专题5.3实际问题与一元一次方程（知识点总结+15大题型举一反三+同步练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年人教版数学七年级上册

5.3实际问题与一元一次方程 【题型1】配套问题 1.核心知识点总结 核心关系：配套比例匹配，若m个A与n个B配成一套，则满足。 关键量：原材料总量、单个产品所需材料/人数、配套比例。 2.高频考点梳理 基础配套：零件加工（如甲零件与乙零件配套）、桌椅制作（桌面与桌腿配套）（2024江苏苏州期末）。 拓展配套：多材料配套（如木材制作桌面和桌腿，结合原材料总量限制）（2025福建泉州期中）。 3.易错点警示 颠倒配套比例（如将“2个A配3个B”列成）。 忽略“原材料总量=各部分用料之和”的隐含条件。 4.解题技巧拆解 步骤：①设未知数（设生产A的人数/材料为x）；②用表格梳理数量关系： 类型 单个所需 数量/人数 总数量 A - x 对应总数量 B - 总量-x 对应总数量 列方程：根据配套比例求解。 【例题1】．（24-25七年级上·河南焦作·期中）某车间有名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓个或螺帽个，个螺栓要配个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 【变式题1-1】．（2025七年级上·河北·专题练习）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． (1)请问该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 【变式题1-3】．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）有一批生产桌椅的木料，已知一块木料可以生产桌子2张或椅子5把，现有39块木料，如何分配可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 【题型2】工程问题 1.核心知识点总结 基本公式：工作量=工作效率×工作时间，未明确工作量时，设总工作量为1，则工作效率。 核心关系：总工作量=各部分工作量之和（合作时：效率和=各效率相加）。 2.高频考点梳理 基础题型：两人合作完成工程（2024浙江杭州期末）、单人分段完成（如先做后停）。 拓展题型：多人合作中途退出（2025江苏南京秦淮区期末）、含休息时间的工程计算。 3.易错点警示 混淆“工作时间”与“有效工作时间”（如中途休息需扣除休息时间）。 合作效率计算错误（如甲效率、乙效率，合作效率误算为）。 总工作量未设为1（导致方程无意义）。 4.解题技巧拆解 步骤：①设完成时间为x（或退出时间为x）；②分段表示各部分工作量；③根据“总工作量=1”列方程。 技巧：用表格梳理各主体的“效率、时间、工作量”： 主体 工作效率 工作时间 工作量 甲 t₁ 乙 t₂ 【例题2】．（24-25六年级下·重庆渝北·开学考试）一项工程甲单独做需要24天完成，乙单独做需要32天完成．若甲单独做若干天后乙接着做，共用26天时间完成，则甲做了 天． 【变式题2-1】．（25-26七年级上·广东佛山·开学考试）小猫去河边钓鱼，晴天每天钓6条，雨天每天钓9条，一连钓6天，平均每天钓7条，那么有 天是晴天． 【变式题2-2】．（24-25七年级上·河南焦作·期中）整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由人先做，然后增加一些人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应增加多少人？ 【变式题2-3】．（2025九年级·江西·专题练习）把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 【题型3】销售问题（基础） 1.核心知识点总结 核心公式：利润=售价-进价；利润率=；售价=标价×。 衍生公式：售价=进价×(1+利润率)；进价=。 2.高频考点梳理 基础题型：求进价、售价、折扣或利润率（2024福建福州仓山期末）。 简单综合：单商品的折扣盈利问题（如打8折仍获利20%，求进价）。 3.易错点警示 折扣计算错误（如打9折误算为标价×0.9%）。 利润率分母混淆（用售价作分母insteadof进价）。 单位不统一（如进价元/件，售价元/箱未换算）。 4.解题技巧拆解 步骤：①设关键量（如进价为x）；②用公式表示售价、利润；③根据“盈利/亏损条件”列方程。 技巧：列表整理已知量与未知量： 量 数值/表达式 进价 x 标价 已知 折扣 已知 售价 标价×折扣/10 利润 售价-x 利润率 已知（或表达式） 【例题3】．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）某商人一次卖出两件衣服，一件赚了，一件亏了，售价都是元，在这次生意中，该商人（  ） A．不赚不赔 B．赚了元 C．亏了元 D．亏了元 【变式题3-1】．（25-26九年级上·广东深圳·月考）一个农业合作社以元的成本收获了某种农产品，目前可以以的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失，且每星期需支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元． (1)设储藏了个星期，请用含的代数式表示每吨农产品的价格为______元，此时农产品有______吨； (2)若出售这批农产品可获利元，问这批农产品储藏了多少个星期？ 【变式题3-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）某品牌电视的进价为1000元，售价为1400元，后由于出现了数字电视，商店准备打折出售，若盈利率为，则商店打几折？ 【变式题3-3】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某商场对顾客实行优惠，规定如下： ①一次购买不超过元，不予折扣；②一次购物超过元但不超过元，按标价给予九折优惠；③一次购物超过元的，其中元按第②条给予优惠，超过元的部分则给予八折优惠． 王叔叔第一次购物付了元，第二次购物付了元，如果他将两次所购物品一次购买，那么可比两次分别购买省 元． 【题型4】比赛积分问题 1.核心知识点总结 核心关系：总积分=胜场积分×胜场数+平场积分×平场数+负场积分×负场数；总场数=胜场数+平场数+负场数。 关键：明确积分规则（如胜3分、平1分、负0分）。 2.高频考点梳理 基础题型：已知总积分求胜平负场数（2024广东东莞期末）。 拓展题型：根据部分球队积分推导积分规则（如已知A队胜3场平2场积11分，求胜场积分）。 3.易错点警示 总场数计算错误（忽略平场或负场）。 积分规则理解偏差（如负场扣分误算为0分）。 设未知数后未验证场数为正整数。 4.解题技巧拆解 步骤：①设胜场数为x（平场数为y，负场数可表示为总场数-x-y）；②根据积分规则列方程；③求解后验证场数合理性。 技巧：若积分规则未知，先通过表格中已知球队数据列方程推导（如设胜1场积a分，平1场积b分）。 【例题4】．（25-26七年级上·四川成都·月考）金牛区举办了“金教杯”校园足球超级联赛：比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分．某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得13分，那么该足球队共胜了 场． 【变式题4-1】．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）在2025年江苏省城市足球联赛(“苏超”)中，13个地级市分别组建代表队，于5月10日正式开赛．比赛分为常规赛和淘汰赛两个阶段：第一阶段为常规赛，13支球队采用单循环赛制，前八名进入淘汰赛；第二阶段采用单回合淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军．那么本次联赛共进行了 场比赛． 【变式题4-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意，设未知数并列出方程． (1)一块长方形土地的周长为18米，长是宽的2倍多3米，求长方形的宽． (2)某制衣店现购买蓝色、白色两种布料共50米，共花费690元．其中蓝色布料每米13元，白色布料每米15元，求两种布料各买多少米？ (3)某中学七年级一班足球队参加比赛，胜一场得2分，负一场得1分，该队共赛了9场，共得15分，该队胜了多少场？ 【变式题4-3】．（23-24七年级上·全国·期末）表是某次篮球联赛积分的一部分 球队 比赛现场 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 备注：总积分=胜场积分+负场积分 (1)请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）； (2)某队的胜场总积分能否等于负场总积分的3倍？为什么？ (3)若某队的胜场总积分是负场总积分的n倍，n为正整数，试求n的值． 【题型5】分段计费问题（基础） 1.核心知识点总结 核心逻辑：分区间计算费用，总费用=各区间费用之和。 关键：明确分段标准（如电费210度以下为一档，以上为二档）。 2.高频考点梳理 基础题型：电费、水费、打车费计费（2024浙江台州质检）。 简单综合：已知总费用求用量（如电费160元，求用电量）。 3.易错点警示 跨段计算漏算低区间费用（如用电量250度，只算210度以上的部分）。 单位换算错误（如分钟与小时、立方米与升）。 分段标准记忆错误（如将“超过部分”误算为“全部”）。 4.解题技巧拆解 步骤：①判断未知量所在区间（如费用a元，先算各区间临界费用）；②设用量为x，按区间列方程；③求解后验证区间合理性。 技巧：用表格明确分段标准与费率： 区间 费率 临界费用 0≤x≤m 单价₁ m×单价₁ x>m 单价₂ - 【例题5】．（25-26七年级上·河南郑州·月考）为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费．小明家十月份的电费是64.6元，用电多少千瓦时？ 【变式题5-1】．（25-26七年级上·福建厦门·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，表示立方米）； 每月用水量 单价 不超出的部分 元/ 超出不超出的部分 元/ 超出的部分 元/ (1)填空：若该户居民月份用水，则应收水费___________元； (2)若该户居民月份水费为元，求该居民用了多少水？ (3)若该户居民，两个月共用水（月份用水量超过了月份），设月份用水，求该户居民，两个月共交水费多少元？（用含的代数式表示） 【变式题5-2】．（25-26七年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． (1)求，的值； (2)如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 【变式题5-3】．（25-26八年级上·四川成都·期中）为鼓励市民节约用电，某市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法.现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： ××居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 0.50 第二档： 0.55 第三档： 0.80 本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，写出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)若小强家一个月的实际用电量为250度，则实付金额分别为多少元？ (3)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量． 【题型6】行程问题（相遇与追及基础） 1.核心知识点总结 基本公式：路程=速度×时间（s=vt）。 核心关系：相遇问题（相向而行）：；追及问题（同向而行）：。 2.高频考点梳理 相遇问题：两地相向出发，求相遇时间（2024安徽阜阳期末）。 追及问题：同地不同时出发，求追及时间（2025江苏盐城响水期末）。 3.易错点警示 速度方向混淆（相向与同向的路程关系弄反）。 时间单位不统一（如速度km/h，时间分钟未换算）。 忽略“同时出发”“中途停留”等条件。 4.解题技巧拆解 步骤：①设时间为t；②用vt表示各主体路程；③根据相遇/追及关系列方程。 技巧：画线段图梳理路程关系，标注总路程、各段路程及方向。 【例题6】．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，当甲走出30千米时，乙恰好走完了A、B两地之间距离的，此时两人相距6千米，则A、B两地之间距离为 千米． 【变式题6-1】．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）甲，乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)后甲，乙两船相距多远？ (2)若甲船从港口顺水航行到达港口；从港口返回港口逆水而行，用了，求水流速度． 【变式题6-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）周日，甲、乙两名同学从学校出发去少年宫参加演讲比赛，甲同学先以4千米/小时的速度步行出发20分钟后，乙同学骑自行车以8千米/小时的速度追赶甲同学．那么乙同学追上甲同学用的时间是 小时． 【变式题6-3】．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）周末小育和小才相约去登山．小育平均每分钟登高10米，并且先出发40分钟，小才平均每分钟登高15米，两人同时登上山顶．设小育登山用了x分钟． (1)小才登山所用时间为　　　分钟（用x的代数式表示）； (2)试用方程求x的值．由x的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？ 【题型7】调配问题（提升） 1.核心知识点总结 核心关系：转移前后总量不变，即甲处调出量=乙处调入量。 关键：用未知数表示转移后甲、乙两处的数量。 2.高频考点梳理 人员调配：车间工人、学校班级人数转移（2025陕西渭南临渭区期末）。 物资调配：仓库水泥、救灾物资分配（2024福建厦门海沧区期末）。 3.易错点警示 转移后数量表示错误（如甲调出x人，误表示为“甲原有-x”insteadof“甲现有=原有-x”）。 总量计算错误（忽略调入调出后的总量守恒）。 单位不统一（如物资吨与千克未换算）。 4.解题技巧拆解 步骤：①设调出量为x；②用表格梳理转移前后数量： 主体 转移前 转移后 甲 a a-x 乙 b b+x 列方程：根据转移后的数量关系（如甲是乙的2倍）求解。 【例题7】．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）甲、乙两个仓库共有蔬菜．甲仓库运进蔬菜，乙仓库运出蔬菜后，两个仓库的蔬菜质量相等，两个仓库原来各有多少蔬菜？ (1)用代数式表示（所填结果需化简）：设甲仓库原来有为蔬菜，请完成下面的表格： 运进（出）前后仓库名称 原有蔬菜量 运进（出）后的蔬菜量 甲仓库 x ____________ 乙仓库 ____________ ____________ (2)请完整地写出本题的解答过程． 【变式题7-1】．（24-25七年级上·江西景德镇·期末）某市防疫物资配送站，甲、乙两仓库分别有防疫物资20箱和30箱，A，B两个社区分别需要防疫物资15箱和35箱．已知从甲、乙仓库到A，B两个社区的运价如表： 到A社区 到B社区 甲仓库 每箱15元 每箱12元 乙仓库 每箱10元 每箱9元 若从甲仓库运到A社区的防疫物资为x箱． (1)用含x的代数式表示：从甲仓库运到B社区的防疫物资为________箱；从乙仓库运到A社区的防疫物资为________箱，运到B社区的防疫物资为________箱； (2)若把全部防疫物资从甲、乙两仓库运到A，B两个社区的总运输费为545元，求x的值． 【变式题7-2】．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲仓库有水泥100吨，乙仓库有水泥80吨，要全部运到A、B两工地，已知A工地需要70吨，B工地需要110吨，甲仓库运到A、B两工地的运费分别足140元/吨和150元/吨，乙仓库运到A、B两工地的运费分别是200元/吨和80元/吨，本次运水泥总运费需要25900元. (1)设甲仓库运到A工地的水泥为x吨，请在下面表格中用x表示出其它未知量： 甲仓库 乙仓库 A工地 x B工地 (2)用含x的式子表示运送甲仓库100吨水泥的运费为__________元（写出化简后的结果）； (3)求甲仓库运到A工地的水泥的吨数. 【变式题7-3】．（24-25七年级上·全国·课后作业）某公司在A，B两地分别有库存机器16台和12台，现要运往甲、乙两地，其中运往甲地15台，运往乙地13台．从A地运一台机器到甲地的运费为500元，到乙地的运费为400元；从B地运一台机器到甲地的运费为300元，到乙地的运费为600元． (1)设从A地运往甲地x台机器，请把下表补充完整； 收地运地 甲地 乙地 总计 A地 x 16台 B地 12台 总计 15台 13台 28台 (2)如果某种调运方案的运费是10300元，那么从A，B两地分别运往甲、乙两地的机器各多少台？ 【题型8】销售问题（复杂折扣与利润，提升） 1.核心知识点总结 复杂关系：多商品混合销售（总利润=各商品利润之和）；阶梯折扣（如满400打9折，满600打8折）。 核心公式：总利润=Σ(单个利润×销量)；折后价=分段标价×对应折扣。 2.高频考点梳理 多商品盈利：购进A、B两种商品，求销量或进价（2025山东济南历下区期末）。 阶梯折扣：购物满额打折，求原价或实际付款（2024上海闵行区期中）。 3.易错点警示 总利润计算错误（漏算某类商品利润或折扣）。 阶梯折扣分段错误（如满600元部分打8折，误算为全部打8折）。 销量与进价的对应关系混淆。 4.解题技巧拆解 步骤：①设某商品数量/进价为x；②分别表示各商品的利润；③根据总利润列方程（阶梯折扣需先判断原价所在区间）。 技巧：用表格整理多商品的“进价、售价、销量、利润”： 商品 进价 售价 销量 单个利润 总利润 A a b x b-a x(b-a) B c d n-x d-c (n-x)(d-c) 【例题8】．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·月考）超市零食区共有薯片、饼干、坚果三种零食共100袋，其中薯片数量是饼干数量的，坚果有40袋．进货补充后，饼干的总库存数量是薯片总库存数量的．已知坚果的总库存数量是200袋，薯片的总库存数量比坚果的总库存数量多． (1)求超市零食区原有薯片与饼干各有多少袋？ (2)求进货补充后，超市零食区薯片的总库存和饼干的总库存分别是多少袋？ (3)超市计划将这些零食全部售出，若薯片进价每袋4元，饼干进价每袋2元，坚果进价每袋3.5元．薯片售价每袋6元，饼干售价每袋3元，坚果售价每袋5元．预计在出售过程中，平均每种零食会有因包装破损不能出售，超市全部出售完是赚钱还是赔钱？赚了多少元或赔了多少元？ 【变式题8-1】．（25-26七年级上·黑龙江·期中）某超市开业，为了吸引顾客，实行优惠，方案如下表： 购物标价 小于200元 满200元且不超过500元 超过500元 优惠方式 不予优惠 按标价9折优惠 500元部分（包括500元）给予9折优惠，超过500元部分给予8折优惠 (1)小张付款189元，则购买了标价为 元的商品； (2)小张购买标价为x（） 元的商品，则他付款 元；（用含x 的代数式表示） (3)小张两次购物，第一次购买了标价为260元的商品，商家获利，第二次购买了标价550元的商品，商家获利，如果他把两次购买的商品合并为一次，请你计算，商家获利多少元? 【变式题8-2】．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）我校每年参加市区校园足球比赛，由于时间紧张，带队老师经常带队员们去吃牛肉面，队员数量较多，老师要保证每个孩子吃好还不能浪费，正好牛肉面馆有活动，下表为牛肉面馆的部分菜单： 套餐种类 A套餐 B套餐 C套餐 配餐 牛肉面 牛肉面＋1份小菜 牛肉面＋1份小菜＋1份牛肉 价格（元） 8 10 20 优惠活动 消费满100元，减10元；消费满200元，减20元；消费满300元，减30元… 队长负责统计同学们的点餐情况，一次性点好，已知他们所点的套餐共有17份牛肉面，份小菜和8份牛肉．大家帮他们算一算： (1)他们共点了 份B套餐， 份A套餐；（用含的式子表示） (2)若他们套餐共买10份小菜，求实际花费多少元； (3)若他们点套餐优惠后实际花费了220元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）用一元一次方程解答下列问题． 当前，重庆正加速打造智能网联新能源汽车之都，同时重庆也是全国三个机动车保有量超过万辆的城市之一，消费潜力巨大．某汽车销售店顺应浪潮，月份主推了款燃油车和款新能源汽车，已知该店销售辆款燃油车和辆款新能源汽车的总销售额为万元，销售辆款燃油车、辆款新能源汽车的总销售额为万元． (1)求月份每辆款、款汽车售价分别为多少万元？ (2)因为每种车型销售热度不一，所以源头厂家一直保持严格的配货制度，即该店每引进辆款新能源汽车则必须引进辆款燃油车．该店月份引进的款燃油车和款新能源汽车全部销售一空，其中引进了款新能源汽车辆．月份由于新能源汽车电池成本大幅提高，与月份相比，每辆款新能源汽车售价提高了，同时为了响应国家的号召，对款新能源汽车每辆进行万元的现金补贴，每辆款燃油车的售价则保持不变，最终月份的款燃油车销量相比月份款燃油车的销量降低了，款新能源汽车销量相比月份款新能源汽车销量提高了，月份两款车的总销售额比月份两款车的总销售额提高了，求的值． 【题型9】行程问题（环形与分段，提升） 1.核心知识点总结 环形行程：相遇（背向）：；追及（同向）：。 分段行程：中途变速（速度分两段），总路程=各段路程之和。 2.高频考点梳理 环形问题：环形跑道相遇、追及（2024河南洛阳期末）。 分段变速：先快后慢或先慢后快，求总时间（2025广东佛山南海区期末）。 3.易错点警示 环形追及路程关系错误（误算为“路程差=2倍周长”）。 分段行程漏算某段路程或时间。 变速后速度与时间对应错误。 4.解题技巧拆解 环形问题：①设时间为t；②根据相遇/追及的路程关系列方程（n次相遇则路程和/差为n倍周长）。 分段问题：①设变速时间为t；②用“速度₁×时间₁+速度₂×时间₂”表示总路程；③列方程求解。 【例题9】．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时 (1)经过多长时间两车第一次相遇？ (2)经过多长时间两车第二次相遇？ (3)两车恰好相距时，行驶了多长时间？ 【变式题9-1】．（2025七年级上·辽宁·专题练习）某景区内的环形路是边长为800米的正方形，如图①和②．现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为200米/分． 请解答以下问题： 问题（一） 设行驶时间为分． （1）当时，求出当两车相距的路程是400米时的值； （2）为何值时，1号车第三次恰好经过景点？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数． 问题（二） 已知游客小亮在上从向出口A走去，步行的速度是50米/分．当小亮行进到上一点（不与点，A重合）时，刚好与2号车迎面相遇． （1）小亮发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由． （2）已知米．聪明的小亮根据的大小，通过计算发现：如果他选择乘1号车或者选择步行这两种方式到达出口A，所用的时间是一样的．你知道此时的值是多少吗？请直接写出的值． 【变式题9-2】．（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）小亮和小红课间去校园操场锻炼，两人沿环形跑道跑步，每次总是小红跑完圈时，小亮跑完圈．一天两人同时同地出发，反向而跑，小亮最后发现两人第一次相遇用时． (1)求两人的速度． (2)若两人同时同地沿该跑道同向跑，则经过多长时间两人第一次相遇？ (3)一天，小亮与小红约定在此操场进行赛跑，等小亮完成全程的时，原地停留后以原来的速度开始匀速追赶小红，在此过程中，小红始终保持速度不变，小亮能否在终点前追上小红？如果能，求追上时距离终点还有多少；如果不能，请说明理由． 【变式题9-3】．（24-25七年级上·重庆·期末）利用方程解决实际问题 (1)某工厂生产吉祥物盲盒，分为、两种包装，该工厂共有名工人． ①若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒的人数的倍少人，请求出生产盲盒的工人人数． ②为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由个盲盒和个盲盒组成，已知每个工人平均每天可以生产个盲盒或个盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒，多少名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ (2)甲、乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲每分钟比乙多行米，两人同时从起点同向出发，经过分钟，两人首次相遇，此时乙还需跑米才能跑完第一圈． ①求甲、乙的速度． ②跑道一圈长米； ③若两人相遇后，甲立即以米分钟的速度掉头按反方向骑车，乙仍按原方向提速继续跑，经过分钟两人再次相遇，则乙的速度每分钟提高了多少米？ 【题型10】方案选择问题（提升） 1.核心知识点总结 核心逻辑：列代数式表示不同方案的费用，通过方程求费用相等的临界点，再比较选择最优方案。 关键：考虑附加条件（如最低消费、赠送规则）。 2.高频考点梳理 购物优惠：两家商店不同折扣，求最优方案（2025河南洛阳期末）。 套餐选择：手机套餐、出行套餐对比（2024浙江绍兴期末）。 3.易错点警示 代数式列写错误（忽略赠送、满减条件）。 未比较临界点两侧的方案优劣（仅求相等点，未判断不同区间的最优）。 单位换算错误（如流量GB与MB、时间分钟与小时）。 4.解题技巧拆解 步骤：①设变量x（如购物金额、流量）；②列各方案的费用代数式；③求费用相等时x的值；④分x<临界点、x>临界点比较最优方案。 技巧：用表格对比各方案费用： 方案 费用代数式 临界点 甲 y₁=a+bx x=m 乙 y₂=c+dx 【例题10】．（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）在今年的双“十一”商品促销活动中，黄州万达超市为吸引顾客购物，推出如下优惠方案： （1）购物款不超过500元，不享受优惠； （2）购物款超过500元，但不超过1000元，享受9折优惠； （3）购物款超过1000元，享受8折优惠． 某中学学生李诚的爸爸到万达购买220元的物品，他的妈妈在下班途中看到这个优惠方案后也去万达购买了一些物品，共付款756元．李诚看到爸爸妈妈的购物单后发现，若是他一个人去买这些物品，还可以优惠 元． 【变式题10-1】．（25-26七年级上·重庆·期中）企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包： 方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折． 现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款　　　元（用含x的式子表示）． (2)当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？ (3)试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 【变式题10-2】．（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ 【变式题10-3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）1套检测仪器由2个部件和3个部件构成，用钢材可以做40个部件或240个部件． (1)若要用钢材制作若干套这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件？ (2)现在某公司要租赁这批仪器套，每天的付费方案有如下两种： 方案一：当不超过60时，每套支付租金100元；当超过60时，超过的套数每套支付租金打八折． 方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元． 当超过60时，选择哪种租赁方案更合算？请说明理由． 【题型11】新情境问题（培优） 1.核心知识点总结 核心逻辑：提取新情境中的有效信息，转化为熟悉的方程模型（如配套、分段、行程）。 关键：理解情境中的数量关系（如直播带货佣金、新能源充电计费）。 2.高频考点梳理 科技情境：无人机送货、智能电表计费（2025福建厦门期末）。 生活新场景：直播带货佣金计算、共享充电宝计费（2024江苏苏州中考改编）。 3.易错点警示 情境理解偏差（未读懂收费规则、数量关系）。 忽略隐藏条件（如最低佣金、充电时长不足1小时按1小时算）。 模型转化错误（将新情境误判为错误的方程类型）。 4.解题技巧拆解 步骤：①通读情境，标注关键数据（如单价、分段标准、佣金比例）；②判断模型类型（配套/分段/销售）；③设未知数，列方程求解。 技巧：将新情境术语转化为数学语言（如“佣金=销售额×3%+保底500元”转化为“y=0.03x+500”）。 【例题11】．（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）材料股票市场，买卖股票都要分别交纳印花税等有关税费，以沪市A股的股票交易为例，除成本外还要交纳： ①印花税：按成交金额的0.1%计算； ②过户费：按成交金额的0.1%计算； ③佣金按不高于成交金额的0.3%计算，不足5元按5元计算； 问题： (1)小王以每股5.00元的价格买入股票“美的电器”100股，以每股5.50元的价格全部卖出，则他盈利为_____元． (2)小张以每股元（）的价格买入以上股票，股市波动大，他准备在不亏不盈时卖出，请你帮他计算实出的价格每股是_____元（用的代数式表示），由此可得卖出价格与买入价格相比至少要上涨_____%才不亏，（结果保留三个有效数字）． (3)小张再以每股5.00元的价格买入以上股票1000股，准备盈利1000元时才卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是多少元？ 【变式题11-1】．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）瑞茶时光10月推出A、B两款花茶在短视频平台销售．已知A、B两款花茶的单价和为180元，其中A款花茶卖了800份，B款花茶比A款花茶多卖了400份，10月的销售额为176000元． (1)求A、B两款花茶的单价； (2)为迎接11月份的消费热潮，瑞茶时光决定对两款花茶进行降价活动．A款花茶的单价在10月份的基础上降低4元销售，B款花茶的单价在10月份的基础上打8.8折销售．在短视频平台上销售产品，每个月月底平台将从月销售额中抽取相应的佣金，抽取比例如下： 月销售额不超过20万元时，抽取月销售额的； 月销售额超过20万元，但不超过50万元时：20万元按抽取，超过20万元的部分按抽取； 月销售额超过50万元时，抽取全部月销售额的； 11月瑞茶时光按上述活动单价销售A、B两款花茶后发现：这两个月共抽取佣金16400元，且11月的总销售量为6000份，则11月共卖出去A款花茶多少份？ 【变式题11-2】．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在国家政策的引导和支持下，我国新能源汽车行业迅猛发展，新能源汽车以其环保、节能、使用成本低等优点，越来越受到人们的青睐． (1)小华家的旧车要换新了．爸爸计划将家里的燃油车换成新能源电动车，妈妈担心电动车不划算．爸爸收集了以下数据： 从数学的角度，你会怎么用“数据”帮小华爸爸说服妈妈？综合上面的信息，先列式计算出关键数据，再写一句说服语（15个字以上），说服语中要包含关键数据．（注：暂不考虑车辆使用年限、保值率、充电便利性等外部因素） (2)小华爸爸购买某品牌的新能源电动车时，看到了以下购车政策： 已知小华爸爸买车最终实际支付了47.25万元，求这辆车的官方指导价是多少万元？ 【变式题11-3】．（24-25七年级下·福建泉州·期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，属于共享经济理念的出行服务．某地滴滴快车计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 注：1．车费=里程费+时长费+远途费，其中里程费按行车的实际里程计算； 2．时长费按行车的实际时间计算； 3．远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收元． (1)已知小张从学校乘坐滴滴快车回家，乘车时长为10分钟，没有产生远途费的情况下支付了元车费．试求小张家到学校的里程． (2)星期六早上，小张和聪聪两人从该地出发，各自乘坐滴滴快车去省城参加无人机航展大赛，行车时间分别为分钟、分钟．已知聪聪比小张的行车里程多8公里，两人所付车费、计费项目都相同．设，试求出的值． 【题型12】古代数学问题（培优） 1.核心知识点总结 核心逻辑：翻译文言文，提取等量关系，转化为一元一次方程。 关键：理解古代数学术语（如“凫雁俱起”“日行百里”）。 2.高频考点梳理 《九章算术》改编：相遇问题、购物问题（2025湖北武汉新洲区期末）。 其他古籍：《算法统宗》《算学启蒙》中的配套、行程问题（2024安顺关岭一模）。 3.易错点警示 文言文翻译错误（如“日行六十”误译为“速度60里/天”insteadof“每天走60里”）。 等量关系找错（未理解题意中的数量关系）。 单位不统一（古代长度单位“里”与现代单位无需换算，保持一致即可）。 4.解题技巧拆解 步骤：①逐句翻译文言文，明确已知量与未知量；②找出等量关系（如“相遇时路程和=总路程”）；③设未知数，列方程求解。 技巧：用现代语言复述题意，再梳理数量关系（如“凫七日至北海，雁九日至南海，俱起何日相逢”译为“野鸭7天从南海到北海，大雁9天从北海到南海，同时出发几天相遇”）。 【例题12】．（25-26七年级上·全国·单元测试）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【变式题12-1】．（25-26七年级上·北京·期中）“我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩重闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有个人，则可列方程 ． 【变式题12-2】．（25-26九年级上·天津和平·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式题12-3】．（2025·江西赣州·一模）《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设并深为x尺，所列方程为 B．绳子的长是32尺 C．设绳子的长为x尺，所列方程为 D．井深8尺 【题型13】含参数的方程应用（培优） 1.核心知识点总结 核心逻辑：未知数含参数（如整数解、范围限制），根据实际意义（如人数、件数为正整数）求参数值。 关键：方程的解需满足实际条件（正整数、非负数）。 2.高频考点梳理 整数解问题：求参数的正整数解（2025广东广州增城区期末）。 范围限制：根据解的范围求参数取值（如“购买数量不超过10”）。 3.易错点警示 忽略参数的实际意义（如人数为小数）。 解方程时参数处理错误（移项、合并同类项失误）。 未验证参数对应的解是否符合题意。 4.解题技巧拆解 步骤：①设未知数x，列含参数k的方程；②解出x=f(k)；③根据x的实际意义（正整数、范围）求k的值；④验证k的合理性。 技巧：用含参数的代数式表示解，再根据条件列不等式或等式（如x为正整数，则f(k)>0且为整数）。 【例题13】．（25-26七年级上·全国·期末）光明学校组织七年级学生开展研学活动，已知研学基地的票价为每张20元，由各班班长负责买票，下面是一班班长与售票员咨询的对话： 班长：你好!我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团体票有优惠吗？ 售票员：你好!购票人数超过40人的团体票有两种优惠方案，如下： 方案一：若每人都购票，每张门票打八折； 方案二：若打九折，有5人可免票． (1)一班学生人数为50，选择了方案一购票，那么一班购票需要多少元？ (2)二班选择了方案二，购票费用为702元，那么二班有多少人？ (3)三班的学生人数为，三班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问三班有多少人？ 【变式题13-1】．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（经济问题）张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是8000元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为x米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是8000元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)若时，分别求出两种方案的总金额是多少？ (2)求x取何值时，两种优惠方案的总金额一样多？ (3)张先生因现金不够，于2023年1月在某银行借了9万元住房贷款，贷款期限为6年，从开始贷款的下一个月起逐月偿还，贷款月利率是，每月还款数额平均每月应还的贷款本金数额月利息，月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率．假设贷款月利率不变，若张先生在借款后第n（，n是正整数）个月的还款数额为P，请写出P与n之间的关系式． 【变式题13-2】．（25-26七年级上·重庆·期中）已知两个正整数m和n各个数位上的数字均不为0，若它们的位数相同且对应数位上的数字之和为10，称这两个数互为“互补数”．例如：4和6互为“互补数”，119与991互为“互补数”．若m的“互补数”为n，记为m的“互补差”，例如：81的“互补数”为29，． (1)42的“互补差”为 ； (2)已知两位数m的个位数字比十位数字大3，且它的“互补数”n等于它的倍，求这个两位数的“互补差”； (3)已知某三位数（其中，且a，b为整数），若能被19整除，直接写出这个三位数所有可能的值． 【变式题13-3】．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）风华中学举办英语节活动，包括三大组别的节目：歌曲组、短剧组、演讲组，每位学生只能参加一个组别的节目．六年级有部分同学参加活动，其中的同学加入歌曲组，的同学加入演讲组，剩下20名同学加入短剧组，参加英语节的男生比女生少． (1)六年级参加英语节的学生有多少人； (2)参加演讲组的男生是参加短剧组男生的，且比参加歌曲组的男生多，求参加歌曲组的男生有多少人； (3)在（2）的条件下，由于英语节活动调整，一些学生从演讲组调整到歌曲组和短剧组，从演讲组调出学生中，3名男生全部调入歌曲组，调入歌曲组和短剧组的女生人数比为，此时歌曲组人数是短剧组人数的，求调入歌曲组的女生有多少人． 【题型14】多变量配套问题（培优） 1.核心知识点总结 核心关系：三种及以上零件配套（如1个机身+2个机翼+3个尾翼=1架飞机），满足多个比例关系。 关键：设主变量，用主变量表示其他量，根据多个配套比例列方程。 2.高频考点梳理 多零件配套：机械零件、玩具组装（2025江苏南通通州区期末）。 多材料配套：多种原材料制作多种产品（如木材+金属+塑料制作设备）。 3.易错点警示 遗漏配套比例（如三种零件只考虑两组比例，忽略第三组）。 主变量选择不当（导致代数式复杂）。 总量分配错误（多种原材料总量混淆）。 4.解题技巧拆解 步骤：①设主变量（如制作机身x个）；②根据配套比例表示其他零件数量（机翼2x个、尾翼3x个）；③根据原材料总量列方程（如机身用料+机翼用料+尾翼用料=总材料）。 技巧：用表格梳理各零件的“配套比例、数量、用料”： 零件 配套比例 数量 单位用料 总用料 机身 1 x a ax 机翼 2 2x b 2bx 尾翼 3 3x c 3cx 【例题14】．（24-25七年级上·四川成都·期末）综合与实践：利用长方形纸板制作礼品盒 七年级数学兴趣小组同学准备制作三种不同形状的礼品盒：长方体礼品盒，圆柱体礼品盒，底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒．请回答下列问题： 【制作长方体礼品盒】第一小组同学选择长为，宽为的长方形纸板，如图1，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． (1)当剪去的小正方形的边长为5时，求该长方体礼品盒的体积． 【制作圆柱体礼品盒】第二小组同学选择两张长为，宽为的长方形纸板，如图2，一张作圆柱体的侧面，另一张裁出两个大小相等的最大圆； (2)它们能组装成高为24cm的圆柱体礼品盒吗，请说明理由． 【制作底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒】如图3，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面组成．第三小组同学将某种规格的长方形纸板按照图示方法分别制作礼盒底面和侧面； (3)若第三小组同学用到13张长方形纸板时，裁剪的侧面和底面两种型号纸板恰好用完，请利用方程的知识求出这时他们能做多少个这种礼盒． 【变式题14-1】．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）问题情境数学兴趣小组的同学利用周末到某纸箱厂参加社会实践，该厂的厂长让他们用100张白板纸（如图1）制作某种型号的长方体纸箱． 研究方法如图2，每张白板纸有，，三种剪裁方法，其中第种裁法：得到2个侧面与4个底面；第种裁法：得到4个侧面；第种裁法：得到3个侧面与2个底面．问题解决数学兴趣小组的同学用三种不同的裁剪方法裁剪这100张白板纸． 设按裁法裁剪的白板纸有a张，按裁法裁剪的白板纸有b张． (1)按第种方法裁剪的白板纸有______张（用含a，b的式子表示）； (2)用含a，b的代数式填表： 裁法 裁法 裁法 侧面个数 ______ ______ 底面个数 ______ ______ (3)已知四个侧面和两个底面恰好能配套做成一个纸箱，若将这100张白板纸剪裁完后，得到的侧面和底面恰好配套： 当时，求该小组按上述裁法分别裁剪了多少张白板纸？ 小明观察不同载法的复杂程度后发现，每载一张白板纸，裁法和裁法都至少需要裁5刀，裁法至少需要裁3刀，直接写出：该小组裁剪总刀数m与a的数量关系式． 【变式题14-2】．（24-25六年级下·上海·期中）商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如表： A型 B型 C型 满368优惠100 满168优惠68 满50优惠20 此次活动中，小尚和小东分别领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小尚最终使用了三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了________张B型“优惠券”． (2)若小东最终使用了5张A型、B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A型、B型“优惠券”各几张？ 【变式题14-3】．（24-25七年级上·浙江·期末）根据以下素材，回答问题： 问题背景：2025年元旦期间，A，B两个大型商场举行糖果优惠促销活动．某班数学小组对A，B两个大型商场进行调研后了解到如下信息： 信息1 A商场从厂家直接购进甲种糖果800千克，乙种糖果950千克，共支付77600元．已知每千克乙种糖果比每千克甲种糖果进价贵8元． 信息2 B商场从厂家直接购进甲，乙两种糖果售卖，进价与A商场相同，并将乙种糖果按进价提高后标价，实际销售时再打折售卖，此时乙种糖果每千克仍可获利9.6元． 问题解决： (1)设甲种糖果每千克进价x元，求甲，乙两种糖果的进价． (2)求出B商场中乙种糖果是打几折售卖的．如果甲种糖果也按照这个折扣售卖，每千克可获利8元，求甲种糖果的标价． 【题型15】分段行程与方案结合问题（培优） 1.核心知识点总结 核心逻辑：行程问题中含分段速度，同时结合方案选择（如不同交通方式、不同路线），总费用/总时间=各段之和，再比较最优方案。 2.高频考点梳理 交通方案：自驾与高铁对比（分段计费+行程时间）（2025北京海淀期末）。 路线选择：不同路线的速度分段，求最短时间/最低费用（2024浙江宁波北仓区期末）。 3.易错点警示 分段速度与路程对应错误。 方案对比时遗漏附加费用（如高速费、停车费）。 时间与费用单位不统一。 4.解题技巧拆解 步骤：①设行程路程为x；②分别列不同方案的总时间/总费用代数式（分段计算）；③求临界点，比较不同区间的最优方案；④验证实际意义（如时间为正）。 技巧：用折线图直观展示各方案的费用/时间变化，标注临界点。 【例题15】．（14-15七年级上·江苏苏州·期末）又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． (1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ (2)你能确定两班各有多少名学生吗？ (3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 【变式题15-1】．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）孝义市“携程旅游百事通”旅行社将带领一批新青年进行研学旅行，本次研学旅行的最后一站是革命圣地——延安，请根据下表信息，回答下列问题． 选择最省钱的租车方案 背景 此次延安之旅共计1日，由旅行社联系大巴车接送大家往返于西安与延安． 信息1 大巴车载客量：49人，小客车载客量：29人，注：载客量均包含司机． 信息2 小客车每辆每天的租金比大客车便宜400元，租用2辆大客车和5辆小客车共需支付租金5700元；每辆车均有一名司机． 信息3 方案一：全部租用小客车（会有一辆车空出16个座位，其余均坐满）； 方案二：全部租用大客车（刚好坐满，且租车量比方案一少两辆）； 方案三：两种型号组合租用． 问题解决 任务1 求大客车和小客车每辆每天的租金． 任务2 求旅行社中参与此次延安1日游活动的游客人数． 任务3 分别计算出不同方案所需的租金，比较并选出最省钱的方案． 【变式题15-2】．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）某化工厂每天产生大量的工业废水，为使排放的工业废水达到国家的排放标准，建设了一座工业废水处理站．该处理站无论是否处理废水，都需要支付设备维护费用200元/天，且处理废水还需其他费用5元/吨．随着生产规模的扩大，该废水处理站已无法完成当天工业废水的处理任务，需要将一部分废水交给第三方企业处理，该企业处理工业废水的价格如表所示． 收费方式 废水处理量/吨 费用 第一阶梯 500元 第二阶梯 的部分 5元/吨 第三阶梯 100以上的部分 4元/吨 (1)设某天有m吨废水在处理站处理，直接写出处理站处理废水产生的总费用； (2)若某天该工厂产生超过200吨的废水，需将一半的废水由处理站处理，另一半废水由第三方企业处理，该废水处理站处理废水产生的总费用与第三方企业处理废水产生的费用相同，求这一天该工厂产生的废水总量； (3)经测算，该工厂废水处理站日废水处理最大量为150吨，而扩大生产规模后，每天产生的废水量超过该处理站日废水处理最大量至少50吨，为实现降本增效，工厂设计了两种废水处理方案： 方案A：超出该处理站的日废水处理量的废水交给第三方企业处理； 方案B：保留处理站的设备，但废水全部交给第三方企业处理． 根据以上信息，请帮助工厂选择最优方案，并说明理由． 【变式题15-3】．（24-25七年级下·重庆石柱·开学考试）某水果店经销甲、乙两种水果，基本信息如表所示： 水果种类 成本（元/千克） 数量（千克） 售价（元/千克） 甲水果 60 乙水果 80 (1)商家决定将甲种水果按成本价提高后出售；乙种水果在成本价的基础上提高10元后再打八折出售，则___________（用含的代数式表示），___________（用含的代数式表示）； (2)若商家将甲、乙水果全部售出可获得760元的总利润，求的值；（请列方程解答） (3)春节来临之际，市场对水果的需求上升．为吸引顾客，店长根据市场调查推出两种促销方案如下： 方案一：每位顾客均可享受所有商品八折优惠，折后还可以使用优惠券（每次只能使用一张）： 优惠券1 满50元减10元 优惠券2 满40元减5元 例如：某人购买原价为200元的水果，按方案一优惠，他应付款为：（元）． 方案二：每位顾客均可享受所有商品七五折优惠： 一次购物只能享受其中一种优惠方案． 小优和妈妈一起在该水果店购买了如下标价的水果：一盒草莓60元，一盒蓝莓20元，一个进口车厘子礼盒380元，妈妈准备选择优惠方案—一次性付款，小优说她有更省钱的方法．从优惠的角度看，小优最多还能为妈妈节省___________元． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·黑龙江鹤岗·期中）某商店将一件商品按进价提高后标价，又以9折销售，售价为216元，则该商品的进价为（  ） A．200 元 B．210 元 C．180 元 D．190 元 2．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）将九个数分别填在（行列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”如图①为“和幻方”，图②为“和幻方”，图③为“和幻方”，若图④为“和幻方”，则的值等于（  ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·重庆·期中）如图是2025年1月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果不可能的是（    ） A．75 B．100 C．115 D．120 4．（25-26七年级上·云南昆明·期中）在一张月历上，任意圈出竖列上的三个数的和不可能是（   ） A．17 B．24 C．42 D．66 5．（25-26七年级上·浙江金华·阶段练习）如图1，有一个圆柱形水桶，水位高度为．如图2，现将一棱长为的正方体铁块放入水中，液面上升了．如图3，如果再叠放一个同样的正方体铁块，那么液面会再上升（    ）cm． A． B． C． D．1 6．（25-26七年级上·浙江舟山·期中）在解决问题“小喜在A、B两地间进行骑车训练，去时每小时行18千米，用了2.5小时；返回时用了3小时，每小时行多少千米？”时有四种方案，其中错误的方案是（    ） 方案一：                            方案二： 方案三：设每小时行千米．        方案四：设每小时行千米． A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．方案四 二、填空题 7．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一件工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要 天才能完成该工程． 8．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）一个两位数和一个一位数的和为20，把一位数放在两位数的左边得到一个三位数，再把一位数放在两位数的右边，又得到一个三位数，前一个三位数除以后一个三位数，商是7，余数是78，则这个两位数是 ． 9．（2025七年级上·全国·专题练习）小丁今年5岁，妈妈30岁，几年后，妈妈的年龄是小丁的2倍？ 设x年后，妈妈的年龄是小丁的2倍． x年后小丁年龄为 岁，妈妈的年龄为 岁． 根据题意列出方程为 ，解这个方程得 ． ∴ 年后，妈妈的年龄是小丁的2倍． 10．（25-26七年级上·云南昆明·期中）如图，将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为，宽为3的小长方形，则 ． 11．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）小丽今年身高156厘米，比去年长高了，则小丽去年身高 厘米． 三、解答题 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）某车间有30名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配多少名工人生产螺栓，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套？ 13．（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）在餐厅开始给学生打餐时，已经有名学生在餐厅外排队等候．打餐开始后，仍有学生继续前来排队等候打餐．设学生按固定的速度增加，每个售饭窗口打餐的速度也是固定的，且是学生增加速度的．若开设5个售饭窗口，则需要40分钟才可将排队等候的学生全部打完餐．根据学校作息时间安排，现要求20分钟将排队等候的学生全部打完餐，以便后来到餐厅的学生随到随打．问需要同时开放几个售饭窗口？ 14．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）《九章算术》中有这样一段记载：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．大意为：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： (1)走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面？两人相隔多少步？ (2)走路慢的人先走200步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 15．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 5 第二档 7 第三档 9 (1)当时，写出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1820元，求该户去年一年的用水量． 16．（18-19七年级下·湖南长沙·期中）国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如图是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据图中的信息，解答下列问题： (1)明明他们一共去了几个成人?几个学生? (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱? (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的12个家长共20人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3实际问题与一元一次方程 【题型1】配套问题 1.核心知识点总结 核心关系：配套比例匹配，若m个A与n个B配成一套，则满足。 关键量：原材料总量、单个产品所需材料/人数、配套比例。 2.高频考点梳理 基础配套：零件加工（如甲零件与乙零件配套）、桌椅制作（桌面与桌腿配套）（2024江苏苏州期末）。 拓展配套：多材料配套（如木材制作桌面和桌腿，结合原材料总量限制）（2025福建泉州期中）。 3.易错点警示 颠倒配套比例（如将“2个A配3个B”列成）。 忽略“原材料总量=各部分用料之和”的隐含条件。 4.解题技巧拆解 步骤：①设未知数（设生产A的人数/材料为x）；②用表格梳理数量关系： 类型 单个所需 数量/人数 总数量 A - x 对应总数量 B - 总量-x 对应总数量 列方程：根据配套比例求解。 【例题1】．（24-25七年级上·河南焦作·期中）某车间有名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓个或螺帽个，个螺栓要配个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 【答案】名工人生产螺栓，名工人生产螺帽 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应安排名工人生产螺栓，则应安排名工人生产螺帽，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应安排名工人生产螺栓，则应安排名工人生产螺帽， 由题意得，， 解得， ∴， 答：应安排名工人生产螺栓，安排名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套． 【变式题1-1】．（2025七年级上·河北·专题练习）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生28人，女生22人 (2)4名 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设七年级一班有女生人，则有男生人，根据七年级一班共有学生50人，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设七年级一班有女生人，则有男生人， 根据题意，得， 解方程，得， ， ∴七年级一班有男生28人，女生22人； （2）解：设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意，得， 解方程，得． ∴需要4名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． (1)请问该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 【答案】(1)该车间有男生31人，女生54人 (2)应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，根据“男生人数女生人数”列出方程并解答； （2）设应分配y名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，则 ， 解得， 则， 答：该车间有男生31人，女生人数是54人． （2）设应分配y名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮， 由题意得： 解得：， 答：应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮． 【变式题1-3】．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）有一批生产桌椅的木料，已知一块木料可以生产桌子2张或椅子5把，现有39块木料，如何分配可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 【答案】应该用15块木料生产桌子，用24块木料生产椅子 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示生产桌子的数量和生产椅子的数量是解题的关键．设用x块木料生产桌子，则用块木料生产椅子，生产桌子张，生产椅子把，根据椅子的数量是桌子数量的4倍列方程得，解方程求出x的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：设用x块木料生产桌子，则用块木料生产椅子， 根据题意得， 解得， ∴， 答：应该用15块木料生产桌子，用24块木料生产椅子． 【题型2】工程问题 1.核心知识点总结 基本公式：工作量=工作效率×工作时间，未明确工作量时，设总工作量为1，则工作效率。 核心关系：总工作量=各部分工作量之和（合作时：效率和=各效率相加）。 2.高频考点梳理 基础题型：两人合作完成工程（2024浙江杭州期末）、单人分段完成（如先做后停）。 拓展题型：多人合作中途退出（2025江苏南京秦淮区期末）、含休息时间的工程计算。 3.易错点警示 混淆“工作时间”与“有效工作时间”（如中途休息需扣除休息时间）。 合作效率计算错误（如甲效率、乙效率，合作效率误算为）。 总工作量未设为1（导致方程无意义）。 4.解题技巧拆解 步骤：①设完成时间为x（或退出时间为x）；②分段表示各部分工作量；③根据“总工作量=1”列方程。 技巧：用表格梳理各主体的“效率、时间、工作量”： 主体 工作效率 工作时间 工作量 甲 t₁ 乙 t₂ 【例题2】．（24-25六年级下·重庆渝北·开学考试）一项工程甲单独做需要24天完成，乙单独做需要32天完成．若甲单独做若干天后乙接着做，共用26天时间完成，则甲做了 天． 【答案】18 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲做了天，则乙做了天，根据题意可求出甲和乙的工作效率，再把工作总量看作单位“1”，根据工作总量等于工作时间乘以工作效率建立方程求解即可． 【详解】解：设甲做了天，则乙做了天． 由题意得， 答：甲做了18天． 【变式题2-1】．（25-26七年级上·广东佛山·开学考试）小猫去河边钓鱼，晴天每天钓6条，雨天每天钓9条，一连钓6天，平均每天钓7条，那么有 天是晴天． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设晴天有天，则雨天有天．晴天钓鱼总数为条，雨天钓鱼总数为 条．总钓鱼条数为条列方程求解即可． 【详解】解：设晴天有天，则雨天有天， 列方程： 解得． 故答案为：． 【变式题2-2】．（24-25七年级上·河南焦作·期中）整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由人先做，然后增加一些人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应增加多少人？ 【答案】人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应增加人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应增加人， 由题意得，， 解得， 答：应增加人． 【变式题2-3】．（2025九年级·江西·专题练习）把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 【答案】(1)这个班有45名学生 (2)应先安排2人整理图书 【分析】（1）设这个班有名学生，根据如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则差本．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设应先安排人整理图书，现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起做，正好完成这项任务，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设这个班有名学生． 由题意，得， 解得． 答：这个班有名学生． （2）解：设应先安排人整理图书． 由题意，得， 解得． 答：应先安排人整理图书． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【题型3】销售问题（基础） 1.核心知识点总结 核心公式：利润=售价-进价；利润率=；售价=标价×。 衍生公式：售价=进价×(1+利润率)；进价=。 2.高频考点梳理 基础题型：求进价、售价、折扣或利润率（2024福建福州仓山期末）。 简单综合：单商品的折扣盈利问题（如打8折仍获利20%，求进价）。 3.易错点警示 折扣计算错误（如打9折误算为标价×0.9%）。 利润率分母混淆（用售价作分母insteadof进价）。 单位不统一（如进价元/件，售价元/箱未换算）。 4.解题技巧拆解 步骤：①设关键量（如进价为x）；②用公式表示售价、利润；③根据“盈利/亏损条件”列方程。 技巧：列表整理已知量与未知量： 量 数值/表达式 进价 x 标价 已知 折扣 已知 售价 标价×折扣/10 利润 售价-x 利润率 已知（或表达式） 【例题3】．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）某商人一次卖出两件衣服，一件赚了，一件亏了，售价都是元，在这次生意中，该商人（  ） A．不赚不赔 B．赚了元 C．亏了元 D．亏了元 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是计算出两件商品的进价，再根据售价和进价的关系得到答案． 首先计算出两种商品的进价，然后再根据售价，比较是亏是赚，亏多少，赚多少．还应注意亏赚都是在原价的基础上． 【详解】解：设赚了的衣服的进价是元， 则：， 解得：， 设赔了的衣服的进价是元， 则， 解得：， 总进价：元， 总售价：元 元， 所以亏了元， 故选：C． 【变式题3-1】．（25-26九年级上·广东深圳·月考）一个农业合作社以元的成本收获了某种农产品，目前可以以的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失，且每星期需支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元． (1)设储藏了个星期，请用含的代数式表示每吨农产品的价格为______元，此时农产品有______吨； (2)若出售这批农产品可获利元，问这批农产品储藏了多少个星期？ 【答案】(1)， (2)这批农产品储藏了15个星期 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，明确题意，列出相应的方程和代数式是解答本题的关键． （1）根据题意，可以用含x的代数式表示出每吨农产品的价格和此时农产品的吨数； （2）根据题意，设这批农产品储藏了m个星期，可以列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 储藏了个星期，每吨农产品的价格为：元，此时农产品有吨， 故答案为：，； （2）解：设这批农产品储藏了m个星期， 由题意可得：， 解得， 答：这批农产品储藏了15个星期． 【变式题3-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）某品牌电视的进价为1000元，售价为1400元，后由于出现了数字电视，商店准备打折出售，若盈利率为，则商店打几折？ 【答案】商店打了八折 【分析】本题考查了折扣问题． 设商店打了x折，利用销售价减进价等于利润列方程求解即可． 【详解】设商店打了x折， 根据题意得：， 解得：． 答：商店打了八折． 【变式题3-3】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某商场对顾客实行优惠，规定如下： ①一次购买不超过元，不予折扣；②一次购物超过元但不超过元，按标价给予九折优惠；③一次购物超过元的，其中元按第②条给予优惠，超过元的部分则给予八折优惠． 王叔叔第一次购物付了元，第二次购物付了元，如果他将两次所购物品一次购买，那么可比两次分别购买省 元． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，运用分类讨论思想确定所付金额是优惠前还是优惠后，并找出等量关系列出正确方程是解题的关键． 先判断出王叔叔第一次购物优惠前超过元，第二次购物需要分优惠前不超过元和优惠前超过元两种情况讨论，再根据等量关系列方程，求出两次购物优惠前的金额，即可求解． 【详解】解：∵（元），， ∴王叔叔第一次购物优惠前超过元， 设王叔叔第一次购物优惠前为x元，则： ， 解得， ∵（元），， ∴王叔叔第二次购物可能有优惠，也可能没有优惠， ①当王叔叔第二次购物有优惠， 设王叔叔第二次购物优惠前为y元，则： ， 解得， ∴两次所购物品一次购买应实际付款为：（元）， ∴节省的费用为：（元）， ②当王叔叔第二次购物没有优惠， 则两次所购物品一次购买应实际付款为：（元）， ∴节省的费用为：（元）， 综上：王叔叔将两次所购物品一次购买可比两次分别购买省或元． 故答案为：或． 【题型4】比赛积分问题 1.核心知识点总结 核心关系：总积分=胜场积分×胜场数+平场积分×平场数+负场积分×负场数；总场数=胜场数+平场数+负场数。 关键：明确积分规则（如胜3分、平1分、负0分）。 2.高频考点梳理 基础题型：已知总积分求胜平负场数（2024广东东莞期末）。 拓展题型：根据部分球队积分推导积分规则（如已知A队胜3场平2场积11分，求胜场积分）。 3.易错点警示 总场数计算错误（忽略平场或负场）。 积分规则理解偏差（如负场扣分误算为0分）。 设未知数后未验证场数为正整数。 4.解题技巧拆解 步骤：①设胜场数为x（平场数为y，负场数可表示为总场数-x-y）；②根据积分规则列方程；③求解后验证场数合理性。 技巧：若积分规则未知，先通过表格中已知球队数据列方程推导（如设胜1场积a分，平1场积b分）。 【例题4】．（25-26七年级上·四川成都·月考）金牛区举办了“金教杯”校园足球超级联赛：比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分．某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得13分，那么该足球队共胜了 场． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程组的应用；设胜场数为，则平了场，根据总积分为分，列出方程．解方程组即可． 【详解】解：设胜场数为，则平了场，依题意得， 解得： 故答案为4． 【变式题4-1】．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）在2025年江苏省城市足球联赛(“苏超”)中，13个地级市分别组建代表队，于5月10日正式开赛．比赛分为常规赛和淘汰赛两个阶段：第一阶段为常规赛，13支球队采用单循环赛制，前八名进入淘汰赛；第二阶段采用单回合淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军．那么本次联赛共进行了 场比赛． 【答案】85 【分析】本题主要考查的知识点是常规赛和淘汰赛赛制的比赛场次计算．先计算第一阶段常规赛的比赛场次，再根据第二阶段淘汰赛的比赛场次，最后将两阶段场次相加得到总场次． 【详解】解：设总比赛场次为场 第一阶段∶单循环赛制，每支球队都要与其他球队比赛一场；每支球队需比赛的场次为球队总数减(不与自己比赛)，支球队共比赛场，但每场比赛被重复计算两次，所以需除以得到实际场次． （场） 第二阶段∶淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军， 因此，总场次等于第一阶段循环赛场次加上第二阶段淘汰赛场次， （场）， 故答案为：． 【变式题4-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意，设未知数并列出方程． (1)一块长方形土地的周长为18米，长是宽的2倍多3米，求长方形的宽． (2)某制衣店现购买蓝色、白色两种布料共50米，共花费690元．其中蓝色布料每米13元，白色布料每米15元，求两种布料各买多少米？ (3)某中学七年级一班足球队参加比赛，胜一场得2分，负一场得1分，该队共赛了9场，共得15分，该队胜了多少场？ 【答案】(1)设长方形的宽为米，则方程为 (2)设买蓝色布料米，则方程为 (3)设该队胜了场，则方程为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设长方形的宽为米，则长为米，再由长方形周长计算公式列出方程即可； （2）设买蓝色布料米，则买白色布料米，再由一共花费690元列出方程即可； （3）设该队胜了场，则该队负了场，再由一共得15分列出方程即可． 【详解】（1）解：设长方形的宽为米，则长为米． 根据题意，列方程得． （2）解：设买蓝色布料米，则买白色布料米． 根据题意，列方程得． （3）解：设该队胜了场，则该队负了场， 根据题意列方程，得． 【变式题4-3】．（23-24七年级上·全国·期末）表是某次篮球联赛积分的一部分 球队 比赛现场 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 备注：总积分=胜场积分+负场积分 (1)请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）； (2)某队的胜场总积分能否等于负场总积分的3倍？为什么？ (3)若某队的胜场总积分是负场总积分的n倍，n为正整数，试求n的值． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)不能，理由见解析 (3)n的值为2，5，12或26 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找准等量关系列出一元一次方程求解即可． （1）根据表格中胜场与负场的次数结合总积分即可求解； （2）设该队胜了m场，则负了场，根据胜场总积分等于负场总积分的3倍，即可得出关于m的一元一次方程解之即可得出m的值，结合m为整数即可得出结论； （3）设该队胜了a场，则负了场，根据胜场总积分等于负场总积分的n倍，结合n为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格中前进球队可知，胜场为10场，负场为4场，总积分为24分， 则有， 同理其他球队也满足，胜场负场总积分， ∴胜一场积2分，负一场积1分； （2）解：不能，理由如下： 设该队胜了m场，则负了场， 若某队的胜场总积分等于负场总积分的3倍， ∴， 解得， ∵m为整数， ∴某队的胜场总积分不能等于负场总积分的3倍； （3）解：设该队胜了a场，则负了场， 根据题意可得，， 解得， 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，分母为零，此时不存在n的值； 综上，n的值为2，5，12或26． 【题型5】分段计费问题（基础） 1.核心知识点总结 核心逻辑：分区间计算费用，总费用=各区间费用之和。 关键：明确分段标准（如电费210度以下为一档，以上为二档）。 2.高频考点梳理 基础题型：电费、水费、打车费计费（2024浙江台州质检）。 简单综合：已知总费用求用量（如电费160元，求用电量）。 3.易错点警示 跨段计算漏算低区间费用（如用电量250度，只算210度以上的部分）。 单位换算错误（如分钟与小时、立方米与升）。 分段标准记忆错误（如将“超过部分”误算为“全部”）。 4.解题技巧拆解 步骤：①判断未知量所在区间（如费用a元，先算各区间临界费用）；②设用量为x，按区间列方程；③求解后验证区间合理性。 技巧：用表格明确分段标准与费率： 区间 费率 临界费用 0≤x≤m 单价₁ m×单价₁ x>m 单价₂ - 【例题5】．（25-26七年级上·河南郑州·月考）为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费．小明家十月份的电费是64.6元，用电多少千瓦时？ 【答案】用电121千瓦时 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，用电100千瓦时，应该付电费元，付电费64.6元，超过52元，说明用电超过了100千瓦时；设用电x千瓦时，不超过100千瓦时部分，电费为52元，超过100千瓦时部分电费为元；根据题意，列方程：，解答即可． 【详解】解：用电100千瓦时，应该付电费元， 付电费64.6元，超过52元，说明用电超过了100千瓦时， 设小明家用电x千瓦时，由于小明家用电超过了100千瓦时，超过100千瓦时部分电费为元；根据题意，列方程为：， 解得：， 答：用电121千瓦时． 【变式题5-1】．（25-26七年级上·福建厦门·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，表示立方米）； 每月用水量 单价 不超出的部分 元/ 超出不超出的部分 元/ 超出的部分 元/ (1)填空：若该户居民月份用水，则应收水费___________元； (2)若该户居民月份水费为元，求该居民用了多少水？ (3)若该户居民，两个月共用水（月份用水量超过了月份），设月份用水，求该户居民，两个月共交水费多少元？（用含的代数式表示） 【答案】(1) ； (2) ； (3) 当时，元；当时，元；当时，元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、列代数式． 根据用水量与消费单价计算即可； 根据表中水费收取方法可知该用户月份用水量超过了，设该用户月份用水量为，列方程求解即可； 因为该户居民，两个月共用水，月份用水量超过了月份，可知，分情况列出代数式即可． 【详解】（1）解：该户居民月份用水， 应收水费元， 故答案为：； （2）解：若该用户月份用水不超过，最多应收水费元， 若该用户月份用水超过不超过，最多应收水费元， 该户居民月份水费为元， 该用户月份用水量超过了， 设该用户月份用水量为， 根据题意可得：， 解得：， 答：该居民月份用水量为； （3）解：该户居民，两个月共用水，月份用水量超过了月份， ， 当时，则， 根据题意可得：元； 当时，则， 根据题意可得：元； 当时，则， 根据题意可得：元． 【变式题5-2】．（25-26七年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． (1)求，的值； (2)如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 【答案】(1)， (2)吨 【分析】本题考查二元一次方程组的应用(求阶梯水价单价)与分段计费问题(求用水量)，解题的关键是根据不同用水量对应的计费标准列方程，明确“水费(自来水单价污水处理单价)用水量”． （1）用7月吨吨)的水费列方程求，用8月吨的分段水费列方程求； （2）先算吨水的总费用，判断元对应用水量超吨，设超量部分列方程求总吨数． 【详解】（1）解：  ∵水费(自来水单价污水处理单价)用水量，   7月：，解得，；   8月：，即，   解得， ∴，； （2）解：吨水费：(元)，   ∵， ∴用水量超吨，设总用水量为吨，   则，   ， 解得，. 答：小李家这个月用水吨． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·四川成都·期中）为鼓励市民节约用电，某市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法.现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： ××居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 0.50 第二档： 0.55 第三档： 0.80 本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，写出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)若小强家一个月的实际用电量为250度，则实付金额分别为多少元？ (3)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量． 【答案】(1) (2)128.5元 (3)210度 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是要根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系． （1）当时，成一次函数关系，实付金额等于180度内的用电付出金额与超出180度的用电付出金额的和，然后即可得到y与x的函数关系式； （2）根据用电度数判断出适合的函数关系式，然后把用电度数代入关系式进行计算即可得解； （3）先计算出106.5元的用电量超出180度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：当时， 则， 答：当时， y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵， ∴小强家本月用电量属于第二档， 当时， 则， ∴当时， 则元． 答：小强家这一个月实付金额128.5元． （3）解：∵180度电费为：， 350度电费为：， ， ∴该家庭本月用电量属于第二档， 令， 则， 解得， 答：这个家庭本月的实际用电量为210度． 【题型6】行程问题（相遇与追及基础） 1.核心知识点总结 基本公式：路程=速度×时间（s=vt）。 核心关系：相遇问题（相向而行）：；追及问题（同向而行）：。 2.高频考点梳理 相遇问题：两地相向出发，求相遇时间（2024安徽阜阳期末）。 追及问题：同地不同时出发，求追及时间（2025江苏盐城响水期末）。 3.易错点警示 速度方向混淆（相向与同向的路程关系弄反）。 时间单位不统一（如速度km/h，时间分钟未换算）。 忽略“同时出发”“中途停留”等条件。 4.解题技巧拆解 步骤：①设时间为t；②用vt表示各主体路程；③根据相遇/追及关系列方程。 技巧：画线段图梳理路程关系，标注总路程、各段路程及方向。 【例题6】．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，当甲走出30千米时，乙恰好走完了A、B两地之间距离的，此时两人相距6千米，则A、B两地之间距离为 千米． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，本题需分两种情况进行讨论：一是甲、乙两人未相遇时相距千米；二是甲、乙两人相遇后相距千米．分别设、两地距离为千米，根据题意列方程求解． 【详解】解：设、两地之间距离为千米． ①当两人未相遇时，相距千米，此时甲行走千米，乙行走千米，根据题意得： 整理得： 移项得： 即： 解得： ②当两人相遇后相距千米，此时甲行走千米，乙行走千米，根据题意得： 整理得： 移项得： 即： 解得： 故、两地之间距离为千米或千米． 故答案为：或． 【变式题6-1】．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）甲，乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)后甲，乙两船相距多远？ (2)若甲船从港口顺水航行到达港口；从港口返回港口逆水而行，用了，求水流速度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减运算的实际应用，正确掌握船在水中顺流与逆流时的速度关系是解题关键． （1）首先根据题意得出甲船顺水时的航行速度为，乙船逆水时的航行速度为，由此即可得出二者2小时后各自的航行距离，据此进一步计算即可得出答案． （2）根据往返路程相等，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 答：后甲，乙两船相距； （2）解：根据往返路程相等，列得方程，， 去括号，得， 移项及合并同类项，得， 系数化为1，得， 答：水流的速度为． 【变式题6-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）周日，甲、乙两名同学从学校出发去少年宫参加演讲比赛，甲同学先以4千米/小时的速度步行出发20分钟后，乙同学骑自行车以8千米/小时的速度追赶甲同学．那么乙同学追上甲同学用的时间是 小时． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设乙同学用x小时追上甲同学，利用路程速度时间，结合乙同学追上甲同学时两人的路程相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设乙同学用x小时追上甲同学， 根据题意得：， 解得：． 答：乙同学用小时追上甲同学． 故答案为：． 【变式题6-3】．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）周末小育和小才相约去登山．小育平均每分钟登高10米，并且先出发40分钟，小才平均每分钟登高15米，两人同时登上山顶．设小育登山用了x分钟． (1)小才登山所用时间为　　　分钟（用x的代数式表示）； (2)试用方程求x的值．由x的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？ 【答案】(1) (2)的值为120；由的值能求出山高，山高为1200米 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据小才登山所用时间等于小育登山所用时间减去小育提前出发的时间即可得； （2）根据两人登上山顶时，两人登的高度相等建立方程，解方程可得的值，再利用的值乘以小育登高的速度即可得山的高度． 【详解】（1）解：∵小育登山用了分钟，且小育先出发40分钟，两人同时登上山顶， ∴小才登山所用时间为分钟， 故答案为：． （2）解：由题意得：， 解得， 则山高为（米）， 答：的值为120；由的值能求出山高，山高为1200米． 【题型7】调配问题（提升） 1.核心知识点总结 核心关系：转移前后总量不变，即甲处调出量=乙处调入量。 关键：用未知数表示转移后甲、乙两处的数量。 2.高频考点梳理 人员调配：车间工人、学校班级人数转移（2025陕西渭南临渭区期末）。 物资调配：仓库水泥、救灾物资分配（2024福建厦门海沧区期末）。 3.易错点警示 转移后数量表示错误（如甲调出x人，误表示为“甲原有-x”insteadof“甲现有=原有-x”）。 总量计算错误（忽略调入调出后的总量守恒）。 单位不统一（如物资吨与千克未换算）。 4.解题技巧拆解 步骤：①设调出量为x；②用表格梳理转移前后数量： 主体 转移前 转移后 甲 a a-x 乙 b b+x 列方程：根据转移后的数量关系（如甲是乙的2倍）求解。 【例题7】．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）甲、乙两个仓库共有蔬菜．甲仓库运进蔬菜，乙仓库运出蔬菜后，两个仓库的蔬菜质量相等，两个仓库原来各有多少蔬菜？ (1)用代数式表示（所填结果需化简）：设甲仓库原来有为蔬菜，请完成下面的表格： 运进（出）前后仓库名称 原有蔬菜量 运进（出）后的蔬菜量 甲仓库 x ____________ 乙仓库 ____________ ____________ (2)请完整地写出本题的解答过程． 【答案】(1)；， (2)见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据题意列出代数式即可， （2）根据两个仓库的蔬菜质量相等列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意补充表格如下： 运进（出）前后仓库名称 原有蔬菜量 运进（出）后的蔬菜量 甲仓库 x 乙仓库 （2）解：设甲仓库原来有为蔬菜，则乙仓库原来有为蔬菜， 解得． 答：甲仓库原来有为蔬菜，乙仓库原来有为蔬菜． 【变式题7-1】．（24-25七年级上·江西景德镇·期末）某市防疫物资配送站，甲、乙两仓库分别有防疫物资20箱和30箱，A，B两个社区分别需要防疫物资15箱和35箱．已知从甲、乙仓库到A，B两个社区的运价如表： 到A社区 到B社区 甲仓库 每箱15元 每箱12元 乙仓库 每箱10元 每箱9元 若从甲仓库运到A社区的防疫物资为x箱． (1)用含x的代数式表示：从甲仓库运到B社区的防疫物资为________箱；从乙仓库运到A社区的防疫物资为________箱，运到B社区的防疫物资为________箱； (2)若把全部防疫物资从甲、乙两仓库运到A，B两个社区的总运输费为545元，求x的值． 【答案】(1) (2)x的值为10 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含x的代数式表示运输总费用． （1）由已知分别表示出从甲仓库运到B社区的防疫物资，从乙仓库运到A社区的防疫物资和从乙仓库运到B社区的防疫物资即可； （2）根据总运输费为545元列方程可解得答案． 【详解】（1）解：根据题意，从甲仓库运到B社区的防疫物资为箱，从乙仓库运到A社区的防疫物资为箱，从乙仓库运到B社区的防疫物资为箱， 故答案为：； （2）解：∵总运输费为545元， ∴， 解得， ∴x的值为10； 【变式题7-2】．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲仓库有水泥100吨，乙仓库有水泥80吨，要全部运到A、B两工地，已知A工地需要70吨，B工地需要110吨，甲仓库运到A、B两工地的运费分别足140元/吨和150元/吨，乙仓库运到A、B两工地的运费分别是200元/吨和80元/吨，本次运水泥总运费需要25900元. (1)设甲仓库运到A工地的水泥为x吨，请在下面表格中用x表示出其它未知量： 甲仓库 乙仓库 A工地 x B工地 (2)用含x的式子表示运送甲仓库100吨水泥的运费为__________元（写出化简后的结果）； (3)求甲仓库运到A工地的水泥的吨数. 【答案】(1)； (2) (3)30吨 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，列代数式，整式加减运算，弄清题意找到相等关系是解本题的关键． （1）根据题意填写表格即可； （2）根据表格中的数据，以及已知的运费表示出总运费即可； （3）根据本次运送水泥总运费需要25900元列方程化简即可． 【详解】（1）解：（1）设甲仓库运到工地水泥的吨数为吨，则运到地水泥的吨数为吨， 乙仓库运到工地水泥的吨数为吨，则运到地水泥的吨数为吨， 补全表格如下： 甲仓库 乙仓库 工地 工地 故答案为：；； （2）解：运送甲仓库100吨水泥的运费为； 故答案为：； （3）解：， 整理得：． 解得 答：甲仓库运到工地水泥的吨数是30吨． 【变式题7-3】．（24-25七年级上·全国·课后作业）某公司在A，B两地分别有库存机器16台和12台，现要运往甲、乙两地，其中运往甲地15台，运往乙地13台．从A地运一台机器到甲地的运费为500元，到乙地的运费为400元；从B地运一台机器到甲地的运费为300元，到乙地的运费为600元． (1)设从A地运往甲地x台机器，请把下表补充完整； 收地运地 甲地 乙地 总计 A地 x 16台 B地 12台 总计 15台 13台 28台 (2)如果某种调运方案的运费是10300元，那么从A，B两地分别运往甲、乙两地的机器各多少台？ 【答案】(1)，，； (2)从A地分别运往甲、乙两地3台、13台；从B地分别运往甲、乙两地12台、0台． 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）用总数减去求出A地运往乙地和B地运往甲地的数量，进而可求出B地运往乙地的数量； （2）根据题干所给收费规则结合表格列方程求解即可． 【详解】（1）由表格可知，A地运往乙地台，B地运往甲地台， 可知B地运往乙地台， 表格如下： 收地运地 甲地 乙地 总计 A地 x 16台 B地 12台 总计 15台 13台 28台 （2）∵从A地运一台机器到甲地的运费为500元，到乙地的运费为400元；从B地运一台机器到甲地的运费为300元，到乙地的运费为600元 ∴共计费用 （元）， ∵运费是10300元， ∴， 解得：， ∴，，， 即从A地分别运往甲、乙两地3台、13台；从B地分别运往甲、乙两地12台、0台． 【题型8】销售问题（复杂折扣与利润，提升） 1.核心知识点总结 复杂关系：多商品混合销售（总利润=各商品利润之和）；阶梯折扣（如满400打9折，满600打8折）。 核心公式：总利润=Σ(单个利润×销量)；折后价=分段标价×对应折扣。 2.高频考点梳理 多商品盈利：购进A、B两种商品，求销量或进价（2025山东济南历下区期末）。 阶梯折扣：购物满额打折，求原价或实际付款（2024上海闵行区期中）。 3.易错点警示 总利润计算错误（漏算某类商品利润或折扣）。 阶梯折扣分段错误（如满600元部分打8折，误算为全部打8折）。 销量与进价的对应关系混淆。 4.解题技巧拆解 步骤：①设某商品数量/进价为x；②分别表示各商品的利润；③根据总利润列方程（阶梯折扣需先判断原价所在区间）。 技巧：用表格整理多商品的“进价、售价、销量、利润”： 商品 进价 售价 销量 单个利润 总利润 A a b x b-a x(b-a) B c d n-x d-c (n-x)(d-c) 【例题8】．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·月考）超市零食区共有薯片、饼干、坚果三种零食共100袋，其中薯片数量是饼干数量的，坚果有40袋．进货补充后，饼干的总库存数量是薯片总库存数量的．已知坚果的总库存数量是200袋，薯片的总库存数量比坚果的总库存数量多． (1)求超市零食区原有薯片与饼干各有多少袋？ (2)求进货补充后，超市零食区薯片的总库存和饼干的总库存分别是多少袋？ (3)超市计划将这些零食全部售出，若薯片进价每袋4元，饼干进价每袋2元，坚果进价每袋3.5元．薯片售价每袋6元，饼干售价每袋3元，坚果售价每袋5元．预计在出售过程中，平均每种零食会有因包装破损不能出售，超市全部出售完是赚钱还是赔钱？赚了多少元或赔了多少元？ 【答案】(1)超市零食区原有薯片袋，饼干袋 (2)补充后，超市零食区薯片的总库存是袋，饼干的总库存是袋 (3)超市全部出售完是赚钱，赚了元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用，有理数四则运算的实际应用． （1）设超市零食区原有饼干袋，则超市零食区原有薯片袋，根据超市零食区原有薯片、饼干、坚果三种零食共100袋，坚果有40袋，列出一元一次方程求解即可； （2）根据进货补充后，坚果的总库存数量是200袋，薯片的总库存数量比坚果的总库存数量多，即可求出薯片的总库存数量，再根据饼干的总库存数量是薯片总库存数量的即可求出饼干的总库存数量； （3）先求出总的进货货款，再求出总的销售额，作差即可解答． 【详解】（1）解：设超市零食区原有饼干袋，则超市零食区原有薯片袋， 根据题意，得， 解得， 则（袋）， 答：超市零食区原有薯片袋，饼干袋； （2）解：根据题意，薯片的总库存数量为（袋）， 饼干的总库存数量为（袋）， 答：补充后，超市零食区薯片的总库存是袋，饼干的总库存是袋； （3）解：根据题意，总的进货货款为 （元） 总的销售额为 （元） （元） 答：超市全部出售完是赚钱，赚了元． 【变式题8-1】．（25-26七年级上·黑龙江·期中）某超市开业，为了吸引顾客，实行优惠，方案如下表： 购物标价 小于200元 满200元且不超过500元 超过500元 优惠方式 不予优惠 按标价9折优惠 500元部分（包括500元）给予9折优惠，超过500元部分给予8折优惠 (1)小张付款189元，则购买了标价为 元的商品； (2)小张购买标价为x（） 元的商品，则他付款 元；（用含x 的代数式表示） (3)小张两次购物，第一次购买了标价为260元的商品，商家获利，第二次购买了标价550元的商品，商家获利，如果他把两次购买的商品合并为一次，请你计算，商家获利多少元? 【答案】(1)189或210 (2) (3)商家获利168元 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，列代数式，解题的关键是理解题意，找准等量关系． （1）根据题意分两种情况进行求解即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）列出方程求出每次的成本，然后再合并起来求商家获得的利润即可． 【详解】（1）解：当小张购买了小于200元物品时，不予优惠，小张付款为189元； 当小张购买了满200元且不超过500元物品时，设购物标价为元，根据题意得， ， 解得； 故答案为：189或210； （2）解：根据题意得，他付款为元， 故答案为：； （3）解：设第一次的成本为元，第二次的成本为元，根据题意得， ，， 解得， ∴（元）， 所以，商家获利168元． 【变式题8-2】．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）我校每年参加市区校园足球比赛，由于时间紧张，带队老师经常带队员们去吃牛肉面，队员数量较多，老师要保证每个孩子吃好还不能浪费，正好牛肉面馆有活动，下表为牛肉面馆的部分菜单： 套餐种类 A套餐 B套餐 C套餐 配餐 牛肉面 牛肉面＋1份小菜 牛肉面＋1份小菜＋1份牛肉 价格（元） 8 10 20 优惠活动 消费满100元，减10元；消费满200元，减20元；消费满300元，减30元… 队长负责统计同学们的点餐情况，一次性点好，已知他们所点的套餐共有17份牛肉面，份小菜和8份牛肉．大家帮他们算一算： (1)他们共点了 份B套餐， 份A套餐；（用含的式子表示） (2)若他们套餐共买10份小菜，求实际花费多少元； (3)若他们点套餐优惠后实际花费了220元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的． 【答案】(1)， (2)216 (3)A套餐5份，B套餐4份，C套餐8份 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，根据各数量之间的关系，正确列出一共的花费是解题的关键． （1）由B、C套餐含小菜且只有C套餐中含牛肉，即可得出他们点了份B套餐；点了份B套餐； （2）给定小菜份数，计算套餐数量及总金额，再应用优惠规则求实际花费； （3）根据实际花费反推优惠前金额，根据C套餐点了8份，B套餐共份，A套餐份列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵由三种套餐中都含牛肉面，B、C套餐含小菜且只有C套餐中含牛肉， ∴A、B、C套餐一共点了份，B、C套餐一共点了份，C套餐点8份， ∴他们共点了份B套餐；点了份A套餐； 故答案为， （2）由小菜共10份，即，所以他们共点了份B套餐；点了份A套餐； 总金额：（元）． 优惠规则：消费满200元减20元，236元满足条件， 实际花费：（元）． 答：实际花费216元。 （3）∵他们点套餐优惠后实际花费了220元， ∴他们享受优惠为消费满200元，不足300元，故优惠了20元， ∴优惠前消费（元）； 由（1）得：他们共点了份B套餐；点了份A套餐，依题意得 ，解得：， ∴他们共点了份B套餐；点了份A套餐， 答： A套餐5份，B套餐4份，C套餐8份． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）用一元一次方程解答下列问题． 当前，重庆正加速打造智能网联新能源汽车之都，同时重庆也是全国三个机动车保有量超过万辆的城市之一，消费潜力巨大．某汽车销售店顺应浪潮，月份主推了款燃油车和款新能源汽车，已知该店销售辆款燃油车和辆款新能源汽车的总销售额为万元，销售辆款燃油车、辆款新能源汽车的总销售额为万元． (1)求月份每辆款、款汽车售价分别为多少万元？ (2)因为每种车型销售热度不一，所以源头厂家一直保持严格的配货制度，即该店每引进辆款新能源汽车则必须引进辆款燃油车．该店月份引进的款燃油车和款新能源汽车全部销售一空，其中引进了款新能源汽车辆．月份由于新能源汽车电池成本大幅提高，与月份相比，每辆款新能源汽车售价提高了，同时为了响应国家的号召，对款新能源汽车每辆进行万元的现金补贴，每辆款燃油车的售价则保持不变，最终月份的款燃油车销量相比月份款燃油车的销量降低了，款新能源汽车销量相比月份款新能源汽车销量提高了，月份两款车的总销售额比月份两款车的总销售额提高了，求的值． 【答案】(1)月份每辆款汽车售价为万元，款汽车售价为万元 (2) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确理解题意，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）设月份每辆款汽车售价为万元，则款汽车售价为万元，根据“销售辆款燃油车、辆款新能源汽车的总销售额为万元”列出关于的一元一次方程，求解即可； （2）先根据月份的配货制度求出月份款车的销量，再分别表示出月份、两款车的售价和销量，根据月份总销售额比月份提高列出关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设月份每辆款汽车售价为万元，则款汽车售价为万元， 依题意，得：， 解得：， ∴（万元）， ∴月份每辆款汽车售价为万元，款汽车售价为万元； （2）月份引进款燃油车的数量为：（辆）， 月份每辆款新能源汽车售价为万元，实际售价为万元， 月份每辆款燃油车售价仍为万元， 月份款燃油车销量为辆， 月份款新能源汽车销量为（辆）， 月份两款车的总销售额为（万元）， 月份两款车的总销售额为万元， 依题意，得： 解得：， ∴的值为． 【题型9】行程问题（环形与分段，提升） 1.核心知识点总结 环形行程：相遇（背向）：；追及（同向）：。 分段行程：中途变速（速度分两段），总路程=各段路程之和。 2.高频考点梳理 环形问题：环形跑道相遇、追及（2024河南洛阳期末）。 分段变速：先快后慢或先慢后快，求总时间（2025广东佛山南海区期末）。 3.易错点警示 环形追及路程关系错误（误算为“路程差=2倍周长”）。 分段行程漏算某段路程或时间。 变速后速度与时间对应错误。 4.解题技巧拆解 环形问题：①设时间为t；②根据相遇/追及的路程关系列方程（n次相遇则路程和/差为n倍周长）。 分段问题：①设变速时间为t；②用“速度₁×时间₁+速度₂×时间₂”表示总路程；③列方程求解。 【例题9】．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时 (1)经过多长时间两车第一次相遇？ (2)经过多长时间两车第二次相遇？ (3)两车恰好相距时，行驶了多长时间？ 【答案】(1)经过两车第一次相遇； (2)经过两车第二次相遇； (3)两车恰好相距时，行驶了或或或或． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用． （1）根据题意得，解方程即可求解； （2）根据题意得，解方程即可求解； （3）设两车相距时，行驶的时间为t小时，相距要从相遇前和相遇后；追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计5种情况，经计算检验数据是否符合题意． 【详解】（1）解：设行驶的时间为t小时， 由题意得：， 解得； 答：经过两车第一次相遇； （2）解：设行驶的时间为t小时， 由题意得：， 解得； 答：经过两车第二次相遇； （3）解：设两车相距时，行驶的时间为t小时，依题意得： ①当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距时，则有：， 解得； ②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距时， ， 解得； ③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶， ∵ ∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有： ， 解得； ④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有， 解得； ⑤快车返回A地终点所需时间是10小时，此刻慢车行驶了，距终点还需 行驶，则有：， 解得． 综上所述，两车恰好相距时，行驶了或或或或． 【变式题9-1】．（2025七年级上·辽宁·专题练习）某景区内的环形路是边长为800米的正方形，如图①和②．现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为200米/分． 请解答以下问题： 问题（一） 设行驶时间为分． （1）当时，求出当两车相距的路程是400米时的值； （2）为何值时，1号车第三次恰好经过景点？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数． 问题（二） 已知游客小亮在上从向出口A走去，步行的速度是50米/分．当小亮行进到上一点（不与点，A重合）时，刚好与2号车迎面相遇． （1）小亮发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由． （2）已知米．聪明的小亮根据的大小，通过计算发现：如果他选择乘1号车或者选择步行这两种方式到达出口A，所用的时间是一样的．你知道此时的值是多少吗？请直接写出的值． 【答案】问题（一）（1）3或5；（2）时1号车第三次恰好经过景点，两车相遇的次数为5次；问题（二）（1）理由见解析；（2） 【分析】本题考查一元一次方程的应用——行程问题，找出等量关系并列出方程是解题的关键． 问题（一）（1）先用含的代数式表示1号车和2号车行程的路程，根据相遇问题列方程求解； （2）先计算1号车第三次恰好经过景点C时行驶的路程，再计算相遇的时间，据此求解； 问题（二）（1）先确定相遇时1号车在边上，再计算乘两类车所需人时间，进行比较即可； （2）时间一定，路程与速度成正比例，据此建立方程求解． 【详解】问题（一）（1）解：设1号车的路程为千米，2号车的路程为千米。 由题意得：，，当两车相遇前相距400米时，则： ， 解得： 当两车相遇后相距400时： 解得： 答：当两车相距的路程是400米时的值为3分或5分。 （2）由题意，得1号车第三次恰好经过景点C时，行驶的路程为：（米）， 所以1号车第三次恰好经过景点C需要的时间为（分）。两车第一次相遇的时间为（分），第一次相遇后两车每相遇一次需要的时间为（分），所以两车相遇的次数为5次。 问题（二）（1）因为游客小亮在边上与2号车相遇，所以此时1号车在边上，所以乘1号车到达A时，所需要的时间小于（分），乘2号车时，所需要的时间大于（分），所以乘1号车用时比2号车少； （2）时间一定，路程与速度成正比例 已知米，，此时1号车到路程为米， 解得： 此时的值是320米． 【变式题9-2】．（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）小亮和小红课间去校园操场锻炼，两人沿环形跑道跑步，每次总是小红跑完圈时，小亮跑完圈．一天两人同时同地出发，反向而跑，小亮最后发现两人第一次相遇用时． (1)求两人的速度． (2)若两人同时同地沿该跑道同向跑，则经过多长时间两人第一次相遇？ (3)一天，小亮与小红约定在此操场进行赛跑，等小亮完成全程的时，原地停留后以原来的速度开始匀速追赶小红，在此过程中，小红始终保持速度不变，小亮能否在终点前追上小红？如果能，求追上时距离终点还有多少；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)小亮的速度为，小红的速度为 (2)经过两人第一次相遇 (3)小亮能在终点前追上小红，追上时距离终点还有 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）设小亮的速度为，小红的速度为，根据两人的路程之和等于跑道总长度列方程即可求解； （2）设经过两人第一次相遇，根据两人的路程之差等于跑道总长度； （3）先求出两人到达终点的时间，可判断小亮能否在终点前追上小红，设小亮追上小红需要的时间为，根题意列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：设小亮的速度为，小红的速度为， 根据题意得：， 解得：，   ，， 答：小亮的速度为，小红的速度为； （2）设经过两人第一次相遇， 根据题意得：， 解得，， 答：经过两人第一次相遇； （3）小亮能在终点前追上小红，     理由：小红到终点时需要的时间为，小亮到终点需要的时间为， ， 小亮能在终点前追上小红，   设小亮追上小红需要的时间为， 根据题意得：，     解得：， ，     答：小亮能在终点前追上小红，追上时距离终点还有． 【变式题9-3】．（24-25七年级上·重庆·期末）利用方程解决实际问题 (1)某工厂生产吉祥物盲盒，分为、两种包装，该工厂共有名工人． ①若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒的人数的倍少人，请求出生产盲盒的工人人数． ②为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由个盲盒和个盲盒组成，已知每个工人平均每天可以生产个盲盒或个盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒，多少名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ (2)甲、乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲每分钟比乙多行米，两人同时从起点同向出发，经过分钟，两人首次相遇，此时乙还需跑米才能跑完第一圈． ①求甲、乙的速度． ②跑道一圈长米； ③若两人相遇后，甲立即以米分钟的速度掉头按反方向骑车，乙仍按原方向提速继续跑，经过分钟两人再次相遇，则乙的速度每分钟提高了多少米？ 【答案】(1)①生产盲盒的工人有600人；②该工厂应该安排250名工人生产盲盒，750名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套． (2)①甲的速度是350米分钟，乙的速度是150米分钟；②；③ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）①设生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒的工人人数为人，根据该工厂共有名工人，列出一元一次方程，解方程即可； ②设安排人生产盲盒，则安排人生产盲盒，根据盲盒大礼包由个盲盒和3个盲盒组成．列出一元一次方程，解方程即可． （2）①设乙的速度是米分钟，则甲的速度是米分钟，根据题意，列出方程进行计算即可； ②利用路程等于速度乘以时间，列式计算即可； ③设乙的速度每分钟提高了米，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：①设生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒的工人人数为人， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：生产盲盒的工人人数为600人； ②设安排人生产盲盒，则安排人生产盲盒， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒，750名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套． （2）解：①设乙的速度是米分钟，则甲的速度是米分钟，依题意有 ， 解得， 则． 答：甲的速度是350米分钟，乙的速度是150米分钟． ②由①知，乙的速度是150米分钟， 所以跑道一圈长为：（米． 故答案为：600； ③设乙的速度每分钟提高了米， 由题意，得：， 解得：（米． 即：乙的速度每分钟提高了50米． 故答案为：50． 【题型10】方案选择问题（提升） 1.核心知识点总结 核心逻辑：列代数式表示不同方案的费用，通过方程求费用相等的临界点，再比较选择最优方案。 关键：考虑附加条件（如最低消费、赠送规则）。 2.高频考点梳理 购物优惠：两家商店不同折扣，求最优方案（2025河南洛阳期末）。 套餐选择：手机套餐、出行套餐对比（2024浙江绍兴期末）。 3.易错点警示 代数式列写错误（忽略赠送、满减条件）。 未比较临界点两侧的方案优劣（仅求相等点，未判断不同区间的最优）。 单位换算错误（如流量GB与MB、时间分钟与小时）。 4.解题技巧拆解 步骤：①设变量x（如购物金额、流量）；②列各方案的费用代数式；③求费用相等时x的值；④分x<临界点、x>临界点比较最优方案。 技巧：用表格对比各方案费用： 方案 费用代数式 临界点 甲 y₁=a+bx x=m 乙 y₂=c+dx 【例题10】．（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）在今年的双“十一”商品促销活动中，黄州万达超市为吸引顾客购物，推出如下优惠方案： （1）购物款不超过500元，不享受优惠； （2）购物款超过500元，但不超过1000元，享受9折优惠； （3）购物款超过1000元，享受8折优惠． 某中学学生李诚的爸爸到万达购买220元的物品，他的妈妈在下班途中看到这个优惠方案后也去万达购买了一些物品，共付款756元．李诚看到爸爸妈妈的购物单后发现，若是他一个人去买这些物品，还可以优惠 元． 【答案】128 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物可能有两种情况，需要分类讨论清楚． 根据优惠方案，爸爸购物款220元不超过500元，无优惠；妈妈付款756元，设妈妈原购物款为元，根据不同优惠方案分类讨论，列出方程，求出原购物款，然后求得爸爸和妈妈的总购物款，判断出优惠方案，求出一次性购买的付款总额，再与分开付款总额相比，即可求得答案． 【详解】解：爸爸购买物品220元，由于不超过500元，不享受优惠，实际付款220元； 妈妈付款756元，享受优惠，设妈妈原购物款为元， 当时，享受8折优惠，则 ， 解得， ∵， ∴舍去； 当时，享受9折优惠，则 ， 解得， ∵， ∴妈妈原购物款为840元， ∴爸爸妈妈总购物款为（元）， ∵， ∴享受8折优惠， 则需付款（元）， 分开付款总额为（元）， ∴一次购买可优惠元． 故答案为：128． 【变式题10-1】．（25-26七年级上·重庆·期中）企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包： 方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折． 现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款　　　元（用含x的式子表示）． (2)当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？ (3)试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 【答案】(1) (2)方案一更优惠 (3)60 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据方案一和方案二的优惠方案进行列式，即可作答． （2）把分别代入，再比较结果，即可作答． （3）理解题意，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，且需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋 ∴该客户按方案一购买，则（元）， 即需付款元； ∴该客户按方案二购买，（元）， 即需付款元； （2）解：由（1）得按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元； ∴当时，则（元）， ∴当时，则（元）， ∵， ∴方案一更优惠； （3）解：由（1）得按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元； 依题意，， 整理得， ∴， ∴当时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 【变式题10-2】．（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ 【答案】(1)共需要元 (2)该商店的进货方案有种，方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔；方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 【分析】本题考查了有理数混合运算的运用，一元一次方程的应用；能找出等量关系式，列出方程求解是解题的关键． （1）根据题意列出算式得，即可求解； （2）购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，分别用一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 元． 答：共需要元； （2）解：当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：不符合题意，舍去． 该商店的进货方案有种， 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔； 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 【变式题10-3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）1套检测仪器由2个部件和3个部件构成，用钢材可以做40个部件或240个部件． (1)若要用钢材制作若干套这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件？ (2)现在某公司要租赁这批仪器套，每天的付费方案有如下两种： 方案一：当不超过60时，每套支付租金100元；当超过60时，超过的套数每套支付租金打八折． 方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元． 当超过60时，选择哪种租赁方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)用钢材做部件，用钢材做部件 (2)当时，选择方案二更合算，当时，两种方案费用相同；当时，选择方案一更合算． 【分析】（1）设应用钢材做A部件，钢材做B部件，根据一套检测仪器由两个A部件和三个B部件构成，列方程求解；                                                                                                                                                                                   （2）方案一租金根据当a超过60套时，超过的套数每套支付租金打八折列式计算可得；方案二租金根据每套支付租金90元列式计算可得；根据,得到，三种情况分析即可； 【详解】（1） 解：设用钢材做部件，用钢材做部件．依题意，得，解得，则． 答：用钢材做部件，用钢材做部件． （2）解：方案一：元． 方案二：元． 当时，解得． 答：当时，，选择方案二更合算； 当时，两种方案费用相同； 当时，选择方案一更合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，配套问题的解决方法，解决问题的关键是正确理解题意列得方程或列式计算． 【题型11】新情境问题（培优） 1.核心知识点总结 核心逻辑：提取新情境中的有效信息，转化为熟悉的方程模型（如配套、分段、行程）。 关键：理解情境中的数量关系（如直播带货佣金、新能源充电计费）。 2.高频考点梳理 科技情境：无人机送货、智能电表计费（2025福建厦门期末）。 生活新场景：直播带货佣金计算、共享充电宝计费（2024江苏苏州中考改编）。 3.易错点警示 情境理解偏差（未读懂收费规则、数量关系）。 忽略隐藏条件（如最低佣金、充电时长不足1小时按1小时算）。 模型转化错误（将新情境误判为错误的方程类型）。 4.解题技巧拆解 步骤：①通读情境，标注关键数据（如单价、分段标准、佣金比例）；②判断模型类型（配套/分段/销售）；③设未知数，列方程求解。 技巧：将新情境术语转化为数学语言（如“佣金=销售额×3%+保底500元”转化为“y=0.03x+500”）。 【例题11】．（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）材料股票市场，买卖股票都要分别交纳印花税等有关税费，以沪市A股的股票交易为例，除成本外还要交纳： ①印花税：按成交金额的0.1%计算； ②过户费：按成交金额的0.1%计算； ③佣金按不高于成交金额的0.3%计算，不足5元按5元计算； 问题： (1)小王以每股5.00元的价格买入股票“美的电器”100股，以每股5.50元的价格全部卖出，则他盈利为_____元． (2)小张以每股元（）的价格买入以上股票，股市波动大，他准备在不亏不盈时卖出，请你帮他计算实出的价格每股是_____元（用的代数式表示），由此可得卖出价格与买入价格相比至少要上涨_____%才不亏，（结果保留三个有效数字）． (3)小张再以每股5.00元的价格买入以上股票1000股，准备盈利1000元时才卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是多少元？ 【答案】(1) (2)， (3)卖出的价格是每股元． 【分析】本题侧重考查一元一次方程应用． （1）当佣金小于等于5时，盈亏=股票卖价×股票数量-股票买价×股票数量-（总成本+总收入）（总成本+总收入）（总成本+总收入），把相关数值代入即可求解； （2）佣金大于5，不赢不亏，则股票卖价×股票数量-股票买价×股票数量-（总成本+总收入）（总成本+总收入）（总成本+总收入）（总成本+总收入），把相关数值代入即可求解； （3）当佣金大于5时，盈亏=股票卖价×股票数量-股票买价×股票数量-（总成本+总收入）（总成本+总收入）（总成本+总收入）（总成本+总收入），代入数据计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； 故答案为：； （2）解：∵， 设卖价为x，买入以上股票股， 由题意得：， 解得， ∴增长的百分率为； 故答案为：，； （3）解：∵， ∴可以直接用公式计算佣金， 设卖出的价格每股是x元， 依题意得： ， 解之得：（元） 答：卖出的价格是每股元． 【变式题11-1】．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）瑞茶时光10月推出A、B两款花茶在短视频平台销售．已知A、B两款花茶的单价和为180元，其中A款花茶卖了800份，B款花茶比A款花茶多卖了400份，10月的销售额为176000元． (1)求A、B两款花茶的单价； (2)为迎接11月份的消费热潮，瑞茶时光决定对两款花茶进行降价活动．A款花茶的单价在10月份的基础上降低4元销售，B款花茶的单价在10月份的基础上打8.8折销售．在短视频平台上销售产品，每个月月底平台将从月销售额中抽取相应的佣金，抽取比例如下： 月销售额不超过20万元时，抽取月销售额的； 月销售额超过20万元，但不超过50万元时：20万元按抽取，超过20万元的部分按抽取； 月销售额超过50万元时，抽取全部月销售额的； 11月瑞茶时光按上述活动单价销售A、B两款花茶后发现：这两个月共抽取佣金16400元，且11月的总销售量为6000份，则11月共卖出去A款花茶多少份？ 【答案】(1)A款花茶的单价为100元；B款花茶的单价为80元； (2)份或份 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用， （1）设A款花茶的单价为x元，则B款花茶的单价为元，根据题意列出方程求解即可； （2）根据题意得出A款花茶的售价为元，B款花茶的售价为元，再由佣金抽取方法计算得出按照超过20万元，不超过50万元抽取，设11月共卖出A款花茶m份，则B款花茶卖出份，分两种情况列出方程求解即可； 理解题意，列出相应的方程是解题关键 【详解】（1）解：∵A款花茶卖了800份，B款花茶比A款花茶多卖了400份， ∴B款花茶卖了：（份）， 设A款花茶的单价为x元，则B款花茶的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 则（元）； ∴A款花茶的单价为100元；B款花茶的单价为80元； （2）解：根据题意得：A款花茶的售价为（元），B款花茶的售价为（元）， 设11月共卖出A款花茶m份，则B款花茶卖出份， 10月份抽取的佣金为（元）， ∴11月份抽取的佣金为（元）， ∵（元）， ∴（元）， ∴（元）， ， 故按照超过20万元，不超过50万元抽取， ∴， 解得：； 若11月销售额超过50万元，则销售额为（元）， ∴， 解得：； 综上，11月共卖出去A款花茶份或3625份． 【变式题11-2】．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在国家政策的引导和支持下，我国新能源汽车行业迅猛发展，新能源汽车以其环保、节能、使用成本低等优点，越来越受到人们的青睐． (1)小华家的旧车要换新了．爸爸计划将家里的燃油车换成新能源电动车，妈妈担心电动车不划算．爸爸收集了以下数据： 从数学的角度，你会怎么用“数据”帮小华爸爸说服妈妈？综合上面的信息，先列式计算出关键数据，再写一句说服语（15个字以上），说服语中要包含关键数据．（注：暂不考虑车辆使用年限、保值率、充电便利性等外部因素） (2)小华爸爸购买某品牌的新能源电动车时，看到了以下购车政策： 已知小华爸爸买车最终实际支付了47.25万元，求这辆车的官方指导价是多少万元？ 【答案】(1)虽然新能源电动车贵3万元，但年省7050元，约4.26年补差价，长期看购买新能源电动车更划算．（合理即可） (2)50万 【分析】（1）分别求出燃油车、新能源电动车每年的费用，然后求出两种车的差价，年费差价，再求出差价可弥补年费用差的时间，即可说明； （2）设这辆车的官方指导价为万元，由题中的等量关系可列出方程，解出即可． 【详解】（1）燃油车年油费：（元）， 车辆差价：， 年费用差：（元）， 差价可弥补年费用差的时间：（年）， 说服语：虽然新能源电动车贵3万元，但年省7050元，约4.26年补差价，长期看购买新能源电动车更划算． （2）解：设这辆车的官方指导价为万元， 由题意得，， ， ， 答：这辆车的官方指导价是50万元． 【点睛】本题主要考查了分析问题和解决问题的能力，和列一元一次方程解决实际问题． 【变式题11-3】．（24-25七年级下·福建泉州·期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，属于共享经济理念的出行服务．某地滴滴快车计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 注：1．车费=里程费+时长费+远途费，其中里程费按行车的实际里程计算； 2．时长费按行车的实际时间计算； 3．远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收元． (1)已知小张从学校乘坐滴滴快车回家，乘车时长为10分钟，没有产生远途费的情况下支付了元车费．试求小张家到学校的里程． (2)星期六早上，小张和聪聪两人从该地出发，各自乘坐滴滴快车去省城参加无人机航展大赛，行车时间分别为分钟、分钟．已知聪聪比小张的行车里程多8公里，两人所付车费、计费项目都相同．设，试求出的值． 【答案】(1)3公里 (2)52分钟 【分析】（1）设小张的乘车里程为公里，根据题意得，，解方程即可． （2）根据聪聪比小张的行车里程多8公里，大于7公里了，判定二人都有远途费，设小张行车里程为公里，则聪聪行车里程为公里，根据两人所付车费、计费项目都相同．建立等式解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握分层计价问题的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设小张的乘车里程为公里，根据题意得， ， ， 解得， 答：小张家到学校的里程为3公里． （2）解：聪聪比小张的行车里程多8公里，两人计费项目也相同 两人均是远途乘车，都产生远途费， 设小张行车里程为公里，则聪聪行车里程为公里， 依题意得 ， ， ， 答：的值为52分钟． 【题型12】古代数学问题（培优） 1.核心知识点总结 核心逻辑：翻译文言文，提取等量关系，转化为一元一次方程。 关键：理解古代数学术语（如“凫雁俱起”“日行百里”）。 2.高频考点梳理 《九章算术》改编：相遇问题、购物问题（2025湖北武汉新洲区期末）。 其他古籍：《算法统宗》《算学启蒙》中的配套、行程问题（2024安顺关岭一模）。 3.易错点警示 文言文翻译错误（如“日行六十”误译为“速度60里/天”insteadof“每天走60里”）。 等量关系找错（未理解题意中的数量关系）。 单位不统一（古代长度单位“里”与现代单位无需换算，保持一致即可）。 4.解题技巧拆解 步骤：①逐句翻译文言文，明确已知量与未知量；②找出等量关系（如“相遇时路程和=总路程”）；③设未知数，列方程求解。 技巧：用现代语言复述题意，再梳理数量关系（如“凫七日至北海，雁九日至南海，俱起何日相逢”译为“野鸭7天从南海到北海，大雁9天从北海到南海，同时出发几天相遇”）。 【例题12】．（25-26七年级上·全国·单元测试）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，根据总人数不变，分别用x表示两种乘车方式下的人数，建立方程即可． 【详解】解：每3人乘一车，剩余2辆车， ∴总人数为 ； 每2人共乘一车，剩余9人无车， ∴人数为 ； ∴， 故选B． 【变式题12-1】．（25-26七年级上·北京·期中）“我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩重闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有个人，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据每人分4个梨，多12个梨可知梨的数量为个，根据每人分6个梨，可知梨的数量为个，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式题12-2】．（25-26九年级上·天津和平·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，理解题意，找准等量关系是解题的关键．　 根据题意，每株椽的价钱为文，少拿一株椽后，剩下的椽数量为株且运费为文，根据“剩下的椽的运费等于一株椽的价钱”可列出方程； 【详解】解：设这批椽的数量为株， 由题意得， 两边同时乘以得； 故选：A． 【变式题12-3】．（2025·江西赣州·一模）《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设并深为x尺，所列方程为 B．绳子的长是32尺 C．设绳子的长为x尺，所列方程为 D．井深8尺 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据井深不变列出方程求解即可． 【详解】解：设并深为 尺，绳子长为 尺， ∵ 将绳三折测之，绳多四尺， ∴ ∵ 将绳四折测之，绳多一尺， ∴ ∴ 即 解得： ∴ ∴ 故井深 8 尺， 选项 A 方程错误，应为 ； 选项 B 绳子长应为 36 尺； 选项 C 方程错误，应为 ； 选项 D 正确， 故选：D． 【题型13】含参数的方程应用（培优） 1.核心知识点总结 核心逻辑：未知数含参数（如整数解、范围限制），根据实际意义（如人数、件数为正整数）求参数值。 关键：方程的解需满足实际条件（正整数、非负数）。 2.高频考点梳理 整数解问题：求参数的正整数解（2025广东广州增城区期末）。 范围限制：根据解的范围求参数取值（如“购买数量不超过10”）。 3.易错点警示 忽略参数的实际意义（如人数为小数）。 解方程时参数处理错误（移项、合并同类项失误）。 未验证参数对应的解是否符合题意。 4.解题技巧拆解 步骤：①设未知数x，列含参数k的方程；②解出x=f(k)；③根据x的实际意义（正整数、范围）求k的值；④验证k的合理性。 技巧：用含参数的代数式表示解，再根据条件列不等式或等式（如x为正整数，则f(k)>0且为整数）。 【例题13】．（25-26七年级上·全国·期末）光明学校组织七年级学生开展研学活动，已知研学基地的票价为每张20元，由各班班长负责买票，下面是一班班长与售票员咨询的对话： 班长：你好!我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团体票有优惠吗？ 售票员：你好!购票人数超过40人的团体票有两种优惠方案，如下： 方案一：若每人都购票，每张门票打八折； 方案二：若打九折，有5人可免票． (1)一班学生人数为50，选择了方案一购票，那么一班购票需要多少元？ (2)二班选择了方案二，购票费用为702元，那么二班有多少人？ (3)三班的学生人数为，三班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问三班有多少人？ 【答案】(1)一班购票需要800元 (2)二班有44人 (3)三班有45人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据方案一列式计算即可； （2）设2班有x名学生，根据购票费用为702元，列出一元一次方程，解方程即可； （3）根据3班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知， ， 答：一班购票需要800元； （2）解：设二班有x人， 由题意，得 解得 答：二班有44人； （3）解：由题意，得 解得， 答：三班有45人． 【变式题13-1】．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（经济问题）张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是8000元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为x米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是8000元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)若时，分别求出两种方案的总金额是多少？ (2)求x取何值时，两种优惠方案的总金额一样多？ (3)张先生因现金不够，于2023年1月在某银行借了9万元住房贷款，贷款期限为6年，从开始贷款的下一个月起逐月偿还，贷款月利率是，每月还款数额平均每月应还的贷款本金数额月利息，月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率．假设贷款月利率不变，若张先生在借款后第n（，n是正整数）个月的还款数额为P，请写出P与n之间的关系式． 【答案】(1)方案一：304000元，方案二：302400元 (2)2 (3) 【分析】本题考查列代数式的应用，一元一次方程的应用． （1）先计算出面积，根据优惠方式分别计算总金额即可； （2）用含x的式子表示出两个方案的金额，进而列出方程，解方程即可； （3）先计算出平均每月应还的贷款本金数额，再计算出月利息，相加即可． 【详解】（1）解：方案一：厨房收费面积：， 总面积：， 收费：（元）； 方案二：总面积： 收费：（元）； （2）解：卫生间宽为x时， 方案一： 面积为：， 收费：； 方案二： 面积为：， 收费： 令， 解得， 即时两种优惠方案的总金额一样多； （3）解：（元）， 时， ， ． 【变式题13-2】．（25-26七年级上·重庆·期中）已知两个正整数m和n各个数位上的数字均不为0，若它们的位数相同且对应数位上的数字之和为10，称这两个数互为“互补数”．例如：4和6互为“互补数”，119与991互为“互补数”．若m的“互补数”为n，记为m的“互补差”，例如：81的“互补数”为29，． (1)42的“互补差”为 ； (2)已知两位数m的个位数字比十位数字大3，且它的“互补数”n等于它的倍，求这个两位数的“互补差”； (3)已知某三位数（其中，且a，b为整数），若能被19整除，直接写出这个三位数所有可能的值． 【答案】(1)26 (2)60 (3)612，631，669，688 【分析】（1）先求出42的“互补数”，再求出“互补差”即可； （2）设数m的十位数字为x，则个位数字为，得出，，根据它的“互补数”n等于它的倍，得出，求出，再求出结果即可； （3）先求出，化简，得出为整数，根据，，且a，b为整数，求出结果即可． 【详解】（1）解：42的“互补数”为68，则42的“互补差”为： ； （2）解：设数m的十位数字为x，则个位数字为， ， 它的“互补数”n为： ， ∵它的“互补数”n等于它的倍， ∴， 解得：， 则，， ∴． （3）解：三位数为， 三位数的“互补数”为： ， ， ， ∵能被19整除， ∴为整数， ∵，，且a，b为整数， ∴，时，符合题意； ，时，符合题意； ，时，符合题意； ，时，符合题意； ∴这个三位数所有可能的值为：612，631，669，688． 【点睛】本题主要考查了新定义计算，整式加减的应用，绝对值意义，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握定义． 【变式题13-3】．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）风华中学举办英语节活动，包括三大组别的节目：歌曲组、短剧组、演讲组，每位学生只能参加一个组别的节目．六年级有部分同学参加活动，其中的同学加入歌曲组，的同学加入演讲组，剩下20名同学加入短剧组，参加英语节的男生比女生少． (1)六年级参加英语节的学生有多少人； (2)参加演讲组的男生是参加短剧组男生的，且比参加歌曲组的男生多，求参加歌曲组的男生有多少人； (3)在（2）的条件下，由于英语节活动调整，一些学生从演讲组调整到歌曲组和短剧组，从演讲组调出学生中，3名男生全部调入歌曲组，调入歌曲组和短剧组的女生人数比为，此时歌曲组人数是短剧组人数的，求调入歌曲组的女生有多少人． 【答案】(1)60 (2)5 (3)6 【分析】本题考查分数的应用，一元一次方程的应用： （1）求出短剧组的20名同学占六年级参加英语节总人数的比例，用20除以该比例即可得到总人数； （2）求出参加英语节的男生人数，设歌曲组男生为人，演讲组男生为人，短剧组男生为人，根据题意用a表示b、c，根据男生总人数即可求解； （3）设调入歌曲组的女生为人，调入短剧组的女生为人，根据歌曲组人数是短剧组人数的列方程求出k即可． 【详解】（1）解：短剧组的20名同学占六年级参加英语节总人数的， ∴六年级参加英语节总人数为（人）； （2）解：∵参加英语节的男生比女生少， ∴男生占总人数的， ∴男生人数为（人）， 设：歌曲组男生为人，演讲组男生为人，短剧组男生为人 已知：，（演讲组男生比歌曲组男生多，即是的倍）， 由和得：，故， 男生总数：， ， 解得， ∴歌曲组男生为5人． （3）解：由（2）知各组人数： 歌曲组：15人（男生5人，女生10人） 演讲组：25人（男生8人，女生17人） 短剧组：20人（男生12人，女生8人） 调整过程： 从演讲组调出学生，其中3名男生全部调入歌曲组． 调出的女生中，调入歌曲组和短剧组的人数比为． 设调入歌曲组的女生为人，调入短剧组的女生为人． 总调出女生：（人） 总调出人数：人 调整后各组人数： 歌曲组：原15人调入男生3人调入女生人人 短剧组：原20人调入女生人人 调整后歌曲组人数是短剧组人数的：， 解得， ∴调入歌曲组的女生：（人）． 【题型14】多变量配套问题（培优） 1.核心知识点总结 核心关系：三种及以上零件配套（如1个机身+2个机翼+3个尾翼=1架飞机），满足多个比例关系。 关键：设主变量，用主变量表示其他量，根据多个配套比例列方程。 2.高频考点梳理 多零件配套：机械零件、玩具组装（2025江苏南通通州区期末）。 多材料配套：多种原材料制作多种产品（如木材+金属+塑料制作设备）。 3.易错点警示 遗漏配套比例（如三种零件只考虑两组比例，忽略第三组）。 主变量选择不当（导致代数式复杂）。 总量分配错误（多种原材料总量混淆）。 4.解题技巧拆解 步骤：①设主变量（如制作机身x个）；②根据配套比例表示其他零件数量（机翼2x个、尾翼3x个）；③根据原材料总量列方程（如机身用料+机翼用料+尾翼用料=总材料）。 技巧：用表格梳理各零件的“配套比例、数量、用料”： 零件 配套比例 数量 单位用料 总用料 机身 1 x a ax 机翼 2 2x b 2bx 尾翼 3 3x c 3cx 【例题14】．（24-25七年级上·四川成都·期末）综合与实践：利用长方形纸板制作礼品盒 七年级数学兴趣小组同学准备制作三种不同形状的礼品盒：长方体礼品盒，圆柱体礼品盒，底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒．请回答下列问题： 【制作长方体礼品盒】第一小组同学选择长为，宽为的长方形纸板，如图1，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． (1)当剪去的小正方形的边长为5时，求该长方体礼品盒的体积． 【制作圆柱体礼品盒】第二小组同学选择两张长为，宽为的长方形纸板，如图2，一张作圆柱体的侧面，另一张裁出两个大小相等的最大圆； (2)它们能组装成高为24cm的圆柱体礼品盒吗，请说明理由． 【制作底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒】如图3，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面组成．第三小组同学将某种规格的长方形纸板按照图示方法分别制作礼盒底面和侧面； (3)若第三小组同学用到13张长方形纸板时，裁剪的侧面和底面两种型号纸板恰好用完，请利用方程的知识求出这时他们能做多少个这种礼盒． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)6个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是读懂题意，找出等量关系． （1）根据题意算出长方体礼品盒的长、宽、高，再根据体积公式计算即可． （2）根据题意算出底面圆周长，比较即可解答． （3）设用了y张纸板裁剪侧面，则用张纸板裁剪底面，故可裁剪出张侧面，张底面，根据配套条件列式算出，即可求解． 【详解】（1）解：当剪去的小正方形的边长为5时，长方体礼品盒的高为，长为，宽为的长方形纸板， 故该长方体礼品盒的体积为． （2）∵长为，宽为的长方形纸板，一张裁出两个大小相等的最大圆， ∴圆直径为， 要组装成高为24cm的圆柱体礼品盒， ∴这两个圆就是圆柱体的上下面，另一张作圆柱体的侧面， ∴是圆柱围起来的底面周长，是圆柱的高， 其周长为， ∵， ∴不能组装成高为的圆柱体礼品盒． （3）解∵第三小组同学用13张长方形纸板， 设用了y张纸板裁剪侧面，则用张纸板裁剪底面， 故可裁剪出张侧面，张底面， ∴， 即， ∴可以裁剪出18张侧面，12张底面， ∵一个三棱柱由2个底面，3个侧面， ∴， 故能制作底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒的最多可剪6个三棱柱纸盒． 【变式题14-1】．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）问题情境数学兴趣小组的同学利用周末到某纸箱厂参加社会实践，该厂的厂长让他们用100张白板纸（如图1）制作某种型号的长方体纸箱． 研究方法如图2，每张白板纸有，，三种剪裁方法，其中第种裁法：得到2个侧面与4个底面；第种裁法：得到4个侧面；第种裁法：得到3个侧面与2个底面．问题解决数学兴趣小组的同学用三种不同的裁剪方法裁剪这100张白板纸． 设按裁法裁剪的白板纸有a张，按裁法裁剪的白板纸有b张． (1)按第种方法裁剪的白板纸有______张（用含a，b的式子表示）； (2)用含a，b的代数式填表： 裁法 裁法 裁法 侧面个数 ______ ______ 底面个数 ______ ______ (3)已知四个侧面和两个底面恰好能配套做成一个纸箱，若将这100张白板纸剪裁完后，得到的侧面和底面恰好配套： 当时，求该小组按上述裁法分别裁剪了多少张白板纸？ 小明观察不同载法的复杂程度后发现，每载一张白板纸，裁法和裁法都至少需要裁5刀，裁法至少需要裁3刀，直接写出：该小组裁剪总刀数m与a的数量关系式． 【答案】(1) (2)，0；， (3)按裁法裁20张，按裁法裁40张，按裁法裁40张； 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用、列代数式等内容，正确理解题意是解题的关键 （1）用总张数减去裁法①和裁法②的张数即可得解； （2）根据每种裁法可裁出的侧面数量和底面数量分别与张数相乘即可得解； （3）①先求出侧面数共有个，底面数共有个，再根据配套列出方程求解即可； ②先根据侧面和地面配套可知，进而得到，然后根据题意可得，将b代入化简即可． 【详解】（1）解：根据题意可得第③种方法裁剪的白板纸张， 故答案为：； （2）解：根据题意可得， 裁法②侧面个数为，底面个数为0， 裁法③侧面个数为，底面个数为； 故答案为：，0；，； （3）①侧面数共有：个， 底面数共有：个， 侧面和底面恰好配套， ， ， ， 解得：， ， 答：按裁法①裁20张，按裁法②裁40张，按裁法③裁40张； ②由侧面和底面恰好配套可知， ， 整理可得， 又根据题意可知， 【变式题14-2】．（24-25六年级下·上海·期中）商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如表： A型 B型 C型 满368优惠100 满168优惠68 满50优惠20 此次活动中，小尚和小东分别领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小尚最终使用了三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了________张B型“优惠券”． (2)若小东最终使用了5张A型、B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A型、B型“优惠券”各几张？ 【答案】(1)5 (2)小东使用了2张A型“优惠券”，3张B型“优惠券”． 【分析】本题主要考查了列方程解应用题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． （1）设小尚使用了x张B型“优惠券”，根据小尚使用的“优惠券”共优惠了520元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设小东使用了y张A型“优惠券”，则使用了张B型“优惠券”，根据小东使用的“优惠券”共优惠了404元，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值（即使用A型“优惠券”的张数），再将其代入中，即可求出使用B型“优惠券”的张数． 【详解】（1）解：设小尚使用了x张B型“优惠券”， 根据题意得：， 解得：， ∴小尚使用了5张B型“优惠券”． 故答案为：5； （2）解：设小东使用了y张A型“优惠券”，则使用了张B型“优惠券”， 根据题意得：， 解得：， ∴（张）． 答：小东使用了2张A型“优惠券”，3张B型“优惠券”． 【变式题14-3】．（24-25七年级上·浙江·期末）根据以下素材，回答问题： 问题背景：2025年元旦期间，A，B两个大型商场举行糖果优惠促销活动．某班数学小组对A，B两个大型商场进行调研后了解到如下信息： 信息1 A商场从厂家直接购进甲种糖果800千克，乙种糖果950千克，共支付77600元．已知每千克乙种糖果比每千克甲种糖果进价贵8元． 信息2 B商场从厂家直接购进甲，乙两种糖果售卖，进价与A商场相同，并将乙种糖果按进价提高后标价，实际销售时再打折售卖，此时乙种糖果每千克仍可获利9.6元． 问题解决： (1)设甲种糖果每千克进价x元，求甲，乙两种糖果的进价． (2)求出B商场中乙种糖果是打几折售卖的．如果甲种糖果也按照这个折扣售卖，每千克可获利8元，求甲种糖果的标价． 【答案】(1)甲种糖果每千克的进价为40元，乙种糖果每千克的进价为48元 (2)B商场中乙种糖果是打八折售卖的，甲种糖果的标价为60元/千克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据A商场从厂家直接购进甲种糖果800千克，乙种糖果950千克，共支付77600元，列出方程进行求解即可； （2）设B商场中乙种糖果是打y折售卖的，根据乙种糖果按进价提高后标价，实际销售时再打折售卖，此时乙种糖果每千克仍可获利9.6元，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再根据甲种糖果也按照这个折扣售卖，每千克可获利8元，列出算式，求出甲种糖果的标价即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：甲种糖果每千克的进价为40元，乙种糖果每千克的进价为48元； （2）设B商场中乙种糖果是打y折售卖的， 根据题意得：， 解得：， ∴（元/千克）． 答：B商场中乙种糖果是打八折售卖的，甲种糖果的标价为60元/千克． 【题型15】分段行程与方案结合问题（培优） 1.核心知识点总结 核心逻辑：行程问题中含分段速度，同时结合方案选择（如不同交通方式、不同路线），总费用/总时间=各段之和，再比较最优方案。 2.高频考点梳理 交通方案：自驾与高铁对比（分段计费+行程时间）（2025北京海淀期末）。 路线选择：不同路线的速度分段，求最短时间/最低费用（2024浙江宁波北仓区期末）。 3.易错点警示 分段速度与路程对应错误。 方案对比时遗漏附加费用（如高速费、停车费）。 时间与费用单位不统一。 4.解题技巧拆解 步骤：①设行程路程为x；②分别列不同方案的总时间/总费用代数式（分段计算）；③求临界点，比较不同区间的最优方案；④验证实际意义（如时间为正）。 技巧：用折线图直观展示各方案的费用/时间变化，标注临界点。 【例题15】．（14-15七年级上·江苏苏州·期末）又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． (1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ (2)你能确定两班各有多少名学生吗？ (3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 【答案】(1)有，可以节约740元钱 (2)1班有58人，2班有45人 (3)购买151张，总票价为5285元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准确等量关系，要注意考虑全面，购票最省钱的办法就是团体购票． （1）最节约的办法就是团体购票，节省的钱团体票价； （2）分有两种情况：若1班和2班人数都在51～100之间；若1班人数是51～100，2班人数是1～50；分别计算，即可求解； （3）先计算出148人的团体票价，再计算出151人的团体票价，即可求解． 【详解】（1）解：有．可以节约（元）． （2）解：设1班有x人，则2班有人，根据题意，有两种情况： 若1班和2班人数都在51～100之间， （不符合题意，舍去）； 若1班人数是51～100，2班是1～50， ， 解得：， 则， 答：1班有58人，2班有45人； （3）解：若3班也去，则三个班团体购票最合理，三个班的总人数有148人，总票价元． 若买151张票，总票价为元， ∵， ∴最合理的方法是购买151张，总票价为5285元． 【变式题15-1】．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）孝义市“携程旅游百事通”旅行社将带领一批新青年进行研学旅行，本次研学旅行的最后一站是革命圣地——延安，请根据下表信息，回答下列问题． 选择最省钱的租车方案 背景 此次延安之旅共计1日，由旅行社联系大巴车接送大家往返于西安与延安． 信息1 大巴车载客量：49人，小客车载客量：29人，注：载客量均包含司机． 信息2 小客车每辆每天的租金比大客车便宜400元，租用2辆大客车和5辆小客车共需支付租金5700元；每辆车均有一名司机． 信息3 方案一：全部租用小客车（会有一辆车空出16个座位，其余均坐满）； 方案二：全部租用大客车（刚好坐满，且租车量比方案一少两辆）； 方案三：两种型号组合租用． 问题解决 任务1 求大客车和小客车每辆每天的租金． 任务2 求旅行社中参与此次延安1日游活动的游客人数． 任务3 分别计算出不同方案所需的租金，比较并选出最省钱的方案． 【答案】任务1：1100元，700元 任务2：96人 任务3：方案二最省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于任务1：设大客车和小客车每辆每天的租金，再根据总租金等于5700列出方程，求出解即可； 对于任务2：设租用了a辆小客车，则租用了辆大客车，根据总人数相等列出方程，求出解； 对于任务3：分别求出三种方案的租金，再比较即可. 【详解】解：任务1：设大客车每辆每天的租金为x元，小客车每辆每天的租金为元，根据题意，得 ， 解得， 则. 所以大客车和小客车每辆每天的租金是1100元，700元； 任务2：设租用了a辆小客车，则租用了辆大客车，根据题意，得 ， 解得， 则（人）. 所以旅行社中参加此次延安1日游活动的游客人数是96人； 任务3：方案一：（元）； 方案二：（元）； 方案三：需要1辆大客车和2辆小客车，即（元）， 可知， 所以选择方案二最省钱. 【变式题15-2】．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）某化工厂每天产生大量的工业废水，为使排放的工业废水达到国家的排放标准，建设了一座工业废水处理站．该处理站无论是否处理废水，都需要支付设备维护费用200元/天，且处理废水还需其他费用5元/吨．随着生产规模的扩大，该废水处理站已无法完成当天工业废水的处理任务，需要将一部分废水交给第三方企业处理，该企业处理工业废水的价格如表所示． 收费方式 废水处理量/吨 费用 第一阶梯 500元 第二阶梯 的部分 5元/吨 第三阶梯 100以上的部分 4元/吨 (1)设某天有m吨废水在处理站处理，直接写出处理站处理废水产生的总费用； (2)若某天该工厂产生超过200吨的废水，需将一半的废水由处理站处理，另一半废水由第三方企业处理，该废水处理站处理废水产生的总费用与第三方企业处理废水产生的费用相同，求这一天该工厂产生的废水总量； (3)经测算，该工厂废水处理站日废水处理最大量为150吨，而扩大生产规模后，每天产生的废水量超过该处理站日废水处理最大量至少50吨，为实现降本增效，工厂设计了两种废水处理方案： 方案A：超出该处理站的日废水处理量的废水交给第三方企业处理； 方案B：保留处理站的设备，但废水全部交给第三方企业处理． 根据以上信息，请帮助工厂选择最优方案，并说明理由． 【答案】(1)元 (2)300吨 (3)选择B方案，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及整式的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出处理站处理废水产生的总费用；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）分及两种情况，用含y的代数式表示出选择A，B两种方案产生的总费用． （1）利用处理站处理废水产生的总费用=设备维护费用处理废水的吨数，即可用含m的代数式表示出处理站处理废水产生的总费用； （2）设这一天该工厂产生的废水总量为吨，根据该废水处理站处理废水产生的总费用与第三方企业处理废水产生的费用相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设该工厂每天产生的废水总量为吨，分及两种情况，用含y的代数式表示出选择A，B两种方案产生的总费用，作差后，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：处理站处理废水产生的总费用为元； （2）解：设这一天该工厂产生的废水总量为吨， 根据题意得：， 解得：， 答：这一天该工厂产生的废水总量为300吨； （3）解：该工厂选择B方案更划算，理由如下： 设该工厂每天产生的废水总量为吨， 当时， 选择A方案产生的总费用为元； 选择B方案产生的总费用为元， ， ， 工厂选择B方案更划算； 当时， 选择A方案产生的总费用为： 元； 选择B方案产生的总费用为： 元， ， 工厂选择B方案更划算． ， 工厂选择B方案更划算； 综上所述：该工厂选择B方案更划算． 【变式题15-3】．（24-25七年级下·重庆石柱·开学考试）某水果店经销甲、乙两种水果，基本信息如表所示： 水果种类 成本（元/千克） 数量（千克） 售价（元/千克） 甲水果 60 乙水果 80 (1)商家决定将甲种水果按成本价提高后出售；乙种水果在成本价的基础上提高10元后再打八折出售，则___________（用含的代数式表示），___________（用含的代数式表示）； (2)若商家将甲、乙水果全部售出可获得760元的总利润，求的值；（请列方程解答） (3)春节来临之际，市场对水果的需求上升．为吸引顾客，店长根据市场调查推出两种促销方案如下： 方案一：每位顾客均可享受所有商品八折优惠，折后还可以使用优惠券（每次只能使用一张）： 优惠券1 满50元减10元 优惠券2 满40元减5元 例如：某人购买原价为200元的水果，按方案一优惠，他应付款为：（元）． 方案二：每位顾客均可享受所有商品七五折优惠： 一次购物只能享受其中一种优惠方案． 小优和妈妈一起在该水果店购买了如下标价的水果：一盒草莓60元，一盒蓝莓20元，一个进口车厘子礼盒380元，妈妈准备选择优惠方案—一次性付款，小优说她有更省钱的方法．从优惠的角度看，小优最多还能为妈妈节省___________元． 【答案】(1)； (2)12 (3)19 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列代数式，找到相等关系列方程求解． （1）依题意可知，分别列出甲、乙商品的销售价格即可； （2）根据利润为售价减去成本列方程即可解答； （3）求出选择优惠方案一一次性付款，两种优惠方案结合应付款数，比较即可． 【详解】（1）解：（元）， 元， 故答案为：，； （2）解：由题意得， 整理得， 解得； （3）解：妈妈选择优惠方案一一次性付款，应付款（元）， 如果选择优惠方案二一次性付款，应付款（元）， 如果选择两次购物，可选择如下： 方法一：购买一盒草莓60元，一盒蓝莓20元，选择优惠方案一付款，应付款（元）， 购买一个进口车厘子礼盒380元，选择优惠方案二付款，应付款（元）， 则共付款（元）； 方法二：购买一盒草莓60元，购买一个进口车厘子礼盒380元，选择优惠方案一付款，应付款（元）， 购买一盒蓝莓20元，选择优惠方案二付款，应付款（元）， 则共付款（元）； 方法三：购买一盒蓝莓20元，购买一个进口车厘子礼盒380元，选择优惠方案一付款，应付款（元）， 购买一盒草莓60元，选择优惠方案二付款，应付款（元）， 则共付款（元）； 方法四：购买一盒草莓60元，选择优惠方案一付款，应付款（元）， 购买一个进口车厘子礼盒380元，一盒蓝莓20元，选择优惠方案二付款，应付款（元）； 则共付款（元）； 方法五：购买一盒蓝莓20元，选择优惠方案一付款，应付款（元）， 购买一个进口车厘子礼盒380元，一盒草莓60元，选择优惠方案二付款，应付款（元）； 则共付款（元）； 方法六：购买一个进口车厘子礼盒380元，选择优惠方案一付款，应付款（元）， 购买一盒草莓60元，一盒蓝莓20元，选择优惠方案二付款，应付款（元）； 则共付款（元）； ∴从优惠的角度看，小优最多还能为妈妈节省（元）， 故答案为：19． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·黑龙江鹤岗·期中）某商店将一件商品按进价提高后标价，又以9折销售，售价为216元，则该商品的进价为（  ） A．200 元 B．210 元 C．180 元 D．190 元 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，通过列方程直接求解，注意计算准确． 设进价为x元，根据提高后标价，再打9折，售价为216元，列出方程求解． 【详解】解：设进价为x元，根据题意得， ∵ 标价， 售价=标价 ， ∴ ， ， ∴ 进价为200元． 故选：A． 2．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）将九个数分别填在（行列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”如图①为“和幻方”，图②为“和幻方”，图③为“和幻方”，若图④为“和幻方”，则的值等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用．根据题意可得，，，，，再由所有的数的和为，得到关于b的方程，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， ， ∴，，，， ∴，， ∵所有的数的和为， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：A 3．（25-26七年级上·重庆·期中）如图是2025年1月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果不可能的是（    ） A．75 B．100 C．115 D．120 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 先设中间的数，再表示出其它各数，然后列出方程求出解，并判断即可. 【详解】解：设中间的数是x，左上的数是，右上的数是，左下的数是，右下的数是，则这五个数之和为， 当时， 解得， 最小的数是，最大的数是，不符合题意； 当时， 解得， 最小的数是，最大的数是，不符合题意； 当时， 解得， 最小的数是，最大的数是，不符合题意； 当时， 解得， 最小的数是，最大的数是，结果不可能，符合题意. 故选：D. 4．（25-26七年级上·云南昆明·期中）在一张月历上，任意圈出竖列上的三个数的和不可能是（   ） A．17 B．24 C．42 D．66 【答案】A 【分析】本题考查了方程与日历问题． 设中间数为x，则三个数分别为、x、，和为，故和必为3的倍数，且日期范围在1至31之间． 【详解】解：设中间数为x，则三个数分别为、x、，和为， ∵和必须为3的倍数，且x为整数，． 选项A：17不是3的倍数， ∴不可能； 选项B：24是3的倍数，解得：，可能； 选项C：42是3的倍数，解得：，可能； 选项D：66是3的倍数，解得：，可能； 故选：A． 5．（25-26七年级上·浙江金华·阶段练习）如图1，有一个圆柱形水桶，水位高度为．如图2，现将一棱长为的正方体铁块放入水中，液面上升了．如图3，如果再叠放一个同样的正方体铁块，那么液面会再上升（    ）cm． A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键． 设圆柱水桶的底面积为S，液面从图2的再上升，再根据水的体积浸入铁块的体积圆柱总体积列方程求解即可 【详解】解：设圆柱水桶的底面积为S，根据题意得，正方体铁块的体积为， 而水上升的体积为， ∴， 图3中，再叠放一个相同的正方体（总铁块高度）， 设液面从图2的再上升， ∴此时液面总高度为（且，铁块未完全露出）， ∴两个正方体浸入水中的总体积为， ∴水和浸入铁块的总体积（圆柱体积）为； 根据题意得，原来图1的水体积为， 根据“水的体积浸入铁块的体积圆柱总体积”，列方程： ， ∴液面会再上升， 故选B． 6．（25-26七年级上·浙江舟山·期中）在解决问题“小喜在A、B两地间进行骑车训练，去时每小时行18千米，用了2.5小时；返回时用了3小时，每小时行多少千米？”时有四种方案，其中错误的方案是（    ） 方案一：                            方案二： 方案三：设每小时行千米．        方案四：设每小时行千米． A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．方案四 【答案】D 【分析】本题考查行程问题中速度、时间和路程的关系．由于A、B两地间路程不变，去时和返回的路程相等．根据路程=速度×时间，可求返回速度．方案四错误地认为时间比等于速度比，而实际上速度与时间成反比． 【详解】解：∵路程相等， ∴去时路程=返回路程． 即，其中为返回速度． 解得 千米/小时． 方案一：，正确； 方案二：，正确； 方案三：设每小时行 千米，有，正确； 方案四：设每小时行千米，有 ，但实际应为 ，故错误． ∴ 错误方案是方案四， 故选：D． 二、填空题 7．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一件工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要 天才能完成该工程． 【答案】7 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握工程问题求解的基本思路是解题的关键．先根据题意得出甲，乙的工作效率分别是，再结合现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，进行列方程，解方程，即可作答． 【详解】解：设甲还需要天才能完成该工程， 根据题意，得方程： 方程化为：， 解得：， 故甲还需要7天 故答案为：7 8．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）一个两位数和一个一位数的和为20，把一位数放在两位数的左边得到一个三位数，再把一位数放在两位数的右边，又得到一个三位数，前一个三位数除以后一个三位数，商是7，余数是78，则这个两位数是 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设这个一位数为x，则这个两位数为，根据前一个三位数除以后一个三位数，商是7，余数是78建立方程求解即可． 【详解】解：设这个一位数为x，则这个两位数为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴这个两位数是11， 故答案为：11． 9．（2025七年级上·全国·专题练习）小丁今年5岁，妈妈30岁，几年后，妈妈的年龄是小丁的2倍？ 设x年后，妈妈的年龄是小丁的2倍． x年后小丁年龄为 岁，妈妈的年龄为 岁． 根据题意列出方程为 ，解这个方程得 ． ∴ 年后，妈妈的年龄是小丁的2倍． 【答案】 20 20 【分析】此题考查的知识点是年龄问题和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数列代数式找出等量关系，列方程求解． 由题意先设年后妈妈的年龄是小丁的2倍，再表示出年后小丁的年龄和妈妈的年龄，等量关系为：年后，妈妈的年龄是小丁的2倍，根据等量关系列方程，解方程求解． 【详解】解：设年后，妈妈的年龄是小丁的2倍， 则年后小丁年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意得方程：， 解方程得：． 故答案分别为：，，，20，20． 10．（25-26七年级上·云南昆明·期中）如图，将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为，宽为3的小长方形，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的几何应用，根据将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为，宽为3的小长方形，进行列出方程，再解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为，宽为3的小长方形， ∴ ∴ ∴， 故答案为：9 11．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）小丽今年身高156厘米，比去年长高了，则小丽去年身高 厘米． 【答案】153 【分析】本题考查了列方程解应用题，解题关键是寻找相等关系， 根据题意，今年身高比去年长高 ，即今年身高是去年身高的 倍，由此列方程求解去年身高． 【详解】解：设小丽去年身高为 厘米， 根据题意，今年身高为 ， 计算得 ，解得 ， 故去年身高为153厘米． 故答案为：153． 三、解答题 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）某车间有30名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配多少名工人生产螺栓，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套？ 【答案】分配8名工人生产螺栓 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确得出等量关系列出方程是解答的关键． 设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为人，根据题意找出等量关系列出方程并解方程即可． 【详解】解：设分配x名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 因为一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个， 所以可得，解得， 答：分配8名工人生产螺栓，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套． 13．（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）在餐厅开始给学生打餐时，已经有名学生在餐厅外排队等候．打餐开始后，仍有学生继续前来排队等候打餐．设学生按固定的速度增加，每个售饭窗口打餐的速度也是固定的，且是学生增加速度的．若开设5个售饭窗口，则需要40分钟才可将排队等候的学生全部打完餐．根据学校作息时间安排，现要求20分钟将排队等候的学生全部打完餐，以便后来到餐厅的学生随到随打．问需要同时开放几个售饭窗口？ 【答案】6个 【分析】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用． 解题的关键是设定合适的变量，根据原有学生数+新增学生数=打餐窗口处理的学生数这一相等关系建立方程，进而求解需要开放的售饭窗口数量． 【详解】设每个售饭窗口每分钟可打餐人，则学生每分钟增加人，依题意可列方程： 可得： 又设20分钟打完餐需开放个售饭窗口，可列方程为： 可得： 答：需要同时开放6个售饭窗口． 14．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）《九章算术》中有这样一段记载：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．大意为：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： (1)走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面？两人相隔多少步？ (2)走路慢的人先走200步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 【答案】(1)走路快的人在前面，两人相隔300步 (2)500步 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解决本题的关键是根据题意列出正确的方程． （1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人走x步，根据同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，列方程求解即可； （2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解． 【详解】（1）解：设当走路慢的人再走600步时，走路快的人走x步， 由题意得： 解得：， ∴两人相隔（步）， 答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步； （2）解：设走路快的人走y步才能追上走路慢的人， 由题意得： 解得：， 答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人． 15．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 5 第二档 7 第三档 9 (1)当时，写出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1820元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1) (2)该户这一年的水费是元 (3)该户去年一年的用水量是 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据用水量及分档计费标准且结合进行列式化简，即可作答． （2）结合（1），得当时，，故代入进行计算，即可作答． （3）先充分分析题意，得出水费在第三档，再结合第三档的计费方式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，当时，； （2）解：由（1）得当时， 当时，， 答：该户这一年的水费是1040元； （3）解：依题意，；； ∵ ∴水费在第三档， 当时，可知， 令，即， 解得， 答：该户去年一年的用水量是． 16．（18-19七年级下·湖南长沙·期中）国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如图是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据图中的信息，解答下列问题： (1)明明他们一共去了几个成人?几个学生? (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱? (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的12个家长共20人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)学生人数为4人，成人人数为8人 (2)购团体票更省钱，理由见解析 (3)买16人的团体票，再买4张学生票 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设成人人数为x人，则学生人数为人，由题中所给的票价单可得出关于x的一元一次方程，解此方程即可得出成人与学生各有多少人数； （2）已知购个人票的价钱，再算出购团体票的价钱，哪个更低哪个就更省钱； （3）由第二问可知购团体票要比购个人票便宜，再算出购16张团体票和4张学生票的价钱与全部购团体票的价钱比较，即可得最省的购票方案． 【详解】（1）解：设成人人数为x人，则学生人数为人，则： 由题中所给的票价单可得： 解得： 学生人数为人，成人人数为8人． 答：学生人数为4人，成人人数为8人． （2）如果买团体票，按16人计算，共需费用： 元 所以，购团体票更省钱． （3）若成人和学生分开买票，费用：（元）， 若购买团体票，费用：（元） 最省的购票方案为：买16人的团体票，再买4张学生票． 学科网（北京）股份有限公司 $