计算强化专练一 元二次方程的解法-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材九年级全一册数学（人教版2024 贵州专版）

计算强化专练 类型1 直接开平方法 方法指导 形如x2=n(n≥0)或(ax十m)2=n(a≠0，n≥0) 的一元二次方程，用直接开平方法求解 1.用直接开平方法解方程(x十6)2=9，下列结 论正确的是 A.x+6=3 B.x+6=-3 C.x+6=9,或x+6=-9 D.x+6=3,或x+6=-3 2.用直接开平方法解下列方程： (1)(x-1)2=4; (2)4(x-2)2-121=0. 类型2配方法 万法指得 当一元二次方程的二次项系数化为1后，一次项 系数为偶数时，用配方法求解 元二次方程的解法 3.用配方法解一元二次方程2x2一4x一1=0， 配方正确的是 () A.(x-2)2=5 B.(x-2)2=1 c.x-1= D.(x-1)2=1 22 4.用配方法解下列方程： (1)x2-32=4x; (2)2x2+8x-10=0. 类型3公式法 方法指得 如果一元二次方程易化为它的一般形式且系数 的绝对值较小，那么用公式法求解较简便。 求根公式：x=一b士F一4ac 2a 5.用公式法解方程x2一6.x+1=0所得的解正 确的是 A.x=-3±√/10 B.x=3士√/10 C.x=-3士2√2 D.x=3±2√2 数学[九年级全册11 6.用公式法解下列方程： (1)3.x2-6x+4=0; (2)2x2+7x+3=0. 类型4因式分解法 方法指导 可化为形如(x十a)(x十b)=0的一元二次方程， 用因式分解法求解。 7.一元二次方程x(x一3)=x一3的根是( A.x=1 B.x=-3 C.x1=1,x2=3 D.x1=0,x2=3 8.用因式分解法解下列方程： (1)x-7-x(x-7)=0; (2)3x-6=x(x-2). 12第二十一章一元二次方程 类型5换元法 方法指得 如果方程中出现一些相同的代数式，那么用换元 法求解的方法是：构造元和假设元 9.已知关于x的方程(x一2)2-3(x一2)+2= 0,则x一2的值为 ( ) A.1或3 B.2或3 C.1或2 D.4 10.已知实数a,b满足(a2十b)2一2(a2+b2)= 8,则a2+b的值为 ( ) A.-2 B.4 C.4或-2 D.-4或2 11.阅读材料： 【例】解方程(x-1)2-5(x-1)+4=0. 解：设x-1=y, 则原方程可化为y2一5y+4=0. 解得y1=1,y2=4. 当y=1时，x一1=1，解得x=2. 当y=4时，x一1=4，解得x=5. ∴.原方程的解为x1=2,x2=5. 上述解法称为“整体换元法”. 请运用“整体换元法”解方程： (1)x-3x2-4=0: (2)(x2-2)2-11(x2-2)+18=0.基础过关 1.C2.C3.2x-3-6=04.解：(1)移项，得x2十3x=0.因式分解，得x(x十3)=0. 于是得x=0,或x十3=0，x1=0,x2=一3：(2)因式分解，得(x-5)2=0.于是得x一5= 0,x1=x2=5.5.D6.解：(1)4x2-4=0,4x2=4,x2=1,x=±1，x1=-1,x2=1: 1 (2)因式分解，得(2x-1)(x-1)=0,于是得2x-1=0,或x-1=0,x=2,2=1. 7.解：(1)一(2)(3x-1)2=2(3x-1).移项，得(3x一1)2-2(3x-1)=0.因式分解， 得(3x-108x-3)=0.于是得3x-1=0,或3x-3=0m=号=1 能力提升 8.B9.1110.1或411.解：移项，得3x2-6x=2.二次项系数化为1，得x2-2x= 号配方，得2-红+P=号+1，G-1》=号由此可得一1=士 3 ,x1=1十 34=1-1⑤5 V√15 3 思维拓展 12.解：(1)(x十2)(x十4)(x-10)(x+3)(2)因式分解，得(x十3)(x-1)=0,于是 得x十3=0，或x-1=0,x1=-3,x2=1:(3)因式分解，得(2x-5)(2x十1)=0，于是得 2x-5=0,或2x+1=0=号m=-2 计算强化专练一元二次方程的解法 1.D2.解：(1)x-1=±2，x-1=2,或x-1=-2.x1=3,x=-1;(2)4(x-2)2= 4x-2=士号一2-号或x一2=-号离 121.(x-2)2=121 222 2·3.C 4.解：(1)移项，得x2-4x=32.配方，得x2-4x十22=32十22，(x-2)2=36.由此可得 x-2=士6,1=8，x2=一4；(2)移项，得22十8x=10.二次项系数化为1，得x2十4x= 5.配方，得x2十4x十22=5十22，(x十2)2=9.由此可得x十2=士3，x1=1,x2=-5. 5.D6.解：(1)a=3,b=-6,c=4.△=b2-4ac=(-6)2-4×3×4=-12<0.方程无 实数根；(2)a=2,b=7,c=3.△=6-4ac=72-4×2×3=25>0.方程有两个不等的实 数根=二土@c-7表压-二75，即=-3=-子7.C8.解： 1 2a 2×2 4 (1)因式分解，得(x-7)(1-x)=0.于是得x-7=0,或1-x=0,x1=7,x2=1;(2)原 方程可变形为3(x一2)一x(x一2)=0.因式分解，得(x一2)(3-x)=0.于是得x-2= 0,或3-x=0,x1=2,x2=3.9.C10.B11.解：(1)设x2=y,则原方程可化为y一 3y-4=0.解得y=4,2=-1.当y=4时，x2=4,.x=士2.当y=-1时，x2=-1, 此方程无解..原方程的解为x1=2,x=一2：(2)设x2一2=y,则原方程可化为y一 11y+18=0.解得y1=2,y2=9.当y=2时，x2-2=2,x2=4,x=±2.当y=9时， x2-2=9,x2=11,x=士√T.∴原方程的解为x=2,x2=-2,x=-√，x4= √I. 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 新知梳理 b c aa 例题引路 【例1】解：1)十=一3，x=1:(2)x十=0，=一号，【例2】解：根据根 与系数的关系，得西十西=号x-分1)原式=（红十）-21=（号）-2× 5 5 名-(2原式-=三-5 2 第4页（共78页） 基础过关 1.22.A3.C4.75.D6.D7.A8.3 能力提升 9.A10.B11.土J1712.解：(1)b-4ac=(1+3)2-4×1×(m+1)=m+2m+5 =(m十1)2十4.：(m十1)≥0，∴.(m十1)2十4>0，∴.无论m取何值时，原方程总有两 个不相等的实数根；(2)易得x1十x2=一(m十3)，x1x2=m十1，：x十x=4,∴.(x1十 x2)2-2x1x2=4.∴.[-(m十3)]-2(m十1)=4，整理，得m2十4m十3=0.解得m1= 一1，m2=一3.即m的值为一1或-3. 思维拓展 13.解：(1)-2 -8 (2)2,3是方程x2十px十9=0的两根，…2+3=一p,2×3 =q,∴.p=-5,9=6;(3),两个不同的实数m,n满足m2十5m-3=0,n2十5n一3=0， Cm,n可看作方程x十5x一3=0的两根，心m十n三一5，mn=一3.，化十”白 m m点过_士-一5)”-X二》=一}即兴+丹的值为- mn mn -3 n m 重点突破专题一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.C2.B3.A【变式1】m<8【变式2】m≤54.解：)当k=1时，原方程化为 x2十2x=0,(x十2)x=0,x十2=0，或x=0,x1=-2,x2=0;(2):方程x2十2x十k-1 =0有两个相等的实数根，∴.△=6-4ac=22-4(k-1)=0,解得k=2.5.B6.7 7.B8.解：(1)a=1,b=-(m十2)，c=m-1,△=-4ac=[-(m+2)]2-4×1X(m -1)=2十4m十4-4m十4=m2十8..m≥0，.△>0...无论m取何值，方程都有两 个不相等的实数根；(2)由题意，得x1十x2=m十2，x12=1一1.：x十x一2=9， 即(x1十x2)2-3x1x2=9,∴.（十2）2一3(1-1)=9.整理，得m2十m-2=0..(m十 2)(m-1)=0.∴m十2=0，或m-1=0,解得m=-2,2=1..m的值为-2或1. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题与循环问题 例题引路 【例111x-1)合x(x-1)(2)2(x-1D=4X7(3)z=-7,x=8(4)x= 一7不符合题意，舍去，只取x=8(5)8【例2】解：设原来的两位数十位上的数字为 x,则个位上的数字为(5-x).根据题意，得(10x十5-x)[10(5-x)十x]=736.整理，得 x2-5x十6=0.解得x1=2,x2=3.当x=2时，5-x=5-2=3.当x=3时，5-x=5- 3=2.答：原来的两位数是23或32. 基础过关 1.B【变式92.A【变式】x(x-1)=1103.解：设九(2)班有x个同学，则每个同 学交换出(x一1)件小礼物.根据题意，得x(x-1)=1560.解得x1=40,x2=一39（不符 合题意，舍去).答：九(2)班有40个同学.4.C5.x2-7x十12=0 能力提升 6.B7.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌.根据题意，得60x =24000.解得x1=20,x2=一20（不符合题意，舍去）.答：每轮分裂中平均每个有益菌 可分裂成20个有益菌：(2)24000×20=480000（个）.答：经过三轮培植后有480000 个有益菌。 思维拓展 8解：(1)根据题意，得2n(n一3)=14，整理，得-3n-28=0.解得m=7,=-4. n≥3，n=一4不符合题意，舍去.n=7,即这个多边形的边数是7：(2)A同学的 说法不正确.理由如下：当n(n-3)=10时，整理，得m-3n-20=0.解得n= 生y区符合方程心-3m一20=0的正整数n不存在心多边形的对角线不可能有 10条，即A同学的说法不正确 第5页（共78页） 第2课时平均变化率与销售问题 例题引路 【例1】10%【例2】解：设每件商品的售价提高x元.根据题意，得(10十x一8)200 0.5X10）=640.整理，得x-8x十12=0.解得=2，m,=6.又：要减少进货量，x =6,.售价定为10十6=16（元）比较合适.答：将售价定为16元时，能使每天所得利润 为640元. 基础过关 1.B2.解：(1)200(1-x)(2)根据题意，得200(1-x)2=162,解得x1=0.1=10%, x2=1.9(舍去)，答：每次降价的百分率为10%.3.解：(1)(40-x)(20十2x) (2)根据题意，得(40-x)(20十2x)=1200.整理，得x2-30x十200=0.解得x1=10,x2 =20,·为了扩大销售，尽快减少库存，x=20.答：每件玩具应降价20元. 能力提升 4.A5.解：(1)设利润的年平均增长率为x.根据题意，得3(x十1)2=4.32，解得x1= 一2.2（不符合题意，舍去），x2=0.2=20%.答：利润的年平均增长率为20%；(2)4.32 ×(0.2十1)=5.184<6.答：该企业2024年的利润不能超过6亿元. 思维拓展 6.解：问题1：设螃蟹的售价为x元/kg.由题意，得100-(x一50)×2=90，解得x=55, .(55一40)×90=1350（元）.答：某天螃蟹的市场销售总重量为90kg时，当天能获利 1350元；问题2：设螃蟹的售价为y元/kg.由题意，得(y-40)×[100-(y-50)×2]= 1750,解得y=65,y2=75.:要帮市场解决销售问题的同时为顾客谋实惠，·y=65. 答：该小组会建议将螃蟹的售价定为65元/kg. 第3课时几何图形问题 基础过关 1.B2.D3.2cm,4cm4.C5.解：设页边距为xcm.根据题意，得(16-2x)(10- 2x)=16×10×70%.整理，得x2-13x十12=0，解得x1=1,x2=12(不符合题意，舍 去).答：需设置页边距为1cm. 能力提升 6.解：(1)设养鸡场的边AB的长为xm,则BC的长为(40一2x)m,根据题意，得x(40 -2x)=150.整理，得x2-20x十75=0.解得x1=5,x2=15.当x1=5时，40-2x=30 >18,不符合题意，舍去：当x2=15时，40-2x=10<18,符合题意：答：养鸡场的长为 15m,宽为10m:(2)围成养鸡场的面积能达到200m,理由如下：设养鸡场的边AB的 长为ym,则BC的长为(40一2y)m.根据题意，得y(40一2y)=200.整理，得y2一20y 十100=0.：△=（一20）-4×1×100=0，∴.方程有两个相等的实数根，.围成养鸡场 的面积能达到200m2. 第二十一章整合与提升 高频考点突破 1.C2.A3.B4.解：(1)(x-1)2=4,x-1=±2，x-1=2,或x-1=-2,x1=3,x2 =-1;(2)因式分解，得(x-2)(x-2-3)=0,(x-2)(x-5)=0,于是得x一2=0，或x -5=0,x1=2,x2=5.5.解：(1)一(2)方程化为3x2-5x-2=0.a=3,b=-5,c= -2.△=b-4ac=(-5)2一4×3×(-2)=49>0.方程有两个不等的实数根x= -b±√-4ac_5±7 =2x3,即x=2,=-3.6.A7.B8.29.B10.52或58 11.解：(1)设道路宽为xm.根据题意，得(32-2x)(20-x)=570,整理，得x2-36x十 35=0.解得x1=1,x2=35.:35>20,.x=35不合题意，舍去.答：道路宽为1m; (2)570×100+(32×20一570)×80=62600（元）.答：小区花的总费用为62600元. 易错易混专攻 1.D2.-1 第6页（共78页）