精品解析：天津市汇文中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度高三上学期数学期中考试试卷 一､选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，共45分.） 1. 设集合，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，选A． 2. 设，为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性解不等式，求出解集，由，但，求出答案. 【详解】∵在上单调递增， ∴由得：； ∵在上单调递减， ∴由得， 由，但， ∴“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 3. 函数的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性与特殊的函数值对选项逐一判断， 【详解】，故为奇函数，所以排除B，D， 又当时，，所以排除A． 故选：C 4. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 对具有线性相关关系的变量x、y，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 B. 若随机变量X服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 【答案】D 【解析】 【分析】利用线性回归方程必过样本中心点可判断A，利用正态分布的性质可判断B，根据线性相关系数的性质可判断C，利用百分位数的定义可判断D. 【详解】对于A，线性回归方程必过样本中心点得，解得，故A正确； 对于B，若随机变量服从正态分布，且， 则，则，故B正确； 对于C，若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，故C正确； 对于D，因为，所以第百分位数为，故D错误. 故选：D 6. 已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线的一条渐近线交于点．为坐标原点，若为正三角形，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据为正三角形表示点坐标，然后分别带入抛物线和渐近线方程中，解方程即可得到双曲线方程. 【详解】 设，，为第一象限的点， 由题意得双曲线渐近线方程为， 因为为正三角形，所以，则，解得， 所以双曲线方程为. 故选：B. 7. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再结合函数的零点存在定理进行求解． 【详解】函数在区间上单调递增， ， ，得， 所以函数的零点在区间内． 故选：B 8. 已知函数，有下述三个结论： ①的最小正周期是； ②在区间上单调递减； ③将的图象上所有点向左平行移动个单位长度后，得到函数的图象. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ① B. ② C. ①② D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可判断①；利用正弦型函数的单调性可判断②；利用三角函数图象变换可判断③. 【详解】因为. 对于①，函数的最小正周期是，①对； 对于②，当时，， 所以，函数在区间上单调递减，②对； 对于③，将的图象上所有点向左平行移动个单位长度后， 得到的图象，③错. 故选：C. 9. 已知分别为椭圆的左､右焦点，点在椭圆的外部为轴上一点，线段与椭圆交于点内切圆的直径为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用切线长定理可得出，再由椭圆定义可求出，结合勾股定理可得出关于的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值. 【详解】设的内切圆分别切该三角形三边于点，如图所示. 由切线长定理可得， 则 . 因为，所以， 由圆的几何性质可得，故四边形为正方形， 且其边长为. 由对称性可知，由椭圆定义可得，① 又因为，所以，② 联立①②可得. 由勾股定理可得，即， 整理可得，即， 即，整理可得， 因此，. 故选：B. 二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分） 10. 已知，其中是虚数单位，那么实数_____ ． 【答案】-1 【解析】 【分析】化简方程左边，利用两复数相等，得到方程组，求出的值. 【详解】 故答案为：-1 11. 的展开式中，的系数是__________（用数字填写答案）. 【答案】##1.75 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】解：因为的展开式的通项公式为： ， 所以令，解得， 所以的系数是， 故答案为： 12. 已知直线和圆相交于，两点.若，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得． 【详解】因为圆心到直线的距离， 由可得，解得． 故答案为：． 13. 某志愿者组织召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者和3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则①抽取的3人中至少有一名是女志愿者的概率为__________；②在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题包含两个概率计算问题，均需利用组合数及概率相关知识求解，第一个问题通过对立事件间接计算至少有一名女志愿者的概率；第二个问题利用条件概率公式，在给定前提条件下特定事件的概率. 【详解】记全是男志愿者为事件，至少有一名男志愿者为事件B，则 ，. 记至少有一名是女志愿者为事件C，则事件C与事件 A互为对立事件， 则 ， 抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率为. 故答案为： ；. 14. 在等腰梯形中，已知，动点和分别在线段和上，且，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】运用数量积的定义求得，，，，确定的取值范围，再由向量的三角形法则和基本不等式及函数单调性，即可得到所求最大值． 【详解】解：由题可得图形如下： 由于，， ，， 因为，所以， 则 ，， 当且仅当，即时取等号，即取最小值，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，， 所以的最大值为. 故答案为：． 15. 已知关于的不等式的解集为或.并且，且满足时，有恒成立，的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解，结合韦达定理求出，再利用1的妙用求出最小值，进而求解一元二次不等式即可. 【详解】由不等式的解集为或， 得和是方程的两个实数根且，则，解得， 于是，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 依题意，，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 三､解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，角，，所对的边分别为，，,满足． （1）求角的大小； （2）设，. （i）求边的值； （ii）求的值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解即可； （2）（i）利用余弦定理求解即可；（ii）利用二倍角公式，两角差的正弦公式即可求解． 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得，， 可得， 因，故，则， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，，且，， （i）则，即， 解得或（舍），故； （ii）由， 得， 解得，则， 则，， 所以. 17. 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直，进而证明平面； （2）分别求出与平面的法向量，再应用直线与平面所成角的正弦公式求值即可； （3）求出，结合平面的法向量，应用点到平面的距离公式求值即可. 【小问1详解】 证明：因为底面，平面，所以. 同理可证，又因为， 所以以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系（如图所示）. 依题意可得，，，,,,,, 则，是面的一个法向量， 因为，所以， 又因为平面，所以平面. 【小问2详解】 解：,,, 设平面的法向量，则，即， 取，则，所以平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 小问3详解】 解：因为，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为, 18. 已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且 成等差数列. （1）求数列的通项公式; （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设出公比，根据等差中项得到方程，求出公比，求出通项公式； （2）分组求和，利用错位相减法和裂项相消法分别求出奇数项和偶数项之和，相加即可. 【小问1详解】 设公比为，， 即，故， 故，所以，解得， 又，所以； 【小问2详解】 ， 当时，， 故 ， 设①，则②， 式子①-②得 ， 故， 所以 19. 已知数列满足，，数列满足. （1）求和的通项公式； （2）将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）构造等比数列可求，利用通项与和的关系可求； （2）根据新数列的特点，分析前100项的构成，分别求和可得答案. 【小问1详解】 对于数列，由可得，又， 所以， 所以数列是首项为4，公比为2等比数列， 故，得. 对于数列，设， 则当时，，得， 时验证成立，故 【小问2详解】 新数列结构为：后插1项，后插3项，后插项，到为止总项数为 . 当时，到共项， 和为， 插入的到和为， 故. 第92到100项为后插的前9项， 即到，和为， 故. 20. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若函数有两个极值点，，，证明：. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）当时，，利用导数求出处的斜率，从而可求切线方程； （2）由，分情况讨论，，再结合导数即可求解； （3）设是的极大值点，是的极小值点，要证要证，只要证，即等价于，令，设，再结合导数求出，从而可求解. 【小问1详解】 由题意可知的定义域为， 当时，，则， 所以，， 所以函数在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 ， ①当，因为，恒成立，所以在上单调递减； ②当，令，即，因为， 若时，得，，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 若时，，则恒成立，则在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，当时，有两个极值点， 其中是的极大值点，是的极小值点，且，，所以， 要证，只要证， 由， 代入可得，原式， 令，设， 所以，即， 则在上单调递增，所以， 则，即， 所以原不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高三上学期数学期中考试试卷 一､选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，共45分.） 1. 设集合，，，则 A. B. C. D. 2. 设，为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 4. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 对具有线性相关关系的变量x、y，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 B. 若随机变量X服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 6. 已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线的一条渐近线交于点．为坐标原点，若为正三角形，则双曲线的方程为（ ） A B. C. D. 7. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，有下述三个结论： ①最小正周期是； ②在区间上单调递减； ③将的图象上所有点向左平行移动个单位长度后，得到函数的图象. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ① B. ② C. ①② D. ①②③ 9. 已知分别为椭圆的左､右焦点，点在椭圆的外部为轴上一点，线段与椭圆交于点内切圆的直径为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分） 10. 已知，其中是虚数单位，那么实数_____ ． 11. 展开式中，的系数是__________（用数字填写答案）. 12. 已知直线和圆相交于，两点.若，则的值为___________. 13. 某志愿者组织召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者和3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则①抽取的3人中至少有一名是女志愿者的概率为__________；②在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是__________. 14. 在等腰梯形中，已知，动点和分别在线段和上，且，则的最大值为__________． 15. 已知关于的不等式的解集为或.并且，且满足时，有恒成立，的取值范围为________. 三､解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，角，，所对的边分别为，，,满足． （1）求角的大小； （2）设，. （i）求边的值； （ii）求的值． 17. 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）求点到平面的距离． 18. 已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且 成等差数列. （1）求数列通项公式; （2）设，求数列的前项和. 19. 已知数列满足，，数列满足. （1）求和的通项公式； （2）将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）. 20. 已知函数. （1）当时，求函数在点处切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若函数有两个极值点，，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $