精品解析：广东省广州市实验外语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025学年第一学期期中联考试卷 高一 数 学 命题人：李庆耀 审核人：陈焕 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；共150分，考试时间120分钟； 2、答卷发放后，考生务必将自己的姓名、考号、学校、班别、试室号、座位号等按要求填涂在答卷对应位置上，并认真核对．答卷的填写部分用黑色字迹的钢笔或签字笔； 3、考试结束时，将答卷交回监考老师，试卷和草稿纸自己保管． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 4. 若在上是单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A B. C. D. 7. 关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 8. 已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 对任意实数，下列命题中正确的是（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “是无理数”是“是无理数”的充要条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的充分条件 10. 已知，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，的最小值为0 B. 若存在最小值，则的取值范围为 C. 若是减函数，则的取值范围为 D. 若存在零点，则的取值范围为 第Ⅱ卷（客观题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12 已知集合，则________． 13. 已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为________. 14. 定义，若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1） （2）. 16. 已知集合是函数的定义域，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知函数的图象经过点 （1）求函数的解析式，并求的值； （2）用定义证明函数在区间上单调递减． 18. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 19. 已知函数的图象过点，且满足. （1）求函数的解析式； （2）设函数在上最小值为，求； （3）若满足，则称为函数的不动点.函数有两个不相等的不动点，且， ①求实数的取值范围；②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中联考试卷 高一 数 学 命题人：李庆耀 审核人：陈焕 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；共150分，考试时间120分钟； 2、答卷发放后，考生务必将自己的姓名、考号、学校、班别、试室号、座位号等按要求填涂在答卷对应位置上，并认真核对．答卷的填写部分用黑色字迹的钢笔或签字笔； 3、考试结束时，将答卷交回监考老师，试卷和草稿纸自己保管． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的概念与运算，准确运算，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合交集的概念与运算，可得. 故选：B. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据全称命题的否定得到命题的否定为， . 故选：C. 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断各选项的正误. 【详解】A：的定义域为，的定义域为，则A错误； B：的定义域为的定义域为，则B错误； C：和的定义域均为，且，则C正确； D：的定义域为的定义域为，则D错误. 故选：C 4. 若在上是单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知二次函数的对称轴和开口方向，结合单调性列式求解即可. 【详解】因为函数的图象开口向下，对称轴为， 若在上是单调函数，则或，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 5. 已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的概念求得，再利用幂函数的定义域与单调性即可解得不等式. 【详解】因为为幂函数，所以，则， 故的定义域为，且在定义域上为增函数， 所以由，可得，解得， 故a的取值范围为. 故选：B. 6. 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件，分别讨论，两种情况，结合函数单调性与奇偶性，即可求出结果. 【详解】若，则等价于，因偶函数，故， 又在上单调递减，则由可得； 若，则等价于，由题意，在上单调递增，则由可得； 综上，的解集为. 故选：A. 7. 关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解集和韦达定理，可得，且，，然后代入选项，即可判断选项正误. 【详解】由题知，，且，， 即得，故A错； 由可得， 所以，解得或，故B错； 对于C，，故C错； 由可得， 即，所以，故D正确. 故选：D 8. 已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解关于的一元二次方程,得到两个实根,由题意和共有3个实根,数形结合,可得的取值范围 【详解】作出函数的大致图象如图所示． 由可得． 由图可知，方程有两个不等的实根， 由题意可知，方程有且只有一个实根，故或，解得或． 故选: 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 对任意实数，下列命题中正确的是（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “是无理数”是“是无理数”的充要条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的充分条件 【答案】AB 【解析】 【分析】 利用充分与必要条件的定义，判定各选项中的充分性与必要性是否成立，从而选出正确答案． 【详解】A中，∵a＜3时，得出a＜5， ∴a＜5是a＜3的必要条件； ∴A是正确的； B中，是无理数，得出是无理数，充分性成立； 是无理数，得出是无理数，必要性成立； ∴B是正确的； C中，由，得出，充分性成立； 由，不能得出， 例如：c＝0时，2×0＝3×0，2≠3， ∴必要性不成立； ∴C是不正确的；； D中，∵a＞b不能得出， 例如：得， ∴充分条件不成立； D不正确. 故选：AB． 【点睛】关键点睛：解题的关键是判定充分性与必要性是否成立. 10. 已知，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由列举法可判断A项错误；由不等式性质可判断BC正确；由作差法可判断D项错误. 【详解】对于A，若，令，，则，，，故A错误； 对于B，显然，则，则，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，同理可得， 即，故C正确； 对于D，，因为，所以，，，故，即，故D错误． 故选：BC 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，的最小值为0 B. 若存在最小值，则的取值范围为 C. 若是减函数，则的取值范围为 D. 若存在零点，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项画出草图即可；B选项算出左右两侧函数的最值比大小即可；C选项判断左右两侧函数的增减性即可，D选项分四种情况讨论即可解答. 【详解】对于A选项： 当时，的图像如下： 故此时，.故A选项不对. 对于B选项： 当时， 当时，单减，此时， 当时，单调增，故， 因为；所以；所以； 即； 当时，的最小值为：. 故B选项正确. 对于C选项： 当时，时，单减， 此时的斜率为负，故此当时，单减， 故C选项正确. 对于D选项：此时要对分类讨论； 分类讨论一：当时，一定有零点； 分类讨论二：当时，由A选项可知此时无零点； 分类讨论三：当时， 当时，此时左区段无零点； 当时，函数右区段表达式为，此时直线单减， 故才会有零点； 解不等式. 与取交集有：； 分类讨论四：当时， 由B选项的讨论过程可知：此时函数图像左区段单减，左区段单增； 因为不在左区段的定义域内，故区段上无零点； 要使存在零点，则零点必在右区段上； 即右区段的最小值必然小于等零，即 即或 上式再与取交集有： 综上所述：若存在零点，则的取值范围为. 故D选项正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（客观题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则________． 【答案】 【解析】 【分析】解分式不等式可得集合A，后由补集定义可得答案. 【详解】由题可知或，则． 13. 已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】由题设将所求化为，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题a，b为正实数，且满足， 则，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为4. 故答案为：4 14. 定义，若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】根据已知得，画出函数图象，数形结合求函数最大值，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以，作出的图象如图所示： 由图知：当时有最大值，所以， 当时，令，注意，解得或， 令，注意，解得， 当时，令，注意，解得， 令，注意，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，值域为，此时， 由上知，的最大值为. 故答案为：3， 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1） （2）. 【答案】（1）8 （2）3 【解析】 【分析】（1）直接根据指数的运算性质计算即可； （2）直接根据对数的运算性质及换底公式计算即可. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式. 16. 已知集合是函数的定义域，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合、，再根据并集运算即可； （2）分和两种情况，结合包含关系讨论求解即可. 【小问1详解】 由，即，所以， 当时，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，，且， 当时，有，即. 当时，有，即. 综上所述，的取值范围为. 17. 已知函数的图象经过点 （1）求函数的解析式，并求的值； （2）用定义证明函数在区间上单调递减． 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，解得，得到，进而求得值； （2）由（1）化简得到，结合函数的单调性的定义与判定方法，即可得证. 【小问1详解】 解：因为函数的图象经过点， 可得，解得，所以， 可得，所以. 【小问2详解】 证明：由（1）知，函数， 任取，且， 则， 因为，可得，所以， 即，所以函数在区间上单调递减. 18. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）利用利润销售收入－成本公式计算即可得； （2）结合二次函数性质与基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 故； 【小问2详解】 当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元； 当时， 万元， 当且仅当时等号成立， 故当时，万元； 故当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元. 19. 已知函数的图象过点，且满足. （1）求函数的解析式； （2）设函数在上的最小值为，求； （3）若满足，则称为函数的不动点.函数有两个不相等的不动点，且， ①求实数的取值范围；②求的最小值. 【答案】（1） （2） （3）①，②最小值为6 【解析】 【分析】（1）根据，即可求解， （2）根据二次函数的单调性，解分类讨论即可求解， （3）根据一元二次方程根的分布即可由判别式以及韦达定理求解①，根据韦达定理，结合基本不等式即可求解最值. 小问1详解】 根据的图象过点，且 可得，故， 故. 【小问2详解】 的对称轴为， 当时，在单调递增，故， 当时，即，在单调递减， 故， 当时，即，故， 综上可得. 【小问3详解】 根据题意可得， 故有两个不相等的正实数根， 故，解得， 由于， 故， 由于，则， 故，当且仅当时取等号， 故，故最小值为6 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $