专题2.2.1有理数的乘法（知识点总结+12大题型举一反三）易错重难点培优同步讲义+专练2025-2026学年 人教版(2024）七年级数学上册

2.2.1有理数的乘法 【题型1】两个有理数相乘 1. 知识点 - 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； - 特殊情况：任何数与0相乘，都得0；任何数与1相乘得它本身，与-1相乘得它的相反数； - 计算前的转化：小数需化为分数，带分数需化为假分数，再按法则计算。 2. 考点 - 直接应用法则计算两个整数（正、负）的乘积； - 计算两个分数（正、负）的乘积； - 计算小数与整数/分数的乘积（需先转化形式）。 3. 易错点 - 符号判断错误：混淆“同号得正、异号得负”，如误将(-3)×(-4)算成-12； - 未转化数的形式：直接计算带分数（如2×(-3)）或小数（如0.25×(-)），导致计算失误； - 忽略与0相乘的特殊性：误将“0×任何数”算成原数，如0×(-5)误算为-5。 4. 解题技巧 - 步骤分两步：先定符号，再算绝对值；符号由两数正负决定（同号正、异号负），绝对值按小学乘法计算； - 遇到小数/带分数时，先统一化为分数（假分数），再约分计算，减少误差； - 验证：计算后可通过“逆运算（除法）”检验，如(-6)×2=-12，可通过-12÷2=-6验证正确性。 【例题1】．（2024-2025•吴川市校级期末）计算（﹣2024）×（﹣1）的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C．2024 D．﹣2024 【变式题1-1】．（2024-2025•天津校级模拟）下列计算不正确的是（　　） A．﹣1.5×（﹣3）＝4.5 B．（﹣1.2）×（﹣7）＝﹣8.4 C．﹣8×（﹣1.3）＝10.4 D．0×（﹣1.6）＝0 【变式题1-2】．（2024-2025•丰宁县期末）若（﹣2）×□＝6，则□内的数字是（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 【变式题1-3】．（2024-2025•朝阳区校级三模）对于两个有理数a、b，如果ab＜0，那么下列结论正确的是（　　） A．a+b＞0 B．a+b＝0 C．a+b＜0 D．无法确定a+b的正负 【题型2】多个有理数相乘 1. 知识点 - 多个有理数相乘法则：先看是否有0因数，若有则积为0；若无0因数，积的符号由负因数的个数决定（负因数个数为奇数时积为负，偶数时积为正），再将所有因数的绝对值相乘； - 运算顺序：从左到右依次计算，或利用运算律简化（后续题型展开）。 2. 考点 - 计算不含0的多个有理数乘积（如(-2)×3×(-4)）； - 计算含0的多个有理数乘积（如(-1)×0×5×(-3)）； - 已知多个有理数乘积的符号，判断负因数的个数范围（如积为正，负因数个数为偶数）。 3. 易错点 - 漏看0因数：如计算(-2)×(-3)×0×4时，仍按负因数个数定符号，误算为24； - 负因数个数计数错误：如(-1)×(-2)×(-3)×(-4)中，误将负因数个数算成3（实际为4），导致符号错误； - 绝对值计算失误：多个分数/小数相乘时，未约分直接硬算，如×(-)×(-)未约分误算为。 4. 解题技巧 - 第一步：先排查因数中是否有0，若有则直接得积为0，无需后续计算； - 第二步：无0时，先数负因数个数定符号（奇负偶正），再将所有因数的绝对值相乘（分数可先约分，小数化分数）； - 分组简化：将易约分的因数分组（如与2、与3），减少计算量。 【例题2】．（2024-2025•南昌模拟）计算：2024×（﹣2025）×0＝　 　 ． 【变式题2-1】．（2024-2025•龙马潭区期中）计算：（﹣25）×9×（﹣4）×（﹣8）． 【变式题2-2】．（2024-2025•东阿县校级月考）混合运算： （1）314×（﹣8）×（﹣125）； （2）． 【变式题2-3】．（2024-2025•大理市校级月考）计算： （1）； （2）； （3）﹣2×4×（﹣1）×（﹣3）； （4）（﹣2）×5×（﹣5）×（﹣2）×（﹣7）． 【题型3】倒数的识别与求解 1. 知识点 - 倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，即若a×b=1（a≠0），则a与b互为倒数； - 特殊性质：0没有倒数；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；倒数等于它本身的数是1和-1； - 倒数的求法：整数的倒数为“1除以该整数”（如5的倒数是）；分数的倒数为“分子分母交换位置”（如-的倒数是-）；带分数/小数需先化为假分数/分数，再求倒数。 2. 考点 - 判断两个数是否互为倒数（如判断-与-2是否互为倒数）； - 求整数、分数、带分数、小数的倒数（如求3 、0.6的倒数）； - 利用倒数的性质解题（如已知a的倒数是，求a的值）。 3. 易错点 - 混淆倒数与相反数：误将“只有符号不同的数”当作倒数，如认为-3的倒数是3； - 忽略0无倒数：误说“0的倒数是0”或“0的倒数不存在但可写为”； - 带分数/小数未转化直接求倒数：如求3的倒数时，误写为（未先化为）；求0.5的倒数时，误写为2.0（虽结果对，但逻辑错误，应先化为）。 4. 解题技巧 - 验证倒数：若判断a与b是否互为倒数，只需计算a×b是否等于1，等于则是，否则不是； - 求倒数的通用步骤：先统一形式（带分数→假分数，小数→分数），再交换分子分母（符号不变）； - 记忆特殊倒数：1的倒数是1，-1的倒数是-1，可直接应用。 【例题3】．（2024-2025•宜章县校级开学）0.3的倒数是　 　 ；0.45的倒数是　 　 ． 【变式题3-1】．（2024-2025•望奎县期末）在，，1和56中，倒数比它本身小的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题3-2】．（2024-2025•江西校级模拟）下列各组数中，互为倒数的是（　　） A．2和 B．3和﹣2 C．1和﹣1 D．﹣2和0.2 【变式题3-3】．（2024-2025•隆回县校级模拟）已知ab＝1，若a＝5，则b的值为（　　） A．5 B．﹣5 C． D． 【题型4】利用乘法交换律、结合律简化计算 1. 知识点 - 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即a×b = b×a； - 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变，即(a×b)×c = a×(b×c)； - 应用目的：将易计算的数（如能凑整、能约分的数）结合在一起，简化运算（如25与4、125与8、与3）。 2. 考点 - 利用交换律交换因数位置简化计算（如(-5)××(-)）； - 利用结合律分组简化计算（如(-0.125)×(-8)×7）； - 综合应用交换律和结合律（如25×(-)×(-4)×(-3)）。 3. 易错点 - 交换因数时忽略符号：如将(-2)×3×(-4)交换为(-2)×(-4)×3时，误将3的符号丢掉，写成(-2)×4×3； - 分组后符号计算错误：如计算(-2)×(-3)×(-4)时，误将后两个结合为(-2)×[(-3)×(-4)]=(-2)×12=-24（正确），但有时会误算为[(-2)×(-3)]×(-4)=6×(-4)=-24（虽结果对，但需注意符号统一）； - 盲目分组：未找“凑整/约分”的数，如计算××时，未按顺序约分，反而强行分组，增加计算量。 4. 解题技巧 - 观察因数特征：优先找能凑整的数（如25与4、125与8、0.25与4）、能约分的数（如与a），将它们分组； - 分组原则：带符号分组，即交换因数位置时，因数的符号随因数一起移动（如(-5)××(-)=[(-5)×(-)]×）； - 步骤：先利用交换律调整因数顺序，再用结合律分组计算，最后求总积。 【例题4】．（2024-2025•河口区校级期中）这是为了运算简便而使用（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法结合律和交换律 【变式题4-1】．（2024-2025•禹州市校级月考）用简便方法计算（﹣6）×（）×（﹣0.5）×（﹣4）的结果是（　　） A．6 B．3 C．2 D．1 【变式题4-2】．（2024-2025•牟平区期中）用简便方法计算： （1）； （2）． 【变式题4-3】．如图，运算中的（_____）处，填写的理由是（　　） （﹣12）×（﹣37） ＝3712（乘法交换律） ＝（37）×（12）（_____） ＝2×10 ＝20． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．加法结合律 【题型5】利用乘法分配律简化计算（提升） 1. 知识点 - 乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，即a×(b + c) = a×b + a×c； - 扩展：可推广到多个数的和/差，即a×(b + c - d) = a×b + a×c - a×d； - 核心：将“括号外的数”分别与“括号内的每一项”相乘，再进行加减运算。 2. 考点 - 正用分配律计算（括号外是整数/分数/小数，括号内是和/差），如(-12)×( - )； - 分配律与符号的结合，如(-6)×(- +)； - 含带分数/小数的分配律计算，如3.6×( - )。 3. 易错点 - 漏乘括号内的项：如计算(-4)×(2 -)时，误算为(-4)×2 = -8（漏乘-）； - 符号处理错误：括号内有负数时，未带符号相乘，如(-3)×(1 -)误算为(-3)×1 - = -3 - = -（正确应为(-3)×1 + (-3)×(-) = -3 + 1 = -2）； - 小数/带分数未转化：如0.5×(2 -)未将0.5化为、2化为，导致计算失误。 4. 解题技巧 - 步骤：“一拆二乘三加减”，即先拆括号（将括号外的数与括号内每一项分别相乘），再计算每一项的乘积（注意符号），最后将所有乘积相加/减； - 符号口诀：“括号外正，括号内各项符号不变；括号外负，括号内各项符号反转”（如(-a)×(b - c) = -a×b + a×c）； - 优先转化形式：括号外/内有小数/带分数时，先化为分数（假分数），再应用分配律，方便约分。 【例题5】．（2024-2025•昭平县期中）运用分配律计算（﹣3）×（﹣8+2﹣3），有下列四种不同的结果，其中正确的是（　　） A．﹣3×8﹣3×2﹣3×3 B．﹣3×（﹣8）﹣3×2﹣3×3 C．（﹣3）×（﹣8）+3×2﹣3×3 D．（﹣3）×（﹣8）﹣3×2+3×3 【变式题5-1】．（2024-2025•武夷山市期中）计算，运用哪种运算律可避免通分（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【变式题5-2】．（2024-2025•邯郸二模）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（　　） A．24×（﹣100） B．24×（﹣100） C．24×（﹣99） D．24×（﹣99） 【变式题5-3】．（2024-2025•庐江县校级月考）用简便方法计算： ①； ②． 【题型6】乘法分配律的逆用（提升） 1. 知识点 - 乘法分配律逆用公式：a×b + a×c = a×(b + c)，a×b - a×c = a×(b - c)； - 核心特征：式子中存在相同的因数（公因式），将公因式提取出来，剩余部分用括号括起来，简化运算； - 扩展：公因式可为正数、负数、整数、分数（如-3×2 + (-3)×5 = -3×(2 + 5)，×3 - ×7 =×(3 - 7)）。 2. 考点 - 直接提取公因式逆用分配律，如5×(-3) + 5×(-7)； - 提取负公因式，如(-2)×4 - (-2)×6； - 公因式为分数/小数的逆用，如× +×，0.4×(-3) + 0.4×(-8)。 3. 易错点 - 未识别公因式：如式子3×(-2) + (-3)×5中，误将“3”和“-3”当作不同因数，未发现-3 = 3×(-1)，无法提取公因式3； - 提取公因式后符号错误：如-4×2 + (-4)×3提取公因式-4时，误写为-4×(2 - 3)（正确应为-4×(2 + 3)）； - 漏写剩余项中的“1”：如× -提取公因式时，误写为×()（正确应为×( - 1)）。 4. 解题技巧 - 第一步：找公因式：观察式子中所有项是否有相同的因数（包括符号，如3和-3可统一为公因式3或-3）； - 第二步：提取公因式：将公因式写在括号外，剩余部分 = 每一项 ÷ 公因式，写在括号内（注意：剩余部分的符号由“项 ÷ 公因式”决定）； - 验证：提取后可通过“正用分配律”检验，如×( - 1) = × - ×1，与原式一致则正确。 【例题6】．（2024-2025•邵武市校级月考）算式﹣25×14+18×14﹣39×（﹣14）＝（﹣25+18+39）×14是逆用了（　　） A．加法交换律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法分配律 【变式题6-1】．有时灵活运用分配律可以简化有理数运算，使计算又快又准，例如逆用分配律ab+ac＝a（b+c），可使运算大大简便，试逆用分配律计算下列各题： （1）（﹣56）×（﹣32）+51×（﹣32）； （2）1（）×2（）． 【变式题6-2】．（2024-2025•青秀区期中）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是a（b+c）＝ab+ac，反过来ab+ac＝a（b+c）．这就是说，当ab+ac中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到ab+ac＝a（b+c），进而可使运算简便．例如：计算17，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得40＝﹣25，这样计算就简便得多． 计算： （1）﹣29×588+28×588； （2）﹣2023． 【变式题6-3】．（2024-2025•红谷滩区校级期中）用简便方法计算： （1）（﹣9）×31（﹣8）×（﹣31）﹣（﹣16）×31； （2）99（﹣36）． 【题型7】绝对值与有理数乘法的综合计算（提升） 1. 知识点 - 绝对值的性质：若|a|=m（m≥0），则a=±m；|a|≥0（非负性）； - 综合逻辑：先根据绝对值求出字母的可能值，再结合“有理数乘法法则”计算乘积，最后确定符合条件的结果； - 常见场景：已知|a|、|b|的值，且ab>0（或ab<0），求a×b或a+b的值。 2. 考点 - 已知|a|=m，|b|=n，且ab>0（同号），求a×b； - 已知|x|=3，|y|=5，且xy<0（异号），求x×y； - 含多个字母的绝对值与乘法综合，如|a|=2，|b|=4，|c|=1，且abc<0，求a×b×c。 3. 易错点 - 漏考虑字母的多值性：如已知|a|=2，|b|=3，误直接取a=2、b=3计算ab，忽略a=-2、b=-3或a=2、b=-3等情况； - 未结合乘法符号条件筛选：如已知|a|=5，|b|=2，且ab<0，误将a=5、b=2的情况纳入计算，导致结果错误； - 绝对值非负性理解错误：如误认为|a|=-a时a为负数，忽略a=0的情况（|0|=-0=0）。 4. 解题技巧 - 步骤：“一解绝对值，二定符号，三算乘积”； 1. 解绝对值：根据|a|=m求出a的所有可能值（a=±m）； 2. 定符号：根据乘法符号条件（如ab>0→同号，ab<0→异号）筛选出符合条件的字母组合； 3. 算乘积：将符合条件的字母值代入，计算乘积； - 举例：已知|a|=3，|b|=4，ab<0，步骤为：①a=±3，b=±4；②ab<0→(a=3,b=-4)或(a=-3,b=4)；③ab=3×(-4)=-12或(-3)×4=-12，最终ab=-12。 【例题7】．（2024-2025•望奎县校级开学）根据题意计算求值：若|a|＝3，b＝5，且ab＞0，求a+b的值． 【变式题7-1】．（2024-2025•雅安期末）已知a，b，c为有理数，且a+b﹣c＝0，abc＜0，则的值为 　 　 ． 【变式题7-2】．（2024-2025•法库县期中）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＞0，则（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【变式题7-3】．（2024-2025•管城区校级月考）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道|x|，所以当x＞0时，1； 当x＜0时，1．现在我们可以用这个结论来解决下面问题： （1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，　 　 ； （2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，　 　 ． 【题型8】含字母的有理数乘法符号判断（提升） 1. 知识点 - 字母乘法的符号判断依据：多个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定（奇负偶正）； - 字母取值的隐含条件：根据“ab>0”“abc<0”等条件，推断字母的正负组合（如ab>0→a、b同号；abc<0→负因数个数为1或3）； - 结合数轴：若字母在数轴上的位置已知（如a在原点左侧，b在原点右侧），可直接判断字母正负，再确定乘积符号。 2. 考点 - 已知ab>0，判断a、b的正负关系； - 已知abc<0，且a>0，b<0，判断c的正负； - 已知数轴上a<0<b<c，判断(a-b)×(b-c)×(c-a)的符号。 3. 易错点 - 忽略“字母非零”前提：如已知ab>0，误认为a、b同号或a=b=0（但ab>0中a、b均不为0）； - 负因数个数计数错误：如已知abc<0，a<0，b>0，误算负因数个数为1（a<0），忽略c的正负可能使总个数为1或3（需分情况）； - 数轴上字母位置判断错误：如a在-2，b在1，误认为a-b>0（实际a-b=-3<0），导致乘积符号错误。 4. 解题技巧 - 第一步：确定字母是否为零，若乘积符号为正或负，则所有字母均不为0（如ab>0→a≠0，b≠0）；若乘积为0，则至少一个字母为0； - 第二步：根据乘积符号推断负因数个数： - 积为正→负因数个数为偶数（0、2、4…）； - 积为负→负因数个数为奇数（1、3、5…）； - 第三步：结合已知字母的正负，筛选剩余字母的正负（如abc<0，a>0，b<0→负因数个数已为1，需c>0（总个数1）或c<0（总个数3），分两种情况）； - 第四步：数轴辅助：若有数轴，先标记字母的正负（左负右正），再计算每个括号内的正负（如a<b→a-b<0），最后统计负因数个数定符号。 【例题8】．（2024-2025•桐城市月考）若a＜c＜0＜b，则abc（　　）0． A．＞ B．＜ C．＝ D．≥ 【变式题8-1】．（2024-2025•武威期中）将“a、b、c三个数中至少有一个数是零”这句话用等式表示是（　　） A．abc＝0 B．a+b+c＝0 C．a2+b2+c2＝0 D．ab＝c 【变式题8-2】．（2024-2025•滨海新区期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，有下列结论： ①b+c＞0；②abc＞0；③b﹣c＜0；④（b+c）（b﹣c）＜0，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题8-3】．（2024-2025•郑州月考）若有理数a，b，c满足abc＝10，a+b+c＝0，则a，b，c中负数的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【题型9】有理数乘法中的新定义运算（培优） 1. 知识点 - 新定义运算的本质：根据题目给出的“新符号规则”，将其转化为熟悉的有理数乘法（可能结合加减）运算； - 核心要求：严格遵循新定义的公式，不随意套用原有运算律（需先验证新运算是否满足运算律）； - 常见新定义形式：如a⊗b = (a+1)×(b-1)，a△b = -2×a×3×b等，需将符号两侧的数代入公式计算。 2. 考点 - 直接代入新定义计算：如定义a⊗b = 4×a×b，求3⊗(-4)； - 多层新定义计算：如定义a△b = (a-2)×b，求(1△2)△(-3)； - 新定义与倒数、绝对值的结合：如定义a☆b = |a|×b，且a的倒数是，求a☆(-3)。 3. 易错点 - 误解新定义规则：如定义a⊗b = a×b - a，误算为a×(b - a)，偏离题目给定的公式； - 多层运算时顺序错误：如计算(1△2)△(-3)时，先算2△(-3)，再算1△结果，违背“先算括号内”的原则； - 忽略新定义中的符号细节：如定义a○b = -a×b，误算为a×b，丢失负号导致结果错误。 4. 解题技巧 - 第一步：“翻译”新定义，将题目中的新符号（如⊗、△、☆）转化为具体的运算公式，写在草稿纸上（如a⊗b = 4ab）； - 第二步：代入数值，将新符号两侧的数（或括号内的结果）代入公式中的对应位置（如3⊗(-4)中，a=3，b=-4，代入得4×3×(-4)）； - 第三步：按有理数乘法法则计算，若公式中含加减，先算乘法再算加减； - 验证：多层运算时，先算内层括号，再算外层，可分步计算（如(1△2)△(-3)，先算1△2=结果A，再算A△(-3)）。 【例题9】．（2024-2025•射阳县期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24． （1）求3*（﹣4）的值； （2）求（﹣2）*（6*3）的值． 【变式题9-1】．（2024-2025•宝山区校级期末）定义：a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如的差倒数，已知，y是x的差倒数，求y的值． 【变式题9-2】．（2024-2025•昌平区期中）观察下列两个等式：，，给出定义如下：若对于数对（a，b），使等式a+b＝ab+4成立，则称数对（a，b）是“4相关数对”，如：2+（﹣2）＝2×（﹣2）+4，所以数对（2，﹣2）是“4相关数对”． （1）数对（4，0），（1，1）中是“4相关数对”的是 　 　 ； （2）一名同学，在数对（m，n）和（﹣m，﹣n）都是“4相关数对”的条件下，得到下面两条结论： 结论一：m和n互为相反数； 结论二：m和n互为倒数． 请你判断，两条结论是否正确，并说明理由． 【变式题9-3】．（2024-2025•滦州市一模）观察下列两个等式：221，551，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，）都是“共生有理数对”． （1）通过计算判断数对（1，2）是不是“共生有理数对”； （2）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值； （3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m）　 　 “共生有理数对”（填“是”或“不是”）； （4）如果（m，n）是“共生有理数对”（其中n≠1），直接用含n的式子表示m． 【题型10】有理数乘法中的规律探究题（培优） 1. 知识点 - 规律探究的核心：观察数列或算式中“因数的符号、绝对值”的变化规律，归纳出通用公式，再应用公式计算（如n项乘积的规律）； - 常见规律类型： 1. 符号规律：负因数个数随项数变化（如第n项为(-1)ⁿ，奇数项为负，偶数项为正）； 2. 绝对值规律：因数的绝对值为连续整数、分数或倍数关系（如，，…，）； - 结合有理数乘法法则：根据符号规律确定总积的符号，根据绝对值规律确定总积的绝对值。 2. 考点 - 数列乘积规律：如计算(-1)×(-2)×(-3)×…×(-10)的结果，探究n个负整数相乘的规律； - 分数乘积规律：如计算(-)××(-)××…×(-)的规律； - 图形/表格中的乘法规律：如表格中每行每列的数满足乘法关系，探究第n行第n列的数。 3. 易错点 - 符号规律归纳错误：如将“第n项为(-1)ⁿ⁺¹”误归纳为(-1)ⁿ，导致奇数项与偶数项符号颠倒； - 绝对值规律漏项/多项：如计算1×(-)××(-)×…×(-)时，误将最后一项的分母算成9，导致绝对值错误； - 规律应用时范围错误：如归纳的规律适用于n≥1，误用于n=0（如0项乘积无意义）。 4. 解题技巧 - 第一步：列举前3-5项，写出每一项的“符号+绝对值”，观察变化（如第1项：-1（符号-，绝对值1），第2项：+2（符号+，绝对值2），第3项：-3（符号-，绝对值3））； - 第二步：归纳规律，分符号和绝对值两部分： - 符号规律：用(-1)ⁿ或(-1)ⁿ⁺¹表示（n为项数，奇数项负则为(-1)ⁿ，正则为(-1)ⁿ⁺¹）； - 绝对值规律：用含n的式子表示（如连续整数则为n，分数则为）； - 第三步：验证规律，用第4-5项检验归纳的公式是否正确（如公式为(-1)ⁿ×n，第4项应为(-1)⁴×4=4，符合则正确）； - 第四步：应用规律计算，根据总项数n，用规律公式计算总积（如n=10，符号为(-1)¹⁰=+，绝对值为1×2×…×10=3628800，总积为3628800）。 【例题10】．（2024-2025•大化县月考）找规律填空：1×1＝1，11×11＝121，111×111＝12321，1111×1111＝1234321，111111111×111111111＝　 　 ． 【变式题10-1】．观察下面的一组等式： （﹣1）（﹣1）；（﹣2）（﹣2）；（﹣3）（﹣3）；……． 按此规律，再写出一个符合这个规律的等式：　 　 ． 【变式题10-2】．已知3，10，15，…观察以上规律计算　 　 ，45，则a＝　 　 ． 【变式题10-3】．（2024-2025•思明区校级期中）已知一些两位数相乘的算式： 62×11，78×69，34×11，63×67，18×22，15×55，12×34，54×11． 利用这些算式探究两位数乘法中可以简化运算的特殊情形： （1）观察已知算式，选出具有共同特征的3个算式，并用文字描述它们的共同特征； （2）分别计算你选出的算式．观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律（计算结果与两位数因数之间的关系）； （3）请用整式乘法的知识证明你发现的规律； （4）在已知算式中，找出所有可以应用（或经过转化可以应用）上述规律的算式，并将它们写在横线上：　 　 ． 【题型11】有理数乘法有关的材料阅读题（培优） 【例题11】．（2024-2025•前郭县期中）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． （1）根据倒数的定义我们知道，若（a+b）÷c＝﹣2，则c÷（a+b）＝　 　 ． （2）计算． （3）根据以上信息可知：　 　 ． 【变式题11-1】．（2024-2025•南充期末）某数学兴趣小组在综合与实践课上对“铺地锦”法计算乘法进行了探究，请根据以下素材，探究完成任务． 素材 我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种计算两位数乘法的方法，被称为“铺地锦”．例：计算36×41，如图，首先把乘数36和41分别写在方格的上面和右面，然后以36的每位数字分别乘以41的每位数字，将结果计入对应的格子中，如3×4＝12中的12写在3下面的方格里，十位上的1写在斜线的上面，个位上的2写在斜线的下面；如果结果只有个位数，比如6×176＝6，在斜线上面的十位上就写0，个位6写在斜线的下面；再把同一斜线上的数相加（和大于10时则向上一级进位即可），结果写在斜线左下端对应的方格旁，最后把得数依次写下来是1476，即36×41＝1476． 任务 （1）用“铺地锦”的方法计算：72×26. （2）如图，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，求x的值． 【变式题11-2】．（2024-2025•玄武区期末）现有一种计算13×12的方法，具体算法如下： 第一步：用被乘数13加上乘数12的个位数字2，即13+2＝15． 第二步：把第一步得到的结果乘以10，即15×10＝150． 第三步：用被乘数13的个位数字3乘以乘数12的个位数字2，即3×2＝6． 第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即150+6＝156． 于是得到13×12＝156． （1）请模仿上述算法计算14×17 并填空． 第一步：用被乘数14加上乘数17的个位数字7，即 　 　 ． 第二步：把第一步得到的结果乘以10，即 　 　 ． 第三步：用被乘数14的个位数字4乘以乘数17的个位数字7，即 　 　 ． 第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即 　 　 ． 于是得到14×17＝238． （2）一般地，对于两个十位上的数字都为1，个位上的数字分别为a，b （0≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数）的两位数相乘都可以按上述算法进行计算．请你通过计算说明上述算法的合理性． 【变式题11-3】．（2024-2025•鲤城区校级月考）阅读下列素材： 如何设计“非对称加密算法” 素材1 “非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密． 素材2 3×1001＝3003；13×1001＝13013；213×1001＝213213；…… 素材3 项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对1000以内的三位正整数进行加密解密，方法如下：记（公钥，私钥）为（a，b）（其中a，b均为两位正整数），则 例，当明文为123，（a，b）取（13，77）时，加密解密过程如图： 结合上述素材，完成以下问题： 【模型理解】 （1）设是一个三位数，是一个六位数，则，请说明理由． （2）设是一个三位数，是一个四位数，则被1000除的余数为请说明理由． 【初步应用】 （3）若公钥a为69，设计匹配的私钥b． 【解决问题】 （4）请再设计一对匹配的钥匙：（ 　 　 ，　 　 ）． 【题型12】有理数乘法的综合压轴题（培优） 1. 知识点 - 多概念融合：整合“相反数（a+b=0）、倒数（ab=1）、绝对值（|a|=m）、有理数乘法法则”四大概念； - 逻辑链条：先根据相反数、倒数的性质求出字母的固定值（如a+b=0→b=-a；ab=1→b=），再结合绝对值或乘法条件求出剩余字母的值，最后计算目标表达式（如a×b×c）。 2. 考点 - 基础综合：如已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，求(a+b)×c×d； - 进阶综合：如已知a、b互为相反数（a≠0），c、d互为倒数，|m|=2，求m×c×d + ×m； - 复杂综合：如已知a+b=0，cd=1，|x|=3，且x×(a+c+d)×b < 0，求x×(c+d)。 3. 易错点 - 混淆相反数与倒数的性质：如误将“a、b互为相反数”当作“ab=1”，或“c、d互为倒数”当作“c+d=0”； - 忽略“a≠0”的限制：如a、b互为相反数且a≠0时，=-1，若忽略a≠0，误认为无意义； - 未结合所有条件筛选值：如已知|x|=3，且x×(a+c+d)×b < 0，误直接取x=3和x=-3，未根据a+b=0（a×b=-a²<0）简化条件（x×(负数)×(c+d) < 0→x×(c+d) > 0）。 4. 解题技巧 - 第一步：“固定已知概念的值”，将相反数（a+b=0，b=-a，=-1（a≠0））、倒数（cd=1）的固定关系写出，减少变量； - 第二步：处理绝对值，根据|m|=m₀求出m的可能值（m=±m₀）； - 第三步：结合乘法条件筛选，将固定关系代入乘法不等式（如x×(a+c+d)×b < 0），简化后筛选出符合条件的变量值； - 第四步：计算目标表达式，将所有已知值代入，按有理数乘法法则计算（注意符号和顺序）。 【例题12】．（2024-2025•商城县期末）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． （1）当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为　 　 ，　 　 ； （2）你认为当输入数等于　 　 时（写出一个即可），其输出结果为0； （3）你认为这个“数值转换机”不可能输出　 　 数； （4）有一次，小明操作的时候，输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是　 　 （用含自然数n的代数式表示）． 【变式题12-1】．（2024-2025•南安市校级月考）天气渐渐热了，又到了饮料的销售旺季，济南 A、B、C三个超市都进了一批相同的饮料，同一规格的饮料定价相同．大瓶10元，小瓶2.5元．为了抢占市场，分别推出不同的优惠措施：A超市买大瓶送小瓶；B超市一律打九折；C超市购买满30元就能全部打八折．下表是四位顾客的购买情况，请你帮助这些顾客计算去哪家超市购买花钱最少，并把结果填入下面的表格中． 顾客 甲 乙 丙 丁 购买情况 10小瓶 5大瓶 4大6小 1大2小 选择商场 所花钱数（元） 【变式题12-2】．（2024-2025•沈阳期中）对于由若干不相等的整数组成的数组P和有理数k．给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段AB，使得将数组P中的每一个数乘以k之后，计算的结果都能够用线段AB上的某个点来表示，就称k为数组P的收纳系数． 例如，对于数组P＝1，2，3，因为，，，取A为原点，B为表示数1的点． 那么这三个数都可以用线段AB上的某个点来表示，可以判断是P的收纳系数． 又例如，对于数组P：﹣2，﹣4，﹣6．因为，，， 取A为原点，B为表示数﹣1的点，那么这三个数都可以用线段AB上的某个点来表示，可以判断是P的收纳系数．已知k是数组P的收纳系数．此时线段AB的端点A，B表示的数分别为a，b（a＜b）． （1）判断　 　 （填“是”或“不是”）数组P：﹣1，﹣3，﹣5的收纳系数； （2）对数组P＝3，1，﹣1，在下列各数中：1，，，，k可能是　 　 ； （3）已知100个连续整数组成数组P，求出k的最大值和相应的|a+b|的最小值． 【变式题12-3】．（2024-2025•重庆校级期末）读一读： 式子“1×2×3×4×5×…×100”表示从1开始的100个连续自然数的积，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1×2×3×4×5×…×100”表示为n，这里“π”是求积符号．例如：1×3×5×7×9×…×99，即从1开始的100以内的连续奇数的积，可表示为（2n﹣1），又如13×23×33×43×53×63×73×83×93×103可表示为n3，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题： （1）2×4×6×8×10×…×100（即从2开始的100以内的连续偶数的积）用求积符号可表示为　 　 ； （2）1用求积符号可表示为　 　 ； （3）计算：（1）． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．﹣2024的倒数是（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 2．采摘园种植草莓秧苗．每行种植107棵，种植了25行，一共种植了多少棵草莓秧苗？在解决这个问题的竖式中．如图中箭头所指的这一步是在计算（　　） A．2行种植了多少棵秧苗 B．5行种植了多少棵秧苗 C．20行种植了多少棵秧苗 D．25行种植了多少棵秧苗 3．下列算式中，积为负数的是（　　） A．0×（﹣5） B．4×（﹣0.5）×（﹣10） C．（﹣1.5）×（﹣1.2） D．（﹣2）×（﹣1.5）×（﹣0.2） 4．下列说法正确的是（　　） A．若两个数相乘结果为正，则这两个数都是正数 B．任何有理数都有倒数 C．正数的倒数比自身小 D．0的相反数是0 5．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算82×34，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　） A．b的值为6 B．a的值小于3 C．a为奇数 D．乘积结果645 二．填空题（共5小题） 6．的倒数是　 　 ． 7．已知a和b互为倒数，那么的结果是　 　 ． 8．在4，﹣5，6，﹣7这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是 　 　 ． 9．的倒数是　 　 ，7的倒数是　 　 ，　 　 没有倒数，1的倒数是　 　 ． 10．已知|x|＝5，y＝3，且xy＜0，则x﹣y＝　 　 ． 三．解答题（共10小题） 11．计算：． 12．用简便方法计算： （1）； （2）（﹣99）×999． 13．计算： （1）； （2）； （3）﹣2×4×（﹣1）×（﹣3）； （4）（﹣2）×5×（﹣5）×（﹣2）×（﹣7）． 14．简便计算 （1）（﹣48）×0.125+48 （2）（）×（﹣36） 15．水果店运来24箱苹果，每箱12千克，水果店一共运来多少千克苹果？苹果每千克卖3元，一共能卖多少钱？ 16．已知a、b、c、d是有理数，且a+b+c+d＝0，abcd＜0，求的值． 17．已知|a|＝4，|b|＝2，且ab＜0，求a﹣b的值． 18．已知|x|＝6，y＝8． （1）若xy＞0，求x+y的值； （2）若|x+y|＝x+y，求x﹣y的值． 19．已知|a|＝5，|b|＝7． （1）若ab＜0，求|a﹣b|的值； （2）若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），求ab的值． 20．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：49（﹣5），看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式5249； 小军：原式＝（49）×（﹣5）＝49×（﹣5）（﹣5）＝﹣249； （1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ （2）上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来； （3）用你认为最合适的方法计算：19（﹣8）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1有理数的乘法 【题型1】两个有理数相乘 1. 知识点 - 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； - 特殊情况：任何数与0相乘，都得0；任何数与1相乘得它本身，与-1相乘得它的相反数； - 计算前的转化：小数需化为分数，带分数需化为假分数，再按法则计算。 2. 考点 - 直接应用法则计算两个整数（正、负）的乘积； - 计算两个分数（正、负）的乘积； - 计算小数与整数/分数的乘积（需先转化形式）。 3. 易错点 - 符号判断错误：混淆“同号得正、异号得负”，如误将(-3)×(-4)算成-12； - 未转化数的形式：直接计算带分数（如2×(-3)）或小数（如0.25×(-)），导致计算失误； - 忽略与0相乘的特殊性：误将“0×任何数”算成原数，如0×(-5)误算为-5。 4. 解题技巧 - 步骤分两步：先定符号，再算绝对值；符号由两数正负决定（同号正、异号负），绝对值按小学乘法计算； - 遇到小数/带分数时，先统一化为分数（假分数），再约分计算，减少误差； - 验证：计算后可通过“逆运算（除法）”检验，如(-6)×2=-12，可通过-12÷2=-6验证正确性。 【例题1】．（2024-2025•吴川市校级期末）计算（﹣2024）×（﹣1）的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C．2024 D．﹣2024 【答案】C 【分析】根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【解答】解：（﹣2024）×（﹣1）＝2024． 故选：C． 【点评】此题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． 【变式题1-1】．（2024-2025•天津校级模拟）下列计算不正确的是（　　） A．﹣1.5×（﹣3）＝4.5 B．（﹣1.2）×（﹣7）＝﹣8.4 C．﹣8×（﹣1.3）＝10.4 D．0×（﹣1.6）＝0 【答案】B 【分析】利用有理数的乘法法则，对各个选项中的式子进行计算，然后根据计算结果进行判断即可． 【解答】解：A．∵﹣1.5×（﹣3）＝1.5×3＝4.5，∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意； B．∵（﹣1.2）×（﹣7）＝1.2×7＝8.4，∴此选项的计算不正确，故此选项符合题意； C．∵﹣8×（﹣1.3）＝8×1.3＝10.4，∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意； D．∵0×（﹣1.6）＝0，∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟练掌握有理数的乘法法则． 【变式题1-2】．（2024-2025•丰宁县期末）若（﹣2）×□＝6，则□内的数字是（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 【答案】B 【分析】有理数的除法，根据等式（﹣2）×□＝6，通过系数化为1求解方框内的数． 【解答】解：根据等式（﹣2）×□＝6， 将等式两边同时除以﹣2，得：． 故选：B． 【点评】本题考查了等式的性质，正确记忆计算是解题关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•朝阳区校级三模）对于两个有理数a、b，如果ab＜0，那么下列结论正确的是（　　） A．a+b＞0 B．a+b＝0 C．a+b＜0 D．无法确定a+b的正负 【答案】D 【分析】根据题意，由ab＜0，可判断a，b异号，然后根据有理数的乘法运算法则，有理数的加法运算法则判断即可． 【解答】解：∵ab＜0， ∴a，b异号， 当正数的绝对值较大时，如a＝3，b＝﹣2，则a+b＝3﹣2＝1＞0，此时选项A正确； 当a，b的绝对值相等时，如a＝1，b＝﹣1，则a+b＝0，此时选项B正确； 当负数的绝对值较大时，如a＝2，b＝﹣3，则a+b＝2﹣3＝﹣1＜0，此时选项C正确； 由于题目未限定a，b的具体值，上述三种均可能出现，因此无法确定a+b的正负，故选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，掌握有理数的乘法运算法则，有理数的加法运算法则是解题的关键． 【题型2】多个有理数相乘 1. 知识点 - 多个有理数相乘法则：先看是否有0因数，若有则积为0；若无0因数，积的符号由负因数的个数决定（负因数个数为奇数时积为负，偶数时积为正），再将所有因数的绝对值相乘； - 运算顺序：从左到右依次计算，或利用运算律简化（后续题型展开）。 2. 考点 - 计算不含0的多个有理数乘积（如(-2)×3×(-4)）； - 计算含0的多个有理数乘积（如(-1)×0×5×(-3)）； - 已知多个有理数乘积的符号，判断负因数的个数范围（如积为正，负因数个数为偶数）。 3. 易错点 - 漏看0因数：如计算(-2)×(-3)×0×4时，仍按负因数个数定符号，误算为24； - 负因数个数计数错误：如(-1)×(-2)×(-3)×(-4)中，误将负因数个数算成3（实际为4），导致符号错误； - 绝对值计算失误：多个分数/小数相乘时，未约分直接硬算，如×(-)×(-)未约分误算为。 4. 解题技巧 - 第一步：先排查因数中是否有0，若有则直接得积为0，无需后续计算； - 第二步：无0时，先数负因数个数定符号（奇负偶正），再将所有因数的绝对值相乘（分数可先约分，小数化分数）； - 分组简化：将易约分的因数分组（如与2、与3），减少计算量。 【例题2】．（2024-2025•南昌模拟）计算：2024×（﹣2025）×0＝　0　 ． 【答案】0． 【分析】几个数相乘，有一个因数为0，积就为0，据此即可求得答案． 【解答】解：2024×（﹣2025）×0＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查有理数的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•龙马潭区期中）计算：（﹣25）×9×（﹣4）×（﹣8）． 【答案】﹣7200． 【分析】几个不是0的有理数相乘时，当负的乘数的个数是偶数时，积为正数；当负的乘数的个数是奇数时，积为负数．计算时先确定积的符号，再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值．据此即可解答． 【解答】解：原式＝﹣25×9×4×8 ＝﹣7200． 【点评】本题考查几个有理数相乘，正确进行计算是解题关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•东阿县校级月考）混合运算： （1）314×（﹣8）×（﹣125）； （2）． 【答案】（1）314000；（2）﹣10． 【分析】（1）先计算（﹣8）×（﹣125），进一步计算即可求解； （2）利用乘法交换律计算（﹣8）×（﹣0.125）和，进一步计算即可求解． 【解答】解：（1）原式＝314×[（﹣8）×（﹣125）] ＝314×1000 ＝314000； （2）原式 ＝1×（﹣10） ＝﹣10． 【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算是关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•大理市校级月考）计算： （1）； （2）； （3）﹣2×4×（﹣1）×（﹣3）； （4）（﹣2）×5×（﹣5）×（﹣2）×（﹣7）． 【答案】（1）﹣2；（2）﹣2；（3）﹣24；（4）700． 【分析】（1）先确定符号，将其化为假分数，再进行计算； （2）先确定符号，利用交换律和结合律计算； （3）先确定符号，再计算； （4）先确定符号，利用交换律和结合律计算． 【解答】解：（1） ＝﹣2； （2） ＝﹣2； （3）﹣2×4×（﹣1）×（﹣3） ＝﹣（2×4×1×3） ＝﹣24； （4）（﹣2）×5×（﹣5）×（﹣2）×（﹣7） ＝（2×5）×（2×5）×7 ＝700． 【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握是有理数的乘法法则是解题的关键． 【题型3】倒数的识别与求解 1. 知识点 - 倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，即若a×b=1（a≠0），则a与b互为倒数； - 特殊性质：0没有倒数；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；倒数等于它本身的数是1和-1； - 倒数的求法：整数的倒数为“1除以该整数”（如5的倒数是）；分数的倒数为“分子分母交换位置”（如-的倒数是-）；带分数/小数需先化为假分数/分数，再求倒数。 2. 考点 - 判断两个数是否互为倒数（如判断-与-2是否互为倒数）； - 求整数、分数、带分数、小数的倒数（如求3 、0.6的倒数）； - 利用倒数的性质解题（如已知a的倒数是，求a的值）。 3. 易错点 - 混淆倒数与相反数：误将“只有符号不同的数”当作倒数，如认为-3的倒数是3； - 忽略0无倒数：误说“0的倒数是0”或“0的倒数不存在但可写为”； - 带分数/小数未转化直接求倒数：如求3的倒数时，误写为（未先化为）；求0.5的倒数时，误写为2.0（虽结果对，但逻辑错误，应先化为）。 4. 解题技巧 - 验证倒数：若判断a与b是否互为倒数，只需计算a×b是否等于1，等于则是，否则不是； - 求倒数的通用步骤：先统一形式（带分数→假分数，小数→分数），再交换分子分母（符号不变）； - 记忆特殊倒数：1的倒数是1，-1的倒数是-1，可直接应用。 【例题3】．（2024-2025•宜章县校级开学）0.3的倒数是　　 ；0.45的倒数是　　 ． 【答案】，． 【分析】先将小数化为分数，再根据倒数的定义计算即可得解． 【解答】解：，， 因为的倒数是， 的倒数是， 故0.3的倒数是，0.45 的倒数是， 故答案为：，． 【点评】本题考查了求一个数的倒数，熟练掌握倒数的定义是解此题的关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•望奎县期末）在，，1和56中，倒数比它本身小的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别求出每个数的倒数，再比较即可． 【解答】解：的倒数是，； 的倒数是，； 1的倒数是1； 56的倒数是，； 所以倒数比它本身小的个数有2个， 故选：B． 【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•江西校级模拟）下列各组数中，互为倒数的是（　　） A．2和 B．3和﹣2 C．1和﹣1 D．﹣2和0.2 【答案】A． 【分析】根据倒数的定义可知，乘积是1的两个数互为倒数． 【解答】解：A．∵21，∴2和互为倒数，故符合题意； B．∵3×（﹣2）≠1，∴3和﹣2不互为倒数，故不符合题意； C．∵1×（﹣1）≠1，∴1和﹣1不互为倒数，故不符合题意； D．0.2，∵﹣21，∴﹣2和0.2不互为倒数，故不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．注意0没有倒数． 【变式题3-3】．（2024-2025•隆回县校级模拟）已知ab＝1，若a＝5，则b的值为（　　） A．5 B．﹣5 C． D． 【答案】C 【分析】根据倒数的定义即可求得答案． 【解答】解：已知ab＝1，若a＝5， 则b， 故选：C． 【点评】本题考查倒数，熟练掌握其定义是解题的关键． 【题型4】利用乘法交换律、结合律简化计算 1. 知识点 - 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即a×b = b×a； - 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变，即(a×b)×c = a×(b×c)； - 应用目的：将易计算的数（如能凑整、能约分的数）结合在一起，简化运算（如25与4、125与8、与3）。 2. 考点 - 利用交换律交换因数位置简化计算（如(-5)××(-)）； - 利用结合律分组简化计算（如(-0.125)×(-8)×7）； - 综合应用交换律和结合律（如25×(-)×(-4)×(-3)）。 3. 易错点 - 交换因数时忽略符号：如将(-2)×3×(-4)交换为(-2)×(-4)×3时，误将3的符号丢掉，写成(-2)×4×3； - 分组后符号计算错误：如计算(-2)×(-3)×(-4)时，误将后两个结合为(-2)×[(-3)×(-4)]=(-2)×12=-24（正确），但有时会误算为[(-2)×(-3)]×(-4)=6×(-4)=-24（虽结果对，但需注意符号统一）； - 盲目分组：未找“凑整/约分”的数，如计算××时，未按顺序约分，反而强行分组，增加计算量。 4. 解题技巧 - 观察因数特征：优先找能凑整的数（如25与4、125与8、0.25与4）、能约分的数（如与a），将它们分组； - 分组原则：带符号分组，即交换因数位置时，因数的符号随因数一起移动（如(-5)××(-)=[(-5)×(-)]×）； - 步骤：先利用交换律调整因数顺序，再用结合律分组计算，最后求总积。 【例题4】．（2024-2025•河口区校级期中）这是为了运算简便而使用（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法结合律和交换律 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法交换律和结合律解答． 【解答】解：使用的是乘法交换律和结合律． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的乘法，熟记运算定律是解题的关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•禹州市校级月考）用简便方法计算（﹣6）×（）×（﹣0.5）×（﹣4）的结果是（　　） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】原式根据负因式个数为4，得到结果为正，结合后相乘即可得到结果． 【解答】解：原式＝（6）×（0.5×4） ＝3×2 ＝6． 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•牟平区期中）用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）﹣5； （2）﹣1798． 【分析】（1）利用有理数乘法的交换律与结合律计算即可得； （2）将改写成，再利用有理数乘法分配律计算即可得． 【解答】解：（1）原式 ＝5×（﹣1） ＝﹣5． （2）原式 ＝﹣1800+2 ＝﹣1798． 【点评】本题考查了有理数乘法的交换律与结合律、分配律，熟练掌握有理数乘法的运算律是解题关键． 【变式题4-3】．如图，运算中的（_____）处，填写的理由是（　　） （﹣12）×（﹣37） ＝3712（乘法交换律） ＝（37）×（12）（_____） ＝2×10 ＝20． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．加法结合律 【答案】B 【分析】运用乘法运算和运算定律知识进行求解． 【解答】解：由题意得，乘法结合律， 故选：B． 【点评】此题考查了乘法的混合运算能力，关键是能准确变形、计算． 【题型5】利用乘法分配律简化计算（提升） 1. 知识点 - 乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，即a×(b + c) = a×b + a×c； - 扩展：可推广到多个数的和/差，即a×(b + c - d) = a×b + a×c - a×d； - 核心：将“括号外的数”分别与“括号内的每一项”相乘，再进行加减运算。 2. 考点 - 正用分配律计算（括号外是整数/分数/小数，括号内是和/差），如(-12)×( - )； - 分配律与符号的结合，如(-6)×(- +)； - 含带分数/小数的分配律计算，如3.6×( - )。 3. 易错点 - 漏乘括号内的项：如计算(-4)×(2 -)时，误算为(-4)×2 = -8（漏乘-）； - 符号处理错误：括号内有负数时，未带符号相乘，如(-3)×(1 -)误算为(-3)×1 - = -3 - = -（正确应为(-3)×1 + (-3)×(-) = -3 + 1 = -2）； - 小数/带分数未转化：如0.5×(2 -)未将0.5化为、2化为，导致计算失误。 4. 解题技巧 - 步骤：“一拆二乘三加减”，即先拆括号（将括号外的数与括号内每一项分别相乘），再计算每一项的乘积（注意符号），最后将所有乘积相加/减； - 符号口诀：“括号外正，括号内各项符号不变；括号外负，括号内各项符号反转”（如(-a)×(b - c) = -a×b + a×c）； - 优先转化形式：括号外/内有小数/带分数时，先化为分数（假分数），再应用分配律，方便约分。 【例题5】．（2024-2025•昭平县期中）运用分配律计算（﹣3）×（﹣8+2﹣3），有下列四种不同的结果，其中正确的是（　　） A．﹣3×8﹣3×2﹣3×3 B．﹣3×（﹣8）﹣3×2﹣3×3 C．（﹣3）×（﹣8）+3×2﹣3×3 D．（﹣3）×（﹣8）﹣3×2+3×3 【答案】D 【分析】利用乘法分配律计算即可，注意符号． 【解答】解：（﹣3）×（﹣8+2﹣3）＝（﹣3）×（﹣8）﹣3×2+3×3， 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数的乘法，解题的关键是注意符号问题． 【变式题5-1】．（2024-2025•武夷山市期中）计算，运用哪种运算律可避免通分（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】2，3，4都是12的因数，故，，与12相乘后是整数，用乘法分配律合适． 【解答】解：2，3，4都是12的因数， 故用乘法分配律合适． 故选：D． 【点评】熟练掌握运算律是解题的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•邯郸二模）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（　　） A．24×（﹣100） B．24×（﹣100） C．24×（﹣99） D．24×（﹣99） 【答案】A 【分析】根据有理数的乘法分配律即可得出答案． 【解答】解：∵﹣100（100）， ∴根据有理数的乘法分配律，把变形成最合适的形式为24×（﹣100）＝﹣24×100+24，可以简便运算． 故选：A． 【点评】本题考查有理数的乘法，正确掌握运算法则是解题的关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•庐江县校级月考）用简便方法计算： ①； ②． 【答案】①﹣2；②﹣2398． 【分析】①利用乘法分配律计算即可； ②利用乘法分配律计算即可． 【解答】解：①原式＝（）×（﹣36）（﹣36）（﹣36） ＝3+1﹣6 ＝﹣2． ②原式＝（﹣100）×24 ＝﹣100×2424 ＝﹣2400+2 ＝﹣2398． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘法的分配律a×（b+c）＝a×b+a×c是解答本题的关键． 【题型6】乘法分配律的逆用（提升） 1. 知识点 - 乘法分配律逆用公式：a×b + a×c = a×(b + c)，a×b - a×c = a×(b - c)； - 核心特征：式子中存在相同的因数（公因式），将公因式提取出来，剩余部分用括号括起来，简化运算； - 扩展：公因式可为正数、负数、整数、分数（如-3×2 + (-3)×5 = -3×(2 + 5)，×3 - ×7 =×(3 - 7)）。 2. 考点 - 直接提取公因式逆用分配律，如5×(-3) + 5×(-7)； - 提取负公因式，如(-2)×4 - (-2)×6； - 公因式为分数/小数的逆用，如× +×，0.4×(-3) + 0.4×(-8)。 3. 易错点 - 未识别公因式：如式子3×(-2) + (-3)×5中，误将“3”和“-3”当作不同因数，未发现-3 = 3×(-1)，无法提取公因式3； - 提取公因式后符号错误：如-4×2 + (-4)×3提取公因式-4时，误写为-4×(2 - 3)（正确应为-4×(2 + 3)）； - 漏写剩余项中的“1”：如× -提取公因式时，误写为×()（正确应为×( - 1)）。 4. 解题技巧 - 第一步：找公因式：观察式子中所有项是否有相同的因数（包括符号，如3和-3可统一为公因式3或-3）； - 第二步：提取公因式：将公因式写在括号外，剩余部分 = 每一项 ÷ 公因式，写在括号内（注意：剩余部分的符号由“项 ÷ 公因式”决定）； - 验证：提取后可通过“正用分配律”检验，如×( - 1) = × - ×1，与原式一致则正确。 【例题6】．（2024-2025•邵武市校级月考）算式﹣25×14+18×14﹣39×（﹣14）＝（﹣25+18+39）×14是逆用了（　　） A．加法交换律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】根据乘法分配律：（a+b）c＝ac+bc可得答案． 【解答】解：﹣25×14+18×14﹣39×（﹣14）＝（﹣25+18+39）×14是逆用了乘法分配律， 故选：D． 【点评】此题主要考查了乘法分配律，关键是熟练掌握乘法分配律，并能逆运用． 【变式题6-1】．有时灵活运用分配律可以简化有理数运算，使计算又快又准，例如逆用分配律ab+ac＝a（b+c），可使运算大大简便，试逆用分配律计算下列各题： （1）（﹣56）×（﹣32）+51×（﹣32）； （2）1（）×2（）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据乘法运算定律解答； （2）逆用分配律ab+ac＝a（b+c）计算即可． 【解答】解：（1）（﹣56）×（﹣32）+51×（﹣32） ＝（﹣32）×（﹣56+51） ＝﹣32×（﹣5） ＝160； （2）1（）×2（） ． 【点评】此题考查有理数的乘法，熟练掌握乘法运算定律的形式是解题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•青秀区期中）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是a（b+c）＝ab+ac，反过来ab+ac＝a（b+c）．这就是说，当ab+ac中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到ab+ac＝a（b+c），进而可使运算简便．例如：计算17，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得40＝﹣25，这样计算就简便得多． 计算： （1）﹣29×588+28×588； （2）﹣2023． 【答案】（1）﹣588；（2）﹣2023． 【分析】（1）逆用分配律把原式化为588（﹣29+28），再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可． 【解答】解：（1）﹣29×588+28×588 ＝588（﹣29+28） ＝588×（﹣1） ＝﹣588； （2） ＝2023×（﹣1） ＝﹣2023． 【点评】本题考查的是有理数的乘法运算，掌握乘法分配律进行简便运算是解本题的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•红谷滩区校级期中）用简便方法计算： （1）（﹣9）×31（﹣8）×（﹣31）﹣（﹣16）×31； （2）99（﹣36）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）原式逆用乘法分配律计算即可得到结果； （2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝31（﹣9﹣8+16） ＝31（﹣1） ＝﹣31； （2）原式＝（100）×（﹣36） ＝100×（﹣36）（﹣36） ＝﹣3600 ＝﹣3599． 【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型7】绝对值与有理数乘法的综合计算（提升） 1. 知识点 - 绝对值的性质：若|a|=m（m≥0），则a=±m；|a|≥0（非负性）； - 综合逻辑：先根据绝对值求出字母的可能值，再结合“有理数乘法法则”计算乘积，最后确定符合条件的结果； - 常见场景：已知|a|、|b|的值，且ab>0（或ab<0），求a×b或a+b的值。 2. 考点 - 已知|a|=m，|b|=n，且ab>0（同号），求a×b； - 已知|x|=3，|y|=5，且xy<0（异号），求x×y； - 含多个字母的绝对值与乘法综合，如|a|=2，|b|=4，|c|=1，且abc<0，求a×b×c。 3. 易错点 - 漏考虑字母的多值性：如已知|a|=2，|b|=3，误直接取a=2、b=3计算ab，忽略a=-2、b=-3或a=2、b=-3等情况； - 未结合乘法符号条件筛选：如已知|a|=5，|b|=2，且ab<0，误将a=5、b=2的情况纳入计算，导致结果错误； - 绝对值非负性理解错误：如误认为|a|=-a时a为负数，忽略a=0的情况（|0|=-0=0）。 4. 解题技巧 - 步骤：“一解绝对值，二定符号，三算乘积”； 1. 解绝对值：根据|a|=m求出a的所有可能值（a=±m）； 2. 定符号：根据乘法符号条件（如ab>0→同号，ab<0→异号）筛选出符合条件的字母组合； 3. 算乘积：将符合条件的字母值代入，计算乘积； - 举例：已知|a|=3，|b|=4，ab<0，步骤为：①a=±3，b=±4；②ab<0→(a=3,b=-4)或(a=-3,b=4)；③ab=3×(-4)=-12或(-3)×4=-12，最终ab=-12。 【例题7】．（2024-2025•望奎县校级开学）根据题意计算求值：若|a|＝3，b＝5，且ab＞0，求a+b的值． 【答案】8． 【分析】解决本题要先确定a的值，结合ab＞0，可得出a的值，再计算a+b即可． 【解答】解：∵|a|＝3， ∴a＝±3， 又∵b＝5，且ab＞0， ∴a＝3， ∴a+b＝8． 【点评】本题考查了绝对值，有理数的乘法，有理数的加法，掌握相应的运算法则是关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•雅安期末）已知a，b，c为有理数，且a+b﹣c＝0，abc＜0，则的值为 　1　 ． 【答案】1． 【分析】根据有理数的乘法法则可判断出a，b，c中有奇数个负数，再表示出b﹣c，a﹣c，a+b，然后分情况去绝对值符号，由此求解即可． 【解答】解：∵abc＜0， ∴a，b，c三个数中有奇数个负数， ∵a+b﹣c＝0， ∴b﹣c＝﹣a，a﹣c＝﹣b，a+b＝c， ∴， 若c为正数，则a，b有一个是负数，不妨设a是负数， ∴原式； 若a，b，c都是负数， ∴原式， 综上所述，的值为1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了有理数的乘法，绝对值的化简，有理数的加减运算，熟练掌握有理数的乘法法则，绝对值的性质，有理数的加减运算法则，利用讨论思想是解题的关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•法库县期中）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＞0，则（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【答案】C 【分析】因为a+b+c＝0，abc＞0，则这三个数中有两个负数，一个为正数．把a+b+c＝0变形代入代数式，求值即可得到结果． 【解答】解：∵a+b+c＝0，abc＞0， ∴a，b，c中有两个为负数，一个为正数， 不妨设a＜0，b＜0，c＞0， 由a+b+c＝0得出：a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b， ∴ ＝1+1﹣1 ＝1． 故选：C． 【点评】此题考查了式子的化简求值，认真分析条件，得出这三个数中只能有一个正数，另两个为负数是解题的关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•管城区校级月考）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道|x|，所以当x＞0时，1； 当x＜0时，1．现在我们可以用这个结论来解决下面问题： （1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，　±2或0　 ； （2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，　±1或±3　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）分3种情况：a＜0、b＜0；a＞0、b＞0；a、b异号讨论即可求解； （2）分4种情况：a＜0、b＜0、c＜0；a＞0、b＞0、c＞0；a、b、c两负一正；a、b、c两正一负讨论即可求解． 【解答】解：（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时， ①a＜0，b＜0，1﹣1＝﹣2； ②a＞0，b＞0，1+1＝2； ③a、b异号，0． 所以±2或0， 故答案为：±2或0； （2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时， ①a＜0，b＜0，c＜0，1﹣1﹣1＝﹣3； ②a＞0，b＞0，c＞0，1+1+1＝3； ③a、b、c两负一正，1﹣1+1＝﹣1； ④a、b、c两正一负，1+1+1＝1． 所以±1或±3， 故答案为：±1或±3． 【点评】此题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型8】含字母的有理数乘法符号判断（提升） 1. 知识点 - 字母乘法的符号判断依据：多个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定（奇负偶正）； - 字母取值的隐含条件：根据“ab>0”“abc<0”等条件，推断字母的正负组合（如ab>0→a、b同号；abc<0→负因数个数为1或3）； - 结合数轴：若字母在数轴上的位置已知（如a在原点左侧，b在原点右侧），可直接判断字母正负，再确定乘积符号。 2. 考点 - 已知ab>0，判断a、b的正负关系； - 已知abc<0，且a>0，b<0，判断c的正负； - 已知数轴上a<0<b<c，判断(a-b)×(b-c)×(c-a)的符号。 3. 易错点 - 忽略“字母非零”前提：如已知ab>0，误认为a、b同号或a=b=0（但ab>0中a、b均不为0）； - 负因数个数计数错误：如已知abc<0，a<0，b>0，误算负因数个数为1（a<0），忽略c的正负可能使总个数为1或3（需分情况）； - 数轴上字母位置判断错误：如a在-2，b在1，误认为a-b>0（实际a-b=-3<0），导致乘积符号错误。 4. 解题技巧 - 第一步：确定字母是否为零，若乘积符号为正或负，则所有字母均不为0（如ab>0→a≠0，b≠0）；若乘积为0，则至少一个字母为0； - 第二步：根据乘积符号推断负因数个数： - 积为正→负因数个数为偶数（0、2、4…）； - 积为负→负因数个数为奇数（1、3、5…）； - 第三步：结合已知字母的正负，筛选剩余字母的正负（如abc<0，a>0，b<0→负因数个数已为1，需c>0（总个数1）或c<0（总个数3），分两种情况）； - 第四步：数轴辅助：若有数轴，先标记字母的正负（左负右正），再计算每个括号内的正负（如a<b→a-b<0），最后统计负因数个数定符号。 【例题8】．（2024-2025•桐城市月考）若a＜c＜0＜b，则abc（　　）0． A．＞ B．＜ C．＝ D．≥ 【答案】A 【分析】根据多个有理数的乘法法则解答即可． 【解答】解：∵a＜c＜0＜b， ∴abc＞0． 故选：A． 【点评】本题考查了多个有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键．几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数为奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；几个有理数相乘，如果其中有一个因数为0，积就为0． 【变式题8-1】．（2024-2025•武威期中）将“a、b、c三个数中至少有一个数是零”这句话用等式表示是（　　） A．abc＝0 B．a+b+c＝0 C．a2+b2+c2＝0 D．ab＝c 【答案】A 【分析】根据有理数乘法运算法则进行计算． 【解答】解：根据题意可知，a、b、c三个数中至少有一个数是零， ∴abc＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算法则是关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•滨海新区期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，有下列结论： ①b+c＞0；②abc＞0；③b﹣c＜0；④（b+c）（b﹣c）＜0，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据各点在数轴上的位置判断出其符号，再对各小题进行解答即可． 【解答】解：∵由a，b，c在数轴上的位置可知，a＜c＜0＜b，b＞|a|＞|c|， ∴①b+c＜0，故本小题错误； ②abc＞0，故本小题正确； ③b﹣c＞0，故本小题错误； ④（b+c）（b﹣c）＜0，故本小题正确． 故选：B． 【点评】本题考查的是有理数的乘法，熟知有理数的乘法法则是解题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•郑州月考）若有理数a，b，c满足abc＝10，a+b+c＝0，则a，b，c中负数的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则：同号为正，异号为负，以及互为相反数的两数之和为0，进行判断即可． 【解答】解：∵abc＝10＞0， ∴a、b、c均为正或a、b、c中两个数为负，一个数为正， 当a、b、c均为正时：a+b+c＞0，不符合题意； ∴a、b、c中两个数为负，一个数为正． 故选：B． 【点评】本题考查利用有理数乘法和加法的符号，来判断有理数的符号．熟练掌握有理数的乘法运算法则：“同号为正，异号为负．”加法法则：“同号相加，取相同的符号，异号相加，取绝对值大的符号．”是解题的关键． 【题型9】有理数乘法中的新定义运算（培优） 1. 知识点 - 新定义运算的本质：根据题目给出的“新符号规则”，将其转化为熟悉的有理数乘法（可能结合加减）运算； - 核心要求：严格遵循新定义的公式，不随意套用原有运算律（需先验证新运算是否满足运算律）； - 常见新定义形式：如a⊗b = (a+1)×(b-1)，a△b = -2×a×3×b等，需将符号两侧的数代入公式计算。 2. 考点 - 直接代入新定义计算：如定义a⊗b = 4×a×b，求3⊗(-4)； - 多层新定义计算：如定义a△b = (a-2)×b，求(1△2)△(-3)； - 新定义与倒数、绝对值的结合：如定义a☆b = |a|×b，且a的倒数是，求a☆(-3)。 3. 易错点 - 误解新定义规则：如定义a⊗b = a×b - a，误算为a×(b - a)，偏离题目给定的公式； - 多层运算时顺序错误：如计算(1△2)△(-3)时，先算2△(-3)，再算1△结果，违背“先算括号内”的原则； - 忽略新定义中的符号细节：如定义a○b = -a×b，误算为a×b，丢失负号导致结果错误。 4. 解题技巧 - 第一步：“翻译”新定义，将题目中的新符号（如⊗、△、☆）转化为具体的运算公式，写在草稿纸上（如a⊗b = 4ab）； - 第二步：代入数值，将新符号两侧的数（或括号内的结果）代入公式中的对应位置（如3⊗(-4)中，a=3，b=-4，代入得4×3×(-4)）； - 第三步：按有理数乘法法则计算，若公式中含加减，先算乘法再算加减； - 验证：多层运算时，先算内层括号，再算外层，可分步计算（如(1△2)△(-3)，先算1△2=结果A，再算A△(-3)）。 【例题9】．（2024-2025•射阳县期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24． （1）求3*（﹣4）的值； （2）求（﹣2）*（6*3）的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】分别根据运算“*”的运算方法列式，然后进行计算即可得解． 【解答】解：（1）3*（﹣4）＝4×3×（﹣4）＝﹣48； （2）（﹣2）*（6*3）＝（﹣2）*（4×6×3）＝（﹣2）*（72）＝4×（﹣2）×（72）＝﹣576． 【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•宝山区校级期末）定义：a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如的差倒数，已知，y是x的差倒数，求y的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据新定义列式为，再按照分数的混合运算的运算顺序进行计算即可． 【解答】解：∵，y是x的差倒数， ∴． 【点评】本题考查的是新定义运算，分数的混合运算，列出正确的运算式是解本题的关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•昌平区期中）观察下列两个等式：，，给出定义如下：若对于数对（a，b），使等式a+b＝ab+4成立，则称数对（a，b）是“4相关数对”，如：2+（﹣2）＝2×（﹣2）+4，所以数对（2，﹣2）是“4相关数对”． （1）数对（4，0），（1，1）中是“4相关数对”的是 　（4，0）　 ； （2）一名同学，在数对（m，n）和（﹣m，﹣n）都是“4相关数对”的条件下，得到下面两条结论： 结论一：m和n互为相反数； 结论二：m和n互为倒数． 请你判断，两条结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）（4，0）； （2）结论一正确，理由见解答． 【分析】（1）根据题意分别进行解答，选出符合条件的即可； （2）根据4的相关数对的定义进行证明即可． 【解答】解：（1）数对（4，0）：4+0＝4×0+4，即（4，0）是4相关数对； 数对（1，1）：1+1≠1×1+4，即（1）不是4的相关数对． 故答案为：（4，0）． （2）结论一正确，理由如下： 由（2）可知，m+n＝m×n+4，﹣m+（﹣n）＝（﹣m）×（﹣n）+4， 则m+n＝﹣m+（﹣n）， 解得m+n＝0， 故m和n互为相反数， 故结论一正确． 【点评】本题考查倒数和相反数，能够读懂题意，理解题意是解题的关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•滦州市一模）观察下列两个等式：221，551，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，）都是“共生有理数对”． （1）通过计算判断数对（1，2）是不是“共生有理数对”； （2）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值； （3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m）　是　 “共生有理数对”（填“是”或“不是”）； （4）如果（m，n）是“共生有理数对”（其中n≠1），直接用含n的式子表示m． 【答案】（1）不是；（2）﹣2；（3）是；（4）． 【分析】（1）根据共生有理数对的定义判断即可； （2）根据共生有理数对的定义列方程求解； （3）根据共生有理数对的定义对（﹣n，﹣m）变形即可判断； （4）根据共生有理数对的定义得到m，n的方程，变形即可． 【解答】解：（1）∵1﹣2＝﹣1，1×2+1＝3， ∴1﹣2≠1×2+1， ∴（1，2）不是共生有理数对； （2）由题意，得a﹣3＝3a+1， 解得a＝﹣2； （3）∵（m，n）是共生有理数对， ∴m﹣n＝mn+1， ∴﹣n﹣（﹣m）＝m﹣n＝mn+1， ∴（﹣n，﹣m）是共生有理数对； 故答案为：是． （4））∵（m，n）是共生有理数对， ∴m﹣n＝mn+1， ∴m（1﹣n）＝1+n， ∴． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，能够看懂定义并会运用定义解决问题是解题的关键． 【题型10】有理数乘法中的规律探究题（培优） 1. 知识点 - 规律探究的核心：观察数列或算式中“因数的符号、绝对值”的变化规律，归纳出通用公式，再应用公式计算（如n项乘积的规律）； - 常见规律类型： 1. 符号规律：负因数个数随项数变化（如第n项为(-1)ⁿ，奇数项为负，偶数项为正）； 2. 绝对值规律：因数的绝对值为连续整数、分数或倍数关系（如，，…，）； - 结合有理数乘法法则：根据符号规律确定总积的符号，根据绝对值规律确定总积的绝对值。 2. 考点 - 数列乘积规律：如计算(-1)×(-2)×(-3)×…×(-10)的结果，探究n个负整数相乘的规律； - 分数乘积规律：如计算(-)××(-)××…×(-)的规律； - 图形/表格中的乘法规律：如表格中每行每列的数满足乘法关系，探究第n行第n列的数。 3. 易错点 - 符号规律归纳错误：如将“第n项为(-1)ⁿ⁺¹”误归纳为(-1)ⁿ，导致奇数项与偶数项符号颠倒； - 绝对值规律漏项/多项：如计算1×(-)××(-)×…×(-)时，误将最后一项的分母算成9，导致绝对值错误； - 规律应用时范围错误：如归纳的规律适用于n≥1，误用于n=0（如0项乘积无意义）。 4. 解题技巧 - 第一步：列举前3-5项，写出每一项的“符号+绝对值”，观察变化（如第1项：-1（符号-，绝对值1），第2项：+2（符号+，绝对值2），第3项：-3（符号-，绝对值3））； - 第二步：归纳规律，分符号和绝对值两部分： - 符号规律：用(-1)ⁿ或(-1)ⁿ⁺¹表示（n为项数，奇数项负则为(-1)ⁿ，正则为(-1)ⁿ⁺¹）； - 绝对值规律：用含n的式子表示（如连续整数则为n，分数则为）； - 第三步：验证规律，用第4-5项检验归纳的公式是否正确（如公式为(-1)ⁿ×n，第4项应为(-1)⁴×4=4，符合则正确）； - 第四步：应用规律计算，根据总项数n，用规律公式计算总积（如n=10，符号为(-1)¹⁰=+，绝对值为1×2×…×10=3628800，总积为3628800）。 【例题10】．（2024-2025•大化县月考）找规律填空：1×1＝1，11×11＝121，111×111＝12321，1111×1111＝1234321，111111111×111111111＝　1234567898764321　 ． 【答案】1234567898764321． 【分析】根据已知的三个算是可得规律：积的位数是奇数，积的位数＝每个因数的位数×2﹣1，每个因数的位数是几，那么积的中间的数字就是几，然后它的两边的数字都按自然数递减1，据此解答． 【解答】解：1×1＝1， 11×11＝121， 111×111＝12321， 1111×1111＝1234321， … 11111111×11111111＝123456787654321． 111111111×111111111＝1234567898764321； 故答案为：1234567898764321． 【点评】本题考查数式规律，解答“式”的规律的问题，关键是找到前后算式的运算规律，然后利用这个规律回到问题中，再解答未知的问题． 【变式题10-1】．观察下面的一组等式： （﹣1）（﹣1）；（﹣2）（﹣2）；（﹣3）（﹣3）；……． 按此规律，再写出一个符合这个规律的等式：　（﹣4）（﹣4）（答案不唯一）　 ． 【答案】（﹣4）（﹣4） （答案不唯一）． 【分析】通过观察发现：各等式中第二个因数的分子与第一个因数互为相反数，分母比分子大1． 【解答】解：（﹣4）（﹣4） （答案不唯一） 故答案为：（﹣4）（﹣4） （答案不唯一）． 【点评】本题考查有理数，解题的关键是熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型． 【变式题10-2】．已知3，10，15，…观察以上规律计算　56　 ，45，则a＝　2或8　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题目中的例子可以求得所求式子的值，本题得以解决． 【解答】解：56， 45， 解得，a＝2或a＝8， 故答案为：56，2或8． 【点评】本题考查有理数的乘法，解答本题的关键是明确有理数乘法的计算方法． 【变式题10-3】．（2024-2025•思明区校级期中）已知一些两位数相乘的算式： 62×11，78×69，34×11，63×67，18×22，15×55，12×34，54×11． 利用这些算式探究两位数乘法中可以简化运算的特殊情形： （1）观察已知算式，选出具有共同特征的3个算式，并用文字描述它们的共同特征； （2）分别计算你选出的算式．观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律（计算结果与两位数因数之间的关系）； （3）请用整式乘法的知识证明你发现的规律； （4）在已知算式中，找出所有可以应用（或经过转化可以应用）上述规律的算式，并将它们写在横线上：　18×22，15×55　 ． 【答案】（1）62×11，34×11，54×11．这3个算式共同特征是：一个两位数与11相乘； （2）62×11＝682，34×11＝374，54×11＝594， 规律：两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上的积，十位上的数是第一个因数各个位数的和（满10进1），个位上的数是两个因数个位上数的积； （3）见解答； （4）18×22，15×55． 【分析】（1）确定因数为11的算式； （2）计算并发现规律； （3）根据两位数的乘法进行计算，并变形； （4）根据发现的规律找算式即可． 【解答】（1）解：62×11，34×11，54×11． 这3个算式共同特征是：一个两位数与11相乘； （2）解：62×11＝682，34×11＝374，54×11＝594， 规律：两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上的积，十位上的数是第一个因数各个位数的和（满10进1），个位上的数是两个因数个位上数的积； 如54×11＝594， （3）证明：设一个两位数为，另一个数为11， 则它们的积为：11＝11（10a+b）＝110a+11b＝100a+10a+10b+b＝100a+10（a+b）+b； （4）解：18×22＝36×11＝396， 15×55＝75×11＝7×100+（7+5）×10+5＝825， 所以这些算式也可以利用此规律：18×22，15×55． 故答案为：18×22，15×55． 【点评】本题考查数字规律，观察所给的算式，找出算式之间数与数的关系，还有与结果的关系，得出规律，再根据规律解决问题． 【题型11】有理数乘法有关的材料阅读题（培优） 【例题11】．（2024-2025•前郭县期中）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． （1）根据倒数的定义我们知道，若（a+b）÷c＝﹣2，则c÷（a+b）＝　　 ． （2）计算． （3）根据以上信息可知：　　 ． 【答案】（1）； （2）35； （3）． 【分析】（1）根据倒数的定义解答即可； （2）根据有理数的除法法则计算即可； （3）由（2）中的计算结果，结合倒数的定义即可求值． 【解答】解：（1）∵（a+b）÷c＝﹣2， ∴c÷（a+b）， 故答案为：； （2） ＝15﹣4+24 ＝35； （3）由（2）知， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的混合运算以及倒数，熟知乘积是1的两个数互为倒数是解题的关键． 【变式题11-1】．（2024-2025•南充期末）某数学兴趣小组在综合与实践课上对“铺地锦”法计算乘法进行了探究，请根据以下素材，探究完成任务． 素材 我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种计算两位数乘法的方法，被称为“铺地锦”．例：计算36×41，如图，首先把乘数36和41分别写在方格的上面和右面，然后以36的每位数字分别乘以41的每位数字，将结果计入对应的格子中，如3×4＝12中的12写在3下面的方格里，十位上的1写在斜线的上面，个位上的2写在斜线的下面；如果结果只有个位数，比如6×176＝6，在斜线上面的十位上就写0，个位6写在斜线的下面；再把同一斜线上的数相加（和大于10时则向上一级进位即可），结果写在斜线左下端对应的方格旁，最后把得数依次写下来是1476，即36×41＝1476． 任务 （1）用“铺地锦”的方法计算：72×26. （2）如图，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，求x的值． 【答案】（1）1872；（2）3． 【分析】（1）按照示例的方法，填充表格，即可； （2）按照示例的方法，填充表格，可以列出方程，求出未知数即可． 【解答】解：（1） 72×26＝1872； （2）如图： 可得2+4+x﹣2＝2x+1， 解得x＝3． 【点评】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是按照题中所给的示例方法计算． 【变式题11-2】．（2024-2025•玄武区期末）现有一种计算13×12的方法，具体算法如下： 第一步：用被乘数13加上乘数12的个位数字2，即13+2＝15． 第二步：把第一步得到的结果乘以10，即15×10＝150． 第三步：用被乘数13的个位数字3乘以乘数12的个位数字2，即3×2＝6． 第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即150+6＝156． 于是得到13×12＝156． （1）请模仿上述算法计算14×17 并填空． 第一步：用被乘数14加上乘数17的个位数字7，即 　14+7＝21　 ． 第二步：把第一步得到的结果乘以10，即 　21×10＝210　 ． 第三步：用被乘数14的个位数字4乘以乘数17的个位数字7，即 　4×7＝28　 ． 第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即 　210+28＝238　 ． 于是得到14×17＝238． （2）一般地，对于两个十位上的数字都为1，个位上的数字分别为a，b （0≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数）的两位数相乘都可以按上述算法进行计算．请你通过计算说明上述算法的合理性． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）仿照以上四步计算方法逐步计算即可； （2）对于（10+a）×（10+b），先按照上述方法逐步列式表示，再根据整式的乘法法则计算即可验证其正确性． 【解答】解：（1）计算14×17， 第一步：用被乘数14加上乘数17的个位数字7，即14+7＝21． 第二步：把第一步得到的结果乘以10，即21×10＝210． 第三步：用被乘数14的个位数字4乘以乘数17的个位数字7，即4×7＝28． 第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即210+28＝238． 于是得到14×17＝238． 故答案为：14+7＝21，21×10＝210，4×7＝28，210+28＝238； （2）对于（10+a）×（10+b）， 第一步：用被乘数10+a加上乘数10+b的个位数字b，即10+a+b． 第二步：把第一步得到的结果乘以10，即10（10+a+b）． 第三步：用被乘数10+a的个位数字a乘以乘数10+b的个位数字b，即ab． 第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即10（10+a+b）+ab＝100+10a+10b+ab． 又（10+a）×（10+b）＝100+10b+10a+ab， 故上述算法是合理的． 【点评】本题主要考查整式的混合运算和有理数的加法和乘法，寻找计算规律是前提，并加以运用和推广是关键，主要考查了数学的类比思想，整式的运算是解题的基础． 【变式题11-3】．（2024-2025•鲤城区校级月考）阅读下列素材： 如何设计“非对称加密算法” 素材1 “非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密． 素材2 3×1001＝3003；13×1001＝13013；213×1001＝213213；…… 素材3 项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对1000以内的三位正整数进行加密解密，方法如下：记（公钥，私钥）为（a，b）（其中a，b均为两位正整数），则 例，当明文为123，（a，b）取（13，77）时，加密解密过程如图： 结合上述素材，完成以下问题： 【模型理解】 （1）设是一个三位数，是一个六位数，则，请说明理由． （2）设是一个三位数，是一个四位数，则被1000除的余数为请说明理由． 【初步应用】 （3）若公钥a为69，设计匹配的私钥b． 【解决问题】 （4）请再设计一对匹配的钥匙：（ 　11　 ，　99（答案不唯一）　 ）． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）答案见解答过程； （3）29； （4）（11，99）（答案不唯一）． 【分析】（1）根据13×77＝1001，再计算即可得出结论； （2）计算，根据被1000除的余数为可得出结论； （3）根据，对于匹配的钥匙（a，b），则有ab＝ab，再根据当n＝2，a＝69时可得出b的值； （4）根据，对于匹配的钥匙（a，b），则有ab＝1001，再由11×91＝1001可得出匹配的钥匙（答案不唯一）． 【解答】解：（1）∵13×77＝1001， ∴， ∴； （2）∵， ∵能被1000整除， ∴被1000除的余数为， 即被1000除的余数为． （3）∵， ∴对于匹配的钥匙（a，b），则有ab， 当公钥a为69，则匹配的私钥b； ∵b为两位整数， ∴当n＝2时，b29； （4）∵， ∴对于匹配的钥匙（a，b），则有ab＝1001， ∵11×91＝1001， ∴匹配的钥匙（11，91）． 故答案为：（11，91）（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了有理数的乘法运算，理解题意，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键． 【题型12】有理数乘法的综合压轴题（培优） 1. 知识点 - 多概念融合：整合“相反数（a+b=0）、倒数（ab=1）、绝对值（|a|=m）、有理数乘法法则”四大概念； - 逻辑链条：先根据相反数、倒数的性质求出字母的固定值（如a+b=0→b=-a；ab=1→b=），再结合绝对值或乘法条件求出剩余字母的值，最后计算目标表达式（如a×b×c）。 2. 考点 - 基础综合：如已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，求(a+b)×c×d； - 进阶综合：如已知a、b互为相反数（a≠0），c、d互为倒数，|m|=2，求m×c×d + ×m； - 复杂综合：如已知a+b=0，cd=1，|x|=3，且x×(a+c+d)×b < 0，求x×(c+d)。 3. 易错点 - 混淆相反数与倒数的性质：如误将“a、b互为相反数”当作“ab=1”，或“c、d互为倒数”当作“c+d=0”； - 忽略“a≠0”的限制：如a、b互为相反数且a≠0时，=-1，若忽略a≠0，误认为无意义； - 未结合所有条件筛选值：如已知|x|=3，且x×(a+c+d)×b < 0，误直接取x=3和x=-3，未根据a+b=0（a×b=-a²<0）简化条件（x×(负数)×(c+d) < 0→x×(c+d) > 0）。 4. 解题技巧 - 第一步：“固定已知概念的值”，将相反数（a+b=0，b=-a，=-1（a≠0））、倒数（cd=1）的固定关系写出，减少变量； - 第二步：处理绝对值，根据|m|=m₀求出m的可能值（m=±m₀）； - 第三步：结合乘法条件筛选，将固定关系代入乘法不等式（如x×(a+c+d)×b < 0），简化后筛选出符合条件的变量值； - 第四步：计算目标表达式，将所有已知值代入，按有理数乘法法则计算（注意符号和顺序）。 【例题12】．（2024-2025•商城县期末）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． （1）当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为　1　 ，　2　 ； （2）你认为当输入数等于　0　 时（写出一个即可），其输出结果为0； （3）你认为这个“数值转换机”不可能输出　负　 数； （4）有一次，小明操作的时候，输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是　5n+2　 （用含自然数n的代数式表示）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）分别将4、7代入数值转换机，计算即可得到输出结果； （2）当输入数字为0得到结果为0； （3）数值转换机不可能输出负数； （4）根据数轴转换机的规律表示出结果即可． 【解答】解：（1）若输入的数字为4时，4＞2，得到4+（﹣5）＝﹣1， ﹣1＜2，得到相反数为1，倒数为1，输出结果为1； 若输入数字为7时，7＞2，得到7+（﹣5）＝2， 得到相反数为﹣2，绝对值为2，输出结果为2； （2）根据题意得：输入数字为0（5、10、15…5的倍数均可），结果为0； （3）这个“数值转换机”不可能输出负数； （4）归纳总结得：小明输入的正整数是5n+2． 故答案为：1，2；0；负；5n+2． 【点评】此题考查了倒数、相反数和绝对值的知识，弄清题中的图表表示的意义是解本题的关键． 【变式题12-1】．（2024-2025•南安市校级月考）天气渐渐热了，又到了饮料的销售旺季，济南 A、B、C三个超市都进了一批相同的饮料，同一规格的饮料定价相同．大瓶10元，小瓶2.5元．为了抢占市场，分别推出不同的优惠措施：A超市买大瓶送小瓶；B超市一律打九折；C超市购买满30元就能全部打八折．下表是四位顾客的购买情况，请你帮助这些顾客计算去哪家超市购买花钱最少，并把结果填入下面的表格中． 顾客 甲 乙 丙 丁 购买情况 10小瓶 5大瓶 4大6小 1大2小 选择商场 所花钱数（元） 【答案】甲到B超市购买花钱最少，乙到C超市购买花钱最少，丙到C超市购买花钱最少，丁到A超市购买花钱最少． 【分析】分别对每位顾客计算出相应的超市的费用即可得出结果． 【解答】解：顾客甲：只买10小瓶，10×2.5＝25（元），只买10小瓶，到A或C超市购买无优惠，到B超市购买有优惠，花费为25×0.9＝22.5（元）； 顾客乙：只买5个大瓶，5×10＝50（元），已满30元，到A超市购买无优惠，到B超市购买九折，到C超市购买八折，应该到C超市购买更便宜，花费50×0.8＝40； 顾客丙：买4大瓶6小瓶，10×4+2.5×6＝55（元），如果选A超市就是：10×4+2.5×2＝45（元），如果选B超市就是：55×0.9＝49.5（元），选C超市就是：55×0.8＝44（元），所以选C超市， 顾客丁：买1大瓶和2小瓶，10+2.5×2＝15（元），如果选A超市：10+2.5＝12.5（元），如果选B超市就是：15×0.9＝13.5（元），如果选C超市无优惠，所以选A购买花钱最少． 顾客 甲 乙 丙 丁 购买情况 10 小瓶 5 大瓶 4大6小 1大2小 选择商场 B C C A 所花钱数 （元） 22.5 40 44 12.5 答：甲到B超市购买花钱最少，乙到C超市购买花钱最少，丙到C超市购买花钱最少，丁到A超市购买花钱最少． 【点评】本题考查打折运算及有理数的乘法，理解题意列举计算是关键． 【变式题12-2】．（2024-2025•沈阳期中）对于由若干不相等的整数组成的数组P和有理数k．给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段AB，使得将数组P中的每一个数乘以k之后，计算的结果都能够用线段AB上的某个点来表示，就称k为数组P的收纳系数． 例如，对于数组P＝1，2，3，因为，，，取A为原点，B为表示数1的点． 那么这三个数都可以用线段AB上的某个点来表示，可以判断是P的收纳系数． 又例如，对于数组P：﹣2，﹣4，﹣6．因为，，， 取A为原点，B为表示数﹣1的点，那么这三个数都可以用线段AB上的某个点来表示，可以判断是P的收纳系数．已知k是数组P的收纳系数．此时线段AB的端点A，B表示的数分别为a，b（a＜b）． （1）判断　是　 （填“是”或“不是”）数组P：﹣1，﹣3，﹣5的收纳系数； （2）对数组P＝3，1，﹣1，在下列各数中：1，，，，k可能是　或　 ； （3）已知100个连续整数组成数组P，求出k的最大值和相应的|a+b|的最小值． 【答案】（1）是； （2）或； （3）k的最大值为，|a+b|的最小值． 【分析】（1）利用收纳系数的定义解答即可； （2）利用收纳系数的定义，分别用分数乘以数组各个数字，求出最大乘积与最小乘积的差，与1比较判断即可； （3）利用收纳系数的定义求出k的最大值，再依据k值和收纳系数的定义解答即可． 【解答】解：（1）∵，，，， ∴B为表示数1的点．取A为示数的点，那么这三个数都可以用线段AB上的某个点来表示， ∴是数组P：﹣1，﹣3，﹣5的收纳系数， 故答案为：是； （2）∵3﹣（﹣1）＝4＞1，1×（﹣1）＝﹣1，1×1＝1，1×3＝3， ∴k不可能为1； ∵，，，， ∴k可能为； ∵，，，， ∴k可能为； ∵，，，， ∴k不可能为； 故答案为：或； （3）∵这100个数是连续整数， ∴数组P中的最大的数与最小数之差为99， ∴|k|的最大值． ∴k的最大值为； 当中间的数字为0时，|a+b|的值最小， ∵n＝100， ∴第50个或第51个数字为0时，|a+b|的值最小． 当50个数字为0时，，， ∴； 当51个数字为0时，，， ∴． 综上，k的最大值为，相应的|a+b|的最小值． 【点评】本题主要考查了新定义，数轴，绝对值，掌握其运算法则是解决此题的关键． 【变式题12-3】．（2024-2025•重庆校级期末）读一读： 式子“1×2×3×4×5×…×100”表示从1开始的100个连续自然数的积，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1×2×3×4×5×…×100”表示为n，这里“π”是求积符号．例如：1×3×5×7×9×…×99，即从1开始的100以内的连续奇数的积，可表示为（2n﹣1），又如13×23×33×43×53×63×73×83×93×103可表示为n3，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题： （1）2×4×6×8×10×…×100（即从2开始的100以内的连续偶数的积）用求积符号可表示为　　 ； （2）1用求积符号可表示为　　 ； （3）计算：（1）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）2×4×6×8×10×…×100（即从2开始的100以内的连续偶数的积），由新定义可得公式； （2）由新定义可得结果； （3）由新定义可知：（1）表示的乘积． 【解答】解：（1）2×4×6×8×10×…×100（即从2开始的100以内的连续偶数的积）用求积符号可表示为， 故答案为：； （2）1用求积符号可表示为， 故答案为：； （3）（1） ． 【点评】此题主要考查了有理数的乘法，理解新定义是解答此题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 C C D． D B 一．选择题（共5小题） 1．﹣2024的倒数是（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用倒数定义即可得出本题答案． 【解答】解：∵， 故选：C． 【点评】本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义． 2．采摘园种植草莓秧苗．每行种植107棵，种植了25行，一共种植了多少棵草莓秧苗？在解决这个问题的竖式中．如图中箭头所指的这一步是在计算（　　） A．2行种植了多少棵秧苗 B．5行种植了多少棵秧苗 C．20行种植了多少棵秧苗 D．25行种植了多少棵秧苗 【答案】C 【分析】已知每行种植107棵，种植了25行，要求一共种植了多少棵草莓秧苗，用乘法计算；竖式计算中，箭头所指的部分实际是107×20＝2140，据此解答． 【解答】解：箭头所指的这一步表示2140， 2140＝107×20， 观察可知，箭头所指的这一步是在计算20行种植了多少棵秧苗． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是运用乘法解决问题． 3．下列算式中，积为负数的是（　　） A．0×（﹣5） B．4×（﹣0.5）×（﹣10） C．（﹣1.5）×（﹣1.2） D．（﹣2）×（﹣1.5）×（﹣0.2） 【答案】D． 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：A．0×（﹣5）＝0，0既不是正数，也不是负数； B．4×（﹣0.5）×（﹣10）＝20＞0，是正数； C．（﹣1.5）×（﹣1.2）＝1.8＞0，是正数； D．（﹣2）×（﹣1.5）×（﹣0.2）＝﹣0.6＜0，是负数； 故选：D． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 4．下列说法正确的是（　　） A．若两个数相乘结果为正，则这两个数都是正数 B．任何有理数都有倒数 C．正数的倒数比自身小 D．0的相反数是0 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法、正负数、倒数、相反数的定义进行作答即可． 【解答】解：A．若两个数相乘结果为正，则这两个数同号，故本选项不符合题意； B.0没有倒数，故本选项不符合题意； C.1的倒数是1，的倒数是2，故本选项不符合题意； D.0的相反数是0，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查有理数的乘法、正负数、倒数、相反数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 5．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算82×34，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　） A．b的值为6 B．a的值小于3 C．a为奇数 D．乘积结果645 【答案】B 【分析】先根据“铺地锦”的方法退出格子中的各数，在根据斜行加起来分别等于b、a+1、b+1，通过解方程求出a、b的值，在做出判断． 【解答】解：根据“铺地锦”的计算方法可得如图表格， 因此b＝4+2+0＝6，故A正确，不符合题意， 5a﹣10＝b﹣1＝6﹣1＝5，解得a＝3，故B错误，符合题意，C正确，不符合题意， ∴a+1＝3+1＝4，因此乘积结果为645，故D正确，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了新定义“铺地锦”的理解，能推出格子各数列出方程，求出a、b是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 6．的倒数是　　 ． 【答案】． 【分析】根据倒数的定义可知，乘积是1的两个数互为倒数． 【解答】解：∵， 的倒数是， ∴的倒数是． 故答案为：． 【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 7．已知a和b互为倒数，那么的结果是　　 ． 【答案】． 【分析】利用倒数的定义求出ab＝1的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：∵a和b互为倒数， ∴ab＝1， ∴． 故答案为：． 【点评】此题考查了倒数，代数式求值，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 8．在4，﹣5，6，﹣7这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是 　35　 ． 【答案】35． 【分析】两个非0数相乘，同号得正，异号得负，且正数大于一切负数，所以找积最大的应从同号的两个数中寻找即可． 【解答】解：要使任意取两个数相乘，所得的积最大，两数字必定同号， 故如下可能：4×6＝24，（﹣5）×（﹣7）＝35， ∵24＜35， 故答案为：35． 【点评】本题考查有理数的乘法，有理数大小比较，解题的关键要明确不为零的有理数相乘的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 9．的倒数是　　 ，7的倒数是　　 ，　0　 没有倒数，1的倒数是　1　 ． 【答案】，，0，1． 【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，零没有倒数，据此即可求解． 【解答】解：，，1的倒数分别是．0没有倒数． 故答案为：． 【点评】本题考查了倒数，解题的关键是掌握倒数的定义． 10．已知|x|＝5，y＝3，且xy＜0，则x﹣y＝　﹣8　 ． 【答案】﹣8． 【分析】先求出x的值，再计算x﹣y． 【解答】解：∵|x|＝5， ∴x﹣±5， ∵y＝3，且xy＜0， ∴x＝﹣5， ∴x﹣y＝﹣5﹣3＝﹣8， 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查了绝对值，有理数的减法，有理数的乘法，掌握绝对值是解题的关键． 三．解答题（共10小题） 11．计算：． 【答案】． 【分析】利用有理数的乘法法则计算即可． 【解答】原式＝+（8） ． 【点评】本题考查有理数的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 12．用简便方法计算： （1）； （2）（﹣99）×999． 【答案】（1）﹣159； （2）﹣98901． 【分析】（1）原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值； （2）先将题目中的式子变形，然后根据乘法分配律可以解答本题． 【解答】解：（1）原式＝（20）×（﹣8） ＝20×（﹣8）（﹣8） ＝﹣160 ＝﹣159； （2）原式＝（1﹣100）×999 ＝999﹣100×999 ＝999﹣99900 ＝﹣98901． 【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．计算： （1）； （2）； （3）﹣2×4×（﹣1）×（﹣3）； （4）（﹣2）×5×（﹣5）×（﹣2）×（﹣7）． 【答案】（1）﹣2；（2）﹣2；（3）﹣24；（4）700． 【分析】（1）先确定符号，将其化为假分数，再进行计算； （2）先确定符号，利用交换律和结合律计算； （3）先确定符号，再计算； （4）先确定符号，利用交换律和结合律计算． 【解答】解：（1） ＝﹣2； （2） ＝﹣2； （3）﹣2×4×（﹣1）×（﹣3） ＝﹣（2×4×1×3） ＝﹣24； （4）（﹣2）×5×（﹣5）×（﹣2）×（﹣7） ＝（2×5）×（2×5）×7 ＝700． 【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握是有理数的乘法法则是解题的关键． 14．简便计算 （1）（﹣48）×0.125+48 （2）（）×（﹣36） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案； （2）运用乘法分配律进行计算即可． 【解答】解：（1）（﹣48）×0.125+48 ＝48×（） ＝0； （2）（）×（﹣36） ＝﹣20+27﹣2 ＝5． 【点评】此题考查了有理数的乘法，用到的知识点是乘法的分配律，解题的关键是运用乘法分配律进行计算． 15．水果店运来24箱苹果，每箱12千克，水果店一共运来多少千克苹果？苹果每千克卖3元，一共能卖多少钱？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据“总质量＝每箱质量×数量，总价钱＝总质量×单价”列式计算即可得到答案． 【解答】解：总质量为12×24＝288（千克）， 一共能卖288×3＝864（元）． 答：水果店一共运来288千克水果，一共能卖864元． 【点评】本题主要考查有理数的乘法，熟知总价、数量、单价之间的关系是解题关键． 16．已知a、b、c、d是有理数，且a+b+c+d＝0，abcd＜0，求的值． 【答案】2或﹣2． 【分析】根据已知条件可得a+b+c＝﹣d，a+b+d＝﹣c，a+c+d＝﹣b，b+c+d＝﹣a，再根据abcd＜0，可得a、b、c、d三数中有1个负数或3个负数，代入即可得出答案． 【解答】解：∵a+b+c+d＝0， ∴a+b+c＝﹣d，a+b+d＝﹣c，a+c+d＝﹣b，b+c+d＝﹣a， ∵abcd＜0， ∴a、b、c、d三数中有1个负数或3个负数， ∴原式＝﹣1+1+1+1＝2， 或原式＝﹣1﹣1﹣1+1＝﹣2． 综上所述，原式＝2或﹣2． 【点评】本题主要考查有理数的乘法、绝对值及有理数的加法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 17．已知|a|＝4，|b|＝2，且ab＜0，求a﹣b的值． 【答案】6或﹣6． 【分析】根据绝对值的定义求出a＝±4，b＝±2，再根据ab＜0，进一步确定a、b的值，再代入a﹣b分别计算即可． 【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝2， ∴a＝±4，b＝±2， ∵ab＜0， ∴a＝4，b＝﹣2或a＝﹣4，b＝2， 当a＝4，b＝﹣2时，a﹣b＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6； 当a＝﹣4，b＝2时，a﹣b＝﹣4﹣2＝﹣4﹣2＝﹣6； 综上，a﹣b的值为6或﹣6． 【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的减法，绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18．已知|x|＝6，y＝8． （1）若xy＞0，求x+y的值； （2）若|x+y|＝x+y，求x﹣y的值． 【答案】（1）14；（2）﹣2或﹣14． 【分析】（1）（2）利用有理数的乘法法则，绝对值的定义，有理数的加、减运算法则解答． 【解答】解（1）∵|x|＝6，y＝8，xy＞0， ∴x＝6，y＝8， ∴x+y＝6+8＝14； （2）∵|x+y|＝x+y， ∴x+y＞0， ∵|x|＝6，y＝8， ∴x＝±6，y＝8， ∴x﹣y＝6﹣8＝﹣2， 或x﹣y＝﹣6﹣8＝﹣14， ∴x﹣y的值是﹣2或﹣14． 【点评】本题考查了有理数的乘法，绝对值，有理数的加、减运算，解题的关键是掌握有理数的乘法法则，绝对值的定义，有理数的加、减运算法则． 19．已知|a|＝5，|b|＝7． （1）若ab＜0，求|a﹣b|的值； （2）若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），求ab的值． 【答案】（1）12；（2）±35． 【分析】（1）直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案； （2）直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【解答】解：（1）根据题意可知，|a|＝5，|b|＝7， ∴a＝±5，b＝±7， 又∵ab＜0， ∴a，b异号， ∴a＝5，b＝﹣7或a＝﹣5，b＝7， |a﹣b|＝|5﹣（﹣7）|＝12或|a﹣b|＝|﹣5﹣7|＝12， 综上，|a﹣b|＝12； （2）若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），则a﹣b≤0， ∴a＝5，b＝7或a＝﹣5，b＝7， ∴ab＝5×7＝35或ab＝﹣5×7＝﹣35， 综上，ab＝±35． 【点评】此题考查了绝对值，有理数的乘法，有理数的额减法，掌握分类讨论是解题关键． 20．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：49（﹣5），看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式5249； 小军：原式＝（49）×（﹣5）＝49×（﹣5）（﹣5）＝﹣249； （1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ （2）上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来； （3）用你认为最合适的方法计算：19（﹣8）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据计算判断小军的解法好； （2）把49写成（50），然后利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）把19写成（20），然后利用乘法分配律进行计算即可得解． 【解答】解：（1）小军解法较好； （2）还有更好的解法， 49（﹣5） ＝（50）×（﹣5） ＝50×（﹣5）（﹣5） ＝﹣250 ＝﹣249； （3）19（﹣8） ＝（20）×（﹣8） ＝20×（﹣8）（﹣8） ＝﹣160 ＝﹣159． 【点评】本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的应用，把带分数进行适当的转化是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $