第6章几何图形初步专项练习（角度旋转问题、作图问题、展开图问题）-2025-2026学年人教版七年级数学上册

几何图形初步：角度旋转问题、作图问题、展开图问题专项训练 几何图形初步：角度旋转问题、作图问题、展开图问题专项训练 考点目录 角度旋转问题 作图问题 展开图问题 考点一 角度旋转问题 例1．（24-25七年级上·吉林辽源·阶段练习）已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)在图①，，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究与的度数之间的关系． 例2．（24-25七年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知：，，，是从点O引出的三条射线． (1)如图1，若平分，平分，当时， ；当射线绕点O在内部旋转时， ． (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余． (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由． ②当大于而小于时，直接写出的度数． 例3．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）如图1，已知，点为直线上一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为________，的度数为________； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)在三角板绕点旋转一周的过程中，求与之间的数量关系． 4．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）材料阅读：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”这首词是我国数学家华罗庚先生所著，也是第一次提出“数形结合”这一说法，如何将代数式和几何图形结合一直是解决数学问题的重要思想方法．利用数形结合解决下列题目： 数轴上有两点，点表示的数为，表示的数为，且．点是线段的中点． (1)点表示的数是______： (2)动点从点向右边运动，速度为2个单位长度/秒，动点从点向左运动，速度为1个单位长度/秒，设运动时间为秒．当点到达点时，运动同时停止，则： ①点表示的数分别是______，______（用表示）： ②若在运动过程中，存在，请求出的值． (3)如果我们把线段和角度做类比：如图，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转．射线同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出的值． 变式1．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知，为内部的一条射线． (1)如图（1），若，为内部的一条射线，，平分，求的度数． (2)如图（2），若、是内部的两条射线，、分别平分，，且，求的值． (3)如图（3），为射线的反向延长线上一点，将射线绕点O顺时针以的速度旋转，旋转后对应射线为，旋转时间为t秒（），平分，为的三等分线，，若，求t的值． 变式2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知点C，O，B在同一条直线上，射线在上方，且． (1)若射线平分，则 ． (2)射线以每秒的速度从射线开始逆时针运动，开始时与重合，其中与重合、与重合，若以每秒的速度顺时针运动．试探究是否存在运动到某一时刻使得？若存在，求出所有符合条件的的度数；若不存在，请说明理由． (3)将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转后对应射线为，旋转时间为秒，平分，为的三等分线，，若．直接写出的值为 ． 变式3．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线、、．始终在的右侧，，．       (1)如图1，当．平分时，求的度数： (2)如图2、当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转、使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒： (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 变式4．（24-25七年级上·江西·阶段练习）已知，是过点的一条射线，分别平分． (1)如图①，如果射线在的内部，，则 ； (2)如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则 ； (3)如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数． 考点二 作图问题 例1．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请根据下列语句用尺规画图并回答问题．（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别画直线、线段． (2)画出射线与射线，两射线相交于点P． (3)连接，延长至E，使得． (4)在线段上找一点Q，使的值最小，这样画图的依据是____． 例2．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图所示，点A、B表示的数分别是a、b． 用刻度尺或圆规作图：在数轴上画出表示的点；（用两种方法，写出必要的文字说明） 方法一： 方法二： 例3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知三点A、B、C，请用尺规作图完成． (1)画直线、射线； (2)连接并延长到E，使得（保留画图痕迹） (3)在（2）条件下，若，点F为的中点，求线段的长的解法如下，请将过程填写完整． 解：∵ ∴ ∵点F为的中点 ∴______=______ ∴______（填写线段名称）=______ 例4．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，已知线段，，． (1)请用尺规按下列要求作图；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①延长到，使； ②反向延长线段到，使． (2)在（1）的条件下，如果，，，点为的中点． ①求线段的长度； ②若点在线段上，且，则线段的长为__________． 变式1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）尺规作图，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹． (1)如图1，已知平面内的三个点A，B，C． ①画线段，射线，直线； ②在射线上作点D，使得； (2)如图2，在四边形内取一点P，使得之和最小，你的依据是______． 变式2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，如图线段、，按要求利用直尺和圆规作图： (1)作线段（保留作图痕迹） (2)已知，，、、三点在同一直线上，若为中点，为中点，请画出图形并求出的长度． 变式3．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题： (1)画直线，射线，连接； (2)在线段上求作点P，使得；（保留作图痕迹） (3)在线段上求作点E，使得点E到A、D、B、P的距离之和最小，这样做的理由是_______________________________________________． 变式4．（24-25七年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，已知线段． (1)请用尺规按下列要求作图： ①延长线段到C，使； ②D是线段的中点，画点D，并表示该点．（不写画法，但要保留画图痕迹）； (2)如果，那么的长为多少． 考点三 展开图问题 例1．（25-26七年级上·四川成都·月考）“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为8厘米，宽为5厘米，高为2厘米，请计算制作一个该长方体纸箱需要多少平方厘米纸板？ (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在同一个更大的长方体的外包装盒内（如图1），已知单个玩具的长方体盒子长为5分米，宽为3分米，高为4分米．如图2-1所示，现有三种摆放方式（图2-2，2-3，2-4所示），请分别计算这三种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图3-1，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图3-2是该长方体的一种表面展开图，请计算出这种表面展开图的外围周长是多少？你能设计一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出示意图（请使用直尺规范画图），此时的外围周长是________．（请直接写出答案） 例2．（25-26七年级上·重庆·期中）如图是一个长方体包装盒的展开图，其中厘米，且． (1)假设包装盒的宽为x厘米，求的长度为多少厘米？（用含x的代数式表示，并写出必要的过程） (2)若厘米，求长方体包装盒的表面积为多少平方厘米？ 例3．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来．则长方体纸盒的底面周长为多少？ ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．则该长方体纸盒的体积为多少？ 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长，宽，高分别为8，5，3，它缺一个长为8，宽为3的长方体底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，求长方体表面展开图的最大外围周长． 变式1．（25-26七年级上·山东·阶段练习）（1） 如图为一张边长为的正方形纸，将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成无盖长方体纸盒． ① 画出纸盒展开示意图； ② 若四角各剪去一个边长为的小正方形，求纸盒的体积为 ______． （2） 如图为一块长、宽的长方形纸板，将其四角各剪去一个正方形，折成高为的无盖长方体盒子，求盒子的表面积为 ______． （3） 小明用剪刀展开了一个长方体纸盒，不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分． ① 小明总共剪开了 ______ 条棱． ② 他剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的倍．已知纸盒的底面是一个正方形，且所有棱长之和为，则纸盒的体积为 ______． 变式2．（25-26七年级上·福建漳州·阶段练习）如图，是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称：_____；它有_____条棱，有_____个面，有_____个顶点 (2)用一个平面去截该几何体，截面形状不可能是_____（填序号）： ①三角形；②长方形；③五边形；④六边形；⑤圆形； (3)求该几何体的所有侧面的面积之和． 变式3．（25-26七年级上·四川达州·阶段练习）如图1，一个边长为的立方体按某种方式展开后，恰好能放在一个长方形内． (1)计算图1长方形的面积； (2)小明认为把该立方体按某种方式展开后可以放在如图的长方形内，请你在图中画出这个立方体的表面展开图；（图每个小正方形边长为）； (3)如图3，在长、宽的长方形内已经画出该立方体的一种表面展开图（各个面都用数字“”表示），请你在剩下部分再画出个该立方体的表面展开图，把一个立方体的每一个面标记为“”，另一个立方体的每一个面标记为“”． 2 学科网（北京）股份有限公司 $几何图形初步：角度旋转问题、作图问题、展开图问题专项训练 几何图形初步：角度旋转问题、作图问题、展开图问题专项训练 考点目录 角度旋转问题 作图问题 展开图问题 考点一 角度旋转问题 例1．（24-25七年级上·吉林辽源·阶段练习）已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)在图①，，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究与的度数之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【详解】（1）解：由已知得， 又是直角，平分， ． （2）解：由（1）得， 即． （3）解：． 理由：，平分， ． 则得， 即． 例2．（24-25七年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知：，，，是从点O引出的三条射线． (1)如图1，若平分，平分，当时， ；当射线绕点O在内部旋转时， ． (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余． (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由． ②当大于而小于时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①互余，理由见解析；② 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴与互余． （3）解：①与互余，理由如下： 如图，当小于时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴与互余． ②如图，当大于而小于时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 例3．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）如图1，已知，点为直线上一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为________，的度数为________； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)在三角板绕点旋转一周的过程中，求与之间的数量关系． 【答案】(1)120，150 (2)30 (3)或 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； 故答案为：120，150； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：分两种情况： 当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，如图， 设的延长线为，则， ∵， ∴， ∵， ∴； 当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，如图： ∵，， ∴； 综上所述，与的关系为：或． 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）材料阅读：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”这首词是我国数学家华罗庚先生所著，也是第一次提出“数形结合”这一说法，如何将代数式和几何图形结合一直是解决数学问题的重要思想方法．利用数形结合解决下列题目： 数轴上有两点，点表示的数为，表示的数为，且．点是线段的中点． (1)点表示的数是______： (2)动点从点向右边运动，速度为2个单位长度/秒，动点从点向左运动，速度为1个单位长度/秒，设运动时间为秒．当点到达点时，运动同时停止，则： ①点表示的数分别是______，______（用表示）： ②若在运动过程中，存在，请求出的值． (3)如果我们把线段和角度做类比：如图，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转．射线同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出的值． 【答案】(1) (2)①点P表示的数为，Q表示的数为；②或 (3)t的值为4或或8 【详解】（1）解：， ， ， 点表示的数为，表示的数为， ， 点是线段的中点， ， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：①由题意得， 点A表示的数为，表示的数为， 点P表示的数为，Q表示的数为； ②当点P到达点B时，运动同时停止， ，即， ， 解得：或； （3）∵，平分， ∴， ∵射线到达时只需用时秒，此时射线到达， 如下图，当时，, , 显然， ∴， 则， 解得； 当时，， 如图， 若， 则， 解得 ； 如图， 若， 则， 解得； 综上所述，t的值为4或或8． 变式1．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知，为内部的一条射线． (1)如图（1），若，为内部的一条射线，，平分，求的度数． (2)如图（2），若、是内部的两条射线，、分别平分，，且，求的值． (3)如图（3），为射线的反向延长线上一点，将射线绕点O顺时针以的速度旋转，旋转后对应射线为，旋转时间为t秒（），平分，为的三等分线，，若，求t的值． 【答案】(1)或 (2) (3)3或15 【详解】（1）解：如图1，当在内部时， ， ， 平分，， ， ； 当在内部时， ， ， 平分，， ， ； 综上，的度数为或； （2）解：设， 则， ∴， ， ， ， ， 故的值为2； （3）解：，旋转速度为， 射线旋转到即停止转动， 由题意得，， 平分， ， 因， 则有两个临界位置：在的反向延长线上，此时； 与重合，此时， 因此，分以下三种情况分析： 如图，当时， 则， ， 解得，符合题设， ②如图，当时， 则， ， 解得，符合题设， ③如图，当时， 则， ， 解得或，均不符题设，舍去， 综上，t的值为3或15． 变式2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知点C，O，B在同一条直线上，射线在上方，且． (1)若射线平分，则 ． (2)射线以每秒的速度从射线开始逆时针运动，开始时与重合，其中与重合、与重合，若以每秒的速度顺时针运动．试探究是否存在运动到某一时刻使得？若存在，求出所有符合条件的的度数；若不存在，请说明理由． (3)将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转后对应射线为，旋转时间为秒，平分，为的三等分线，，若．直接写出的值为 ． 【答案】(1) (2)的度数为或 (3) 【详解】（1）解：∵点C，O，B在同一条直线上，射线在上方，且， ∴， ∵射线平分， ∴； （2）解：∵射线以每秒的速度从射线开始逆时针运动， ∴， ∵开始时与重合，其中与重合、与重合，以每秒的速度顺时针运动， ∴，， 如图，当在外部时， ， 此时，， ∵， ∴， 解得：， 此时； 如图，当在内部时， ， 此时，， ∵， ∴， 解得：， 此时； 综上所述，的度数为或； （3）解：如图： ∵将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转后对应射线为， ∴， ∴， ∵为的三等分线，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）； ∴的值为． 变式3．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线、、．始终在的右侧，，．       (1)如图1，当．平分时，求的度数： (2)如图2、当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转、使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒： (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)旋转一共用了或 (3)n为或 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知， 设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ∴， ∴； ∴； ②当点在的左侧时，， ∴； ∴； 综上，旋转一共用了或； （3）解：当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，解得； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，解得； 综上，n为或． 变式4．（24-25七年级上·江西·阶段练习）已知，是过点的一条射线，分别平分． (1)如图①，如果射线在的内部，，则 ； (2)如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则 ； (3)如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数． 【答案】(1)40 (2) (3)的度数为或 【详解】（1）解：∵分别平分， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵分别平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：分两种情况： ①如图： ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； ②如图： ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 考点二 作图问题 例1．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请根据下列语句用尺规画图并回答问题．（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别画直线、线段． (2)画出射线与射线，两射线相交于点P． (3)连接，延长至E，使得． (4)在线段上找一点Q，使的值最小，这样画图的依据是____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)图见解析，两点之间线段最短 【详解】（1）解：如图所示，直线、线段即为所求； （2）解：如图所示，射线与射线以及点P即为所求； （3）解：如图所示，点E即为所求； （4）解：如图所示，线段的交点Q即为所求，依据为两点之间线段最短． 例2．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图所示，点A、B表示的数分别是a、b． 用刻度尺或圆规作图：在数轴上画出表示的点；（用两种方法，写出必要的文字说明） 方法一： 方法二： 【答案】见解析 【详解】解：方法一：如图，以点A为圆心，为半径画弧交原点左侧数轴点D，则点D即为所求； 方法二：如图，以原点O为圆心，为半径画弧交原点左侧数轴于点D，则点D即为所求． 例3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知三点A、B、C，请用尺规作图完成． (1)画直线、射线； (2)连接并延长到E，使得（保留画图痕迹） (3)在（2）条件下，若，点F为的中点，求线段的长的解法如下，请将过程填写完整． 解：∵ ∴ ∵点F为的中点 ∴______=______ ∴______（填写线段名称）=______ 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【详解】（1）解：直线、射线如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：依题意， ∵， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴． 例4．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，已知线段，，． (1)请用尺规按下列要求作图；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①延长到，使； ②反向延长线段到，使． (2)在（1）的条件下，如果，，，点为的中点． ①求线段的长度； ②若点在线段上，且，则线段的长为__________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②1或5 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：①∵，，， ∴， ∴， ∵点为的中点． ∴， ∴． ②由①得出， ∵， ∴， ∵点在线段上，且， ∴当点在线段上，则； ∴当点在线段上，则． 变式1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）尺规作图，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹． (1)如图1，已知平面内的三个点A，B，C． ①画线段，射线，直线； ②在射线上作点D，使得； (2)如图2，在四边形内取一点P，使得之和最小，你的依据是______． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)两点之间线段最短 【详解】（1）①如图，线段，射线，直线即为所求； ②如图，点D即为所求； （2）如图2中，点P即为所求．作图依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短 变式2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，如图线段、，按要求利用直尺和圆规作图： (1)作线段（保留作图痕迹） (2)已知，，、、三点在同一直线上，若为中点，为中点，请画出图形并求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，的长度为或 【详解】（1）解：如图：线段即为所求， ； （2）解：如图，当点在点的左边时， ， ∵为中点，为中点， ∴，， ∴， 如图，当点在点的右边时， ， ∵为中点，为中点， ∴，， ∴， 综上所述，的长度为或． 变式3．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题： (1)画直线，射线，连接； (2)在线段上求作点P，使得；（保留作图痕迹） (3)在线段上求作点E，使得点E到A、D、B、P的距离之和最小，这样做的理由是_______________________________________________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)两点之间线段最短 【详解】（1）解：如图，直线，射线，线段即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）如图，点E即为所求．理由：两点之间线段最短． 变式4．（24-25七年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，已知线段． (1)请用尺规按下列要求作图： ①延长线段到C，使； ②D是线段的中点，画点D，并表示该点．（不写画法，但要保留画图痕迹）； (2)如果，那么的长为多少． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)6 【详解】（1）解：①如图，延长线段到C，使，点C即为所求； ②如图所示，点D即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵D是线段的中点， ∴． 考点三 展开图问题 例1．（25-26七年级上·四川成都·月考）“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为8厘米，宽为5厘米，高为2厘米，请计算制作一个该长方体纸箱需要多少平方厘米纸板？ (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在同一个更大的长方体的外包装盒内（如图1），已知单个玩具的长方体盒子长为5分米，宽为3分米，高为4分米．如图2-1所示，现有三种摆放方式（图2-2，2-3，2-4所示），请分别计算这三种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图3-1，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图3-2是该长方体的一种表面展开图，请计算出这种表面展开图的外围周长是多少？你能设计一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出示意图（请使用直尺规范画图），此时的外围周长是________．（请直接写出答案） 【答案】(1)172 (2)面积分别为178平方分米，194平方分米，173平方分米；按图2-4所示的方式摆放所需的纸板面积更少； (3)50厘米，示意图见解析，62厘米． 【详解】（1）解：， 故制作长方体纸箱需要172平方厘米纸板， 故答案为：172； （2）解：按图所示的方式摆放，需要（平方分米）， 按图所示的方式摆放，需要（平方分米）， 按图所示的方式摆放，需要（平方分米）， ∵， ∴按图所示的方式摆放所需的纸板面积更少； （3）解：表面展开图的外围周长：（厘米）， 如图所示，此时外围周长最大， 最大周长为：（厘米）， 故答案为：62厘米． 例2．（25-26七年级上·重庆·期中）如图是一个长方体包装盒的展开图，其中厘米，且． (1)假设包装盒的宽为x厘米，求的长度为多少厘米？（用含x的代数式表示，并写出必要的过程） (2)若厘米，求长方体包装盒的表面积为多少平方厘米？ 【答案】(1)厘米； (2)208平方厘米 【详解】（1）解：由题意得， ∵厘米，厘米， ∴， ∵，厘米， ∴厘米， 由题意得，，， ∴（厘米）； （2）解：∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴长方体包装盒的表面积为（平方厘米）． 例3．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来．则长方体纸盒的底面周长为多少？ ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．则该长方体纸盒的体积为多少？ 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长，宽，高分别为8，5，3，它缺一个长为8，宽为3的长方体底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，求长方体表面展开图的最大外围周长． 【答案】（1）①③④；（2）①长方体纸盒的底面周长为；②长方体纸盒的体积为；（3） 【详解】（1）根据展开图的折叠， ②折叠后有2个面重合，只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：①③④； （2）①长方体纸盒的底面周长为：； ②长方体纸盒的长：， ∵正方形纸板的边长由空白的两个小长方形的宽和空白的两个大长方形的宽组成， ∴宽， ∴该长方体纸盒的体积为：； （3）如图所示， ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为：． 变式1．（25-26七年级上·山东·阶段练习）（1） 如图为一张边长为的正方形纸，将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成无盖长方体纸盒． ① 画出纸盒展开示意图； ② 若四角各剪去一个边长为的小正方形，求纸盒的体积为 ______． （2） 如图为一块长、宽的长方形纸板，将其四角各剪去一个正方形，折成高为的无盖长方体盒子，求盒子的表面积为 ______． （3） 小明用剪刀展开了一个长方体纸盒，不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分． ① 小明总共剪开了 ______ 条棱． ② 他剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的倍．已知纸盒的底面是一个正方形，且所有棱长之和为，则纸盒的体积为 ______． 【答案】（1）①见解析；② ；（2） ；（3） ① 8条棱，② 【详解】解：①在边长为的正方形的四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒的示意图如下： ②当小正方形的边长为时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为（）的正方形，高是， 纸盒的体积为 （2） 盒子的表面积为 （3）①小明共剪了8条棱， 故答案为：8． ②∵长方体纸盒的底面是一个正方形， ∴设最短的棱长高为，则长与宽相等为， ∵长方体纸盒所有棱长的和是， ∴， 解得， ∴这个长方体纸盒的体积为（）． 变式2．（25-26七年级上·福建漳州·阶段练习）如图，是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称：_____；它有_____条棱，有_____个面，有_____个顶点 (2)用一个平面去截该几何体，截面形状不可能是_____（填序号）： ①三角形；②长方形；③五边形；④六边形；⑤圆形； (3)求该几何体的所有侧面的面积之和． 【答案】(1)三棱柱，9，5，6 (2)⑤ (3)72 【详解】（1）解：该几何体是三棱柱，它有9条棱，有5个面，有6个顶点， 故答案为：三棱柱，9，5，6； （2）解：用一个平面去截该三棱柱， 截面形状可以是三角形，长方形，五边形，六边形等， ∴①②③④不符合要求；⑤符合要求， ∴截面形状不可能是⑤． 故答案为：⑤； （3）解：侧面积为． 变式3．（25-26七年级上·四川达州·阶段练习）如图1，一个边长为的立方体按某种方式展开后，恰好能放在一个长方形内． (1)计算图1长方形的面积； (2)小明认为把该立方体按某种方式展开后可以放在如图的长方形内，请你在图中画出这个立方体的表面展开图；（图每个小正方形边长为）； (3)如图3，在长、宽的长方形内已经画出该立方体的一种表面展开图（各个面都用数字“”表示），请你在剩下部分再画出个该立方体的表面展开图，把一个立方体的每一个面标记为“”，另一个立方体的每一个面标记为“”． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【详解】（1）解：立方体边长为，图1长方形的长为，宽为， 长方形面积 （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， 2 学科网（北京）股份有限公司 $