几何图形初步：角的比较与运算、余角与补角、旋转过程中的角度问题专项训练-2025-2026学年 人教版七年级数学上册

几何图形初步：角的比较与运算、余角与补角、旋转过程中的角度问题专项训练 几何图形初步：角的比较与运算、余角与补角、旋转过程中的角度问题专项训练 考点目录 角的比较与运算 余角与补角 旋转过程中的角度问题 考点一 角的比较与运算 例1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的形状，若，则（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）如图，，平分，平分，下列结论：①；②；③与可以拼成一个直角；④与可以拼成一个平角，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例4．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的的度数为（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 例5．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，是的角平分线，若，则的度数是 ． 例6．（24-25七年级上·广东肇庆·期末）如图，已知直线是直线上一点．是的平分线，是的平分线， 例7．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，直线相交于点O，平分，平分，，则 ． 例8．（24-25七年级上·甘肃定西·期末）如图，已知是直线上一点，是一条射线，平分，在内，，， ． 例9．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）如图，O是直线上的一点，，，平分，求的大小． 变式1．（24-25七年级上·湖南永州·期末）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·山东滨州·月考）如图，直线相交于点，射线平分，是直角．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线相交于点O，在的内部，当时，则与的度数和为（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26八年级上·四川自贡·阶段练习）已知是的高，，，则的度数为（  ） A． B． C．或 D．或 变式5．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知，平分，平分，则 ． 变式6．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 变式7．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 变式8．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知，，平分，则的度数为 ． 变式9．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 考点二 余角与补角 例1．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（　　） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如果，那么它的余角是（   ） A．44° B．134° C．90° D．180° 例3．（24-25七年级下·河南·阶段练习）已知，与互补，则的余角为（　　） A． B． C． D． 例4．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）若的余角是，则的大小是（　　） A． B． C． D． 例5．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段练习）一个角是，则它的余角的度数是 ． 例6．（2025·江苏南通·模拟预测）若，则的补角等于 ． 例7．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图． (1)请写出与的数量关系，并说明理由； (2)写出的补角和余角； (3)如果，平分，求度数． 变式1．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图是我国古代民间艺术“木偶戏”示意图，当手握两线的夹角为时，木偶人的两条胳膊在同一条直线上，则此时的补角为（   ） A． B． C． D．或 变式2．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如果一个锐角的补角是它的余角的3倍，则这个角为（　　） A． B． C． D． 变式4．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，，，则等于（　　） A． B． C． D． 变式5．（24-25七年级下·广东清远·期中）若与互余，，则 ． 变式6．（24-25七年级下·甘肃武威·阶段练习）若与互余，与互补，若，则 ． 变式7．（24-25七年级上·吉林·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则_____． (2)如图2，若，，平分，求． (3)如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，直接写出的度数（用含的式子表示） 考点三 旋转过程中的角度问题 例1．（24-25七年级上·广东珠海·阶段练习）综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图， ； (2)如图，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则 ； 当时，则 ； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 例2．（24-25七年级下·广东深圳·开学考试）如图①，，为外的一个锐角，且．      (1)若平分，平分（如图②），求的度数； (2)射线从处绕着点O在外旋转，平分，平分， （ⅰ）如图③，当射线绕着点O逆时针旋转，则的度数为___________． （ⅱ）如图④，当射线绕着点O逆时针旋转，则的度数为___________． (3)如图⑤，射线从处以/分的速度绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以相同的速度绕点O逆时针也旋转，平分，平分，请直接写出多少分钟时，的度数是？[注：本题所涉及的角都是小于的角] 例3．（24-25七年级下·重庆石柱·开学考试）如图1，点在直线上，．已知，的两边分别与射线重合，现将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒．（题目中所指的角均大于且小于） (1)如图 2 所示，当时，若，且射线在内部，则___________，此时的值为___________； (2)当时，若平分，请探究与的数量关系，并说明理由． 例4．（24-25七年级下·四川泸州·开学考试）一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线． (1)求图1中的度数； (2)如图2，将三角板绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线的上方． ①当，求的度数； ②时，求旋转角α的值． 变式1．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 变式2．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． (1)一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；（用含的代数式表示出所有可能的结果） (3)如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”； ②若射线同时绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时整数的值． 变式3．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题提出】 如图1，，（），在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出的大小是_________，的大小是_________； ②直接写出的值． （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立； 【问题拓展】 （3）如图3，，，在绕着点旋转一周的过程中，平分，平分，当时，直接写出的大小． 变式4．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知：如图1，，． (1)求的度数； (2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？ (3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $几何图形初步：角的比较与运算、余角与补角、旋转过程中的角度问题专项训练 几何图形初步：角的比较与运算、余角与补角、旋转过程中的角度问题专项训练 考点目录 角的比较与运算 余角与补角 旋转过程中的角度问题 考点一 角的比较与运算 例1.(24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末)如图，直线AB,CD交于点O,射线0M平分∠A0C,若∠A0C=76° ,则LBOM等于() D B A.38° B.104° C.142° D.144° 【答案】C 【详解】解：：∠A0C=76°，射线0M平分∠AOC, 240w-40c=×6=8e. ∠B0M=180°-∠A0M=180°-38°=142°. 故选：C. 例2.(24-25九年级上·江苏无锡月考)将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的形状，若∠A0D=127°， 则∠B0C=() B D A.37° B.47° C.53 D.43 【答案】C 【详解】解：由题意得，∠AOB=∠COD=90°， ∠A0C+∠B0C=90°， ∠A0D=127°， 几何图形初步：角的比较与运算、余角与补角、旋转过程中的角度问题专项训练 ∠A0C+∠C0D=127°， LA0C=37°， ∠B0C=53°， 故选：C. 例3.(24-25七年级上广东广州阶段练习)如图，∠A0D=120°，0C平分∠A0D,OB平分∠AOC,下列结论： ①∠A0C=∠C0D;②∠C0D=2∠B0C;③∠AOB与∠COD可以拼成一个直角；④∠A0C与∠AOD可以拼成一 个平角，正确的个数有() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】~∠A0D=120°，0C平分∠A0D, ∴∠AOC=∠DOC= 2×120°=60 OB平分∠AOC. 六240B=∠B0C=2x60°=30， .∠A0B+∠C0D=30°+60°=90°，∠A0C+∠A0D=60°+120°=180°， ①∠A0C=∠C0D,正确： ②∠C0D=2LB0C,正确： ③∠AOB与∠COD可以拼成一个直角，正确； ④∠AOC与LAOD可以拼成一个平角，正确， 故选：D 例4.(25-26八年级上湖北武汉·阶段练习)如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的∠ABC的度数为() B A D A.70° B.75° C.80° D.85° 【答案】B 几何图形初步：角的比较与运算、余角与补角、旋转过程中的角度问题专项训练 【详解】解：根据题意，∠BCF=60°，∠DAE=45°， 在ABC中，∠ABC=180°-∠BCF-LDAE=180°-60°-45°=75°， 故选：B. 例5.(25-26八年级上·安微合肥阶段练习)如图，BD是ABC的角平分线，若LABD=20°，则LCBD的度数 是 B 【答案】20° 【详解】 BD是ABC的角平分线， :∠ABD=∠CBD, :∠ABD=20°， ∴∠CBD=20°； 故答案为：20°. 例6.(24-25七年级上：广东肇庆期末)如图，已知直线AE,0是直线AE上一点.OB是∠AOC的平分线，OD是 ∠C0E的平分线，∠A0B=30°，LD0E= D 【答案】60° 【详解】解：由题意得∠A0B=∠B0C=∠40C, 又：∠A0B=30°， ∠A0C=2∠A0B=60°， :∠C0E=180°-∠A0C=180°-60°=120°， :OD是∠C0E的平分线， ∠D0E=1∠C0E=x120°=60°， 1 2 故答案为：60°. 例7.(25-26七年级上黑龙江绥化月考)如图，直线AB,CD相交于点O,0F平分∠BOD,OE平分∠C0F, ∠A0D:LB0F=4:1,则∠A0E= 几何图形初步：角的比较与运算、余角与补角、旋转过程中的角度问题专项训练 D 0 B 【答案】135° 【详解】解：设∠BOF=x,∠AOD=4x, OF平分∠BOD, .∠B0D=2∠B0F=2x,∠D0F=x, ∠A0D+∠B0D=180°， 4x+2x=180°， x=30°， ∴∠D0F=30°， ∠C0F=180°-∠D0F=150°， OE平分LC0F, ∴∠B0F=5∠C0F=750, 2 ∠B0E=∠E0F-∠B0F=45°， ∠A0E=180°-∠B0E=135°， 故答案为：135°. 例8.(24-25七年级上·甘肃定西·期末)如图，己知0是直线AC上一点，OB是一条射线，0D平分∠A0B,OE在 ∠BOC内，2LBOE=LEOC,LD0E=70°，LEOC= B A 【答案】80°/80度 【详解】解：设∠AOB为x°，则∠B0C为180-x°， :OD平分∠A0B, 1 ∴.∠DOB= ∠AOB, 2 几何图形初步：角的比较与运算、余角与补角、旋转过程中的角度问题专项训练 烟可得∠08=号， :2LB0E=∠E0C, ∠B0E=写B0c-号80-， :∠D0E=∠D0B+∠B0E=70 11 则可得：2x+写180-=70， 解得x=60, ∠B0C=180°-60°=120°， E0C=∠B0C=2x120°三 3 例9.(24-25七年级上·湖北黄石·期末)如图，O是直线AB上的一点，∠A0D=120°，∠A0C=90°，OE平分 ∠BOD,求LCOE的大小. E A 0 【答案】∠C0E=60° 【详解】解：~∠A0D=120°，∠A0C=90°， ∴LB0D=180°-∠A0D=60°，∠C0D=∠A0D-∠A0C=30°， ~OE平分∠BOD, ∠D0E=∠B0D=30 LC0E=LD0E+LC0D=60°. 变式1.(24-25七年级上·湖南永州期末)如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则a,B,?三个角 的数量关系为() A.a+B+y=90 B.a+B-y=90 C.a-B+y=90 D.a+2B-y=90 【答案】C 几何图形初步：角的比较与运算、余角与补角、旋转过程中的角度问题专项训练 利用正方形的角为直角这一性质，通过角之间的和差关系来推导a,B,y三个角的数量关系. 【详解】如图， :正方形的每个角都是90°， a+∠1=90°，y+∠2=90°，B+∠1+∠2=90° .a+y+∠1+∠2=180°， 又B+∠1+∠2=90°， a-B+y=90° 故选：C. 变式2.(25-26八年级上山东滨州·月考)如图，直线AB,CD相交于点0，射线OM平分∠A0C,∠M0N是直角.若 ∠A0M=35°，则∠CON的度数为() C B D A.35 B.45° C.55 D.65° 【答案】C 【详解】解：射线OM平分LA0C,∠A0M=35°， ∠M0C=35°， ~∠MON是直角 ∠M0N=90°， ∴.∠C0N=∠M0N-∠M0C=90°-35°=55°. 故选：C 变式3.(24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)如图，直线AB、CD相交于点O,∠E0F在∠AOD的内部，当 ∠A0D=150°，∠E0F=30°时，则∠A0F与∠E0D的度数和为() 6 几何图形初步：角的比较与运算、余角与补角、旋转过程中的角度问题专项训练 E D A.100° B.120° C.130° D.150° 【答案】B 【详解】解：∠E0F在∠A0D的内部，∠A0D=150,∠E0F=30°， ∠A0F+∠E0D=∠A0D-∠E0F=120°. 故选：B. 变式4.(25-26八年级上四川自贡·阶段练习)已知AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，则∠BAC的 度数为() A.90° B.50° C.90°或50° D.90°或30° 【答案】C 【详解】解：情况一：当高AD在△ABC内部时， ∠BAD=70°，∠CAD=20°， ∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°. B D C 情况二：当高AD在△ABC外部时， ∠BAD=70°，∠CAD=20°， ∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°. 综上，∠BAC的度数为90°或50°， D C B 故选：C. 变式5.(25-26七年级上·河北石家庄期中)如图，已知LA0B=120°，0D平分∠A0C,OE平分∠B0C,则 ∠D0E=-· > 几何图形初步：角的比较与运算、余角与补角、旋转过程中的角度问题专项训练 D 【答案】60°/60度 【详解】解：OD平分∠AOC,OE平分∠BOC, ∴∠COD=∠AOC,∠COE=∠BOC, 2 ∠D0E=∠C0D+∠c0E=∠A0C+∠B0C-∠A0B, ∠A0B=120°， 600E-<08=60 故答案为：60° 变式6.(25-26七年级上·辽宁沈阳期中)如图，己知∠A0B=135°，∠C0D=45°，当∠C0D在∠A0B的外部时， 分别在∠40C内部和∠B0D内部面射线OE,0P,使∠B0C-∠40C,∠D0FB0D,则∠E0F的度数为 3 E B D 【答案】75°/75度 【详解】解：设∠B0C=n°，则∠A0C=∠A0B+∠B0C=135°+n°， ∠B0D=∠B0C+∠C0D=45°+n°， :∠B0c=∠400=45+5， 3 ∠D0F=80D=45°+m=15+5r. ÷∠COF=∠C0D-∠D0F=30-)n°， ÷∠E0F=∠C0F+∠E0C=30°-n°+45°+n=750. 1 3 3 故答案为：75°. 变式7.(25-26七年级上河北石家庄·期中)如图，在∠A0C中，∠A0B是直角，∠BOC=70,射线OE平分 ∠AOC,射线OF平分∠BOC,则LEOF的度数为 几何图形初步：角的比较与运算、余角与补角、旋转过程中的角度问题专项训练 B 【答案】45° 【详解】解：~∠AOB是直角， LA0B=90°， ∴∠A0C=∠A0B+∠B0C=90°+70°=160°， 射线OE平分∠AOC, ∠C0E=∠A0C=80呼 ∴∠B0E=LC0E-∠B0C=10°， ~射线OF平分∠BOC, ∴∠B0F=。∠B0C=35°， 2 ∠E0F=∠B0E+∠B0F=45°. 故答案为：45°. 变式8.(24-25七年级上·四川成都阶段练习)如图，已知∠A0B=90°，∠B0C=20°，0M平分∠AOC,则 ∠MOC的度数为 B 【答案】35 【详解】解：~∠A0B=90°，∠B0C=20°， ∴∠A0C=90°-∠B0C=70 OM平分∠AOC, 1 .∠MOC=∠AOC=35° 故答案为：35°. 0 几何图形初步：角的比较与运算、余角与补角、旋转过程中的角度问题专项训练 变式9.(24-25七年级上陕西西安期末)如图，在∠A0C中，射线OE平分∠A0C，连接OB,射线0F平分 ∠BOC. A B (1)若∠A0B是直角，∠BOC=70°，求∠E0F的度数； (2)若∠A0C+∠E0F=170°，∠B0C=80°，则∠C0E是多少度？ 【答案】(1)45 (2)70° 【详解】(1)解：∠A0B是直角， ÷LA0B=90°， ∠A0C=∠A0B+∠B0C=160°， 射线OE平分∠AOC,射线0F平分∠B0C, ∠c0E=40c=0,2c0F-80c=3 ∴∠E0F=LC0E-∠C0F=45°； (2)~射线OE平分∠AOC,射线0F平分∠BOC，, COF-280C40LA0C-2LC0E. ~∠A0C+∠E0F=170°， ∴.2∠COE+(∠COE-∠COF)=170°，即：3LC0E-40°=170°， ∠C0E=70°. 10