精品解析：河北省保定市十校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二年级上学期期中考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章到第三章第一节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列直线中，倾斜角为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由倾斜角为，则该直线的斜率为，逐项判断即可. 【详解】若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为， 所以这四条直线中，倾斜角为的是. 故选：C 2. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，直接求出，即可求解. 【详解】由题知，所以， 所以焦距为， 故选：A. 3. 设空间向量，则（ ） A. 6 B. 9 C. -6 D. -9 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行，列等式求解即可. 【详解】因为，所以，解得 故选：B. 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外离 D. 外切 【答案】D 【解析】 【分析】写出两圆圆心和半径，由圆心距与半径和（差）的关系即可得到两圆的位置关系. 【详解】圆，圆的圆心分别为，则. 圆，圆的半径分别为，则，则这两个圆的位置关系是外切. 故选：D. 5. 设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（ ） A. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 【答案】C 【解析】 【分析】设点的坐标，然后根据列出等式，代入圆的方程中即可得到的轨迹为椭圆. 【详解】设，则， 所以. 因为，所以 代入，得，即， 则动点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆. 故选：C. 6. 若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作图，结合图象求得边界线得方程，可得答案. 【详解】由曲线，整理可得， 则曲线为圆心、半径的圆的上半部分，如下图： 由图可得直线与圆相切，则，解得， 由图可得直线的方程为；； 由图可得直线过，可得方程； 由图可得直线过，可得方程. 由图可得. 故选：A. 7. 在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，然后列出每个点的坐标，求出平面的法向量的坐标，进而根据向量的数量积进行求解即可. 【详解】取的中点的中点，连接. 因为，所以，且. 以为坐标原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，. 设平面的法向量为，则， 令，得，所以点到平面的距离为. 故选：A. 8. 如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由几何图形分析椭圆的长半轴及短半轴长，结合椭圆离心率公式进行求解. 【详解】设球的半径为， 球的大圆在光线照射下形成椭圆形，易知椭圆的长半轴长，短半轴长， 因为，所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在四面体PABC中，分别为棱PB，AC的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理判断A、C，由空间向量数量积的运算判断B、D． 【详解】因为D，E分别为棱PB，AC的中点， 所以，A正确，C错误. 因为，且，， 所以，B正确. ，D错误. 故选：AB． 10. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求得圆心到直线的距离，再由，求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 依题意得，即， 解得，. 故选：BCD 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为0 B. 的最大值为 C. 若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为 D. 若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，，对A和B，利用数量积的坐标运算及，直接求出和，再利用的取值范围，即可求解；对C和D，根据条件得，结合的取值范围，得，即可判断出C和D的正误. 【详解】由题知，设， 对于A，因为， 则，又， 则， 又，所以，故A正确， 对于B，因为， 则，又， 则， 又，所以，故B正确， 若，的斜率分别为，，又，且， 则，整理得到，由，得到， 所以选项C错误，选项D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线之间的距离为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式求解. 【详解】 之间的距离， 即直线之间的距离为. 故答案为：. 13. 已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据两点间的距离公式列出，再由点为椭圆上的点进行求解即可. 【详解】设，所以， 又因为为椭圆上任意一点， 所以， 因为，当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为___________. 【答案】6 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用得到的关系式，再判断轨迹形状即可求解. 【详解】 以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 设， 则，， ，， 即，， 当时，，此时为棱的中点； 当时，，此时为棱的中点， 设棱的中点为，棱的中点为，连接MN，则点的轨迹是线段MN， ，点的轨迹长度为6. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）分别求直线在轴、轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程； （3）若直线的倾斜角为，求直线的倾斜角. 【答案】（1）在轴、轴上的截距分别为；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）法一：方程转化成截距式，即可求解；法二：分别令和求解即可； （2）法一：由垂直设直线方程，代入点即可求解，法二：通过垂直先求得斜率，再由点斜式即可求解； （3）法一：由倾斜角得到，进而可求解；法二：由两直线斜率互为相反数，得到这两条直线的倾斜角互补， 即可求解 【详解】解：（1）（方法一）由，得， 所以直线在轴、轴上的截距分别为. （方法二）令，得， 令，得， 所以直线在轴、轴上的截距分别为. （2）（方法一）依题意设所求直线方程为， 将点的坐标代入得， 解得， 所以所求直线的方程为. （方法二）因为直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为2， 所以所求直线的方程为， 即（或）. （3）（方法一）因为直线的倾斜角为， 所以， 又直线的斜率为， 所以， 所以直线的倾斜角为. （方法二）因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数， 所以这两条直线的倾斜角互补， 所以直线的倾斜角为. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且为上的动点. （1）若，求； （2）设点，求的最小值与最大值. 【答案】（1）； （2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求解； （2）利用椭圆定义将进行转化，再结合三角形三边关系求解. 【小问1详解】 依题意得：， 根据椭圆定义可得：， 已知，联立以下两个方程：， 将两式相加，得，因此； 【小问2详解】 椭圆右焦点的坐标为，左焦点； 根据椭圆定义，，因此， 代入，得：， 对任意点，有，当且仅当、、共线时取等号； 因为， 所以，代入， 得：最小值：，当在的延长线与椭圆的交点时取得；  最大值：当在的延长线与椭圆的交点时取得. 17. 在四棱锥中，底面. （1）证明：平面CDE. （2）设. （i）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值； （ii）证明：平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于. 【答案】（1） 证明：因为平面平面CDE， 所以平面CDE. （2）（i）； （ii）证明：同上建系，设平面CDE的法向量为， 则,令，得. 设平面CDE与平面BCE的夹角为， 由， 所以平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于 . 【解析】 【分析】（1）直接运用线面平行的判定定理证明即可. （2）（i）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而找到向量坐标，再利用直线与平面所成角的向量公式求解；（ii）求出两个平面的法向量，再利用两平面夹角的向量公式求出夹角的余弦值，再比较大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，, 则. 设平面BCE的法向量为，则， 令，得. （i）设直线AD与平面BCE所成角为 ， 因为，所以， 所以直线AD与平面BCE所成角的正弦值为. （ii）略 18. 已知点，O为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程. （2）若直线与交于，两点，求的最大值. （3）过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）根据题目条件直接列等式，即可求出轨迹方程； （2）利用弦长公式表示，结合函数单调性求解； （3）先设坐标为，联立韦达定理，通过为定值写出方程，化简求解即可. 【小问1详解】 设动点，则，， 而，故，化简得：， 故的标准方程为. 【小问2详解】 设，， 联立得：， 故， 根据弦长公式得： ， 令，， 故， 设，易知在上单调递减，故当，最大， 即 最大，此时，故（舍）或， 故最大值为. 【小问3详解】 设点坐标为，，，过点的动直线为：. 联立得：， 故， ，， 又，位于过点的动直线： 上， 故，. 则， 将代入上式， 得：， 若使为定值，则必须为常数， 而且与无关，故此时只能为. 当直线的方程为时，也成立， 故存在点，使得，此时点坐标为. 19. 已知椭圆的右顶点为，离心率为. （1）求的方程. （2）设直线与相交于，两点，关于轴的对称点为. （i）若，的横坐标大于的横坐标，求直线的斜率. （ii）试问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）过定点，坐标为. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，计算可得； （2）（i）联立直线和椭圆方程，用坐标表示出直线的斜率，利用韦达定理代入化简即可；（ii）利用韦达定理表示出直线的斜率，进而表示出直线的方程，令，结合韦达定理化简可得定点. 【小问1详解】 由题知，，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）设，则， 联立消去整理得， 则，， 所以， 若，则， 因为的横坐标大于的横坐标，所以， 所以， 所以. （ii）过定点，证明如下： 由上可知， 所以直线的方程为， 令，得 ， 所以直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级上学期期中考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章到第三章第一节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列直线中，倾斜角为的是（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 3. 设空间向量，则（ ） A. 6 B. 9 C. -6 D. -9 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外离 D. 外切 5. 设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（ ） A. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 6. 若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在四面体PABC中，分别为棱PB，AC的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为0 B. 的最大值为 C. 若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为 D. 若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线之间的距离为____________. 13. 已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为__________. 14. 在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）分别求直线在轴、轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程； （3）若直线的倾斜角为，求直线的倾斜角. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且为上的动点. （1）若，求； （2）设点，求的最小值与最大值. 17. 在四棱锥中，底面. （1）证明：平面CDE. （2）设. （i）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值； （ii）证明：平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于. 18. 已知点，O为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程. （2）若直线与交于，两点，求的最大值. （3）过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的右顶点为，离心率为. （1）求的方程. （2）设直线与相交于，两点，关于轴的对称点为. （i）若，的横坐标大于的横坐标，求直线的斜率. （ii）试问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $