精品解析：北京市大兴区兴华中学2025-2026学年高二上学期11月期中检测数学试题

兴华中学2025-2026学年度第一学期高二期中检测 数 学 2025.11 1.本试卷共5页，共两部分，21道小题，满分150分，考试时间120分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和准考证号. 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，使用公式求出倾斜角. 【详解】直线的斜率为，由得到倾斜角为135°. 故选：D. 2. 椭圆 的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程判断焦点位置，求出可得. 【详解】由椭圆方程可得焦点在轴上，且， 所以焦点坐标为. 故选：C. 3. 已知直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则m的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系可得，由空间向量的坐标运算即可得m的值. 【详解】若，则， 即，解得. 故选：C. 4. 已知圆：与圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内含 【答案】B 【解析】 【分析】确定两个圆的圆心与半径，求解圆心距，利用圆与圆的位置关系判断即可. 【详解】圆圆心，半径1；圆化为，圆心，半径4， 圆心距，又， 故圆与圆相交. 故选：B. 5. 已知与关于直线l对称，则下列说法中错误的是（ ） A. 直线过的中点 B. 直线的斜率为 C. 直线的斜率为2 D. 直线的一个方向向量的坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率的坐标计算判断B，由斜率可得直线的一个方向向量从而判断D，求解的中点坐标，从而判断A；由对称关系可得直线的斜率，即可判断C. 【详解】的斜率为，故B正确； 则直线的一个方向向量的坐标是，故D正确； 因为与关于直线l对称，所以的中点坐标为一定在直线上，故A正确； 因为直线与直线垂直，所以直线斜率为，故C错误. 故选：C. 6. 在平行六面体中，，，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行六面体结合空间向量的运算可得，结合空间向量的数量积的运算即可得结论. 【详解】在平行六面体中，，， 则，， 则 . 故选：B. 7. 已知直线l：，圆O：，则“”是“直线l与圆O相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系结合充分必要条件判断即可. 【详解】圆O圆心为，半径， 直线l到圆心距离， 若，则，直线与圆相交； 但直线与圆相交时，可得，不一定能推得， 故“”是“直线l与圆O相交”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 已知是空间的一组基底，其中，，，若A，B，C，D四点共面，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据四点共面得到，然后列出等式求得参数的值. 【详解】因A，B，C，D共面，故， 即， 解得，，即，. 故选：C. 9. 已知直线恒过定点E，直线恒过定点F，且直线与交于点P，则点P到x轴的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点E、F坐标，分析可得，可得点P在以为直径的圆上移动，求出圆心和半径，根据直线与圆的位置关系，分析即可得答案. 【详解】直线恒过，直线化为，恒过. 当时，，，此时， 当时，，斜率为m， 直线，变形为，斜率为， 所以， 所以点P在以为直径的圆上，圆心，半径， 所以点P到x轴距离的最大值为. 故选：B 10. 平行六面体中，，，若，其中m，n，，给出下列四个结论： ①若点在平面内，则； ②当时，三棱锥的体积为； ③当时，长度的最小值为. 则正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理及空间向量的加法法则即可解判断①；由题易知四面体为正四面体，结合三棱锥的体积公式求解判断②；根据空间向量的数量积定义及运算律代入计算，再由二次函数的性质及基本不等式即可求解判断③. 【详解】对于①，若点在平面内，易知有， 所以， 又，则，故①正确； 对于②，由题易知四面体为正四面体， 设在平面内的射影为点， 则为的中心，易得，． 当时，到平面的距离为， 所以，故②正确； 对于③，因为， 所以 ， 又， 由基本不等式可知， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以长度的最小值为，故③正确． 故选：D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是__________；点P关于平面xOy对称的点的坐标是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的轴对称及面对称求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是；点P关于平面xOy对称的点的坐标是. 故答案为：；. 12. 直线与直线间的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平行直线之间的距离公式求解即可. 【详解】直线转化为，直线转化为， 则两直线平行，故两直线间的距离为. 故答案为：. 13. 已知圆C：的半径为2，则_______；若一条光线从点射出，经x轴反射后与圆C相切于点Q，则光线从P点到Q点所经历的路程为___________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】化简可得，可得圆心和半径，即可得；设点关于x轴对称的点为，结合对称性及切线长运算求解即可. 【详解】圆C：，即， 可知圆C的圆心为，半径，且， 因为，解得； 设点关于x轴对称的点为，可知反射光线经过点， 则，所以光线从P点到Q点所经历的路程为. 故答案为：1；. 14. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是，的中点，G是MN的中点.判断直线AG与平面是否相交？________（填“是”或“不是”）；若，则_______. 【答案】 ①. 是 ②. 【解析】 【分析】如图建系，求得各点坐标，进而可得平面法向量与，根据，分析判断，即可得答案；根据向量的线性运算法则，可求得x，y，z的值，即可得答案. 【详解】以为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 设， 则， 所以， 所以， 因为平面， 所以为平面的法向量， 因为， 所以与不垂直，即直线AG与直线不垂直， 所以直线AG与平面相交. 由题意 ， 所以，则. 故答案为：是； 15. 生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美.已知曲线C：，下面是关于曲线C的四个结论： ①曲线C既关于原点中心对称，又关于x轴、y轴对称； ②曲线C上点的纵坐标的取值范围是； ③曲线C上任意两点间的距离的最大值为； ④若直线与曲线C有两个交点，则实数k的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①② 【解析】 【分析】对曲线进行化简，求出曲线方程，再根据圆的对称性，圆的几何性质，圆与直线位置关系，逐一判断各命题正误，求出结果即可. 【详解】由题意得，可知曲线C是以原点为圆心，以为半径的圆， ①易知圆关于原点、x轴、y轴对称，命题正确； ②由半径为1，可知纵坐标范围，命题正确； ③圆上两点最大距离为直径，即为2，命题错误； ④联立方程组，消去得，直线与曲线C有两个交点时，，解得或， 即实数k的取值范围是，所以命题错误. 故答案为：①②. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知中，，，顶点C是直线l：上的动点. （1）求直线AB的方程； （2）求线段AB的垂直平分线所在的直线方程； （3）的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）为定值， 【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率与点，从而得直线的方程； （2）根据垂直平分线得直线斜率与中点，从而得垂直平分线所在的直线方程； （3）利用两点距离与点到直线的距离求解的面积即可得结论. 【小问1详解】 直线AB的斜率为， 方程为，即. 【小问2详解】 AB中点为，垂直平分线斜率为， 方程为，即. 【小问3详解】 AB的长度为， 点C到AB的距离， 所以面积，为定值. 17. 如图，长方体中，，，点P为的中点. （1）求证：直线平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求点B到平面的距离. 【答案】（1） 在长方体中， 平面，底面是正方形， 所以， 因为平面，所以， 因为平面，， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据线面角向量法求解即可； （3）根据点到平面距离向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量可以为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由（2）可知，， 所以点到平面的距离. 18. 已知，，O为坐标原点，圆C为△AOB的外接圆. （1）求圆C的标准方程； （2）若过原点的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先设出圆的一般方程，然后将三点的坐标代入方程，通过解方程组求出圆的一般方程即可； （2）先对直线l的斜率是否存在进行讨论，然后结合垂径定理以及点到直线的距离公式来求解直线l的方程即可. 【小问1详解】 设圆的方程为， 三点在圆上，代入、、，得 解得，，，， 故标准方程为. 【小问2详解】 当直线l斜率不存在时，方程为，弦长为4，符合； 当斜率存在时，设直线，圆心到直线距离，由，解得，方程为. 综上，直线l的方程为或. 19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，E，F分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知： （i）求二面角的大小； （ⅱ）线段上是否存在一点M，使得平面？若存在，说明点M的位置，若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：． 【答案】（1）证明见解析 （2）任选一条件，（i）；（ii）不存在，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）利用四棱锥的性质，结合线面平行定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关向量坐标并求出法向量，结合向量夹角余弦公式求出二面角的大小；假设存在点使得线面垂直，则对应向量与平面法向量平行，利用向量平行关系构造方程判断结论． 【小问1详解】 证明：取中点G，连接、， F，G分别为，的中点， 且， 为的中点，底面为菱形， 且， 则且， 四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 平面； 【小问2详解】 选条件①：，连接， 平面平面，平面平面， 又，平面， 平面， 平面， ， ，，，平面， 平面，则， 以D为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， ， （i）设平面EFC的法向量为，由 ，， 得，令，则 ， 平面， 为平面的一个法向量， 可得，，， ， 由图可知二面角为钝角，故二面角的大小为； （ii）设且，则， ， 平面，，则，无解， 故不存在M，使得平面． 选条件②：，连接，， 平面平面，平面平面， 又，平面， 平面， 平面， ， ，则， ，则， E为中点， ，由菱形得， ， 以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， ， （i）设平面EFC的法向量为，由 ，， 得，令，则 ， 平面， 为平面的一个法向量， 可得，，， ， 由图可知二面角为钝角，故二面角的大小为； （ii）设且，则， ， 平面，，则，无解， 故不存在M，使得平面． 20. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m（）的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中，已知点，.点P满足，设点P的轨迹为圆M，点M为圆心. （1）求圆M的方程； （2）若点Q是直线：上的一个动点，过点Q作圆M的两条切线，切点分别为E，F，求四边形的面积的最小值； （3）若直线：（，）始终平分圆M的面积，写出的最小值. 【答案】（1） （2） （3）20 【解析】 【分析】（1）用直接法设点求轨迹方程， （2）将四边形转化为两个三角形，再利用点到直线的距离公式， （3）代入圆心，求出的关系式，再用基本不等式求出最值. 【小问1详解】 设，由，得，化简得. 【小问2详解】 因为,是圆的切线,所以,， 四边形的面积,, 所以， 因为的最小值为圆心到直线的距离, 所以面积最小值为. 【小问3详解】 直线过圆心，则,即., 由,可得， 由基本不等式得：, 当且仅当,即时等号成立. 所以. 所以的最小值是20. 21. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术，主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种. 设，，则欧几里得距离，曼哈顿距离，余弦距离，其中，O为坐标原点. （1）若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值和最小值； （3）设动点E在直线上，动点F在圆上，求的最小值. 【答案】（1）， （2）最大值为0，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目中曼哈顿距离公式和余弦距离公式进行计算即可. （2）根据已知条件先判断点的轨迹，然后列出的表达式，结合图像求出最值. （3）先判断直线与圆的位置关系，然后结合图像进行求解即可. 【小问1详解】 曼哈顿距离； ，，， 所以余弦距离. 【小问2详解】 设，则，画出图象如下所示： 因为， 可将看作是，即要求的范围，即是求的范围. 由图像可以看出，当或时，取最大值为1， 当时，取最小值为，故. 所以， 所以的最大值为0，最小值为. 【小问3详解】 ，E在上，F在圆上， 因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离， 所以根据直线与圆的位置关系可知，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴华中学2025-2026学年度第一学期高二期中检测 数 学 2025.11 1.本试卷共5页，共两部分，21道小题，满分150分，考试时间120分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和准考证号. 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 2. 椭圆 的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则m的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知圆：与圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内含 5. 已知与关于直线l对称，则下列说法中错误的是（ ） A. 直线过的中点 B. 直线的斜率为 C. 直线的斜率为2 D. 直线的一个方向向量的坐标是 6. 在平行六面体中，，，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 5 D. 6 7. 已知直线l：，圆O：，则“”是“直线l与圆O相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知是空间的一组基底，其中，，，若A，B，C，D四点共面，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 9. 已知直线恒过定点E，直线恒过定点F，且直线与交于点P，则点P到x轴的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 平行六面体中，，，若，其中m，n，，给出下列四个结论： ①若点在平面内，则； ②当时，三棱锥的体积为； ③当时，长度的最小值为. 则正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是__________；点P关于平面xOy对称的点的坐标是__________. 12. 直线与直线间的距离为__________. 13. 已知圆C：的半径为2，则_______；若一条光线从点射出，经x轴反射后与圆C相切于点Q，则光线从P点到Q点所经历的路程为___________. 14. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是，的中点，G是MN的中点.判断直线AG与平面是否相交？________（填“是”或“不是”）；若，则_______. 15. 生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美.已知曲线C：，下面是关于曲线C的四个结论： ①曲线C既关于原点中心对称，又关于x轴、y轴对称； ②曲线C上点的纵坐标的取值范围是； ③曲线C上任意两点间的距离的最大值为； ④若直线与曲线C有两个交点，则实数k的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知中，，，顶点C是直线l：上的动点. （1）求直线AB的方程； （2）求线段AB的垂直平分线所在的直线方程； （3）的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 17. 如图，长方体中，，，点P为的中点. （1）求证：直线平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求点B到平面的距离. 18. 已知，，O为坐标原点，圆C为△AOB的外接圆. （1）求圆C的标准方程； （2）若过原点的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程. 19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，E，F分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知： （i）求二面角的大小； （ⅱ）线段上是否存在一点M，使得平面？若存在，说明点M的位置，若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：． 20. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m（）的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中，已知点，.点P满足，设点P的轨迹为圆M，点M为圆心. （1）求圆M的方程； （2）若点Q是直线：上的一个动点，过点Q作圆M的两条切线，切点分别为E，F，求四边形的面积的最小值； （3）若直线：（，）始终平分圆M的面积，写出的最小值. 21. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术，主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种. 设，，则欧几里得距离，曼哈顿距离，余弦距离，其中，O为坐标原点. （1）若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值和最小值； （3）设动点E在直线上，动点F在圆上，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $