精品解析：广西钦州市大寺中学2025-2026学年高二上学期10月份考试数学试卷

广西钦州市钦北区大寺中学2025年秋季学期高二年级10月份考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.四答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.四答非选择题时，将答案写在签题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理判断各选项中的每组向量是否共面可得结论. 【详解】对于A，因为是空间向量的一组基底，所以向量不共面， 因此也不共面，因此可以作为一组基底，即A正确； 对于B，易知，因此向量共面，不能作为基底，即B错误； 对于C，显然，因此共面，不能作为基底，即C错误； 对于D，显然，因此共面，不能作为基底，即D错误； 故选：A 2. 已知直线l的方向向量为，平面 的一个法向量为，若直线平面 ，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明列式求解. 【详解】直线l的方向向量为，平面 的一个法向量为， 由直线平面 ，得，则，即，所以. 故选：C 3. 已知向量，若与共线，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可设，即，解得. 故选：C 4. 设空间向量，则 （ ） A. 6 B. 9 C. -6 D. -9 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行，列等式求解即可. 【详解】因为，所以，解得 故选：B. 5. 在平行六面体中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行六面体的性质结合向量的加法法则，可得所求向量． 【详解】在平行六面体中连接， 因为， 所以四边形是平行四边形，则， 则， 所以. 故选：D 6. 从中任取2个数字，从中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四位数有（ ） A. 216个 B. 162个 C. 108个 D. 180个 【答案】D 【解析】 【分析】对首位数字分类讨论并结合组合数的性质求解即可. 【详解】当选的数字包括 时，共有种数字组合， 而 不能放在首位，则每个组合的情况数为个， 可得总情况数共有个， 当选的数字不包括 时，共有种数字组合， 此时每个组合的情况数为个， 可得总情况数共有个， 即一共可以组成没有重复数字四位数有个，故D正确. 故选：D 7. 如图所示，六个不同的自然数排成三角形，且每一行中最小的数均大于下一行中最小的数，则这样的排列共有（ ）种. A. 36 B. 240 C. 120 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】设最上面一行为第一行，由题意可知最小的数一定在第三行，确定另两个数，然后全排列，继而确定第二行的排列，最后剩下一个数排在第一行，由此可解. 【详解】设最上面一行为第一行， 由题意可知最小的数一定在第三行，则这一行的另外两个数从剩下的五个数中选， 有种选法，然后全排列，故有种排法； 第二行最小的数应是剩下的三个数中最小的数，另一个数从其余两个数中选，然后全排列， 此时共有种排法， 则剩余的一个数排在第一行，则这样的排列共有种， 故选：B 8. 设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（ ） A. 15 B. 35 C. 40 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】设中，有个 ， 个，则可得，再分、及进行讨论即可得. 【详解】设中，有个 ， 个，则有个 ， 则需，解得， 则当时，，共有种情况； 则当时，，共有种情况； 则当时，，共有种情况； 故共有种情况， 即集合中满足条件“”的元素个数为. 故选：D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. 除以5所得的余数是1 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，通过赋值 即可判断出结果的正误；对于选项B，通过展开式的通项公式，得到，再通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项C，通过，再利用二项展开式展开即可判断出结果的正误；对于选项D，进行赋值即可得出结果的正误. 【详解】选项A，因为， 令 ，得到，所以选项A正确； 选项B，因为二项展开式的通项公式为（，）， 由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数， 所以， 由，令，得到， 令，得到， 所以，所以选项B错误； 选项C，因为， 所以除以5所得的余数是1，选项C正确； 对于选项D，令，得到， 所以选项D正确. 故选：ACD. 10. 的展开式中，则（ ） A. 含项的系数为40 B. 第3项与第4项的二项式系数相等 C. 所有项的二项式系数之和为32 D. 所有项的系数之和为32 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A、B选项，直接根据二项式展开式的通项公式进行求解，并判断选项正误即可； 对于C选项，根据所有项的二项式系数之和为进行求解即可； 对于D选项，通过赋值法，令 即可求解所有项的系数之和. 【详解】对于A，的展开式中含的项为，故的系数为40，A正确； 对于B，的展开式中第3项与第4项的二项式系数分别为，，二项式系数相等，B正确； 对于C，所有项的二项式系数之和为，C正确； 对于D，令 ，所有项的系数之和为，D错误. 故选：ABC 11. 在正四棱台中，，则（ ） A. 和是相等向量 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量在向量上的投影数量为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据相等向量、空间向量垂直、投影向量、投影数量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】如图，和是相反向量，A错误. 根据正四棱台的性质可知，则，B正确. 设上底面在下底面的射影为， 延长交 于点 ，连接. 根据正四棱台的性质可知， 平面， 平面平面，， 向量在向量上的投影向量为. ， 则向量在向量上的投影向量为，C正确. 向量在向量上的投影数量为，D正确. 故选：BCD 第II卷（非选择题） 三、填空题 （共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为直线 的一个方向向量，点，，则点P到直线 的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间点到直线的距离计算方法求得正确答案. 【详解】因为，， 所以点P到直线 的距离为. 故答案为： 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合二项展开式通项可得，代入运算求解即可. 【详解】因为的展开式通项为， 可得， 所以. 故答案为：. 14. 在的二项展开式中，第四项是常数项，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】求出通项，再令可解. 【详解】展开式的通项为，， 因为第四项是常数项， 所以当时，， 所以 故答案为：6. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 21世纪汽车博览会在上海举行，某车展商制作了30个汽车模型，其外观分红色和蓝色，内饰分橙色和米色，具体数量如下表所示： 红色外观 蓝色外观 橙色内饰 12 8 米色内饰 6 4 （1）若小明从这30个模型中随机抽取一个，记事件为小明“抽到红色外观”的模型，事件为小明抽到“橙色内饰”的模型.分别计算，并判断事件和事件是否独立？ （2）车展公司举行抽奖活动，从30个模型中随机抽取两个，并假设： ①抽取的模型按颜色分为三类：外观和内饰都相同；外观和内饰都不同；仅外观相同或仅内饰相同． ②按抽取结果的可能性确定中奖金额，可能性越小，奖金越高； ③抽奖活动奖金分：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 小张抽奖一次，抽到外观和内饰都不同，请问他能获得多少金额？ （3）参观者喜欢外观是蓝色，内饰是橙色的汽车模型，该车展商想多制作一些这样的汽车模型，其余模型数量不变，且设每位参观者可以随机抽取2个汽车模型.事件“首位参观者抽出的两个模型中，恰好有一个是红色外观，且恰好有一个是橙色内饰的汽车模型”发生概率小于．则车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要多少个？ 【答案】（1），，事件和事件独立 （2）元 （3）个 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式和事件的独立性定义即可得出. （2）分别求出外观和内饰都相同；外观和内饰都不同；仅外观相同或仅内饰相同的概率，即可判断； （3）设车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型 个（且），根据古典概型的概率公式得到，即可得到不等式，解得 的取值范围，即可求出 的最小值. 【小问1详解】 若小明抽到红色外观的模型，则分橙色内饰个，米色内饰个，则对应的概率， 若小明抽到橙色内饰，分红色外观个，蓝色外观 个，则对应的概率． 抽到红色外观的模型同时是橙色内饰的有个，即， ，， 所以事件和事件独立． 【小问2详解】 依题意外观和内饰均为相同的概率， 外观和内饰都不同的概率， 仅外观相同或仅内饰相同的概率， 因为，即 所以一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都不同， 二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均相同， 三等奖为两个汽车模型仅外观相同或仅内饰相同． 所以抽到外观和内饰都不同的可以获得一等奖元，即小张能获得元奖金. 【小问3详解】 设车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型 个（且）， 记事件“首位参观者恰好抽到一个外观是红色的且恰好抽到一个橙色内饰的汽车模型”为事件， 则， 依题意，即，即，解得或（舍去）， 又，所以， 即车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要个. 16. 某大学农学院在同一块试验田种植了、两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取份，每份含 千粒小麦，测量其重量，按、、、、、分为组（每份重量均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. （1）求的值及品种小麦千粒重的平均数； （2）在品种小麦千粒重中分层抽样抽取一个容量为的样本，再从中抽取 份，求这 份重量都小于的概率; （3）用频率估计概率，从、两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量至少有一个不低于的概率. 【答案】（1），平均数为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为 求得，将每组的中间值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得品种小麦千粒重的平均数； （2）求出样本中重量小于的份数，再利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （3）根据相互独立事件概率计算公式求得所求概率. 【小问1详解】 由频率分布图可得，解得， 品种小麦千粒重的平均数为. 【小问2详解】 在品种小麦千粒重中分层抽样抽取一个容量为的样本， 样本中重量小于的份数为， 记事件在品种小麦千粒重中分层抽样抽取一个容量为的样本， 再从中抽取 份，这 份重量都小于，则. 【小问3详解】 设事件 、 分别表示从、两个品种中取出的小麦的千粒重不低于， 则，， 事件表示两个样本小麦的千粒重至少有一个不低于，则， 又 、 相互独立， 所以 . 17. 如图，在正方体中，， 分别是 ，的中点. （1）求证：平面； （2）求锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）可借助线面垂直的判定定理与性质定理得到、，再利用线面垂直的判定定理即可得证；也可建立适当空间直角坐标系，求出平面法向量后利用空间向量计算； （2）可借助二面角定义找到其平面角，再借助三角函数求解；也可求出平面与平面法向量后借助空间向量夹角公式求解. 【小问1详解】 方法一（几何法） 连接， 因为四边形为正方形，为 的中点，所以为 的中点， ， 分别是 ，中点，， ，，， 、平面， 平面，平面，， 连接，则，由正方体性质可得平面， 又平面，， 又，、平面， 平面，平面，， 又，、平面， 平面，，平面； 方法二（向量法） 如图，以 为坐标原点，以， ，为， ，轴建立空间直角坐标系， 则可得，，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则有，令 ，则，，则， 由，则，则，则平面； 【小问2详解】 方法一（几何法） 连接交于 ，连接，则， 为的中点， 又，则， 即二面角的补角， 由， 故锐二面角的余弦值为； 方法二（向量法） 由轴垂直平面，故平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为 ， 则， 故锐二面角的余弦值为. 18. 已知正方形的边长为2， ， 分别为 ，的中点，沿 将四边形折起，使得， 为线段 上一点. （1）如图（一），若 为线段 中点，设直线与直线的交点为 ， ①证明：∥平面； ②求点到平面的距离； （2）如图（二），是否存在点 ，使得直线 与平面所成的角为60°？若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）①证明见解析，②； （2）存在 ，当或时，使得直线 与平面所成的角为. 【解析】 【分析】（1）①根据中位线性质可求得，由，结合线面平行判定定理可证得结论；由二面角平面角定义可知，取中点，由线面垂直的判定和勾股定理可知两两互相垂直，则建立空间直角坐标系，由点面距离的向量法即可求解②； （2）利用线面角的向量求法可求得. 【小问1详解】 ①由于 ， 分别为 ，的中点 ，且， 又 为 中点，且， 易得， 连接，交于点 ，连接， 由题设，易知四边形 为平行四边形， 为 中点， 是的中点， 为中点， ，又平面，平面， 平面； ②， ，， 又平面，平面， 即为二面角的平面角， ； 取中点，连接，如图， ，， ， ， ， ， ，，又平面，， 平面， 平面， ， 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示， 则，，，，， ，， 设平面的法向量，则， 令，则，，， ， 故点到平面的距离为， 【小问2详解】 设，则，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，， 直线 与平面所成的角为， ，解得或， 存在点 ，当或时，使得直线 与平面所成的角为. 19. 如图，四棱锥的底面是菱形，，，侧棱底面且， 是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明：连接底面是菱形，． 平面平面． 又平面平面， 平面． 平面平面平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）由底面是菱形得到．平面得到，从而得到平面，利用面面垂直的判定定理得到平面平面． （2）方法一：由平面得到为与平面所成角．利用勾股定理和余弦定理求出长度，在中，代入得到与平面所成角的正切值；方法二：利用空间向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：设，由（1）知平面． 则为与平面所成角． 底面是菱形，． 在直角中，． 在中，由余弦定理知： , ． 在中，． 与平面所成角的正切值为． 方法二：取中点 ，易知，以 为基底建立空间直角坐标系．则有： ． ． 设平面的一个法向量， ， 令 有． 设与平面所成角为 ，则有， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西钦州市钦北区大寺中学2025年秋季学期高二年级10月份考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.四答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.四答非选择题时，将答案写在签题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 3. 已知向量，若与共线，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 4. 设空间向量，则（ ） A. 6 B. 9 C. -6 D. -9 5. 在平行六面体中，则（ ） A. B. C. D. 6. 从中任取2个数字，从中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四位数有（ ） A. 216个 B. 162个 C. 108个 D. 180个 7. 如图所示，六个不同的自然数排成三角形，且每一行中最小的数均大于下一行中最小的数，则这样的排列共有（ ）种. A. 36 B. 240 C. 120 D. 60 8. 设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（ ） A. 15 B. 35 C. 40 D. 45 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. 除以5所得的余数是1 D. 10. 的展开式中，则（ ） A. 含项的系数为40 B. 第3项与第4项的二项式系数相等 C. 所有项的二项式系数之和为32 D. 所有项的系数之和为32 11. 在正四棱台中，，则（ ） A. 和是相等向量 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量在向量上的投影数量为2 第II卷（非选择题） 三、填空题 （共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为直线 的一个方向向量，点，，则点P到直线 的距离为________． 13. 已知，则___________． 14. 在的二项展开式中，第四项是常数项，则______． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 21世纪汽车博览会在上海举行，某车展商制作了30个汽车模型，其外观分红色和蓝色，内饰分橙色和米色，具体数量如下表所示： 红色外观 蓝色外观 橙色内饰 12 8 米色内饰 6 4 （1）若小明从这30个模型中随机抽取一个，记事件为小明“抽到红色外观”的模型，事件 为小明抽到“橙色内饰”的模型.分别计算，并判断事件和事件 是否独立？ （2）车展公司举行抽奖活动，从30个模型中随机抽取两个，并假设： ①抽取的模型按颜色分为三类：外观和内饰都相同；外观和内饰都不同；仅外观相同或仅内饰相同． ②按抽取结果的可能性确定中奖金额，可能性越小，奖金越高； ③抽奖活动奖金分：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 小张抽奖一次，抽到外观和内饰都不同，请问他能获得多少金额？ （3）参观者喜欢外观是蓝色，内饰是橙色的汽车模型，该车展商想多制作一些这样的汽车模型，其余模型数量不变，且设每位参观者可以随机抽取2个汽车模型.事件“首位参观者抽出的两个模型中，恰好有一个是红色外观，且恰好有一个是橙色内饰的汽车模型”发生概率小于．则车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要多少个？ 16. 某大学农学院在同一块试验田种植了、 两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取份，每份含千粒小麦，测量其重量，按、、、、、分为组（每份重量均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. （1）求的值及品种小麦千粒重的平均数； （2）在 品种小麦千粒重中分层抽样抽取一个容量为的样本，再从中抽取 份，求这 份重量都小于的概率; （3）用频率估计概率，从、 两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量至少有一个不低于的概率. 17. 如图，在正方体中， ，分别是 ，的中点. （1）求证：平面； （2）求锐二面角的余弦值. 18. 已知正方形 的边长为2，， 分别为 ，的中点，沿将四边形折起，使得， 为线段 上一点. （1）如图（一），若 为线段 中点，设直线与直线的交点为 ， ①证明：∥平面； ②求点到平面的距离； （2）如图（二），是否存在点 ，使得直线 与平面所成的角为60°？若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由. 19. 如图，四棱锥的底面 是菱形，，，侧棱底面 且，是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $