C，连接．若与的面积相等，求k的值． 22．（24-25九年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，其顶点为D．E是y轴正半轴上一点，直线交抛物线L的对称轴于点P，已知，连接，，交抛物线L的对称轴于点F． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，，当和面积相等时，求a的值； 重难点三 四边形的面积转化为三角形的面积 23．（23-24九年级上·湖北恩施·阶段练习）抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），顶点在y轴的正半轴上，点E，D在抛物线上，．    (1)求点A，B的坐标； (2)求m与n之间的关系式； (3)若的面积是96，求点E的坐标． 24．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值； (3)当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式． 题型4 二次函数与等角问题 ①特殊情况 a.若两角为内错角的位置，可考虑构造平行线，如：若∠1=∠2，则点D一定在过点C与AB平行的直线上. b.若两角为同旁内角的位置，可考虑构造等腰三角形，如：若∠1=∠2，延长AD与BC相交于点E，则△EAB为等腰三角形. ②一般情况：构造相似三角形：如：若∠1=∠2，过点F作FH⊥CD，则△ACB∽△BHF. 重难点一 构造平行 25．（2025·福建莆田·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 重难点二 等角对等边 26．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C． (1)求C点的坐标； (2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标． 重难点三 延长构等腰 27．（2025·四川南充·一模）如图，顶点为的拋物线经过．Rt的顶点在轴正半轴上． (1)求抛物线的解析式． (2)求点的坐标． (3)在拋物线上求出点，使． 28．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）抛物线交轴于，两点（点在点的左边），交轴正半轴于点. （1）如图1，当时. ①直接写出点，，的坐标； ②若抛物线上有一点，使，求点的坐标. （2）如图2，平移直线交抛物线于，两点，直线与直线交于点，若点在定直线上运动，求的值. 重难点四 构造平行，转化为等腰 29．（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）如图（1），抛物线交轴于，两点（点在左边），交轴于点． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)是抛物线第四象限上的一点，连接分别交，于，两点，若，求直线的解析式； (3)平移抛物线使它的顶点为，如图（2）．是轴上一个定点，以点为直角顶点作，使顶点，分别在轴和抛物线上．若在变化的过程中，直线与抛物线始终有唯一公共点，求点的坐标． 30．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优02 二次函数的图像与性质（进阶） （4种题型12重难点） 题型1 二次函数与多结论问题 重难点一 已知对称轴 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，与坐标轴交点的计算是关键． 根据二次函数图象判定各项系数的符号，由此即可求解． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ∴， 对称轴直线为， ∴， 图象与轴交于正半轴，与轴有两个交点， ∴，， ∴，故A选项错误，不符合题意； 根据图示，当是，，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴，故C选项正确，符合题意； ∵， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③，其中；④．其中正确结论的有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】此题主要考查了抛物线的图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，分别观察，，时的函数值，进而对所得结论进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：，， ∵ ∴， ∴，故①正确； 当时，，即， 当时，，即， ∴ 则 即 ∴所以②正确； ③当时，y的值最大．此时， 而当时，，其中， 所以 故， 即，故③错误． ④由对称知，当时的函数值与时的函数值相等，即，故④正确； 故选：B． 3．（2024·安徽安庆·二模）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程无实数根．其中正确结论的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①④ 【答案】B 【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根． 【详解】解：①抛物线图象开口向上， ， 对称轴在直线轴左侧， ，同号，， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故①正确． ②， 当时，由图象可得当时，，即， 当时，，由图象可得时，，即， ，即，故②正确． ③，， ∵， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，故③错误． ④抛物线的顶点坐标为， ， ， 无实数根．故④正确， 综上所述，①②④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系． 4．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，二次函数的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，且．有下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确结论为 ． 【答案】③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的负半轴上可得，再根据二次函数的对称轴可得，则，由此即可判断①错误；根据当时，即可判断②错误；根据即可判断③正确；先求出，代入抛物线的解析式可得，再将代入方程等号的左边进行检验即可判断④正确． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的负半轴上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，则结论①错误； 由得：， 由图象可知，当时，， ∴， ∴，则结论②错误； 当时，， ∴， 由函数图象可知，， ∵， ∴，即， ∴，则结论③正确； ∵，， ∴， 将点代入函数得：， ∵， ∴，即， 将代入得： ， ∴关于的方程有一个根为，则结论④正确； 综上，正确的结论为③④， 故答案为：③④． 重难点二 过定点 5．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论有（  ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质、由二次函数图象判定系数符合及式子符号的方法是解决问题的关键．由图可知，抛物线开口向下，则；抛物线的顶点的坐标为，则对称轴为，得；抛物线与轴交于正半轴，则；根据结论逐项验证即可得到答案． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，则；抛物线的顶点的坐标为，则对称轴为，得；抛物线与轴交于正半轴，则； ，故①正确； 对称轴为， ，则， 令，则由图可知， ，故②正确； 若抛物线经过点，，对称轴为，则点，到对称轴的距离分别为，， ，且抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越近值越大， ，故③错误； 若关于的一元二次方程无实数根，则抛物线与无交点，如图所示： 抛物线的顶点的坐标为， 当时，抛物线与无交点，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④，共3个， 故选：C． 6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，与轴交点为，其部分图象如图所示．现给以下结论：①；②；③若点、在抛物线上，则；④；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由抛物线的开口方向，对称轴方程，与坐标轴的交点情况可判断①②③④，由图象可得直线与抛物线有两个交点，可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：由题意及图象得：，， 对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵、， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故④错误， ∵由图象可得直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故⑤正确； 所以正确的个数有4个； 故选：C． 7．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论有 ． 【答案】①③④⑤⑥ 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图象的关系，结合图像逐项分析，结合已知条件得出结论是解题的关键． ①根据图象开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a，b，c的正负；②根据对称轴公式，判断之间的关系；③根据时，，比较与0的大小；④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合②的结论判断即可；⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论；⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标即可得到结论． 【详解】解：①∵抛物线图象开口朝上， ∴ ， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②错误； ∵抛物线图象与y轴交点位于x轴下方， ， ，故①正确； ③经过， 又由①得，， ，故③正确； ④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等， 当时，即 ， 即， 经过，即经过，故④正确； ⑤当时，，当时，， ， 函数有最小值， ， ∴， ∴，故⑤正确； ⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标，结合函数图象可知，抛物线与直线有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根，故⑥正确； 综上所述：①③④⑤⑥正确． 故答案为：①③④⑤⑥． 8．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线经过点，且满足下列四个结论：①；②；③若，则不等式的解集或；④抛物线上的两个点，，当，且时，．其中一定正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线过点和条件，推导出抛物线的对称轴及参数关系；接着分析各结论的正确性，涉及对称轴方程、参数符号、二次不等式解集及点坐标比较． 【详解】解：∵抛物线经过点 ， ∴，即，故①正确， ∴ ∴对称轴为直线 又∵满足 ∴抛物线经过点 代入 ∴ ∴ ∴ 若，则，，此时，成立； 若，则，，此时，仍成立． 因此，无论正负，，故结论②正确 ∵，代入， ． 解得： 不等式，整理为：． 代入，： ，即：． 当时，，解得：或． 因此结论③正确 当时，由得，抛物线开口向上，对称轴为． 比较点和的纵坐标： ， ． 代入，： 展开化简：， 故． 同理， 展开化简：， 故． 由得：（因，可两边除以）： ． 因此，正确答案为①②③． 故答案为：①②③． 重难点三 分式处理 9．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知抛物线（a，b，c，是常数，）经过点，其中．下列结论：①；②关于x的一元二次方程一定有一个根是小于1的正数；③当时，y随x的增大而减小；④分式的值小于3．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．将点坐标代入抛物线解析式可得根据即可判断①；根据根与系数的关系判断②；抛物线对称轴，可以确定对称轴位置，所以时y随x的增大而减小判断③；将时，，即，裂项变形即可判断④． 【详解】解：①将点坐标代入抛物线解析式得：， ， ，故结论①错误； ②令，则， 两根之和，，两根之积，， 、均大于0， 当时，，，抛物线开口向上， 抛物线有1个根在0到1之间，即有1个根在0到1之间，故②正确； ③，，把其中c替换成a，，即 ， ， ，故③正确； ④，抛物线与x轴两个交点均在正半轴， 当时，，即， ， ，， ， ，故④正确． 故选：C． 10．（2024·湖北武汉·二模）抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其中．下列结论：①；②关于x的一元二次方程一定有一个根在到0之间；③当时，y随x的增大而增大；④分式的值小于2．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是解答本题的关键． 将点坐标代入抛物线解析式可得，根据即可判断①；根据根与系数的关系判断②；抛物线对称轴，可以确定对称轴位置，所以时随的增大先增大后减小，判断③；将时，，即，变形即可判断④． 【详解】解：将点坐标代入抛物线解析式得：， ， ∴，故结论①正确； 令，则， 两根之和，，两根之积，， ∴、均小于0， 当时，，，抛物线开口向下， ∴抛物线有1个根在到0之间， 即，有1个根在到0之间，②正确； ∵，把其中替换成， 即， ∴， ∵， ∴， 当时，y随x的增大先增大后减小；结论③错误； 当时，． ， ， ，， ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 题型2 与二次函数有关的求面积问题 如图1，三角形的一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”三角形的面积，直接用面积公式； 如图2，先把三角形补成梯形，算出梯形面积再减去两个规则三角形ADB、CEB的面积； 如图3，把三角形割成两个三角形，用“水平宽、铅锤高”的方法，计算面积方法如下: 图1 图2 图3 如图4，同底等高三角形的面积相等，平行线间的距离处处相等； 如图5，三角形底相同时，面积比等于高之比； 如图6，三角形高相同时，面积比等于底之比. 图4 图5 图6 重难点一 割补法 11．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，，且交轴于另一点． (1)求点，的坐标及抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； 【详解】（1）解：令，得， ∴， 令，由， ∴； 把、两点代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 令，得， 解得：或， ∴； （2）解：连接，如图，    设， 则 ， ∴当时，四边形面积最大，其最大值为18， 此时M的坐标为； 12．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，抛物线过点，与x轴交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点C为抛物线的顶点，直接写出点C的坐标； (3)求（2）中四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积为30 【分析】本题考查了二次函数解析式的求法(交点式)、顶点坐标的求解及不规则四边形面积的计算，解题的关键是利用待定系数法确定抛物线解析式，通过分割法将四边形面积转化为三角形和梯形面积之和求解． (1)根据抛物线与x轴的交点设交点式，代入D点坐标求出系数a，得到解析式； (2)将解析式配方为顶点式，直接得出顶点C的坐标； (3)过顶点C作x轴垂线，将四边形分割为两个三角形和一个梯形，分别计算面积后求和． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为[交点式，因抛物线过、]． 将代入解析式得：，即，解得． ∴抛物线的解析式为． （2）将解析式化为顶点式：． ∴顶点C的坐标为． （3）过点C作轴于点为． 四边形的面积可分割为：． 当， ∴， ； ； ． ∴总面积． 13．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．    (1)如果抛物线还经过点． ①求抛物线的解析式； ②求四边形的面积； 【详解】（1）解：①∵抛物线与轴交于和两点， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：． 抛物线的解析式为； ②连接，如图， ， 点坐标为． 和， ，， 当时，， ， ． ∴． 重难点二 铅锤法 14．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； 【详解】（1）解： 抛物线与轴交于两点， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：令，则， 点． 设直线的函数解析式为． 将代入，得， 解得， 直线的函数解析式为． 如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接． 的面积． 当取得最大值时，的面积最大． 设点的坐标为，则点的坐标为， ． ， 当时，取得最大值，的面积最大， 此时点的坐标为． 15．（24-25九年级下·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为二次函数图象上一动点． (1)求二次函数的表达式与直线的表达式； (2)已知点在直线上方，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． （）设交点式，再化为一般式得到，则求出得到二次函数解析式，接着确定点坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式； （）过点作轴交于点，如图，设，则，所以，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴二次函数解析式为， ∴， ， 解得， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点，如图， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时点坐标为． 16．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)若的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）先求出、的坐标，然后根据两点间距离公式求解即可； （2）先求出顶点的坐标，直线解析式为，过作轴交轴于，轴交于，设，，得出，根据面积相等建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：令， ∴， 解得： ∴， ∴ ∴， （2）过作轴交轴于，轴交于，如图： ， ， 由，得直线解析式为， 设，， 在中，令得， ， ， ； 的面积与的面积相等， 而， ， 解得（舍去）或， 重难点三 平行转化法 17．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等知识点． （1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解； （2）先确定为等腰直角三角形，过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，通过三线合一得到，由三角形面积公式可得过点作平行线与抛物线交点即为点，然后求出直线解析式，再与抛物线解析式联立求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，； （2）解：存在，理由如下： 对于抛物线， 当，， 解得：， 当， ∴，， ∵， ∴， 过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则， ∴， ∴， 过点作平行线与抛物线交点即为点， ∵，， ∴， 设直线， 则， ∴， ∴直线， ∵∥， ∴设直线， 代入得：， 解得：， ∴直线， 与抛物线解析联立得：， 整理得： 解得： 或， ∴点P的横坐标为或． 18．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标； (3)点是抛物线上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)y=-x2+4x-3 (2)(,)或(,)或（,）或(,) (3)(,) 【分析】（1）先根据一次函数解析式求出点B、C坐标；再代入，求出b、c 即可求解； （2）过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，过点P作PEBC，交y轴于E,交抛物线于p1,p2，过点E作EF⊥BC于F，先求出AN=，再根据两三角形面积关系，求得PM=，从而求得CE=1，则点P是将直线BC向上或向下平移1个单位与抛物线的交点，联立解析式即可求出交点坐标； （3）过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F财富点C作CE⊥DF于E，证△CDE≌△DAD（AAS），得DE=AF，CE=DF，再证四边形OCEF是矩形，得OF=CE，EF=OC=3，然后设DE=AF=n，则CE=DF=OF=n+1， DF=3-n，则n+1=3-n，解得：n=1，即可求出D(2,-2),用待定系数法求直线CQ解析式为y=x-3，最后联立直线与抛物线解析式，求出交点坐标即可求解． 【详解】（1）解：对于直线BC解析式y=x-3， 令x=0时，y=-3， 则C(0,-3)， 令y=0时，x=3， 则B(3,0)， 把B(3,0)，C(0,-3)，分别代入，得 ，解得：， ∴求抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3； （2）解：对于抛物线y=-x2+4x-3， 令y=0，则-x2+4x-3=0，解得：x1=1,x2=3, ∴A(1,0)，B(3,0)， ∴OA=1，OB=3，AB=2， 过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，如图， ∵A(1,0)，B(3,0)，C(0,-3)， ∴OB=OC=3，AB=2， ∴∠ABC=∠OCB=45°， ∴AN=， ∵， ∴PM=， 过点P作PEBC，交y轴于E，过点E作EF⊥BC于F， 则EF= PM=， ∴CE=1 ∴点P是将直线BC向上或向下平移1个单位，与抛物线的交点，如图P1，P2，P3，P4， ∵B(3,0)，C(0,-3)， ∴直线BC解析式为：y=x-3， ∴平移后的解析式为y=x-2或y=x-4, 联立直线与抛物线解析式，得 或， 解得：，，，， ∴P点的坐标为(,)或(,)或（,）或(,)． （3）解：如图，点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥DF于E， ∵∠ADC=90°， ∴∠ACD=∠CAD=45°， ∴CD=AD， ∵∠E=∠AFD=90°， ∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE， ∴△CDE≌△DAD（AAS）， ∴DE=AF，CE=DF， ∵∠COF=∠E=∠AFD=90°， ∴四边形OCEF是矩形， ∴OF=CE，EF=OC=3， 设DE=AF=n， ∵OA=1， ∴CE=DF=OF=n+1 ∴DF=3-n， ∴n+1=3-n 解得：n=1， ∴DE=AF=1， ∴CE=DF=OF=2， ∴D(2,-2), 设直线CQ解析式为y=px-3， 把D(2,-2)代入，得p=, ∴直线CQ解析式为y=x-3， 联立直线与抛物线解析式，得 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴点Q坐标为(,). 【点睛】本题属二次函数与一次函数综合题目，考查了用待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的图象性质是解题的关键． 题型3 与二次函数有关的面积转化问题 重难点一 面积比转化为高的比 19．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，若顶点D的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点F是抛物线上位于第一象限的动点，直线分别与y轴、直线交于点E，H． ①当时，求的长； ②连接，若与面积之比是，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）设出顶点式，将点代入求解即可； （2）①设，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，从而求出的长，过过点作轴，求出的长，再根据，列出方程进行求解即可； ②根据与面积之比是，得到与的面积之比为，进而推出，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为：， 把点代入得：，解得：， ∴； （2）①∵， 当时，，当，， 解得：， ∴， 设的解析式为，将，代入，得：， ∴， 设， 设直线的解析式为，则： ，解得：， ∴， 当时，； ∴， ∴， 联立：，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，， 过点作轴，则：， ∵， ∴， ∵， ∴，解∶或（不合题意，舍去）， 经检验，原方程的解； ∴； ②∵与面积之比是， ∴与的面积之比为， ∵， ∴， 由①知：，， ∴，解得：或（舍去）； 经检验是原方程的解， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两条直线的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，计算量大，解题的关键是掌握的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解．属于压轴题． 20．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，直线与 x、y轴分别交于B，C两点，抛物线经过B，C 两点，且交x轴于另一点A． (1)求B，C两点的坐标及该抛物线所表示的二次函数的表达式： (2)如图1，若直线为抛物线的对称轴，请在直线上找一点M，使得 最小，求出点M的坐标； (3)如图2，若在直线上方的抛物线上有一动点P（与 B，C两点不重合），过点P作轴于点H，与线段交于点N，连接，当的面积是面积的3倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点求解、抛物线对称轴性质、最短路径问题（轴对称转化）及三角形面积关系的应用．解题的关键是利用对称转化线段和，通过坐标表示线段长度，结合面积比建立方程． （1）求直线与坐标轴交点，代入抛物线解析式求解参数． （2）确定对称点，将转化为共线线段和，求交点坐标． （3）设坐标表示高的长度，利用面积比列方程求解． 【详解】（1）解：直线与x轴交于B（令）： 则，解得：， 故； 直线与y轴交于（令），则， 故． 抛物线过，代入得： ，解得 故抛物线表达式为． （2）抛物线对称轴为； 令，解方程得或， 故． ∵关于对称轴对称， ∴，则． 当共线时，最小，直线为， 代入得，故． （3）设，则． 与同底，面积比等于高的比（）， 即， ∴ 化简得， 解得（为B点，舍去），故． 重难点二 面积相等转化为直线平行 21．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的右侧），连接，作轴交抛物线于点C，连接．若与的面积相等，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法，熟练掌握二次函数与一次函数的交点间的关系，平行线的性质是解题的关键． 由面积相等可得，则直线的解析式为，分别求出，，再由点点A在直线上，得到方程，求出k的值即可． 【详解】解：与的面积相等， ， ∴直线的解析式为， 由时，解得或 ， ， 轴， 点与C点关于y轴对称， ， ∵点A在直线上， ， 解得， ， ． 22．（24-25九年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，其顶点为D．E是y轴正半轴上一点，直线交抛物线L的对称轴于点P，已知，连接，，交抛物线L的对称轴于点F． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，，当和面积相等时，求a的值； 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ，， ， ， ， ， 设直线的函数表达式为，把A、E两点坐标分别代入，得， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）解：， 抛物线L的对称轴为直线， ， 和面积相等， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， ， 把代入，得， 解得：； 重难点三 四边形的面积转化为三角形的面积 23．（23-24九年级上·湖北恩施·阶段练习）抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），顶点在y轴的正半轴上，点E，D在抛物线上，．    (1)求点A，B的坐标； (2)求m与n之间的关系式； (3)若的面积是96，求点E的坐标． 【答案】(1)，详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【分析】（1）令，解得：，即可求解； （2）点A向右平移2个单位向上平移n个单位得到点C，则点E向右平移2个单位向上平移n个单位得到点，即可求解； （3）由，即可求解． 【详解】（1）令， 解得， 即点A、B的坐标分别为：； （2）∵点，点E的坐标为， 又因为点A向右平移2个单位向上平移n个单位得到点C， ∴点E向右平移2个单位向上平移n个单位得到点， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：， 整理得：； （3）连接，过点E作y轴的平行线交x轴于点M，交过点C与x轴的平行线与点N，    则 ， 解得（舍去）或4， 故点E的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 24．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值； (3)当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式． 【答案】(1) (2)2或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，分①；②；③三种情况讨论，利用直角三角形的性质列出方程，解出的值，得到点的坐标，代入抛物线即可求出的值； （3）联立抛物线和直线的解析式，得到，再联立抛物线和直线的解析式，同理可得，得出，再利用即可求解． 【详解】（1）解：代入和到抛物线得，， 解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：由（1）得，， 抛物线， 令，则， ， 又， ， 第一象限点在抛物线上， 设， ①若，则点和点的纵坐标相同， ， 解得：（舍去）； ②若，则点和点的纵坐标相同， ， 解得：或（舍去）， ， 代入到抛物线得，， 解得：； ③若，取的中点为，则， ， ， 解得：或（舍去）或（舍去）， ， 代入到抛物线得，， 解得：； 综上所述，的值为2或． （3）解：联立， 消去整理得：， 直线与抛物线交于点、， ， 联立， 消去整理得：， 同理可得，， ， 四边形的面积 ， 四边形的面积与的函数关系式为． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会运用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 题型4 二次函数与等角问题 ①特殊情况 a.若两角为内错角的位置，可考虑构造平行线，如：若∠1=∠2，则点D一定在过点C与AB平行的直线上. b.若两角为同旁内角的位置，可考虑构造等腰三角形，如：若∠1=∠2，延长AD与BC相交于点E，则△EAB为等腰三角形. ②一般情况：构造相似三角形：如：若∠1=∠2，过点F作FH⊥CD，则△ACB∽△BHF. 重难点一 构造平行 25．（2025·福建莆田·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数与二次函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将点和点坐标代入求解即可； （2）由题意可知，进而求出解析式，联立方程组求解． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得 抛物线， 顶点； （2）解：如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：舍或， ． 重难点二 等角对等边 26．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C． (1)求C点的坐标； (2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标． 【答案】(1)C点的坐标为 (2)D点的坐标为 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数和一次函数的交点问题等知识． （1）把代入抛物线解析可得．即可求出点C的坐标； （2）设与轴的交点为，由得到，则，求出，则，在中，，求出，得到，求出直线的解析式为，联立一次函数和二次函数解析式求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入抛物线解析可得： 解得：． ∴， 当时，， ∴C点的坐标为； （2）设与轴的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，令，则， 解得：，， ∴， ∴， 在中，，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴D点的坐标为： 重难点三 延长构等腰 27．（2025·四川南充·一模）如图，顶点为的拋物线经过．Rt的顶点在轴正半轴上． (1)求抛物线的解析式． (2)求点的坐标． (3)在拋物线上求出点，使． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）已知抛物线上的点在轴上，可设抛物线的一般式，再将点、的坐标代入，得到关于、的方程组，求解方程组即可得到抛物线的解析式． （2）先根据（1）中求出的抛物线解析式确定顶点的坐标，结合图像可知，通过延长与轴交于点，作轴于，利用全等三角形的性质求出点的坐标，再求出直线的解析式，进而求出直线与轴正半轴的交点的坐标． （3）分两种情况讨论，一是当时，先求出直线的解析式，再根据两直线平行斜率相等求出直线的解析式，最后联立直线与抛物线的解析式求出点的坐标；二是利用角的关系，通过中点构造全等三角形，求出相关直线解析式，再联立直线与抛物线解析式求出点的坐标． 【详解】（1）解：在轴上， 可设抛物线为 将A,B的坐标代入，得． 解得． 抛物线解析式为． （2）解：由（1），． ． 如图1，由所给数据，结合图象，只能． 延长与轴交于，作轴于．则． 设直线表达式为．则 ， 解得， 直线表达式为． 当时，， ． ． ． ， ． ． （3）解：如图2，①当时，． 设直线表达式为．则 ，解得， 直线表达式为． 设直线表达式为． 则． ． 直线表达式为． 由， 整理，得， ，或． 当时，． ． ②由（2），得中点． 此时， ． 设直线表达式为．则 ， 解得． 直线表达式为． 由， 整理，得．解得，或． 当时，， ． 综上，点的坐标为，或 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，以及直线与抛物线的交点问题．熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能根据几何关系（如平行、垂直、角相等）构造全等三角形或利用直线斜率关系，以及联立函数解析式求交点坐标，是解题的关键． 28．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）抛物线交轴于，两点（点在点的左边），交轴正半轴于点. （1）如图1，当时. ①直接写出点，，的坐标； ②若抛物线上有一点，使，求点的坐标. （2）如图2，平移直线交抛物线于，两点，直线与直线交于点，若点在定直线上运动，求的值. 【答案】（1）①，，；②；（2） 【分析】（1）①令x=0，可求点C坐标，令y=0，可求A点，B点坐标； ②延长CP交x轴于点E，由勾股定理和等腰三角形的性质可求点Q坐标，再求直线CE的解析式，联立方程可求点P坐标；（2）先求出BC解析式，再求出点M，N的横坐标，最后利用联立可解决问题． 【详解】（1）①当m=3时，y=-x2+2x+3， 当x=0时，y=3，则点C（0，3）， 当y=0时，0=-x2+2x+3， ∴x1=3，x2=-1， ∴，，； ②如图1，延长交轴于点，设， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， ∴， ∴（舍）， ∵在抛物线上， ∴； （2）如图2， 令，，， ∴，，， 设解析式为：， 联立 ，即 ， ∴， 同理：设解析式为：， ∴， ∵， ∴的解析式为， ∴设解析式为：， 联立， ∴， ∴， ∴即， 联立， ∴， ∴， 又， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式等知识，属于二次函数综合题，难度较大. 重难点四 构造平行，转化为等腰 29．（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）如图（1），抛物线交轴于，两点（点在左边），交轴于点． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)是抛物线第四象限上的一点，连接分别交，于，两点，若，求直线的解析式； (3)平移抛物线使它的顶点为，如图（2）．是轴上一个定点，以点为直角顶点作，使顶点，分别在轴和抛物线上．若在变化的过程中，直线与抛物线始终有唯一公共点，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理．作出恰当的辅助线是解题关键． （1）令为0，解方程即可得和的坐标，令，即可得的坐标； （2）作交抛物线于点，交于点，利用平行导角证明，求出的表达式，设，进而由勾股定理表达出，从而可解得点坐标，得到，由平行关系 可得，最终可求直线的表达式； （3）由平移可得新抛物线的表达式为，设，由于直线与抛物线有且只有一个交点，亦可看成有两个重合的交点，故可由待定系数法得直线的表达式为，从而求出点的横坐标为作轴于点，如图（2）所示，利用“一线三垂”证明，得到比例式，设，即，整理可得，根据当点运动时，上式中的值与点的位置无关，从而，即，故得点的坐标． 【详解】（1）解：令中为0， 则，解得或， ，， 当时，， ； （2）解：作交抛物线于点，交于点，如图所示， ， ， ， ． ， 设直线的表达式为， 把，代入表达式，可得， 解得， 所以直线的表达式为， 设，则， 即， 解得或0， 故， 故． ， ， 设直线的表达式为， 把代入可得， 解得， 直线的表达式为； （3）解：平移抛物线使抛物线的顶点为， 平移后抛物线的， 所以新抛物线的表达式为， 设， 设直线的解析式为， 把代入可得， 可得， 所以直线的解析式为， 列方程，整理得 由于直线与抛物线有且只有一个交点， ，即， 可得， 故直线的表达式为， 再令，得， 解得． 作轴于点，如图所示， ， ， ， ， ， ， ， 设， 即， 整理可得， 当点运动时，上式中的值与点的位置无关， ，即， 故点的坐标为． 30．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，，解得或（舍去）， 则． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 把点代入得， 直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$