精品解析：河南省信阳市淮滨县新时代学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度高一上学期10月份月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，再运用公式即可求出. 【详解】以点为原点,为轴建系，如图所示： 则，所以，, 所以单位向量为， 所以点到直线的距离为， 故选：A. 2. 如图，是圆锥的轴截面，是半圆弧的中点，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 如图，连接，是半圆弧的中点，， 又平面，两两垂直， 则以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设，，， 则，，，， 则， 设异面直线与所成的角为， 则. 故选：B. 3. 若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，设在基底下的坐标为，化简，列出方程组，即可求解. 【详解】因为向量在基底下的坐标为，所以， 设在基底下的坐标为， 则， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为． 故选：B. 4. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】C 【解析】 【分析】设，得出方程组无解，即可判断A，根据判断B，根据判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：因为，且，所以， 即，方程组无解，故不存在使得，故A错误； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：因为与不可能共线，若为锐角，则，解得，故C正确； 对于D：因为，， 若在上的投影向量为，即，则，解得，故D错误； 故选：C 5. 过点作的两条切线，切点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图象，利用二倍角公式求解即可. 【详解】由可得， 因为平分，且，， 所以， 故选：D. 6. 已知实数满足，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为两条平行直线间距离的求解问题，利用公式即可求得结果. 【详解】的几何意义为直线上的点到直线上的点的距离的平方， 直线与直线平行， ，的最小值为. 故选：D. 7. 设有一组圆，下列命题错误的是 （ ） A. 不论如何变化，圆心始终在一条线上 B. 存在圆经过点 C. 经过点的圆有且只有一个 D. 直线和所有圆相交 【答案】D 【解析】 【分析】对A：找出圆的圆心所在直线即可得；对B：将点代入计算即可得；对C：将点代入计算即可得；对D：计算圆心到直线的距离后与半径比较即可得. 【详解】对A：圆的圆心为， 则圆心始终在直线上，故A正确； 对B：将点代入，有，化简得， 解得，故经过点，故B正确； 对C：将点代入，有，化简得， 解得，故经过点的圆有且只有一个，故C正确； 对D：圆的圆心为，到直线的距离， 又圆的半径为，故直线和所有圆相切，故D错误. 故选：D. 8. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有，解得或， 当时，与重合，不合题意； 当时，直线与平行； 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率的函数关系，对选项一一分析即可得出答案. 【详解】对于A，取，则，则，故A错误； 对于B，若，即，故B正确； 对于C，若，则直线，的斜率存在且不为， 因为，又因为正切函数在，上单调递增， 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误; 故选：AD. 10. 曲线，是曲线上任意两点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的图象有且仅有条对称轴 B. 曲线所围成的面积为 C. 的最大值为 D. 记曲线上任意一点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】分类讨论可得四个象限中曲线的方程，由此可得曲线的图象；根据图象对称性可知AB正误；根据曲线内切于圆可知C正确；将转化为曲线上的点到直线的距离的倍，结合图形可求得D正确. 【详解】当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即； 可作出曲线的图象如下图所示（含坐标原点）， 对于A，由图象可知：曲线关于轴，直线，对称，A错误； 对于B，在第一象限中，曲线围成的图象面积为， 曲线所围成图形面积为，B正确； 对于C，曲线内切于圆，且切点在上，如下图所示， 则的最大值即为圆的直径，，C正确； 对于D，， 的几何意义为曲线上的点到直线的距离的倍； 曲线上的点到直线的距离的最小值为， 的最小值为，D正确. 故选：BCD. 11. 已知正方体，则（ ） A. B. C. D. 当为平面的法向量时 【答案】BD 【解析】 【分析】根据即可判断A错误；根据即可判断B正确；根据即可判断C错误；设正方体的边长为，以为原点，分别为轴建系，利用空间向量法即可判断D正确. 【详解】对选项A，因为，方向相反，所以，故A错误； 对选项B，因为平面，平面，所以， 所以，故B正确； 对选项C，易知为等边三角形，所以， 则，故C错误； 对选项D，设正方体的边长为，以为原点，分别为轴建系， 如图所示： 则， ， 设，则， 令，则，即. 则，故D正确. 故选：BD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在四面体中，是内部或边界上一点，满足，且，设，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】由得，进而得，即，最后利用二次函数即可求解. 【详解】由题意有 由有， 所以， 所以， 所以， 当时，取最小值为， 当时，取最大值为， 所以的取值范围为， 故答案为：. 13. 已知圆，点是直线上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的垂心的轨迹方程为___________. 【答案】（去原点） 【解析】 【分析】先根据圆的性质和相关几何关系确定一些点的轨迹，再利用点与点之间的对称关系来求出的垂心的轨迹方程. 【详解】设，则，， 根据圆的性质可知，设与交于， 由，，且为中点，同时在上，因为在直线上，即， 根据，设，，，则， 又因为，，且， 由可得，，代入，得到，整理得（去原点），所以点轨迹方程为（去原点）； 因为，，所以四边形是平行四边形， 又因为，所以四边形是菱形，故与关于点中心对称， 设，，则； 因为在（去原点）上，将，代入点轨迹方程得； 整理可得（去原点）. 故答案为：（去原点）. 14. 已知直线，过点的直线与及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，则的一般方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】首先求出直线与坐标轴分别交于点，再根据若四边形两组对角互补则四边形有外接圆求解即可. 【详解】设为原点，直线与坐标轴分别交于点， 当时，记的交点为，直线与两坐标轴围成一个四边形，如图所示： 因为，所以该四边形对角互补，有外接圆． 因为斜率为，所以的斜率为，的方程为，即； 当与轴的交点为时，直线与两坐标轴围成一个四边形， 如图所示： 若该四边形有外接圆，则 ， 所以，此时的斜率为， 方程为，即，此时，符合题意． 综上得，直线的方程为或． 故答案为：或 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形满足. （1）证明：平面平面； （2）若，平面与平面交线为， ①求证； ②直线上是否存在点，使得二面角的夹角余弦值为？如存在，求出；如不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②存在， 【解析】 【分析】（1）先分析底面四边形里的几何关系，得出，再根据线面平面推得线线，则可证平面，最终证平面平面； （2）①先由证明平面，再根据线面平行的性质，得出交线，结合，得出； ②建立空间直角坐标系，设出点M坐标，求出平面的法向量，利用二面角的向量公式建立方程，化简求解即可. 【小问1详解】 由勾股定理计算得，所以， 故三角形为等腰直角三角形，可得. 因为平面平面，所以. 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 ①因为，而平面，所以平面， 面与平面交线为，所以， 而，所以. ②依题意，建立空间直角坐标系， 可得， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 因为点在上，所以设点，设平面一个法向量为， 则，可得， 即，取，则. 因为，， 所以，解得，故. 16. 如图，四棱柱的所有棱长均为1，点满足，设． （1）用表示； （2）若，求与的值． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算法则，化简得到，再由，求得，进而化简得到． （2）根据题意，分别求得和， 再由，求得，结合向量数量积的运算律，即可求解. 【小问1详解】 解：根据空间向量的线性运算法则，可得． 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 解：因为，所以， 可得，解得， 同理可得， 因为，可得， 所以， 则 ． 17. 如图，已知正方体中，E为棱上的动点． （1）求证：； （2）若平面平面，求证：E为的中点． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）以D为原点，、、为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，计算即可证明； （2）求出面与面EBD的法向量，根据法向量垂直计算即可． 【小问1详解】 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为a，则． 设，， ， ∴，即 【小问2详解】 设平面和平面EBD的法向量分别为，． ， ，即，令，则，则， ，即，令，则，则． 由平面平面，得. ，即. ∴当E为的中点时，平面平面. 18. 已知直线与x轴交于点A，把绕点A顺时针旋转得直线，与y轴交于点B. （1）求a的值； （2）若点A，B在直线的两侧，求b的取值范围； （3）若直线，关于直线l对称，求l的斜率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线，倾斜角的关系，利用两角和的正切公式列式求解即可. （2）先求出直线经过点和B时，b的值，然后利用点A，B在直线两侧列不等式求解即可. （3）求出的交点，设关于的对称点为，然后列方程求解即可. 【小问1详解】 设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角与的终边相同， 因为直线的斜率为，所以， ， 所以，所以． 【小问2详解】 由已知可得， 当直线经过点时，，即， 当直线经过点时，，即， 所以当点在直线的两侧时，． 【小问3详解】 直线关于直线对称，则的交点在上， 由已知可知，直线的斜率存在，设为，则的方程为， 因为在上，关于的对称点在上，设， 由得，即， 由的中点在上，得，即， 代入得，解得． 19. 在平面直角坐标系中，记二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，经过这三个交点的圆记为圆. （1）若，求圆的方程； （2）已知，为坐标原点，圆上存在点满足，求实数的取值范围； （3）当时，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称性可设圆，根据方程一致性，并代入可求得圆方程； （2）由可求得点轨迹，结合圆方程可知两圆只需有公共点即可，并进一步将问题转化为直线与轨迹有公共点，利用圆心到直线距离可构造不等式求得结果； （3）由，，利用二倍角正切公式可构造方程求得的值，结合韦达定理可求得结果. 【小问1详解】 当时，，则对称轴， 圆的圆心在直线上，又，， 设圆方程为：，则当时，， 与方程等同，， 即，代入点得：，解得：， 圆方程为：. 【小问2详解】 设，由得：， 整理可得：，点轨迹是以为圆心，为半径的圆； 由（1）知：圆方程可设为， 代入点得：，解得：， 圆，圆心，半径， 圆上存在点满足，两圆有公共点， 两圆方程作差得：， 则两圆有交点等价于圆与直线有公共点， ，解得：或， 实数的取值范围为. 【小问3详解】 设，则，，， ，，，， 为方程的两根，， ，解得：，则， ， ，， ，解得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一上学期10月份月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是圆锥的轴截面，是半圆弧的中点，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A B. C. D. 3. 若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角，则 D. 若在上的投影向量为，则 5. 过点作的两条切线，切点分别为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设有一组圆，下列命题错误的是 （ ） A. 不论如何变化，圆心始终在一条线上 B. 存在圆经过点 C. 经过点的圆有且只有一个 D. 直线和所有圆相交 8. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 曲线，是曲线上任意两点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的图象有且仅有条对称轴 B. 曲线所围成的面积为 C. 的最大值为 D. 记曲线上任意一点，则的最小值为 11. 已知正方体，则（ ） A. B. C. D. 当为平面的法向量时 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在四面体中，是内部或边界上一点，满足，且，设，则取值范围是___________ 13. 已知圆，点是直线上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的垂心的轨迹方程为___________. 14. 已知直线，过点的直线与及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，则的一般方程为______． 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形满足. （1）证明：平面平面； （2）若，平面与平面交线为， ①求证； ②直线上是否存在点，使得二面角的夹角余弦值为？如存在，求出；如不存在，请说明理由. 16. 如图，四棱柱的所有棱长均为1，点满足，设． （1）用表示； （2）若，求与值． 17. 如图，已知正方体中，E为棱上动点． （1）求证：； （2）若平面平面，求证：E为的中点． 18. 已知直线与x轴交于点A，把绕点A顺时针旋转得直线，与y轴交于点B. （1）求a的值； （2）若点A，B在直线的两侧，求b的取值范围； （3）若直线，关于直线l对称，求l的斜率． 19. 在平面直角坐标系中，记二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，经过这三个交点的圆记为圆. （1）若，求圆的方程； （2）已知，为坐标原点，圆上存在点满足，求实数的取值范围； （3）当时，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $