专题5.2解一元一次方程（知识点总结+11大题型 +同步练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年人教版数学七年级上册

5.2解一元一次方程 【题型1】利用移项与合并同类项解一元一次方程 1.核心知识点总结 移项核心：把等式一边的项变号后移到另一边，依据是等式的性质1，目的是分离含未知数的项与常数项。 合并同类项核心：依据分配律，将同侧同类项合并，转化为的形式。 完整步骤：移项→合并同类项→系数化为1（方程两边同除以或乘）。 2.高频考点梳理 直接移项合并解方程（如、）。 含分数、小数系数的方程（如、）。 结合简单实际问题列方程求解（如年龄差、物品分配问题）。 3.易错点警示 移项时忘记变号（如误化为，误写为反向错误）。 合并同类项遗漏系数为1或-1的项（如误算为)。 常数项加减运算出错(如误算为，误算为)。 4.解题技巧拆解 口诀：“移项变号，合并同类项，系数化1要记牢”。 步骤：①先移项(含未知数的项移左，常数项移右，变号是关键)；②再合并(同类项系数相加，字母及指数不变)；③最后化1(分子分母位置不颠倒，避免误写)。 【例题1】．（25-26七年级上·云南昆明·期中）方程的解 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，先移项，再合并同类项，最后系数化1即可求解． 【详解】解： ， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 故答案为：0.6 【变式题1-1】．（湖南省长沙市长郡教育集团联考2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先移项，再合并同类项，最后未知数的系数化为1； （2）去括号，然后移项，再合并同类项，最后未知数的系数化为1． 【详解】（1）解：移项得 合并同类项得 系数化为1得． （2）解：去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得 【变式题1-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各题中的变形属于移项的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，移项是指将方程中的项从等号的一边移动到另一边，并改变该项的符号；根据此定义，逐一判断各选项； 【详解】解：选项A：由 得 ，移动时符号错误，不属于移项； 选项B：由 得 ，仅运用加法交换律，不属于移项； 选项C：由 得 ，将8移项后变为，将移项变为，符号改变，属于移项； 选项D：由 得 ，仅交换等式两边，不属于移项。 故选：C 【变式题1-3】．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）若，则的值为（   ） A．2 B．5 C．4 D．-2 【答案】B 【分析】本题主要考查基本的一元一次方程解法，熟练掌握移项和系数化为的步骤是解题的关键．根据解一元一次方程的步骤，先移项，再系数化为即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：B 【题型2】利用去括号解一元一次方程 1.核心知识点总结 去括号依据：分配律，括号外的因数要与括号内每一项相乘。 符号规则：括号外是正数，去括号后符号不变；括号外是负数，各项符号改变。 2.高频考点梳理 直接去括号解方程(如)。 括号前含分数系数的去括号问题(如)。 3.易错点警示 漏乘括号内的某一项(如误化为)。 括号外是负数时，部分项符号未改变。 4.解题技巧拆解 第一步：确定括号外因数的符号和数值。 第二步：按分配律逐项相乘，避免漏乘。 第三步：去括号后及时合并同类项，简化方程。 【例题2】．（25-26七年级上·北京西城·期中）解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程．根据去括号、移项、合并同类项、系数化1进行计算． 【详解】解： 【变式题2-1】．（23-24七年级下·海南海口·期末）若，则等于（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解法，通过去括号、移项和合并同类项等步骤求解． 【详解】解：∵ ， 去括号：， 合并常数项：， 移项：， ∴ ． 故 ， 故选：B． 【变式题2-2】．（24-25七年级下·四川乐山·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法．根据一元一次方程的解法求解即可． 【详解】解： ． 【变式题2-3】．（25-26七年级上·北京昌平·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）移项法解方程解答即可． （2）去括号解方程即可． 本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， ． ． （2）解： ． 【题型3】利用去分母解一元一次方程 1.核心知识点总结 去分母依据：等式的性质2，方程两边同乘各分母的最小公倍数。 关键要求：分子是多项式时，去分母后需加括号。 2.高频考点梳理 分母为整数的方程求解(如)。 选择题中判断去分母的正误(如选项中漏乘不含分母的项)。 3.易错点警示 漏乘不含分母的项(如误化为)。 分子是多项式时未加括号导致符号错误。 4.解题技巧拆解 步骤：找各分母最小公倍数→两边同乘公倍数(逐项相乘)→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 口诀：“去分母，乘最小，分子多项式，括号要加上”。 【例题3】．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）解方程时，去分母得 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，通过寻找分母3和4的最小公倍数12，将方程两边同时乘以12以消除分母，得到去分母后的方程即可． 【详解】解：原方程为． 两边同时乘以12，得． 故答案为：． 【变式题3-1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）某书中有一个方程，■处在印刷时被墨盖住了．若已知书后的答案为，则■处的数字应是（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，把代入原方程，得到关于■的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ ∴ ∴， 解得： ， 故选B. 【变式题3-2】．（25-26七年级上·重庆·期中）解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤并灵活运用是解题的关键． （1）移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （4）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 【详解】（1）解： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解： 去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 系数化为1，得； （4）解： 整理得，， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 系数化为1，得． 【变式题3-3】．（24-25七年级上·河南商丘·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，移项，合并，系数化1，进行求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得； （2）， ， ， ， ， 解得． 【题型4】解含小数系数的一元一次方程 1.核心知识点总结 转化方法：利用分数的基本性质，将小数系数化为整数(不改变方程平衡)。 关键原则：分子分母同乘10的倍数，使小数化为整数。 2.高频考点梳理 小数系数直接转化(如)。 含小数的实际问题方程求解(如行程问题中的速度、时间小数)。 3.易错点警示 混淆“去分母”与“小数化整数”(前者是等式性质，后者是分数性质)。 转化时只转化分子或只转化分母。 4.解题技巧拆解 观察小数位数：一位小数乘10，两位小数乘100，以此类推。 步骤：先将小数系数化为整数→按常规步骤解方程(去括号、移项等)。 【例题4】．（25-26七年级上·山东东营·开学考试）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）先去分母，然后再求解方程即可； （2）原方程可变形为，然后去括号，进而求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：原方程可变形为， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式题4-1】．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：整理得， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【变式题4-2】．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可． 整理、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （2）解：整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 【变式题4-3】．（23-24六年级上·山东济南·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． 按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2） ， ， ， ， ， ． 【题型5】含参数的一元一次方程的解的问题(提升) 1.核心知识点总结 参数定义：方程中除未知数外的字母(如中的、)。 核心关系：通过方程的解的条件(如解为正数、负数、整数)求参数值。 2.高频考点梳理 已知方程的解求参数(如的解为，求)。 已知两个方程的解的关系求参数(如同解、解互为相反数)。 3.易错点警示 忽略参数的限制条件(如中)。 化简含参数的方程时合并同类项出错。 4.解题技巧拆解 步骤：先解含参数的方程(将参数视为常数)→根据解的条件列关于参数的方程→求解参数。 关键：保留参数的原始形式，避免过早代入导致错误。 【例题5】．（25-26九年级上·重庆·月考）已知关于x的方程的解是整数．且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的拓展题型，根据一元一次的方程先解出，根据题意可得是6的正约数，得出满足题意的所有值，算出和即可． 【详解】解： 解得： ， 方程的解为整数，且k是正整数， ∴是6的正约数， 当时，（正整数，符合） 当时，（不是正整数，舍去） 当时，（正整数，符合） 当时，（不是正整数，舍去） 所有值的和为 故答案为： 【变式题5-1】．（25-26七年级上·重庆·期中）已知为整数，且关于的方程的解为正整数，则整数 的值为 ． 【答案】4或8 【分析】本题考查了一元一次方程的解．通过解方程得到关于的表达式，再根据为正整数确定的取值． 【详解】解：解方程， 移项得， 所以． 由于为正整数，且为整数，因此必须是5的正因数， 即或． 解得或． 当时，分母，方程无解，故舍去． 因此整数的值为4或8． 故答案为：4或8． 【变式题5-2】．（20-21七年级上·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】先求的解，根据解的属性，解答即可． 本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：， 解得， 由方程的解为正整数， 故， 解得， 又a为正整数， 故a的最大值是13， 故选：A． 【变式题5-3】．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由一元一次方程解的情况求参数，有理数的加法运算，先解方程得到 ，根据方程有正整数解，得到 必须是负整数且是的约数，从而求出整数的值，再求和即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴， ∵ 方程有正整数解， ∴ 且为整数， ∴且是的约数， ∵的负约数有和， ∴或， 解得或， ∴整数的所有可能取值的和为， 故选：． 【题型6】一元一次方程的错解问题(提升) 1.核心知识点总结 错解成因：去分母漏乘、移项不变号、去括号漏乘等操作错误。 解题逻辑：利用错解反向求参数，再代入原方程求正确解。 2.高频考点梳理 去分母漏乘导致错解(如漏乘不含分母的项)。 移项不变号、去括号符号错误导致错解。 3.易错点警示 代入错解时计算错误。 求出参数后，解原方程时再次出现相同错误。 4.解题技巧拆解 第一步：根据错误步骤还原错解的方程。 第二步：将错解代入错方程，求出参数值。 第三步：将参数代入原方程，按正确步骤求解。 【例题6】．（25-26七年级上·北京西城·期中）下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：  第一步   第二步   第三步   第四步   第五步 (1)以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的； (2)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； (3)请写出该方程的正确解答过程． 【答案】(1)等式的基本性质 (2)三；移项没有变号 (3)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据等式的基本性质，即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，逐一判断即可解答； （3）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：以上解题过程中，第一步是依据等式的基本性质进行变形的， 故答案为：等式的基本性质； （2）解：从第三步开始出现错误，这一步的错误的原因是移项没有变号， 故答案为：三；移项没有变号； （3）解：：， 等式两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，． 【变式题6-1】．（25-26七年级上·北京昌平·期中）小明与小红两位同学解方程的过程如下： 小明： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） 小红： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)小明与小红在解方程中均出现了错误； 小明出错的步骤是第___________步、小红出错的步骤是第___________步； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一，二 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，等式的性质等知识． （1）根据等式的性质和去括号法则即可判断出小明与小红在解方程中出现的错误； （2）根据解一元一次的步骤即可求解． 【详解】（1）解：小明出错的步骤是第一步，错误的应用了等式的性质二，等式左边乘以12，右边也应该乘以12； 小红出错的步骤是第二步，在利用分配律去括号号时符号错误． 故答案为：一，二； （2）解： 去分母得 ， 去括号得 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化“1”得 ． 【变式题6-2】．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母得，…第一步 去括号得，…第二步 移项得，…第三步 合并同类项得，…第四步 系数化为1得，…第五步 (1)以上求解过程中，第_____步出现错误，错误原因是________________； (2)写出该方程正确的解答过程． 【答案】(1)三，移项时没有变号 (2)解答过程见解析 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据移项，从方程的一边移到另一边时，要改变符号； （2）根据解一元一次方程步骤解方程即可求解． 【详解】（1）解：第三步出现错误，错误原因是移项时没有变号， 故答案为：三，移项时没有变号； （2）解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 【变式题6-3】．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）圆圆解方程的过程如下． 解：去分母，得，……① 去括号，得．……② 移项，得．……③ 合并同类项，得．……④ 系数化为1，得．……⑤ (1)请指出她解答过程中所有错误步骤的序号__________． (2)求出该方程正确的解． 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是∶ （1）根据等式的性质、去括号法则等逐步判断即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：第①步去分母时，等式右边漏乘6，故错误， 第②步去括号时，第二个去括号时1漏乘，故错误， 故错误步骤的序号是①②， 故答案为：①②； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【题型7】含绝对值的一元一次方程(提升) 1.核心知识点总结 绝对值性质：等价于或。 核心思路：去掉绝对值符号，转化为普通一元一次方程。 2.高频考点梳理 单一绝对值方程(如)。 双重绝对值方程(如)。 3.易错点警示 忽略绝对值的非负性(如误求解)。 去掉绝对值符号后未分情况讨论。 4.解题技巧拆解 步骤：确定绝对值内表达式的零点→分区间讨论去掉绝对值→解每个区间的方程→检验解是否在对应区间内。 关键：检验步骤不可少，避免增根。 【例题7】．（25-26六年级上·上海·期中）解方程： (1)． (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）先变形，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出x的值； （2）移项得，则，再由绝对值的含义可得或，再解方程进行判断即可． 【详解】（1）解：， 方程可化为， 去分母得，， ， ， ， 解得：． （2）解：， 则， ， 解得， 由绝对值的意义可得，或， 解得（舍去）或（舍去）， 所以，原方程无解． 【变式题7-1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）【阅读理解】在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和2两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得，符合； ②当时，原方程可化为，解得，符合． 故原方程的解为或． 【尝试应用】运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：． 【答案】或 【分析】根据示例，分和两种情况进行讨论即可. 【详解】解：①当时，原方程可化为： ， 解得，符合； ②当时，原方程可化为： ， 解得， 符合． 故原方程的解为或． 【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，按照示例分类讨论是解题的关键． 【变式题7-2】．（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 【答案】(1)或 (2)或 (3)当时，方程无解；当时，方程只有一个解；当时，方程有两个解 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． （1）先移项得到，利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）先利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （3）利用绝对值的意义讨论：当或或时确定方程的解的个数即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或； （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， ∴原方程的解为或； （3）解：∵， ∴当时，方程无解； 当时，方程只有一个解； 当时，方程有两个解． 【变式题7-3】．（24-25六年级下·山东东营·阶段练习）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，它的解是．当时，原方程可化，它的解是． 原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是___________． (2)解方程：． (3)解方程：． 【答案】(1)或； (2)或； (3)或． 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解题的关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想． （）仿照题例即可求解； （）由，得，然后分当时和当时，即可求解； （）分当时和当时，即可求解． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为，它的解是， 当时，原方程可化为，它的解是， ∴原方程的解为或 故答案为：或； （2）解：由，得， 当时，原方程可化为，它的解是， 当时，原方程可化为，它的解是， ∴原方程的解为或； （3）解：当时，原方程可化为，它的解是， 当时，原方程可化为，它的解是， ∴原方程的解为或． 【题型8】整体思想解一元一次方程(培优) 1.核心知识点总结 整体思想：将方程中重复出现的式子(如)视为一个整体，简化运算。 适用场景：方程中某一表达式多次出现，直接展开复杂。 2.高频考点梳理 直接整体代换(如)。 变形后整体代换(如将方程整理为含的整体形式)。 3.易错点警示 整体代换时符号错误(如转化为时漏变号)。 代换后忘记还原求原未知数的值。 4.解题技巧拆解 第一步：观察方程，确定重复出现的“整体”(设为)。 第二步：将方程转化为关于的一元一次方程，求解。 第三步：将代回整体表达式，求原未知数的值。 【例题8】．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）在解一元一次方程时，有时根据方程的表面特点，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果． 例如：在解方程时，把看作一个整体． 令，原方程变为， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键．把看作一个整体，再按照解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解： 令，则原方程变为， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故， 解得：． 【变式题8-1】．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： 解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法．先去绝对值，化成一元一次方程求解即可． 【详解】解：由绝对值的意义得或， 解得或． 【变式题8-2】．（24-25七年级上·河北保定·期末）阅读理解：我们知道，．类似的，我们可以把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，运用“整体思想”解方程：． (2)已知，则 ． (3)已知，，，则 ． 【答案】(1) (2)26 (3) 【分析】本题主要考查代数式的求值及整式的加减计算，解一元一次方程，关键是根据题意利用整体思想进行求解问题； （1）先移项，再仿照题中所给方法解方程； （2）由得到，将化为，再整体代入求值； （3）先利用整式的加减将变形为，再变形为，最后利用整体的思想代入求值． 【详解】（1）解： ， ， 解得：； （2）解：， ， ∴， 故答案为：26； （3）解：， ∴， 故答案为：． 【变式题8-3】．（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，完成任务． 用特殊方法解一元一次方程的研究报告 研究对象：方程的特殊解法． 研究思路：拆项→换元→整体代入 研究内容：①除了采用直接去分母的方法解该方程之外，我们也可以将方程转化为 即； ②这时我们可设，方程可化为， 解得； ③，，解得____▲______． 任务： (1)材料中“▲”处是_____． (2)利用材料中的方法解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，读懂题意，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据题意求出即可得到答案； （2）模仿材料中的拆项和换元法，将复杂方程转化为简单方程求解即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 设， 则原方程可化为， 解得， ， 解得． 【题型9】新定义型一元一次方程(培优) 1.核心知识点总结 新定义规则：题目给出自定义运算(如“美好方程”“差解方程”)，需先理解规则。 解题核心：将新定义转化为常规一元一次方程求解。 2.高频考点梳理 定义新运算方程(如，求的解)。 定义特殊方程关系(如“解之和为1的方程为美好方程”)。 3.易错点警示 误解新定义的运算顺序或符号规则。 转化为常规方程时出错。 4.解题技巧拆解 步骤：精读新定义→翻译为数学表达式→列常规方程→求解→检验是否符合定义。 关键：先通过示例理解新定义，再应用到题目中。 【例题9】．（25-26七年级上·全国·期中）定义一种新运算：，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，首先根据新运算的规则把新运算转化为一般形式的运算，得到一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解： ， ， 又 ， ， 解得：． 故答案为：． 【变式题9-1】．（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．若关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数，都使得它们不是“2差解方程”，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，绝对值方程，理解新定义，掌握解一元一次方程的方法，绝对值方程的方法是关键． 根据解一元一次方程的方法得到，，再根据“差解方程”的定义得，根据m的系数为0时符合题意，求解即可． 【详解】解：关于的方程， 解得，， 关于的方程， 解得，， ∵两方程不是“2差解方程”， ∴， 整理得，， 当，即时，对于任意数m，都使得 ∴当时，对于任意数m，都使得方程与方程不是“2差解方程”， 故答案为：． 【变式题9-2】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料，学以致用 一般情况下，不成立，但有些数可以使它成立，如，时，成立．我们称使得成立的一对数如m，n为“全面数对”，记作． (1)以下数对中“全面数对”是_____．（填选项） A．    B．    C． (2)若是“全面数对”，求的值． (3)是“全面数对”，求代数式的值． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，等式的性质，整式的加减—化简求值． （1）根据“全面数对”的定义逐项分析即可； （2）根据“全面数对”的定义列方程求解即可； （3）由是“全面数对”得，然后把所给代数式去括号合并同类项，再把代入计算即可． 【详解】（1）A．∵，， ∴， ∴不是“全面数对”；   B．∵，， ∴， ∴不是“全面数对”；     C．∵，， ∴， ∴是“全面数对”． 故选C； （2）∵是“全面数对”， ∴ 解得； （3）∵是“全面数对”， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【变式题9-3】．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）若点A、B在数轴上分别表示有理数x，y，则A、B两点间距离可表示为．给出如下定义：对于有理数x，y，m，n，若，则称x和y关于m的“博雅关联数”为n，例如：，则3和5关于2的“博雅关联数”为． (1)和2关于3的“博雅关联数”为______； (2)若x和4关于3的“博雅关联数”为6，求x的值； (3)若1和5关于x的“博雅关联数”为12，求x的值． 【答案】(1)5 (2)或 (3)或9 【分析】本题主要考查绝对值方程、有理数的运算，理解题意并准确计算是解题的关键． （1）根据题意即可得出答案； （2）根据题意列出方程，然后解方程即可； （3）根据题意列出方程，然后分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：5． （2）解：， ， ∴或． （3）解：， 当时，可得，即，不成立，舍去； 当时，可得， 解得：； 当时，可得， 解得：， 综上所述：或9 【题型10】一元一次方程的整数解问题(培优) 1.核心知识点总结 整数解条件：方程的解为整数(、为含参数的整式)。 核心逻辑：根据整数的整除性求参数的取值。 2.高频考点梳理 含参数方程的整数解(如有正整数解，求正整数)。 限定解的范围(如非正整数、负整数)求参数。 3.易错点警示 忽略参数的整数限制条件。 未考虑分母不能为0的情况。 4.解题技巧拆解 步骤：解含参数的方程，化为(、含参数)→分析能被整除的条件→列出参数的可能值→验证。 工具：利用整数的因数分解(如为整数，则是3的因数)。 【例题10】．（24-25七年级下·四川乐山·期末）若关于的方程的解为整数，则整数的取值个数为 个． 【答案】 【分析】本题考查的是方程的解，熟练掌握解方程是解决此题的关键； 先计算方程的解，然后选取符合题意的解，即可求解； 【详解】解： ， ， ∵x，k为整数， ∴或． 故答案为：4． 【变式题10-1】．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）已知关于的方程的解是整数，则满足条件的所有整数的绝对值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的整数解问题，先解方程，然后结合整数解求出符合条件的的值，再计算绝对值的和即可．正确求出方程的解是解题关键． 【详解】解：解方程， 得：， ∵关于的方程的解是整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴所有整数的绝对值的和为：． 故答案为：． 【变式题10-2】．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知关于的一元一次方程解为正整数，则所有满足条件的的整数有（   ）个． A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，先解原方程得到，根据原方程的解为正整数得到是正整数，则或或或，据此求出a的值即可得到答案． 【详解】解： 去括号得： 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的一元一次方程解为正整数， ∴是正整数， ∴或或或， ∴或或或， 故选：B． 【变式题10-3】．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （3）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 【题型11】循环小数化分数(方程应用)(培优) 1.核心知识点总结 转化原理：利用方程消除循环部分，设循环小数为，乘10的次方(为循环节位数)，两式相减消去循环项。 关键步骤：设→乘10ⁿ→相减→解→化简分数。 2.高频考点梳理 纯循环小数化分数(如、)(2024江苏南京期末、天津红桥区期末真题)。 混循环小数化分数(如)。 3.易错点警示 乘10的次方数错误：如(循环节2位)误乘10(正确乘100)。 相减时符号错误：如减，误算为(正确)，但计算过程中符号出错。 4.解题技巧拆解 纯循环小数口诀：“循环节有几位，分母就有几个9，分子为循环节”(如)。 步骤规范化：①设循环小数；②乘10ⁿ(=循环节位数)；③两式相减消循环；④解并化简。 【例题11】．（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式 由于，设① 则② ②－①得，解得，于是得． 同理可得， 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】 （1）______，______；（注：） （2）将化为分数形式，写出推导过程； 【能力提升】 （3）______；（注： ） 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意的解答过程并转化运用到循环小数的转化过程中是解决本题的关键． （1）根据题干示例进行推导求解即可得解； （2）根据题干示例进行推导求解即可得解． （3）根据题干示例进行推导求解即可得解． 【详解】（1）由于 ， 设① 则② ②－①得， 解得，于是得； 由于 设①， 则②， ②①得，解得， ∴； 故答案为：；； （2） 设① 则② ②－①得，解得， ∴． （3） 设 则①，② ②①得，解得， ∴ 故答案为： 【变式题11-1】．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫作无限循环小数，简称循环小数．例如：的循环节是“”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如：，的循环节分别是“”，“”，它们可以分别写作，，像这样的循环小数称为混循环小数． (1)任何一个分数都可以化成有限小数或无限循环小数．请将下列分数化成小数： ； ． (2)无限循环小数化成分数，有两种方法． ①方法一：如果小数是纯循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个组成，的个数为一个循环节的数字的个数．例如：；请将纯循环小数化为分数：_______． 如果小数是混循环小数，可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．请将混循环小数化为分数：_______． ②方法二：应用一元一次方程来解．例如：将循环小数化成分数． 解：设，则．所以，即，解得．所以． 请你仿照上述方法将化成分数． 【答案】(1)，； (2)①，；② 【分析】本题为阅读理解题，考查了循环小数和分数的互化，一元一次方程的应用等知识，认真读题，理解题意是解题关键．． （1）利用除法将分数化为小数即可； （2）①利用题干中的方法求解，对于混循环小数，将其扩大倍变成整数与纯循现小数的和求解即可； ②利用题干中的方法，设，则，得到，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：①由题意可知，； ； ②设，则，， 所以，即，     解得． 所以． 【变式题11-2】．（24-25七年级下·山东德州·开学考试）阅读材料：我们已经学会了把有限小数化成分数，现在让我们来探究如何将化为分数： 解：设 那么（利用倍数关系构造了另一个有同样循环节的数） 所以，解得 所以，这样我们就将无限循环小数化为了分数． (1)试着用上述方法将无限循环小数，分别化为分数； (2)将无限循环小数化为分数． 【答案】(1)无限循环小数化为分数为，化为分数为 (2)无限循环小数化为分数为 【分析】（）根据阅读材料方法解答即可； （）由（）可得，进而根据即可求解； 本题考查了利用一元一次方程把无限循环小数转化为分数，看懂阅读材料方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设， 那么， 所以， ， 解得， 所以无限循环小数化为分数为， 设， 那么， 所以， 即， 解得， 所以无限循环小数化为分数为； （2）解：由（）可得，， 所以， 所以无限循环小数化为分数为． 【变式题11-3】．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【阅读材料】如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数．例如，，写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如，、，它们可分别写作， ，像这样的循环小数称为混循环小数． 【问题探究】 小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如， 化为分数，解决方法是：设，即，将方程两边都，得，即，又因为，所以，所以，即，所以． 尝试解决下列各题： （1）请利用小明的方法，把纯循环小数化成分数． 【问题归纳】 循环小数中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节，例如、的循环节分别为“3”、“456”．研究发现，把纯循环小数化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个9组成，9的个数与一个循环节的数字的个数相同．例如： ， ． （2）请直接写出以下纯循环小数化为分数的结果： ， ． 【问题拓展】 小丽在对混循环小数研究时发现，所有混循环小数都可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．例如： ． （3）请把混循环小数化为分数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了无限循环小数的运算，一元一次方程的应用. （1）设，将的两边同时乘以100，得：，进而得，由此解出x即可得出答案； （2）由【问题归纳】中的规律直接写出结果即可； （3）根据，再将代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：设， 将的两边同时乘以100，得：， ∴， 即， 解得： ； （2）解：由【问题归纳】中的规律得：， ， 故答案为：；； （3）解：∵， 由【问题归纳】中的规律得： ， ∴. 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·天津·期中）若，且，则的值为（    ） A．3 B． C．3或 D． 【答案】B 【分析】本题考查解绝对值方程．根据绝对值的定义，表示或，再结合条件，即可确定的值． 【详解】解： ， 又 ． 故答案为：B． 2．（25-26七年级上·江西南昌·期中）单项式与为同类项，则的值为（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项的定义，根据同类项的定义，两个单项式是同类项需满足相同字母的指数相等，因此通过指数相等列出方程求解 m 和 n，再计算． 【详解】解：∵单项式与为同类项， ∴ a的指数相等：， b的指数相等：，解得， ∴， 故选B 3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程．去分母时，方程两边同乘分母的最小公倍数6，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴两边同乘6得： ， 即， 故选：C． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）对有理数规定新运算“※”的意义是：，则方程的解是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算的应用与一元一次方程的求解，解题的关键是根据“”的规则，将“3x※x”转化为常规代数表达式，再通过解方程步骤求出的值． 【详解】解：由新运算“”，得 ∴， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故选：A． 5．（25-26八年级上·广东肇庆·阶段练习）若方程，则x的值是（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的求解，解题的关键是通过移项求出未知数的值． 通过移项，将常数项移到等号右边，计算得出的值． 【详解】解：方程，根据等式的基本性质，进行移项操作，将2移到等号右边，变为，解得：． 故选：B． 二、填空题 6．（23-24九年级下·上海·月考）方程的解为 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．通过移项和系数化为1求解一元一次方程，即可． 【详解】解： 移项，得：， 即， 系数化为1，得． 故答案为：． 7．（25-26六年级上·上海·期中）如果关于x的一元一次方程的解是，那么t的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，解一元一次方程．根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程求出t的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26六年级上·上海青浦·期中）若的相反数是，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查相反数的定义和解一元一次方程．根据相反数的意义，列出方程并求解． 【详解】解：∵的相反数是， ∴， ∴． 故答案为：2． 9．（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图是一组数值转换机，若输出结果为时，则输入的x的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，解题的依据是正确列出方程． 根据转换机列出方程，再根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了已知方程的解，求参数；一元一次方程的解．根据方程的解的定义，将代入原方程，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：依题意，将代入方程， 得， 即， 解得， 故答案为：2． 三、解答题 11．（25-26七年级上·北京·期中）解下列方程： (1)； (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）先移项合并同类项，再将系数化为1即可； （2）移项合并同类项即可； （3）先去分母，再去括号，最后移项合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得，解出再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 则， 解得 则． 13．（2025七年级上·北京·专题练习）已知，求x的值． 【答案】8 【分析】本题考查解绝对值方程，分与两种情况，根据绝对值的意义将方程转化为一元一次方程，求解并检验即可． 【详解】解：当时，原方程可化为， 解得， 当时，原方程可化为， 解得， 此时，不符合， 所以不符合题意，舍去， 所以x的值为8． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）解方程：． 解：移项，得__________________________． 合并同类项，得_____________=_____________． 两边都除以_____________，得_____________． （2）解方程：． 解：移项，得__________________________． 合并同类项，得_____________=_____________． 两边都除以_____________，得_____________． 【答案】（1），3，，4，2，2；（2），，，，，2 【分析】本题考查解一元一次方程．根据去括号、移项、合并同类项，未知数系数化为1，即可． 【详解】（1）解方程：． 解：移项，得． 合并同类项，得． 两边都除以2，得； （2）解方程：． 解：移项，得． 合并同类项，得． 两边都除以，得． 15．（25-26七年级上·陕西西安·月考）已知与互为相反数． (1)则______，______； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的定义，解绝对值方程． （1）根据绝对值具有非负性，且互为相反数的两个数之和为零可知，，即可得到，； （2）将 和 的值代入方程 ，解绝对值方程即可得到 的值． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ，． 故答案为：，； （2）解：由（1）知 ，， 代入 ，得 ， ∴ 或 ， ∴ 或 ． 16．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）某同学在解关于的方程时，在移项过程中将移项没有改变符号，得到的方程的解为，求的值及原方程的解． 【答案】的值是3，原方程的解是 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，由题意可得是关于的方程的解，从而计算得出，把代入原方程，得，求出的值即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：根据题意知，是关于的方程的解， ， 解得． 把代入原方程，得， ． 即． 因此，的值是3，原方程的解是． 17．（24-25七年级上·山西大同·期末）下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 任务一：（1）解答过程中，第______步开始出现了错误，产生错误的原因是______； （2）第三步变形的依据是______； 任务二：（1）该一元一次方程正确的解是______； （2）请写出两条解一元一次方程时应注意的事项． 任务三：小敏改正错误后，挑选了同类题型进行了巩固，请你和她一起解所选的方程：． 【答案】任务一：（1）去分母时，1漏乘了6；（2）等式的基本性质；任务二：；（3）答案不唯一，见解析；任务三： 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 任务一：（1）根据去分母法则判断即可； （2）根据等式的基本性质求解即可； 任务二：（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）根据解一元一次方程的方法求解即可； 任务三：方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：任务一：（1）解答过程中，第一步开始出现了错误，产生错误的原因是去分母时，1漏乘了6； （2）第三步变形的依据是等式的基本性质； 任务二：（1） 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （3）移项要变号（答案不唯一）； 任务三：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 18．（25-26七年级上·重庆·期中）小刚同学学习了有理数后，对运算充满了探索欲，于是定义了一种新运算“⊕”，规则如下：对于两个有理数m、n，． (1)计算：，； (2)已知，且，请直接写出所有满足条件的x的值． 【答案】(1)10；0 (2)或 【分析】本题考查新定义运算，绝对值的意义，有理数的加减混合运算，解一元一次方程，整式的运算． （1）根据新定义的运算法则计算即可； （2）根据绝对值的非负性可知，由且，整理得到，分类讨论求出的值，进而求出x的值即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：10；0； （2）解：∵， ∴， ∵且， ∴， ∴； 当时，则，舍去； 当时，则， 解得， ∴， ∴， 解得或； ∴综上所述，所有满足条件的x的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2解一元一次方程 【题型1】利用移项与合并同类项解一元一次方程 1.核心知识点总结 移项核心：把等式一边的项变号后移到另一边，依据是等式的性质1，目的是分离含未知数的项与常数项。 合并同类项核心：依据分配律，将同侧同类项合并，转化为的形式。 完整步骤：移项→合并同类项→系数化为1（方程两边同除以或乘）。 2.高频考点梳理 直接移项合并解方程（如、）。 含分数、小数系数的方程（如、）。 结合简单实际问题列方程求解（如年龄差、物品分配问题）。 3.易错点警示 移项时忘记变号（如误化为，误写为反向错误）。 合并同类项遗漏系数为1或-1的项（如误算为)。 常数项加减运算出错(如误算为，误算为)。 4.解题技巧拆解 口诀：“移项变号，合并同类项，系数化1要记牢”。 步骤：①先移项(含未知数的项移左，常数项移右，变号是关键)；②再合并(同类项系数相加，字母及指数不变)；③最后化1(分子分母位置不颠倒，避免误写)。 【例题1】．（25-26七年级上·云南昆明·期中）方程的解 ． 【变式题1-1】．（湖南省长沙市长郡教育集团联考2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题）解方程： (1)； (2)． 【变式题1-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各题中的变形属于移项的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【变式题1-3】．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）若，则的值为（   ） A．2 B．5 C．4 D．-2 【题型2】利用去括号解一元一次方程 1.核心知识点总结 去括号依据：分配律，括号外的因数要与括号内每一项相乘。 符号规则：括号外是正数，去括号后符号不变；括号外是负数，各项符号改变。 2.高频考点梳理 直接去括号解方程(如)。 括号前含分数系数的去括号问题(如)。 3.易错点警示 漏乘括号内的某一项(如误化为)。 括号外是负数时，部分项符号未改变。 4.解题技巧拆解 第一步：确定括号外因数的符号和数值。 第二步：按分配律逐项相乘，避免漏乘。 第三步：去括号后及时合并同类项，简化方程。 【例题2】．（25-26七年级上·北京西城·期中）解方程：． 【变式题2-1】．（23-24七年级下·海南海口·期末）若，则等于（   ） A． B．3 C． D．4 【变式题2-2】．（24-25七年级下·四川乐山·期末）解方程：． 【变式题2-3】．（25-26七年级上·北京昌平·期中）解方程： (1) (2) 【题型3】利用去分母解一元一次方程 1.核心知识点总结 去分母依据：等式的性质2，方程两边同乘各分母的最小公倍数。 关键要求：分子是多项式时，去分母后需加括号。 2.高频考点梳理 分母为整数的方程求解(如)。 选择题中判断去分母的正误(如选项中漏乘不含分母的项)。 3.易错点警示 漏乘不含分母的项(如误化为)。 分子是多项式时未加括号导致符号错误。 4.解题技巧拆解 步骤：找各分母最小公倍数→两边同乘公倍数(逐项相乘)→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 口诀：“去分母，乘最小，分子多项式，括号要加上”。 【例题3】．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）解方程时，去分母得 ． 【变式题3-1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）某书中有一个方程，■处在印刷时被墨盖住了．若已知书后的答案为，则■处的数字应是（   ） A．7 B．5 C． D． 【变式题3-2】．（25-26七年级上·重庆·期中）解方程 (1) (2) (3) (4) 【变式题3-3】．（24-25七年级上·河南商丘·期中）解方程： (1)； (2)． 【题型4】解含小数系数的一元一次方程 1.核心知识点总结 转化方法：利用分数的基本性质，将小数系数化为整数(不改变方程平衡)。 关键原则：分子分母同乘10的倍数，使小数化为整数。 2.高频考点梳理 小数系数直接转化(如)。 含小数的实际问题方程求解(如行程问题中的速度、时间小数)。 3.易错点警示 混淆“去分母”与“小数化整数”(前者是等式性质，后者是分数性质)。 转化时只转化分子或只转化分母。 4.解题技巧拆解 观察小数位数：一位小数乘10，两位小数乘100，以此类推。 步骤：先将小数系数化为整数→按常规步骤解方程(去括号、移项等)。 【例题4】．（25-26七年级上·山东东营·开学考试）解方程 (1) (2) 【变式题4-1】．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）解下列方程： (1) (2) 【变式题4-2】．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【变式题4-3】．（23-24六年级上·山东济南·期末）解方程： (1)； (2)． 【题型5】含参数的一元一次方程的解的问题(提升) 1.核心知识点总结 参数定义：方程中除未知数外的字母(如中的、)。 核心关系：通过方程的解的条件(如解为正数、负数、整数)求参数值。 2.高频考点梳理 已知方程的解求参数(如的解为，求)。 已知两个方程的解的关系求参数(如同解、解互为相反数)。 3.易错点警示 忽略参数的限制条件(如中)。 化简含参数的方程时合并同类项出错。 4.解题技巧拆解 步骤：先解含参数的方程(将参数视为常数)→根据解的条件列关于参数的方程→求解参数。 关键：保留参数的原始形式，避免过早代入导致错误。 【例题5】．（25-26九年级上·重庆·月考）已知关于x的方程的解是整数．且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【变式题5-1】．（25-26七年级上·重庆·期中）已知为整数，且关于的方程的解为正整数，则整数 的值为 ． 【变式题5-2】．（20-21七年级上·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式题5-3】．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【题型6】一元一次方程的错解问题(提升) 1.核心知识点总结 错解成因：去分母漏乘、移项不变号、去括号漏乘等操作错误。 解题逻辑：利用错解反向求参数，再代入原方程求正确解。 2.高频考点梳理 去分母漏乘导致错解(如漏乘不含分母的项)。 移项不变号、去括号符号错误导致错解。 3.易错点警示 代入错解时计算错误。 求出参数后，解原方程时再次出现相同错误。 4.解题技巧拆解 第一步：根据错误步骤还原错解的方程。 第二步：将错解代入错方程，求出参数值。 第三步：将参数代入原方程，按正确步骤求解。 【例题6】．（25-26七年级上·北京西城·期中）下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：  第一步   第二步   第三步   第四步   第五步 (1)以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的； (2)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； (3)请写出该方程的正确解答过程． 【变式题6-1】．（25-26七年级上·北京昌平·期中）小明与小红两位同学解方程的过程如下： 小明： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） 小红： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)小明与小红在解方程中均出现了错误； 小明出错的步骤是第___________步、小红出错的步骤是第___________步； (2)写出正确的解答过程． 【变式题6-2】．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母得，…第一步 去括号得，…第二步 移项得，…第三步 合并同类项得，…第四步 系数化为1得，…第五步 (1)以上求解过程中，第_____步出现错误，错误原因是________________； (2)写出该方程正确的解答过程． 【变式题6-3】．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）圆圆解方程的过程如下． 解：去分母，得，……① 去括号，得．……② 移项，得．……③ 合并同类项，得．……④ 系数化为1，得．……⑤ (1)请指出她解答过程中所有错误步骤的序号__________． (2)求出该方程正确的解． 【题型7】含绝对值的一元一次方程(提升) 1.核心知识点总结 绝对值性质：等价于或。 核心思路：去掉绝对值符号，转化为普通一元一次方程。 2.高频考点梳理 单一绝对值方程(如)。 双重绝对值方程(如)。 3.易错点警示 忽略绝对值的非负性(如误求解)。 去掉绝对值符号后未分情况讨论。 4.解题技巧拆解 步骤：确定绝对值内表达式的零点→分区间讨论去掉绝对值→解每个区间的方程→检验解是否在对应区间内。 关键：检验步骤不可少，避免增根。 【例题7】．（25-26六年级上·上海·期中）解方程： (1)． (2) 【变式题7-1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）【阅读理解】在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和2两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得，符合； ②当时，原方程可化为，解得，符合． 故原方程的解为或． 【尝试应用】运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：． 【变式题7-2】．（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 【变式题7-3】．（24-25六年级下·山东东营·阶段练习）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，它的解是．当时，原方程可化，它的解是． 原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是___________． (2)解方程：． (3)解方程：． 【题型8】整体思想解一元一次方程(培优) 1.核心知识点总结 整体思想：将方程中重复出现的式子(如)视为一个整体，简化运算。 适用场景：方程中某一表达式多次出现，直接展开复杂。 2.高频考点梳理 直接整体代换(如)。 变形后整体代换(如将方程整理为含的整体形式)。 3.易错点警示 整体代换时符号错误(如转化为时漏变号)。 代换后忘记还原求原未知数的值。 4.解题技巧拆解 第一步：观察方程，确定重复出现的“整体”(设为)。 第二步：将方程转化为关于的一元一次方程，求解。 第三步：将代回整体表达式，求原未知数的值。 【例题8】．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）在解一元一次方程时，有时根据方程的表面特点，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果． 例如：在解方程时，把看作一个整体． 令，原方程变为， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【变式题8-1】．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： 解方程：． 【变式题8-2】．（24-25七年级上·河北保定·期末）阅读理解：我们知道，．类似的，我们可以把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，运用“整体思想”解方程：． (2)已知，则 ． (3)已知，，，则 ． 【变式题8-3】．（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，完成任务． 用特殊方法解一元一次方程的研究报告 研究对象：方程的特殊解法． 研究思路：拆项→换元→整体代入 研究内容：①除了采用直接去分母的方法解该方程之外，我们也可以将方程转化为 即； ②这时我们可设，方程可化为， 解得； ③，，解得____▲______． 任务： (1)材料中“▲”处是_____． (2)利用材料中的方法解方程：． 【题型9】新定义型一元一次方程(培优) 1.核心知识点总结 新定义规则：题目给出自定义运算(如“美好方程”“差解方程”)，需先理解规则。 解题核心：将新定义转化为常规一元一次方程求解。 2.高频考点梳理 定义新运算方程(如，求的解)。 定义特殊方程关系(如“解之和为1的方程为美好方程”)。 3.易错点警示 误解新定义的运算顺序或符号规则。 转化为常规方程时出错。 4.解题技巧拆解 步骤：精读新定义→翻译为数学表达式→列常规方程→求解→检验是否符合定义。 关键：先通过示例理解新定义，再应用到题目中。 【例题9】．（25-26七年级上·全国·期中）定义一种新运算：，若，则的值为 ． 【变式题9-1】．（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．若关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数，都使得它们不是“2差解方程”，则的值是 ． 【变式题9-2】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料，学以致用 一般情况下，不成立，但有些数可以使它成立，如，时，成立．我们称使得成立的一对数如m，n为“全面数对”，记作． (1)以下数对中“全面数对”是_____．（填选项） A．    B．    C． (2)若是“全面数对”，求的值． (3)是“全面数对”，求代数式的值． 【变式题9-3】．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）若点A、B在数轴上分别表示有理数x，y，则A、B两点间距离可表示为．给出如下定义：对于有理数x，y，m，n，若，则称x和y关于m的“博雅关联数”为n，例如：，则3和5关于2的“博雅关联数”为． (1)和2关于3的“博雅关联数”为______； (2)若x和4关于3的“博雅关联数”为6，求x的值； (3)若1和5关于x的“博雅关联数”为12，求x的值． 【题型10】一元一次方程的整数解问题(培优) 1.核心知识点总结 整数解条件：方程的解为整数(、为含参数的整式)。 核心逻辑：根据整数的整除性求参数的取值。 2.高频考点梳理 含参数方程的整数解(如有正整数解，求正整数)。 限定解的范围(如非正整数、负整数)求参数。 3.易错点警示 忽略参数的整数限制条件。 未考虑分母不能为0的情况。 4.解题技巧拆解 步骤：解含参数的方程，化为(、含参数)→分析能被整除的条件→列出参数的可能值→验证。 工具：利用整数的因数分解(如为整数，则是3的因数)。 【例题10】．（24-25七年级下·四川乐山·期末）若关于的方程的解为整数，则整数的取值个数为 个． 【变式题10-1】．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）已知关于的方程的解是整数，则满足条件的所有整数的绝对值的和为 ． 【变式题10-2】．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知关于的一元一次方程解为正整数，则所有满足条件的的整数有（   ）个． A．3 B．4 C．6 D．8 【变式题10-3】．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【题型11】循环小数化分数(方程应用)(培优) 1.核心知识点总结 转化原理：利用方程消除循环部分，设循环小数为，乘10的次方(为循环节位数)，两式相减消去循环项。 关键步骤：设→乘10ⁿ→相减→解→化简分数。 2.高频考点梳理 纯循环小数化分数(如、)(2024江苏南京期末、天津红桥区期末真题)。 混循环小数化分数(如)。 3.易错点警示 乘10的次方数错误：如(循环节2位)误乘10(正确乘100)。 相减时符号错误：如减，误算为(正确)，但计算过程中符号出错。 4.解题技巧拆解 纯循环小数口诀：“循环节有几位，分母就有几个9，分子为循环节”(如)。 步骤规范化：①设循环小数；②乘10ⁿ(=循环节位数)；③两式相减消循环；④解并化简。 【例题11】．（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式 由于，设① 则② ②－①得，解得，于是得． 同理可得， 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】 （1）______，______；（注：） （2）将化为分数形式，写出推导过程； 【能力提升】 （3）______；（注： ） 【变式题11-1】．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫作无限循环小数，简称循环小数．例如：的循环节是“”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如：，的循环节分别是“”，“”，它们可以分别写作，，像这样的循环小数称为混循环小数． (1)任何一个分数都可以化成有限小数或无限循环小数．请将下列分数化成小数： ； ． (2)无限循环小数化成分数，有两种方法． ①方法一：如果小数是纯循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个组成，的个数为一个循环节的数字的个数．例如：；请将纯循环小数化为分数：_______． 如果小数是混循环小数，可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．请将混循环小数化为分数：_______． ②方法二：应用一元一次方程来解．例如：将循环小数化成分数． 解：设，则．所以，即，解得．所以． 请你仿照上述方法将化成分数． 【变式题11-2】．（24-25七年级下·山东德州·开学考试）阅读材料：我们已经学会了把有限小数化成分数，现在让我们来探究如何将化为分数： 解：设 那么（利用倍数关系构造了另一个有同样循环节的数） 所以，解得 所以，这样我们就将无限循环小数化为了分数． (1)试着用上述方法将无限循环小数，分别化为分数； (2)将无限循环小数化为分数． 【变式题11-3】．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【阅读材料】如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数．例如，，写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如，、，它们可分别写作， ，像这样的循环小数称为混循环小数． 【问题探究】 小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如， 化为分数，解决方法是：设，即，将方程两边都，得，即，又因为，所以，所以，即，所以． 尝试解决下列各题： （1）请利用小明的方法，把纯循环小数化成分数． 【问题归纳】 循环小数中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节，例如、的循环节分别为“3”、“456”．研究发现，把纯循环小数化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个9组成，9的个数与一个循环节的数字的个数相同．例如： ， ． （2）请直接写出以下纯循环小数化为分数的结果： ， ． 【问题拓展】 小丽在对混循环小数研究时发现，所有混循环小数都可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．例如： ． （3）请把混循环小数化为分数． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·天津·期中）若，且，则的值为（    ） A．3 B． C．3或 D． 2．（25-26七年级上·江西南昌·期中）单项式与为同类项，则的值为（ ） A． B． C．0 D．1 3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）对有理数规定新运算“※”的意义是：，则方程的解是（   ） A． B．3 C． D． 5．（25-26八年级上·广东肇庆·阶段练习）若方程，则x的值是（   ） A．1 B． C． D．0 二、填空题 6．（23-24九年级下·上海·月考）方程的解为 7．（25-26六年级上·上海·期中）如果关于x的一元一次方程的解是，那么t的值是 ． 8．（25-26六年级上·上海青浦·期中）若的相反数是，则 ． 9．（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图是一组数值转换机，若输出结果为时，则输入的x的值为 ． 10．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，则m的值是 ． 三、解答题 11．（25-26七年级上·北京·期中）解下列方程： (1)； (2) (3) 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知是方程的解，求的值． 13．（2025七年级上·北京·专题练习）已知，求x的值． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）解方程：． 解：移项，得__________________________． 合并同类项，得_____________=_____________． 两边都除以_____________，得_____________． （2）解方程：． 解：移项，得__________________________． 合并同类项，得_____________=_____________． 两边都除以_____________，得_____________． 15．（25-26七年级上·陕西西安·月考）已知与互为相反数． (1)则______，______； (2)若，求x的值． 16．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）某同学在解关于的方程时，在移项过程中将移项没有改变符号，得到的方程的解为，求的值及原方程的解． 17．（24-25七年级上·山西大同·期末）下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 任务一：（1）解答过程中，第______步开始出现了错误，产生错误的原因是______； （2）第三步变形的依据是______； 任务二：（1）该一元一次方程正确的解是______； （2）请写出两条解一元一次方程时应注意的事项． 任务三：小敏改正错误后，挑选了同类题型进行了巩固，请你和她一起解所选的方程：． 18．（25-26七年级上·重庆·期中）小刚同学学习了有理数后，对运算充满了探索欲，于是定义了一种新运算“⊕”，规则如下：对于两个有理数m、n，． (1)计算：，； (2)已知，且，请直接写出所有满足条件的x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $