精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市十四校联盟考试2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

乌兰察布市初中联盟校2025-2026学年度第一学期期中素养评价 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共24分） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 已知的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P（ ） A. 在内 B. 在上 C. 在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键；根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离d与圆的半径r的大小即可． 【详解】解：∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴， ∴点P在内； 故选A． 3. 关于x的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义； 求出一元二次方程根的判别式的值，然后根据时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根，可得答案． 【详解】解：∵， ∴关于x的一元二次方程没有实数根， 故选：C． 4. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换．根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：把抛物线，先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为：，即． 故选：C． 5. 如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，测得直径为，，则提梁的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查弧长的计算，根据题意得出，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：∵隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，直径为，， ∴， ∴的长为：， 故选：D． 6. 将绕点C逆时针旋转，得到，点A的对应点恰好落在边上，下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质得到，则由等边对等角得到，据此利用三角形内角和定理和平角的定义可判断A、B、D，根据现有条件无法得到，则可判断C． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∴； 当时，， ∴； 根据现有条件无法得到， 故选：C． 7. 内蒙古自治区第十一届少数民族传统体育运动会于2025年7月20日至7月31日在赤峰市举办．在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状（如图所示）．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，以的中点O为原点，以直线为x轴，以过点O且与直线垂直的直线为y轴建立坐标系，求出经过A、B、三点的抛物线解析式，再求出该抛物线的顶点纵坐标即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以的中点O为原点，以直线为x轴，以过点O且与直线垂直的直线为y轴建立坐标系， 由题意得，，，， 设经过A、B、三点抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴经过A、B、三点的抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为． 故选：C． 8. 如图，为的直径，点在上，连接，以为边作菱形，交于点，垂足为，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理和菱形性质等知识，熟记垂径定理及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 先由垂径定理得到，，则，在中，由勾股定理求出，进而由菱形性质得到，最后数形结合表示出线段求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，为的直径， ，， 则， 在中，，则由勾股定理可得， 四边形为菱形， ， 则， 故选：B． 二、填空题．（每题3分，共12分） 9. 如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为___________度． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的中心角，解题的关键是掌握中心角公式． 根据正多边形的中心角公式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， ， ∴正八边形的中心角为， 故答案为：． 10. 若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 11. 如图，四边形是的内接四边形，点D是弧的中点，点E是弧上的一点，若，则的度数为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，由圆内接四边形对角互补得到的度数，再由可得，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵点D是弧的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 二次函数的图象如图，以下结论中：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论序号为___________ 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，解决本题的关键是读懂图象，由图象得到之间的关系 ． 根据图象可知该函数的对称轴大于零，可判断符号，由此可判断①；由函数图象可知该函数与x轴交于和两点，由此可求对称轴，由此可判断②；根据，，由此判断③；根据a与c的符号可判断④；根据函数的最小值即可判断⑤． 【详解】解：①：由图象可知，该函数的对称轴大于零， ∴，即， ∴，故①错误； ②：∵该函数与x轴交于和两点， ∴对称轴为， 即，则有， ∵点在函数图象上， ∴，即， 将，代入， 即，可得， ∴， ∵函数图象开口向上，即， ∴，则，故②正确； ③：由②知，，， ∴，故③正确； ④：∵，且， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵，， ∴⑤由图象可知，该函数的最小值小于， 即，且， ∴，故⑤错误． ∴正确的结论序号为②③④． 故答案为：②③④ ． 三、解答题．（本大题6个小题，共64分） 13. （1）解方程： （2）如图，已知为的直径，是弦，且于点E，连接，．求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，圆周角定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）由圆周角定理可得的度数，再根据直角三角形两锐角互余可得答案． 详解】解：（1） ∵， ∴， ∴， 解得； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，为的切线，A为切点，连接，过点A作，垂足为C，交于点B，连接，求证：为的切线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，全等三角形的性质与判定，由垂径定理得到，则，证明，结合切线的性质可得，据此可证明结论． 【详解】证明：如图所示，连接， ， ， ， ， 为的切线， ，即， ， 为的半径， 为的切线． 15. 额尔古纳湿地位于内蒙古自治区呼伦贝尔市，是亚洲面积最大，保存最完好的木本湿地系统，被誉为亚洲第一湿地．为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格为70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元／人． （1）若某单位组织22人去额尔古纳湿地旅游，购买门票费用为___________元； （2）若某单位支付该景区门票费用共计1500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 【答案】（1）1452 （2）25名 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算，解决本题关键是读懂题意，建立等式列方程． （1）根据标准二先求解门票，即可求解总费用； （2）根据费用共计1500元，则人数超过20人，则根据标准二建立等式列方程即可． 【小问1详解】 解：门票价格为（元／人）， ∴（元 ）， 故答案为：1452； 【小问2详解】 解：设该单位有名员工去该景区旅游， 则可列方程：， 整理得：， 解得：， 当时，， 当时， 舍去， 该单位共有25名员工去该景区旅游． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）求点A的坐标； （3）连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等． （1）将、代入得方程组，解方程组即可； （2）令，则，解方程即可求出点A的坐标； （3）设点P的坐标为，先由两点间的距离公式得，，，再分两种情况讨论：当为斜边时，则；当为斜边时，则；分别解方程即可． 【小问1详解】 解：将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 17. 为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解； （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 18. （1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是灵活掌握旋转的性质． （1）根据旋转性质得出全等三角形，得出相等的边和角，证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案； （2）将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接，根据旋转得出相等边和角，证明，得到相等边，最后利用勾股定理即可得出结论； （3）经过两次旋转，根据角的度数及旋转的性质得出，点在同一条直线上，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，且， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，根据，，将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接， ∴， ∴，， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得， 即 （3）如图所示， ∵，， ∴，， 由勾股定理得， 将绕点顺时针旋转，得到，点同一条直线上， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴点在同一条直线上， 将绕点顺时针旋转，得到，连接， ∵， ∴为等边三角形，点在同一条直线上， ∴，， 过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌兰察布市初中联盟校2025-2026学年度第一学期期中素养评价 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共24分） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 2. 已知的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P（ ） A. 在内 B. 在上 C. 在外 D. 无法确定 3. 关于x的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 4. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（ ） A. B. C D. 5. 如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，测得直径为，，则提梁的长为（ ） A. B. C. D. 6. 将绕点C逆时针旋转，得到，点A的对应点恰好落在边上，下列结论不正确的是（ ） A 若，则 B. C. D. 7. 内蒙古自治区第十一届少数民族传统体育运动会于2025年7月20日至7月31日在赤峰市举办．在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状（如图所示）．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为的直径，点在上，连接，以为边作菱形，交于点，垂足为，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 二、填空题．（每题3分，共12分） 9. 如图①所示司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为___________度． 10. 若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 11. 如图，四边形是的内接四边形，点D是弧的中点，点E是弧上的一点，若，则的度数为___________ 12. 二次函数的图象如图，以下结论中：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论序号为___________ 三、解答题．（本大题6个小题，共64分） 13. （1）解方程： （2）如图，已知为的直径，是弦，且于点E，连接，．求的度数． 14. 如图，为的切线，A为切点，连接，过点A作，垂足为C，交于点B，连接，求证：为的切线． 15. 额尔古纳湿地位于内蒙古自治区呼伦贝尔市，是亚洲面积最大，保存最完好的木本湿地系统，被誉为亚洲第一湿地．为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格为70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元／人． （1）若某单位组织22人去额尔古纳湿地旅游，购买门票费用为___________元； （2）若某单位支付该景区门票费用共计1500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）求点A的坐标； （3）连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 17. 为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 18 （1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $