精品解析：辽宁省大连市金普新区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度第一学期期中核心素养监测 八年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的线段能组成三角形的是（ ） A. 3，4，7 B. 5，4，10 C. 3，3，5 D. 7，7，15 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A B. C. D. 4. 如图，在中，为边上一点，连接，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 点关于y轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 多项式的公因式是（ ） A B. C. D. 7. 观察下图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　） A. B. C. D. 8. 如图，点，，，在同一条直线上，，，交于点，若，，则的度数为（ ） A B. C. D. 9. 如图，，，．若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 10. 如图，在中，，，为边上一点，连接，且，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解： ________ 12. 命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是_____命题．（填“真”或“假”） 13. 若2a+3b=3，则·的值为____________． 14. 如图，在中，，D为上一点，且，，则_______ 度． 15. 如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）运用平方差公式计算：； （2）计算：． 17. 如图，，求证：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在中，，平分． （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，分别交，于点，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：． 20. 求证：如果三角形一条边上中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．请你完善图形（不要求尺规作图）后写出已知、求证并进行证明． 已知： 求证： 证明： 21. 如图，将若干个边长分别为，的甲、乙两种规格的正方形拼叠成图，图，阴影部分的面积分别为，． （1）求，的值（用含，的式子表示）； （2）若，，求的值． 22. 在中，，点在边上，，点是平面内一点，连接，，，． （1）如图1，当点在边上时，连接． 求的度数； 求证：； （2）如图2，当点在的内部时，猜想线段，和的数量关系，并说明理由． 23. 【理解定义】 如图1，在和中，，，点，在底异侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做对合等腰三角形．在对合等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．图1中和是腰角，线段是轴线． 【探究性质】 小强通过测量、折纸的方法猜想对合等腰三角形有以下性质：对合等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边． 小强利用图1给出已知、求证，请帮助小强完成证明． （1）已知：如图1，和是对合等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线． 【辨析理解】 （2）如图2，在中，平分，点为的延长线上一点，分别连接，，且．求证：和是对合等腰三角形． 【拓展应用】 （3）和是对合等腰三角形，过点作交直线于点，已知，，请直接写出BD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中核心素养监测 八年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，把一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A、把图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合，这个图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、把图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C、把图形沿虚线所在的直线折叠直线两旁的部分能重合，这个图形是轴对称图形，故C选项符合题意； D、把图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合，这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选： C． 2. 下列长度的线段能组成三角形的是（ ） A. 3，4，7 B. 5，4，10 C. 3，3，5 D. 7，7，15 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，由三角形三边关系逐一判断，即可求解；掌握“三角形的三边任意两边之和大于第三边．”是解题的关键． 【详解】解：A.，不能构成三角形，故不符合题意； B.，不能构成三角形，故不符合题意； C.，能构成三角形，故符合题意； D.，不能构成三角形，故不符合题意； 故选：C． 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵ A、不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意； B、同底数幂相乘应指数相加，即，该选项错误，不符合题意； C、积的乘方应每个因子分别乘方，即，该选项错误，不符合题意； D、幂的乘方应指数相乘，即 ，该选项正确，符合题意； ∴ 故选：D． 4. 如图，在中，为边上一点，连接，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：，根据，可得：，从而可知的度数． 【详解】解：是的外角， ， ，， ， ， . 故选：C． 5. 点关于y轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的轴对称变换，根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数作答即可． 【详解】解：点关于y轴对称点的坐标是， 故选：A． 6. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查找公因式，根据系数找最大公因数，字母找相同字母最低指数即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 的公式为：， 故选：A． 7. 观察下图，有一边为m三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法几何背景，解题的关键是通过几何图形之间面积的数量进行求解． 用不同的方法表示长方形的面积即可得出结果． 【详解】解：∵长方形面积=三个小长方形面积的和， ∴， 故选：A． 8. 如图，点，，，在同一条直线上，，，交于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形、三角形内角和、三角形外角的知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质；结合题意，根据全等三角形的性质，得，，再通过三角形内角和计算得，最后利用三角形外角性质计算，即可完成求解． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，，，．若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键。 先证明，，得到，继而证明，得到，，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 则． 故选：B． 10. 如图，在中，，，为边上一点，连接，且，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是含的直角三角形性质、三线合一，解题关键是作出正确的辅助线． 作交于点，由含的直角三角形性质求出，再根据三线合一得出，则． 【详解】解：作交于点， ，又， ， ， ， ，，， ， ． 故选：． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解： ________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用提公因式法分解因式，因式分解的方法主要包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．直接利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是_____命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】逆命题就是原命题的假设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形，结论为每个内角都是60°，互换即可判断命题是真是假； 【详解】∵ 原命题为：等边三角形的每个内角都是60°， ∴ 逆命题为：三个内角都是60°的三角形是等边三角形 ∴ 逆命题为真命题； 故答案为：真． 【点睛】本题考查了命题的真假，正确掌握原命题与逆命题之间的关系是解题的关键； 13. 若2a+3b=3，则·的值为____________． 【答案】27 【解析】 【分析】根据幂的乘方及同底数幂的乘法将原式变形求值即可． 【详解】解： ∵2a+3b=3 ∴原式=， 故答案为：27． 【点睛】题目主要考查幂的乘方及同底数幂的乘法，求代数式的值，熟练掌握运用幂的乘方及同底数幂的乘法是解题关键． 14. 如图，在中，，D为上一点，且，，则_______ 度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质．等腰三角形的两条腰相等，两个底角相等．找着角的关系列出关系式正确解答本题的关键． 由已知的许多线段相等，根据等边对等角，找出图中相等的角，由，根据三角形的内角和是180°，列式求解． 【详解】解∶ ， ． ， ． ， ， ， 解得． 故答案为∶． 15. 如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接， 关于对称， ∴， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）运用平方差公式计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）结合平方差公式将原式转化为即可得解； （2）结合同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方、同底数幂相除运算法则即可得解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查的知识点是平方差公式、同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方、同底数幂相除，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 17. 如图，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，证明即可． 【详解】证明：， ， 即． 在和中， ， ∴． ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查乘法公式、多项式除以单项式及化简求值，熟练掌握乘法公式及多项式除以单项式是解题的关键；因此此题先根据乘法公式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解： ； 把，代入得：原式． 19. 如图，在中，，平分． （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，分别交，于点，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了用尺规作图作已知角的平分线、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质． 以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、，分别以点、为圆心大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，射线即为所求； 根据等边对等角可知，根据角平分线的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立． 【小问1详解】 解：如图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、， 分别以点、为圆心大于的长度为半径画弧， 两弧交于点，作射线交于点， 射线即为所求； 【小问2详解】 证明：， 平分，平分， ， ， 在和中，， ， ． 20. 求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．请你完善图形（不要求尺规作图）后写出已知、求证并进行证明． 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据是中边的中线，．得，再结合等边对等角，得，，根据三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：已知：如图，是中边的中线，． 求证：是直角三角形． 证明：∵是中边的中线， ∴． ∵， ∴． ∴．． ∵在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． 即是直角三角形． 21. 如图，将若干个边长分别为，甲、乙两种规格的正方形拼叠成图，图，阴影部分的面积分别为，． （1）求，的值（用含，的式子表示）； （2）若，，求的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，列代数式，解决本题的关键是根据完全平方公式的结构特征进行变形． 图阴影部分的面积是大正方形面积减去空白正方形的面积；图阴影部分的长为，宽为，根据长方形的面积公式列出代数式即可； 由可知，利用完全平方公式变形，可得：，利用整体代入法求代数式的值即可． 【小问1详解】 解：图中阴影部分的面积为：， 图中阴影部分的面积为： 【小问2详解】 解：， ， ． 22. 在中，，点在边上，，点是平面内一点，连接，，，． （1）如图1，当点在边上时，连接． 求的度数； 求证：； （2）如图2，当点在的内部时，猜想线段，和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①；②见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可知，根据可得：，根据即可求出结果； 根据等腰三角形的性质可得，根据等边对等角可以求出，从而可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 当点在的内部时，在上截取一点，使，连接，利用可证，根据全等三角形的性质可得，设，则，根据三角形内角和定理可得，根据等角对等边可证，根据线段的和与差可得：． 【小问1详解】 解：在中，， ， ， ， ， ， 解：， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如下图所示，在上截取一点，使，连接， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 在中，，，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形判定和性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形全等的判定和性质． 23. 【理解定义】 如图1，在和中，，，点，在底的异侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做对合等腰三角形．在对合等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．图1中和是腰角，线段是轴线． 【探究性质】 小强通过测量、折纸的方法猜想对合等腰三角形有以下性质：对合等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边． 小强利用图1给出已知、求证，请帮助小强完成证明． （1）已知：如图1，和是对合等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线． 【辨析理解】 （2）如图2，在中，平分，点为的延长线上一点，分别连接，，且．求证：和是对合等腰三角形． 【拓展应用】 （3）和是对合等腰三角形，过点作交直线于点，已知，，请直接写出BD的长． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）或． 【解析】 【分析】根据等边对等角可证，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可证直线是线段的垂直平分线； 过点作，，可证，根据全等三角形性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 根据和是对合等腰三角形，可证，根据平行线的性质可证，根据等角对等边可得，分情况求出的长度即可． 【详解】证明：，， ，， ， ， ，， 点、在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线； 如下图所示，过点作，， ， 平分， ，， 在和中，， ， ， 在和中，， ， ， 是等腰三角形， 是等腰三角形，且点、在的异侧， 和是对合等腰三角形； 解：如下图所示， 和是对合等腰三角形， ，， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如下图所示，， ， ， ， ， ， 又， ， ． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质、角平分线的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $