精品解析：福建省莆田市涵江区莆田锦江中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

莆田锦江中学2025-2026学年（上）期中考试卷 高三数学 出卷人：林佳佳 审核人：蔡文龙 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将集合具体化，然后由交集运算可得. 【详解】由得，所以， 又，所以. 故选：B 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件、必要条件定义可判断选项正误. 【详解】若，则，充分性得证； 若，则，但不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， ， 即，可得， ，即， 所以， 所以. 故选：. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合同角三角函数平方关系求出，再由两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由，又，所以， 又，所以，所以， 所以， 故选：D. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用的关系式以及均值不等式即可求出答案. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为. 故选：B. 6. 研究表明地震释放的能量（单位：焦耳）与震级之间满足（，为常数）．若5.5级地震所释放的能量为焦耳，8级地震所释放的能量为焦耳，则6级地震所释放的能量为（ ）（取） A. 焦耳 B. 焦耳 C. 焦耳 D. 焦耳 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，列出关于的方程组，利用对数的运算性质，求出的值，即得函数的关系式，将代入，利用指对数互化计算即得答案. 【详解】依题意，， 解得，，则时，， 则焦耳. 故选：C. 7. 函数在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，得到函数单调性，故. 【详解】，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则. 故选：A. 8. 已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】等价函数与函数的图象有三个公共点，作出图形判断即可. 【详解】,构造函数，在同一坐标系内作出函数与函数的图象，由图象可知，当时，与的图象有三个公共点， 故选：C． 【点睛】方法点睛：本题主要考查学生接受新知识的能力以及数学中的数学结合思想、函数与方程思想等思想方法，属难题．解决此类问题的关键是将函数的零点问题通过等价转化，将问题转化为两个函数交点的个数问题，再正确画出两个函数的图象，由数形结合进行求解． 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断AB选项，利用基本不等式判断CD选项. 【详解】对于A，当时，有，A选项正确； 对于B，当时，有，B选项错误； 对于C，若，则， 当且仅当时等号成立，C选项正确； 对于D，， ， 则， 当且仅当时等号成立，D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 有且仅有一个极值点 B. 当时，存在两个零点 C. 若存在两个零点，则这两个零点之积大于0 D. 若存在两个零点，则这两个零点之和大于0 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义判断A；将零点问题转化为两个函数图象交点，再作出图象判断CD；利用零点的意义列式计算判断D. 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，令，得，解得，而， 可得或， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故有且仅有一个极值点为，故A正确； 对于B，函数存在两个零点等价于曲线与有两个交点， 当时，作出函数与的图象，如图，它们存在两交点， 当时，可看作将向左平移而得，由图可知两者必存在两个交点，故B正确； 对于C，当时，由图象知，两交点位于轴两侧，此时两个零点异号，它们的积小于0，故C错误； 对于D，两个零点为，则，即有， 由，得，则， 因此，，D正确. 故选：ABD 11. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是偶函数 C. 的图象关于直线轴对称 D. 在上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】由图象平移得函数解析式，根据正弦型函数性质依次判断即可. 【详解】由题意得， 对于A，函数最小正周期为，故A正确； 对于B，因为，所以不是偶函数，故B错误； 对于C， 因为，所以函数的图象关于点对称，故C错误． 对于D，当时，，所以函数单调递增，故D正确． 故选：AD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列中，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意与等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中，. 又∵，∴. 故答案为：6. 13. 已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据幂函数过点求出函数，再结合函数的单调性列出不等式计算求解. 【详解】设幂函数，由题意得，解得，故， 所以，则，即为. 令，解得. 根据在上为单调递增函数， 则有，解得或，故所求解集为， 故答案为:. 14. 如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为2m. 设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）. 若以盛水筒刚出水面开始计时，则与时间（单位：s）之间的关系为（，，）．则盛水筒出水后至少经过_________可以达到最高点（精确到1s）. 【答案】 【解析】 【分析】根据实际含义分别求的值，列方程，解简单三角方程得结果. 【详解】振幅即为半径，即； 因为逆时针方向每分转1.5圈，所以； ； ， 所以，将代入， 可得， 得， 当时，. 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）写出的表达式，并求的最大值及取得最大值时的值． 【答案】（1） （2），的最大值为30，此时为5或 6 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式把条件转化成关于首项与公差的方程，解方程即可； （2）利用等差数列的前项公式得到的表达式，利用二次函数的单调性求出的最值即可. 【小问1详解】 设首项为 ，公差为 ， 依题意得： ， 解方程得：， 所以通项公式为：. 【小问2详解】 由等差数列求和公式： ， ， 即：， 这是一个开口向下的二次函数（系数 )，在对称轴处取得最大值， 对称轴方程为：， 由于  为正整数，需检查  和 ： ， . 因此， 的最大值为 30，此时的值为5或6. 16. 记的内角的对边分别为，已知 （1）求 （2）的角平分线交于点，若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理求出，再结合题意建立方程组求出即可. （2）作出符合题意的图形，先利用等角对等边求出，结合两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，最后求解周长即可. 【小问1详解】 因为，所以， 则，由余弦定理得， 因为，所以，则，由题意得， 联立两式，得到，解得 . 【小问2详解】 如图，作出符合题意的图形， 因为的角平分线交于点，所以， 则，得到，故， 而， 而，则在中，由正弦定理知， 解得，故的周长为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1） 如图，连接，设，则，因， 在中，由余弦定理，可得， 又，则． 由平面，且平面，可得． 又，且，平面， 故平面，平面， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）设，先由余弦定理求出，再由勾股定理证明，结合平面，可得，最后根据线线垂直可证线面垂直，利用线面垂直的性质即得证； （2）由条件建系，写出相关点的坐标，求出两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因平面，由（1）得，即两两互相垂直． 故可以点为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，,,， 则，， 设平面的法向量为， 则故可取； 又因 设平面的法向量为， 则故可取. 于是，， 因 ,则， 故平面与平面夹角的正弦值为． 18. 某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. （1）求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； （2）该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； （3）记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）不正确 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解； （2）根据题意，分别求得三人都未进入面试和三人都进入了面试的概率，比较大小，即可求解； （3）根据题意，分别求得甲、乙、丙被录取的概率，得到随机变量的可能取值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试， 则， 则甲乙丙三人中恰有一人笔试合格的概率为. 【小问2详解】 解：若这三名同学获得180元的总奖金，则说明三人都未进入面试， 所以对应概率为， 若这三名同学获得总奖金为480元，则三人都进入了面试， 所以对应概率为， 因，所以丁同学的说法错误. 【小问3详解】 解：由题意得，甲被录取的概率为， 乙被录取的概率为， 丙被录取的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 则， , 故的分布列如下所示： 0 1 2 3 所以数学期望. 19. 已知，. （1）若函数在处取得极小值，求的单调递减区间； （2）在（1）的条件下，求过点且与函数图象相切的直线方程； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）利用极值的意义可得，可求得，进而令，可求单调递减区间； （2）设在处的切线过点，利用导数的几何意义可求得切线方程为，代入点的坐标，进而求解即可； （3）（分离参数，得到恒成立，令，求出函数的最大值，即可求得的范围. 【小问1详解】 由，可得， 因为函数在处取得极小值，所以， 所以，解得，所以， 当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，所以，所以. 所以，令，得， 所以的单调递减区间为； 【小问2详解】 设在处的切线过点， 由（1）可得，所以， 所以在处的切线方程为， 因为切线过点，所以， 整理得，所以，解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即， 所以切线方程为或； 【小问3详解】 由，可得， 由不等式恒成立，所以在上恒成立， 整理得在上恒成立， 令， 所以， 令，所以，解得或（舍去）， 所以当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田锦江中学2025-2026学年（上）期中考试卷 高三数学 出卷人：林佳佳 审核人：蔡文龙 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 3. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 研究表明地震释放的能量（单位：焦耳）与震级之间满足（，为常数）．若5.5级地震所释放的能量为焦耳，8级地震所释放的能量为焦耳，则6级地震所释放的能量为（ ）（取） A. 焦耳 B. 焦耳 C. 焦耳 D. 焦耳 7. 函数在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 有且仅有一个极值点 B. 当时，存在两个零点 C. 若存在两个零点，则这两个零点之积大于0 D. 若存在两个零点，则这两个零点之和大于0 11. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是偶函数 C. 的图象关于直线轴对称 D. 在上单调递增 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列中，，则________． 13. 已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为___________． 14. 如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为2m. 设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）. 若以盛水筒刚出水面开始计时，则与时间（单位：s）之间的关系为（，，）．则盛水筒出水后至少经过_________可以达到最高点（精确到1s）. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）写出的表达式，并求的最大值及取得最大值时的值． 16. 记的内角的对边分别为，已知 （1）求 （2）的角平分线交于点，若，求的周长． 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 18. 某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. （1）求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； （2）该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； （3）记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 19. 已知，. （1）若函数在处取得极小值，求的单调递减区间； （2）在（1）的条件下，求过点且与函数图象相切的直线方程； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $