专题01 实数（期末真题汇编60题，上海专用）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题01 实数 6大高频考点概览 考点01 平方根 考点02 立方根 考点03 算术平方根 考点04 无理数及其估算 考点05 实数与数轴 考点06 实数的大小比较 地 城 考点01 平方根 一、单选题 1．(25-26八上·上海市西中学·期中)下列语句正确的是（    ） A．是5的一个平方根 B．400万有7个有效数字 C．近似数12.8和12.80表示的意义是相同的 D．一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1 2．(25-26八上·上海杨浦区·期中)下列说法正确的是（   ） A． B．0的平方根是0 C． D．的平方根是2 3．(25-26八上·上海嘉定区德富中学·期中)下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和 B．平方根是它本身的数是0和1 C．算术平方根是它本身的数是1 D．绝对值是它本身的数是0 4．(25-26八上·上海松江区·期中)下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．4是2的算术平方根 D．的算术平方根是2 二、填空题 5．(25-26八上·上海虹口区·期中)有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为 ． 6．(25-26八上·上海松江区·期中)的平方根是 ． 7．(25-26八上·上海南洋模范中学·期中)已知，为实数，，则的平方根是 ． 三、解答题 8．(25-26八上·上海闵行区北桥中学·期中)认真阅读下面的材料，再解答问题． 根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义． (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______； (3)求的值：． 9．(25-26八上·上海闵行区莘松中学·期中)已知某正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根等于本身，且，的整数部分为，求的算术平方根． 10．(25-26八上·上海延安初级中学·期中)已知的立方根为3，求的平方根． 地 城 考点02 立方根 一、单选题 1．(25-26八上·上海闵行区上海师范大学附属中学闵行实验学校·期中)下列实数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．(25-26八上·上海师范大学附属高桥实验中学·月考)下列说法正确的是（　　） A．1的平方根与立方根相同 B．实数与数轴上的点一一对应 C．两个无理数的和还是无理数 D．对于实数，若，则 3．(25-26八上·上海民办桃李园实验学校·月考)下列各数：、、、、、，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．(25-26八上·上海虹口区·期中)下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．(25-26八上·上海延安初级中学·期中)如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．(25-26八上·上海上宝中学·月考)在0、、、、、、、、、（它的位数无限且相邻两个“3”之间“7”的个数依次加1个），这十个数中，无理数有 个． 7．(25-26八上·上海奉贤区·期中)已知，如果，则 ． 8．(25-26八上·上海闵行区上海师范大学附属中学闵行实验学校·期中)如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为 ． 三、解答题 9．(25-26八上·上海建平中学西校·月考)已知一个数的两个不同的平方根是和，求这个数的立方根． 10．(25-26八上·上海杨浦区·期中)化简： 地 城 考点03 算术平方根 一、单选题 1．(25-26八上·上海奉贤区·期中)下列说法正确的是（   ） A．9的算术平方根是 B．9的算术平方根是3 C．3的算术平方根是9 D．的算术平方根是 2．(25-26八上·上海松江区·期中)在实数，，，，、，（位数无限且相邻两个“2”之间依次增加1个“7”）中，无理数共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．(25-26八上·上海延安初级中学·期中)两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(25-26八上·上海奉贤区·期中)如果等式成立，那么应满足的条件是 ． 5．(25-26八上·上海延安初级中学·期中)已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是 ． 6．(25-26八上·上海闵行区莘松中学·期中)定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为 ． 7．(25-26八上·上海杨浦区·期中)客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商 （填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 三、解答题 8．(25-26八上·上海松江区·期中)计算：； 9．(25-26八上·上海闵行区莘松中学·期中)数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 10．(25-26八上·上海虹口区·期中)如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； (3)在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 地 城 考点04 无理数及其估算 一、单选题 1．(25-26八上·上海杨浦区·期中)下列各数中，无理数的个数有（   ） （每两个相邻的2之间多一个1） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(25-26八上·上海奉贤区·期中)下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D．2 3．(25-26八上·上海虹口区·期中)下列各数中是无理数的是（　　） A． B． C．0.23 D．0.1010010001 二、填空题 4．(25-26八上·上海奉贤区·期中)写出一个介于3和4之间的一个无理数： ．（只需写出一个） 5．(25-26八·上海进才实验学校·月考)如果，那么整数 ． 6．(25-26八上·上海松江区·期中)公元3世纪，我国数学家刘徽通过将被开方数化为一个尽可能大的平方数和正整数的和，利用近似公式得到了无理数的近似值．请利用此公式估计： ． 7．(25-26八上·上海建平中学西校·月考)的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 8．(25-26八上·上海闵行区北桥中学·期中)的十分位上的数字是 ． 9．(25-26八上·上海嘉定区德富中学·期中)下列各数、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）中，是无理数的有 个． 三、解答题 10．(25-26八上·上海闵行区七宝第二中学·月考)“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为． (1)围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ (2)围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 地 城 考点05 实数与数轴 一、单选题 1．(25-26八上·上海普陀区·期中)如图，已知点、、是数轴上的三个点，且点是线段的中点，若点、所对应的实数依次是、，则点所对应的实数是（     ） A． B． C． D． 2．(25-26八上·上海杨浦区·期中)下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 3．(25-26八上·上海延安初级中学·期中)下列说法正确的是（   ） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无理数与有理数的乘积是无理数 C．如果是实数，那么没有平方根 D．实数可以用数轴上唯一的一个点来表示 4．(25-26八上·上海奉贤区·期中)如图，数轴上表示1、的对应点分别为、，如果点与点关于点的对称，那么点C所表示的数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(25-26八上·上海新农学校·月考)在数轴上，与数2距离为的点所对应的数是 ． 6．(25-26八上·上海闵行区莘松中学·期中)如图，点B，C在数轴上表示的数分别是4，，若点C关于点B的对称点为A，则数轴上点A表示的数是 ． 7．(25-26八上·上海浦东区三校·期中)如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为 . 8．(25-26八上·上海延安初级中学·期中)如图，数轴上点、点所表示的数分别为0和，以为边长作正方形．以点为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点，那么点表示的实数是 ． 9．(25-26八上·上海延安初级中学·期中)已知在数轴上点与点关于原点对称，且点在点的左侧．点也在该数轴上，且表示的数是．如果，那么的长为 ． 三、解答题 10．(25-26八上·上海新农学校·月考)数轴上点A、B、C、D依次表示四个实数：、、、0． (1)在如图所示的数轴上标出点A的大致位置和点B、C、D的位置； (2)分别求A与B、A与C两点间的距离． 地 城 考点06 实数的大小比较 一、单选题 1．(25-26八上·上海五浦汇实验学校·月考)比大小：______________________，正确的是（   ） A． B．； C． D．； 二、填空题 2．(25-26八上·上海长宁区复旦中学·月考)比较大小： （请填、或）． 3．(25-26八上·上海交通大学附属第二中学·月考)比较大小： （填不等号） 4．(25-26八上·上海普陀区·期中)比较大小： ．（填“”、“”或“”） 5．(25-26八上·上海娄山中学·月考)如果，那么的相反数是 ，绝对值是 ． 6．(25-26八·上海进才实验学校·月考)比较大小： ． 7．(25-26八上·上海延安初级中学·期中)比较大小： ．（填“”、“”或“”） 8．(25-26八上·上海松江区·期中)比较大小： 3（填“”，“”或者“”）． 三、解答题 9．(25-26八上·上海金山区金山初级中学·月考)观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… (1)化简：_____；这是第_____个等式． (2)第个等式是_____．（用含的式子表示） (3)比较与1的大小． 10．(25-26八上·上海进才中学北校·月考)如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 2 / 34 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数 6大高频考点概览 考点01 平方根 考点02 立方根 考点03 算术平方根 考点04 无理数及其估算 考点05 实数与数轴 考点06 实数的大小比较 地 城 考点01 平方根 一、单选题 1．(25-26八上·上海市西中学·期中)下列语句正确的是（    ） A．是5的一个平方根 B．400万有7个有效数字 C．近似数12.8和12.80表示的意义是相同的 D．一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1 【答案】A 【分析】本题考查近似数、有效数字、平方根、立方根，根据它们的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：5的平方根是，故是5的一个平方根，故A正确； B：400万有3个有效数字，故B错误； C：近似数12.8和12.80表示的意义是不同的，12.8精确到十分位，12.80精确到百分位，故C错误； D：一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是0，故D错误． 故选：A． 2．(25-26八上·上海杨浦区·期中)下列说法正确的是（   ） A． B．0的平方根是0 C． D．的平方根是2 【答案】B 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念.算术平方根是非负的，平方根有两个值（0除外）. 选项A混淆了平方根与算术平方根；选项C算术平方根结果应为正；选项D忽略了负平方根；选项B正确. 【详解】解：∵ 算术平方根表示非负值，平方根有正负两个值（时）或0（时）. 对于A：表示算术平方根，应为8，而非，所以此项错误； 对于B：0的平方根是0，正确，所以此项正确； 对于C：，而非，所以此项错误； 对于D：，4的平方根是，选项说“是2”不完整，所以此项错误. 故选：B. 3．(25-26八上·上海嘉定区德富中学·期中)下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和 B．平方根是它本身的数是0和1 C．算术平方根是它本身的数是1 D．绝对值是它本身的数是0 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根等知识，根据立方根、平方根、算术平方根和绝对值的定义，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A．立方根等于它本身的数是0和，故原说法正确； B．平方根是它本身的数是0，故原说法错误； C．算术平方根是它本身的数是0 和1，故原说法错误； D．绝对值是它本身的数是0和正数，故原说法错误， 故选：A． 4．(25-26八上·上海松江区·期中)下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．4是2的算术平方根 D．的算术平方根是2 【答案】D 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．根据定义，正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是非负的；负数没有实数平方根，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵ 4的平方根是，A只给出2，故A错误； ∵ 负数没有平方根，故B错误； ∵ 2的算术平方根是，不是4，故C错误； ∵，4的算术平方根是2，故D正确． 故选：D． 二、填空题 5．(25-26八上·上海虹口区·期中)有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的应用，先计算正方形的面积，再根据圆的面积与正方形面积相等建立方程，求解圆的半径即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由正方形的边长为，则其面积为， 设圆的半径为，则圆的面积为， 根据题意，， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：． 6．(25-26八上·上海松江区·期中)的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，将带分数化为假分数，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：，的平方根是． 故答案为：． 7．(25-26八上·上海南洋模范中学·期中)已知，为实数，，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，平方根，根据二次根式和分式有意义的条件得出，的值，代入求值，再由平方根定义即可求解，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件确定字母的值，准确运用平方根的意义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 三、解答题 8．(25-26八上·上海闵行区北桥中学·期中)认真阅读下面的材料，再解答问题． 根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义． (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______； (3)求的值：． 【答案】(1)； (2)；任意实数 (3)或 【分析】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关定义是解此题的关键． （1）根据，，，并结合题意即可得解； （2）根据四次方根和三次方根的意义解答即可； （3）根据四次方根的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴81的四次方根为， ∵， ∴的五次方根为， 故答案为：；； （2）解：若有意义，则， 故的取值范围是； 若有意义，则的取值范围是任意实数， 故答案为：；任意实数； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 9．(25-26八上·上海闵行区莘松中学·期中)已知某正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根等于本身，且，的整数部分为，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根和立方根的意义． 根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出 ；根据立方根等于本身的数且大于 0，求出 ；估算 的整数部分得到 ；代入求值后求算术平方根即可． 【详解】解：∵某正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴， ∵的立方根等于本身，且， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∵的整数部分为 ， ∴， ∴ 18的算术平方根为． 10．(25-26八上·上海延安初级中学·期中)已知的立方根为3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，得到关于的二元一次方程组，求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：∵的立方根为3， ∴，解得， ∴， ∴的平方根为． 地 城 考点02 立方根 一、单选题 1．(25-26八上·上海闵行区上海师范大学附属中学闵行实验学校·期中)下列实数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比。选项A是分数，B和D是整数，均为有理数；选项C是5的平方根，5不是完全平方数，故为无理数。 【详解】∵ A. 是分数，属于有理数； B. ，是整数，属于有理数； C. ，5不是完全平方数，故为无理数； D. ，是整数，属于有理数。 ∴ 无理数是C。 2．(25-26八上·上海师范大学附属高桥实验中学·月考)下列说法正确的是（　　） A．1的平方根与立方根相同 B．实数与数轴上的点一一对应 C．两个无理数的和还是无理数 D．对于实数，若，则 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、立方根、实数与数轴、无理数的定义、二次根式的性质，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据平方根、立方根、实数与数轴、无理数的定义、二次根式的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、因为，所以1的平方根是，因为，所以1的立方根是1，由于1的平方根与立方根不相同，所以选项A错误； B、实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，所以选项B正确； C、例如和都是无理数，它们的和为，而0是有理数，所以选项C错误； D、根据二次根式的性质，，当时，；当时，．已知，则，而不是，所以选项D错误． 故选：B． 3．(25-26八上·上海民办桃李园实验学校·月考)下列各数：、、、、、，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数为无理数，注意带根号的要开方开不尽才是无理数，利用无理数是无限不循环小数分析求解即可求得答案． 【详解】解：， 下列各数：、、、、、，其中无理数有、、，一共3个， 故选：B． 4．(25-26八上·上海虹口区·期中)下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根和立方根的概念，根据算术平方根是非负的，负数没有实数平方根；立方根有唯一实数解，即可得解，熟练掌握算术平方根和立方根的概念是解此题的关键． 【详解】解：A、，故A计算错误，不符合题意； B、负数在实数范围内没有平方根，故无意义，故B计算错误，不符合题意； C、，故C计算正确，符合题意； D、，故D计算错误，不符合题意； 故选：C． 5．(25-26八上·上海延安初级中学·期中)如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：，且，， ． 故选：A． 二、填空题 6．(25-26八上·上海上宝中学·月考)在0、、、、、、、、、（它的位数无限且相邻两个“3”之间“7”的个数依次加1个），这十个数中，无理数有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查无理数的识别，算术平方根、立方根的化简．无理数是无限不循环小数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的最简式子，特殊结构的数（如：），根据算术平方根、立方根的性质化简等知识即可求解． 【详解】解：无理数有、、，（它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个），共4个， 故答案为：4． 7．(25-26八上·上海奉贤区·期中)已知，如果，则 ． 【答案】5230000 【分析】本题考查立方根，掌握知识点是解题的关键． 通过比较已知立方根与未知立方根之间的倍数关系，利用立方根的性质进行求解． 【详解】解：已知，且． 所以． 故答案为：5230000． 8．(25-26八上·上海闵行区上海师范大学附属中学闵行实验学校·期中)如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出正方形的边长． 先用立方体的体积公式求出魔方的棱长，然后再求出侧面的面积，进而可求出的边长，进而可求出点代表的数． 【详解】解：∵魔方的体积为， ∴魔方的棱长为：， ∴侧面面积为：， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为：， ∴点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，点在数轴上表示的数为， 故答案为： ． 三、解答题 9．(25-26八上·上海建平中学西校·月考)已知一个数的两个不同的平方根是和，求这个数的立方根． 【答案】这个数的立方根是． 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，由题意得，解得，求出这个数是，然后利用立方根的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一个数的两个不同的平方根是和， ∴，解得：， ∴这个数是， ∴这个数的立方根是． 10．(25-26八上·上海杨浦区·期中)化简： 【答案】 【分析】考查立方根、二次根式、负指数幂、零指数幂的运算性质．关键是熟练掌握各运算的公式，易错点是负指数幂、零指数幂的符号及数值计算错误． 分别计算各项： ； ； ； ． 再将各项结果代入原式． 【详解】原式 地 城 考点03 算术平方根 一、单选题 1．(25-26八上·上海奉贤区·期中)下列说法正确的是（   ） A．9的算术平方根是 B．9的算术平方根是3 C．3的算术平方根是9 D．的算术平方根是 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是明确算术平方根为非负数且负数没有算术平方根． 根据算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根是指那个非负的平方根，即，且负数没有算术平方根；据此对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、9的算术平方根是3，不是，此选项不符合题意； B、9的算术平方根是3，此选项符合题意； C、3的算术平方根是，不是9，此选项不符合题意； D、是负数，没有算术平方根，此选项不符合题意． 故选：B． 2．(25-26八上·上海松江区·期中)在实数，，，，、，（位数无限且相邻两个“2”之间依次增加1个“7”）中，无理数共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的概念，即无限不循环小数．逐一判断给定实数中哪些是无理数即可．掌握无理数的定义是关键，注意区分有限小数、循环小数和无限不循环小数． 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； （位数无限且相邻两个“2”之间依次增加1个“7”）是无限不循环小数，属于无理数． ∴ 无理数有 、、（位数无限且相邻两个“2”之间依次增加1个“7”），共3个． 故选：B． 3．(25-26八上·上海延安初级中学·期中)两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义，较小的数等于的平方，则较大的数是较小数加，再求算术平方根即可． 【详解】解：设较小的正整数为， 的算术平方根是， 则， 较大的正整数为：， 较大的数的算术平方根为：． 故选A． 二、填空题 4．(25-26八上·上海奉贤区·期中)如果等式成立，那么应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的非负性，表示的算术平方根，其值总是非负的，因此等式成立的条件是为非负数． 【详解】解：由算术平方根的定义可知，．等式即，根据绝对值的性质，当且仅当时，成立．因此，应满足的条件是． 故答案为． 5．(25-26八上·上海延安初级中学·期中)已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，正确估算出各无理数的整数部分成为解题的关键． 先确定 的整数部分，得到小数部分 ，再求不大于 的最大整数 ，最后计算 ． 【详解】解：， 的整数部分为， ． 又 ， 不大于 的最大整数为 ， 即 ． ． 故答案为：． 6．(25-26八上·上海闵行区莘松中学·期中)定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． 根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得； 综上所述，的值为． 故答案为：。 7．(25-26八上·上海杨浦区·期中)客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商 （填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 【答案】不能 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，理解题意是解决本题的关键． 假设存在边长为s的正方形地砖能铺满地面，则长和宽a都必须是s的整数倍，设存在正整数m、n，使得，两式相除得即可判断． 【详解】解：设地面宽为，则长为， 假设存在边长为s的正方形地砖能铺满地面，则长和宽a都必须是s的整数倍， 即存在正整数m、n，使得． 两式相除得， ∵是无理数，而是有理数，矛盾． ∴不存在这样的正方形地砖． 故答案为：不能． 三、解答题 8．(25-26八上·上海松江区·期中)计算：； 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的意义等计算即可． 【详解】解：原式 ． 9．(25-26八上·上海闵行区莘松中学·期中)数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【答案】（1）；；（2）；（3）欢欢的想法不对，理由见解析 【分析】本题主要考查算术平方根的应用． （1）由题意得出大正方形的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的方法画出图形，得出大正方形的面积，即可得出答案； （3）设长为，则宽为，则得出，解出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个正方形 ∴这个正方形的面积为的大正方形，边长为； 故答案为：；；． （2）如图， ∵用10个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， 拼成的大正方形的边长为； 故答案为：． （3）欢欢的想法不对，理由如下， 假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为，设长为，则宽为，则有： ， 解得，， 为长方形的长， ， ， 则长为， 要求长方形的四周至少留出的边框， 长方形的长应当为， ， 假设错误，不能． 10．(25-26八上·上海虹口区·期中)如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； (3)在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 【答案】(1)2，3 (2) (3) 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点D表示的数； （3）设点D与数对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：， ∵， ∴， ∴的长在2和3之间； 故答案为：2，3； （2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，则点D在数轴上表示的数为：； 故答案为：； （3）解：设点D与数对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 地 城 考点04 无理数及其估算 一、单选题 1．(25-26八上·上海杨浦区·期中)下列各数中，无理数的个数有（   ） （每两个相邻的2之间多一个1） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数， 逐一判断每个数是否为无理数即可． 【详解】解：， 由无理数的定义可判断是无理数， 所以无理数有三个， 故选：C． 2．(25-26八上·上海奉贤区·期中)下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据无理数的定义（不能表示为两个整数之比的数），判断各选项：A、B、D均为有理数；C中是无理数，因此也是无理数，即可解答． 【详解】解：无理数是无限不循环小数，不能表示为分数形式．   选项A：，是有理数；   选项B：为分数，是有理数；   选项C：，∵是无理数，∴是无理数；   选项D：2，是有理数．   故选C． 3．(25-26八上·上海虹口区·期中)下列各数中是无理数的是（　　） A． B． C．0.23 D．0.1010010001 【答案】A 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：A、属于无理数，故符合题意； B、是分数，属于有理数，故不符合题意； C、0.23是有限小数，属于有理数，故不符合题意； D、0.1010010001是有限小数，属于有理数，故不符合题意； 故选：A． 二、填空题 4．(25-26八上·上海奉贤区·期中)写出一个介于3和4之间的一个无理数： ．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数的定义和取值范围，掌握知识点是解题的关键． 考虑无理数的定义和取值范围，选择3和4之间的平方根或圆周率等常见无理数． 【详解】解：无理数是无限不循环小数．由于，，因此、、、、、都是介于3和4之间的无理数． 故答案为：（答案不唯一）． 5．(25-26八·上海进才实验学校·月考)如果，那么整数 ． 【答案】3 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 根据算术平方根的定义，比较与相邻的完全平方数，确定其取值范围，从而得到答案． 【详解】∵ ，，且 ， ∴ ． 又∵a为正整数， ∴． 故答案为3． 6．(25-26八上·上海松江区·期中)公元3世纪，我国数学家刘徽通过将被开方数化为一个尽可能大的平方数和正整数的和，利用近似公式得到了无理数的近似值．请利用此公式估计： ． 【答案】5.1 【分析】本题考查了无理数的估算，根据刘徽的近似公式，将26表示为最大平方数25与1的和，即，，代入公式计算即可． 【详解】解：由题意，取则， 代入公式，得． 故答案为：5.1． 7．(25-26八上·上海建平中学西校·月考)的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了无理数的大小的应用，关键是确定的范围． 求出，推出，得到a，求出b，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．(25-26八上·上海闵行区北桥中学·期中)的十分位上的数字是 ． 【答案】6 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴ 在 2.6 和 2.7 之间， 故的十分位上的数字为6． 故答案为：6． 9．(25-26八上·上海嘉定区德富中学·期中)下列各数、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）中，是无理数的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，逐一判断各数即可． 【详解】解：是无理数；是有限小数，是有理数；是分数，是有理数；是循环小数，是有理数；是无理数；是无限不循环小数，是无理数． 因此无理数有3个． 故答案为：3． 三、解答题 10．(25-26八上·上海闵行区七宝第二中学·月考)“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为． (1)围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ (2)围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 【答案】(1)分米 (2)不需要继续伸长，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 平方分米的正方形， 正方形的边长为分米， “混天绫”的总长度分米． 答：成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是分米． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为分米，宽为分米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为分米，宽为分米， 长方形的周长为， ， ， 围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”不需要继续伸长． 地 城 考点05 实数与数轴 一、单选题 1．(25-26八上·上海普陀区·期中)如图，已知点、、是数轴上的三个点，且点是线段的中点，若点、所对应的实数依次是、，则点所对应的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离．根据点是线段的中点得到，再由数轴上两点之间的距离公式求解． 【详解】解：点所对应的实数是， 故选：D． 2．(25-26八上·上海杨浦区·期中)下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类和实数与数轴的对应关系，解题的关键是掌握实数的有关基础知识． 根据实数的分类，实数与数轴的对应关系对选项逐个判断即可． 【详解】解：A，实数包括正实数、负实数和零，零既不是正实数也不是负实数，选项错误，符合题意； B，正实数包括正有理数和正无理数，选项正确，不符合题意； C：实数与数轴上的点一一对应，每个实数都有唯一对应的点，选项正确，不符合题意；； D：数轴上的每个点都有唯一对应的实数，选项正确，不符合题意； 故选：A． 3．(25-26八上·上海延安初级中学·期中)下列说法正确的是（   ） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无理数与有理数的乘积是无理数 C．如果是实数，那么没有平方根 D．实数可以用数轴上唯一的一个点来表示 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，实数与数轴上的点一一对应，熟练掌握其概念是做题的关键．根据无理数的定义，实数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A.无理数包括正无理数、负无理数，而是有理数，故不符合题意； B.无理数与有理数的乘积不一定是无理数，例如：，而是有理数，故不符合题意； C.当时，，而的平方根是，故不符合题意； D. 所有实数都可以用数轴上唯一的点表示，是实数，故符合题意． 故选：D． 4．(25-26八上·上海奉贤区·期中)如图，数轴上表示1、的对应点分别为、，如果点与点关于点的对称，那么点C所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上对称点的性质及无理数的运算，解题的关键是利用“对称点到对称中心的距离相等”建立等式求解． 设点C表示的数为，根据点A是点B与点C的对称中心，可得A到B的距离等于A到C的距离，据此列方程求解． 【详解】解：设点C所表示的数为， ∵点B与点C关于点A对称， ∴点A是线段BC的中点． 由中点性质得， 两边同乘2得， 解得． 故选：B． 二、填空题 5．(25-26八上·上海新农学校·月考)在数轴上，与数2距离为的点所对应的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，实数与数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． 根据数轴上两点之间的距离公式分类讨论求解即可． 【详解】解：在数轴上，与数2距离为的点所对应的数是或， 故答案为：或． 6．(25-26八上·上海闵行区莘松中学·期中)如图，点B，C在数轴上表示的数分别是4，，若点C关于点B的对称点为A，则数轴上点A表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，以及对称性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据数轴上两点之间的距离和对称性质，得到，进而求出数轴上点A表示的数即可． 【详解】解：点B，C在数轴上表示的数分别是4，， ， 点C关于点B的对称点为A， ， 数轴上点A表示的数是； 故答案为：． 7．(25-26八上·上海浦东区三校·期中)如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为 . 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的求解，解题的关键是掌握实数与数轴的关系以及求解算术平方根． 先求出面积为3的正方形的边长，根据点表示的数以及点、点的位置，求解即可． 【详解】解：设面积为3的正方形的边长为，则， 由算术平方根的性质可得，， 由题意可得，， 由点在数轴上表示的数为1，点在点的左边， 则点所表示的数为， 故答案为：． 8．(25-26八上·上海延安初级中学·期中)如图，数轴上点、点所表示的数分别为0和，以为边长作正方形．以点为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点，那么点表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和实数与数轴，根据勾股定理求出的长，即的长，从而求出点对应的数． 【详解】解：由勾股定理知：， ∴， ∴点对应的数是， 故答案为：． 9．(25-26八上·上海延安初级中学·期中)已知在数轴上点与点关于原点对称，且点在点的左侧．点也在该数轴上，且表示的数是．如果，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离．解题关键是数轴上两点间的距离等于它们表示的两数差的绝对值，也可以“大减小”，分类讨论． 设点B表示的数为x，根据数轴上点与点关于原点对称，得点A表示的数为，根据点表示的数是．分当时，当时，写出长的表达式，再根据建立方程，解答即可． 【详解】解：设点B表示的数为x， ∵数轴上点与点关于原点对称， ∴点A表示的数为． ∵点表示的数是． 当时， ∴． ∵， ∴． 解得． ∴． 当时， ∴． ∴． 解得． ∴． 故答案为： 或． 三、解答题 10．(25-26八上·上海新农学校·月考)数轴上点A、B、C、D依次表示四个实数：、、、0． (1)在如图所示的数轴上标出点A的大致位置和点B、C、D的位置； (2)分别求A与B、A与C两点间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)A与B、A与C两点间的距离分别为、 【分析】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是根据各数的近似值描出其在数轴上的大致位置． （1）根据点A、B、C、D表示的数描出大致位置即可； （2）求数轴上两点间的距离，用右边的点表示的数减左边的点表示的数即可． 【详解】（1）解：数轴上描出点A、B、C、D的大致位置如图： （2）解：A与B两点间的距离：， A与C两点间的距离：． 地 城 考点06 实数的大小比较 一、单选题 1．(25-26八上·上海五浦汇实验学校·月考)比大小：______________________，正确的是（   ） A． B．； C． D．； 【答案】C 【分析】本题考查了分母有意义，实数比较大小，先整理，，，再得出，，结合一个数的倒数越大，这个数反而越小，进行作答即可． 【详解】解：依题意，， ， ∵ ∴ 则； 依题意，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 2．(25-26八上·上海长宁区复旦中学·月考)比较大小： （请填、或）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键． 将两数分别平方后，再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： ． 3．(25-26八上·上海交通大学附属第二中学·月考)比较大小： （填不等号） 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，准确计算是解题的关键．通过作差法求解即可． 【详解】 ， ，， ，， ， 即， 即； 故答案是：． 4．(25-26八上·上海普陀区·期中)比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查实数大小的比较，关键要熟记实数大小的比较方法．通过将两个数转换为同分母形式，比较分子的大小即可． 【详解】解： ， ， 即 ． 故答案为：． 5．(25-26八上·上海娄山中学·月考)如果，那么的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和相反数．根据相反数的定义即可求出；根据绝对值的性质判断出该数的正负即可求出答案． 【详解】解：的相反数是； ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． 6．(25-26八·上海进才实验学校·月考)比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的大小比较，通过分子有理化将差式转化为分式形式，利用分母大小比较分式值的大小． 【详解】设 ，， 对 分子有理化： ， 对 分子有理化： ， 由于 ，因此 ， 故 ，即 ， 所以 ． 故答案为<． 7．(25-26八上·上海延安初级中学·期中)比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是关键．根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可判断． 【详解】解：，且， ． 故答案为：． 8．(25-26八上·上海松江区·期中)比较大小： 3（填“”，“”或者“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，通过比较和的大小关系，根据立方根的定义进行判断即可． 【详解】∵ ，且 ， ∴ ，即， 故答案为：． 三、解答题 9．(25-26八上·上海金山区金山初级中学·月考)观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… (1)化简：_____；这是第_____个等式． (2)第个等式是_____．（用含的式子表示） (3)比较与1的大小． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）根据已知等式的规律可以得到，可以根据规律得到结果． （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为． （3）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得：， 这是第个等式． （2）解：由前4个等式可得第n个等式为． （3）解：∵， ∴． 10．(25-26八上·上海进才中学北校·月考)如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 【答案】(1) (2) (3)在点B的右侧，过程见解析 【分析】本题主要考查实数与数轴，化简绝对值，相反数的意义，非负数的性质及算术平方根的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值与算术平方根的意义． （1）根据利用数轴表示数的方法求解即可； （2）将m的值代入，判断、的正负，然后化简绝对值计算即可； （3）先根据求出，再求出，再根据题意求出小蚂蚁最后的位置表示的数，进一步判断出在点B的左侧还是右侧即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， 则，， ∴ （3）在点B的右侧， 理由：∵， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∵实数d表示面积为27的正方形的边长， ∴， ∵小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，爬行时间为2秒， ∴小蚂蚁爬行的路程为个单位长度， ∵点C表示的数为，点D表示的数为， ∴， ∴此时小蚂蚁的位置表示的数为， ∵，且， ∴， ∴小蚂蚁在原点右侧， 则， ∵，， ∴ ∴在点B的右侧． 2 / 34 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $