精品解析：四川省泸州市龙马潭区2025-2026学年高二上学期期中联合考试数学试题

高2024级高二上期期中联合考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2．考生必须保持答题卡的整洁. 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二600人，高三800人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（ ） A. 24 B. 26 C. 30 D. 36 2. 过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 某中学有教职工140人，其中35岁及以上的有40人，从这140名教职工中随机抽取一人，则抽到35岁以下教职工的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在空间中，若向量，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6 5. 已知样本数据为，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（ ） A. 极差 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数 6. 将颜色分别为红、白、蓝的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球”互为对立事件的是（ ） A. 乙分得红球 B. 丙分得红球 C. 甲分得白球或蓝球 D. 乙分得白球或蓝球 7. 如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知A、B、C、D是球O上不共面的四点，且，，，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 过两点的所有直线，其方程均可写为 D. 已知，若直线与线段有公共点，则 10. 已知事件两两互斥，若，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（ ） A. 点的轨迹的长度为. B. 直线与平面所成的角为定值． C. 点到平面的距离的最小值为. D. 的最小值为-2． 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 4，4，6，7，7，8，9，9，10，10的分位数为___________. 13. 已知点，则向量在上的投影向量的坐标是__________． 14. 若不等式的解集为，且，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求满足下列条件的直线方程； （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）过点，且与直线垂直的直线方程； （3）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 16. 已知经过点的圆C的圆心在x轴上，且与y轴相切． （1）求圆C的方程； （2）若，，点M在圆C上，求的取值范围． 17. 如图，在三棱锥中，，，，点D，E，F满足，，. （1）求线段的长； （2）求直线与所成的角. 18. 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求的值； （2）如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率； （3）学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩：，已知这10个成绩的平均数，标准差，若剔除其中的94和86两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差. 19. 如图，在直四棱柱中，，，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值： （3）若为线段上的动点，求到直线距离的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级高二上期期中联合考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2．考生必须保持答题卡的整洁. 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二600人，高三800人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（ ） A. 24 B. 26 C. 30 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】按照分层抽样计数规则计算可得. 【详解】依题意高一年级应抽取的人数为人. 故选：A 2. 过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，利用斜率公式求得，得到，进而求得直线的倾斜角，得到答案. 【详解】因为直线经过和两点，可得， 设直线的倾斜角为，可得， 又因为，所以. 故选：B. 3. 某中学有教职工140人，其中35岁及以上的有40人，从这140名教职工中随机抽取一人，则抽到35岁以下教职工的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用古典概型的概率求法求概率即可. 【详解】由题意，抽到35岁以下教职工的概率为. 故选：B 4. 在空间中，若向量，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由共面定理建立等量关系列方程组即可求解. 【详解】，，， 因为向量，，共面，所以存在有序实数对，使得， 即， ，解得，即. 故选：A. 5. 已知样本数据为，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（ ） A. 极差 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据极差，方差，平均数，中位数的定义和意义，判断选项. 【详解】去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，中位数不变，而极差，方差，平均数都有可能发生改变. 故选：D 6. 将颜色分别为红、白、蓝的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球”互为对立事件的是（ ） A. 乙分得红球 B. 丙分得红球 C. 甲分得白球或蓝球 D. 乙分得白球或蓝球 【答案】C 【解析】 【分析】由对立事件的概念即可得解. 【详解】事件“甲分得红球”与“甲分得白球或蓝球”不能同时发生但又必有一个发生，故这两个事件是互为对立事件. 故选：C. 7. 如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】连接，由题意，为中点， 则. 故选：A 8. 已知A、B、C、D是球O上不共面的四点，且，，，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理得，再补成正方体得外接球得半径，最后根据球体积公式得结果. 【详解】因为所以，， 即， 因为，，所以平面，同理可得平面， 所以可作为边长为1的正方体的四个顶点， 因为正方体的外接球直径为，所以外接球的半径为， 因此球的体积为， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 过两点的所有直线，其方程均可写为 D. 已知，若直线与线段有公共点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两直线垂直的判断方法依次判断充分性和必要性可知A错误；由直线斜率和倾斜角关系可求得B正确；根据直线两点式方程无法表示的直线可知C错误；求得所过定点后，由两点连线斜率公式可求得临界状态，结合图象可确定D错误. 【详解】对于A，当时，两直线分别为和，此时两直线垂直，充分性成立； 若两直线垂直，则，解得：或，必要性不成立； “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错误； 对于B，由直线得：， 直线的斜率，即， 又，，B正确； 对于C，平行于坐标轴的直线，即或时，直线方程不能写为，C错误； 对于D，由得：，直线恒过定点； ，， 结合图象可知：，，D错误. 故选：ACD. 10. 已知事件两两互斥，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件的概念、互斥事件概率加法公式得解. 【详解】对于A，因为事件两两互斥， 所以，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于D，由，得，故D正确； 对于C，因为，故C正确. 故选：BCD. 11. 直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（ ） A. 点的轨迹的长度为. B. 直线与平面所成的角为定值． C. 点到平面的距离的最小值为. D. 的最小值为-2． 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，表示，化简后得点的轨迹方程，得轨迹长度判断A；向量法求线面角判断B，向量法求点到平面距离，结合点的轨迹得最小值判断C；坐标表示向量数量积，结合点的轨迹最小值判断D. 【详解】直四棱柱的所有棱长都为4，则底面为菱形， 又，则和都是等边三角形， 设与相交于点，由，以为原点，为轴，为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，， 点在四边形及其内部运动，设，， 由，有， 即， 所以点的轨迹为平面内，以为圆心，2为半径的半圆弧， 所以点的轨迹的长度为， A选项错误； 平面的法向量为，， 直线与平面所成的角为，则， 又由，则， 所以直线与平面所成的角为定值， B选项正确； ，设平面的一个法向量为， 则有，令，得，， 所以点到平面的距离， ，所以时，， 所以点到平面的距离的最小值为，C选项正确； ， ，其几何意义为点到点距离的平方减12， 由，点到点距离最小值为， 的最小值为，D选项错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛： 空间几何体中的相关问题，要利用好几何体本身的结构特征，点线面的位置关系，图形中的角度和距离等，建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题，也是常用的方法. 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 4，4，6，7，7，8，9，9，10，10的分位数为___________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据百分位数的概念直接求解即可. 【详解】解：由题知，总共有10个数据，所以分位数为第8个与第9个数据的平均数， 所以分位数为. 故答案为： 13. 已知点，则向量在上的投影向量的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的投影向量的性质进行求解即可 【详解】， 向量在上的投影向量为： ， 故答案为： 14. 若不等式的解集为，且，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，则可根据两个函数的图象的位置关系求得的值. 【详解】设，， 则，故即， 结合可得在以原点为圆心，半径为2的半圆上（如图所示）， 所以的图象为如图所示的半圆，其中 而的图象为过的动直线， 因为不等式的解集为， 故的图象不在图象上方的点的横坐标的集合为， 若，结合图象可得，故，故的图象过， 故此时即， 若，结合图象可得此时，这与矛盾， 若，结合图象可得故的图象不在图象上方的点的横坐标的集合为空集， 故答案为： 【点睛】思路点睛：对于含参数的不等式的解的问题，可根据不等式的形式将解的问题转化为熟悉函数图象的位置关系问题，结合动态讨论求出参数满足的要求. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求满足下列条件的直线方程； （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）过点，且与直线垂直的直线方程； （3）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂线直线的斜率乘积为，从而求解直线方程； （3）分直线过原点、不过原点讨论可得答案. 【小问1详解】 设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的方程为； 【小问2详解】 设与直线垂直的直线方程为； 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为； 【小问3详解】 当直线过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 当直线不过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 综上，所求直线方程为或. 16. 已知经过点的圆C的圆心在x轴上，且与y轴相切． （1）求圆C的方程； （2）若，，点M在圆C上，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意待定系数法设出圆的标准方程，根据题意列出方程组求出参数即可得解. （2）由题意设点在圆上，则，，由两点之间的距离公式化简可得，由此即可得解. 【小问1详解】 设圆C：（）， 由题意得，解得， 所以圆C的方程为． 【小问2详解】 设，，由，得， 则． 当时，取得最小值，最小值为10； 当时，取得最大值，最大值为34． 故的取值范围为. 17. 如图，在三棱锥中，，，，点D，E，F满足，，. （1）求线段的长； （2）求直线与所成的角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助空间向量线性运算及模长与数量积的关系计算即可得； （2）借助空间向量线性运算与数量积公式计算即可得. 【小问1详解】 由，，则、分别为、中点， ， 则 ； 【小问2详解】 由，则， 则 ， 故，即直线与所成的角为. 18. 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求的值； （2）如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率； （3）学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩：，已知这10个成绩的平均数，标准差，若剔除其中的94和86两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差. 【答案】（1） （2） （3）平均数为90，方差为27.25 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据分层抽样比求解人数，即可列举所有可能结果，利用古典概型的概率公式即可求解， （3）根据平均数以及方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由图可知：，解得， 【小问2详解】 样本成绩位于和的比例为， 故所抽取的6个人中，来自的人数为，设这两个人为 来自的人数为，设这4个人为， 则从6个人中随机抽取2个人的所有情况有：， 2人中有来自组情况有 故2人中有来自组的学生的概率为， 【小问3详解】 由，可得， 则剔除其中的94和86两个分数，剩余8个数平均数为； 又标准差， 故， 则， 则剩余的8个数的方差为. 19. 如图，在直四棱柱中，，，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值： （3）若为线段上的动点，求到直线距离的最小值. 【答案】（1）由直四棱柱知，底面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以． 因为，，． 所以，， 所以，所以， 因为，所以，所以， 又，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直棱柱的性质可得，再结合，可证得平面，则，然后根据已知的条件可得，从而可证得，进而可得，最后利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）由题意可证得，以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而利用向量的夹角公式可求得结果； （3）设，则表示出点的坐标，从而可表示出的坐标，然后表示出到直线的距离，化简可求出其最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，平面， 所以，因为，所以两两垂直， 所以以为原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由（1）知，为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 因为， 则，令，则， 平面的一个法向量为． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 设， 则， 设到直线的距离为， 则 ， 所以当时，，即到直线距离的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $