精品解析：上海市杨浦高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

杨高2025-2026学年第一学期高三年级数学期中 2025.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据并集定义直接求得结果. 【详解】 故答案为： 2. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法计算直接得出结果. 【详解】由不等式，可得， 即且，解得， 即不等式的解集为． 故答案为： 3. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先应用复数的乘法和除法运算，再根据模长公式计算求解. 【详解】因为， 则，所以， 则． 故答案为：. 4. 已知向量，满足，则m的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标运算得，结合得到计算得到答案； 【详解】根据题意，向量，， 因为，所以，则. 故答案为： . 5. 若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】运用正切函数定义、两角和的正弦公式以及同角三角函数的平方关系，通过已知条件逐步化简式子并求出最终结果. 【详解】由，知， 由，得，代入得值为 故答案为：. 6. 已知的二项展开式中常数项为60，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，再令的指数等于零，即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，得，则的常数项为， 当常数项为60时， . 故答案为： . 7. 已知是公差不为0的等差数列的前n项和，且，，成等比数列，则________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据等差、等比数列的通项公式、求和公式，进行化简求值即可. 【详解】设等差数列的公差为，由，，成等比数列，则， 即，可得， . 故答案为：4. 8. 若正数x，y满足，则 的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】变形得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】正数x，y满足，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 9. 已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为5:3，则该圆锥的母线长为______ 【答案】10 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积、底面积和体积公式列式求解得圆锥的高为 ，底面圆半径为 ，即可求解母线长. 【详解】设圆锥的高为h，底面圆半径为r，则母线长为， 故圆锥的底面积，侧面积，体积， 故， 得，故，解得 ， ， 所以该圆锥的母线长为. 故答案为：10 10. 已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件结合圆的弦长公式求得，利用建立不等式即可求得双曲线的离心率范围. 【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，， 由，得，即，解得， 即，于是，而， 所以双曲线的离心率的取值范围是． 故答案为： 11. 如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为C，下沿为 ，某班数学小组在斜坡坡脚 处测得浮雕下沿 的仰角满足，在斜坡上的处测得满足．已知斜坡与地面的夹角为满足，，则浮雕 的高度（上下沿之间的距离）为______m. 【答案】 【解析】 【分析】过作于点，根据三角函数的定义，分别求得 ，和的长，再在中，由，结合两角差的正切公式，推出的长，然后由，求解即可． 【详解】过作于点，则四边形是矩形， 在中，， 所以， 在 中，，， 所以， 所以 ，， 所以， 在中， ， 而， 所以， 所以． 故答案为：． 12. 已知平面向量，其中为单位向量，且满足，若与夹角为，向量满足，则最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，设， ， ，，利用题设可确定向量对应的轨迹以及向量对应的轨迹，将的最小值转化为两轨迹上的点之间的距离的最小值，数形结合，求解答案. 【详解】根据题意，设，，，， 因为与夹角为， 所以，整理得， 即向量对应的轨迹为射线或， 因为向量满足 ， 所以，即向量对应的轨迹为抛物线：， 则即为上的点与射线或上的点之间的距离， 如图， 当最小值时，对应的点在上， 设直线，由图可知，当直线与相切时，切点设为A， 此时最小，联立方程 ，得， 由得，则，解得， 故，则A到射线的距离为, 所以的最小值为， 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：解答本题求解的最小值，关键在于确定向量对应的点所在的轨迹方程，将的最小值转化为曲线上的点之间距离的最小值问题，数形结合，可求解答案. 二、单选题（本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分准满分18分） 13. 若l，m是两条不同的直线，平行于平面，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用长方体判断不满足充分性，再根据线面垂直的性质判断必要性，即可得到答案. 【详解】充分性：如图所示，在长方体中，满足：，， 此时不垂直平面，故不满足充分性. 必要性：可推出，满足必要性. 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 14. 某校派高一、高二、高三每个年级各2名学生参加某项技能大赛，比赛要求每2名学生组成一个小组，则在这6名学生组成的小组中，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概率模型进行计算，即可得到答案. 【详解】6人分成3个小组，每个小组2人，共有种方法， 3个年级中选1个，该年级的2名学生组成一个小组，有 种选择， 剩余两个年级（设为 年级）各有2名学生， 年级学生记为 ，年级学生记为 ， 分组方式有和，和，共2种情况. 所以，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为. 故选：C 15. 若，，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】对已知条件进行化简，然后构造函数，利用函数的奇偶性和单调性来找出与的关系，最后根据三角函数的性质求出的值. 【详解】根据诱导公式，则可化为 ①. 对，可得，即 ②.  设，其定义域为，关于原点对称. 且，所以 是奇函数. 对 求导，， 若，，，所以； 若，，则， 所以 在上单调递增.  由①式可得，由②式可得，所以. 因为 是奇函数，所以. 又因为 在上单调递增，所以，即.  将代入，可得.  的值为. 故选：A. 16. 在棱长为1的正方体中放入一个球体（ 在同一平面，垂直平面），使之恰与平面、平面、平面、平面均相切，则其半径长为：（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正方体的性质和线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再根据对称性找出球心与相关平面的关系，最后通过建立线段长度的等式求解球心到平面的距离. 【详解】如图，连接， 在正方体中，平面，因为 平面， 根据线面垂直的性质可知. 又因为四边形是正方形，所以. 由于，且平面，所以 平面. 而平面，根据线面垂直的性质可知. 在正方体中， 平面，因为平面， 可知. 又因为四边形是正方形，所以 . 由于，且平面，所以平面. 而平面，根据线面垂直的性质可知. 因为，且平面，所以平面. 取截面，设平面，球的球心为O， 由对称性：，则O到平面的距离为， 过作，垂足为，设 ，，， 所以，，， 则 ∽，则，即， 解得：，即半径长为 故选：B． 三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区城内写出必要的步骤，满分78分）． 17. 某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示： （1）求该公司员工年龄的平均数和第百分位数； （2）从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件 ，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件 与是否互相独立，并说明理由. 【答案】（1）年龄的平均数为，第百分位数为； （2）事件 、相互独立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数公式以及百分位数的定义可求得结果； （2）求出、、的值，利用独立事件的定义判断可得出结论. 【小问1详解】 该公司员工年龄（单位：岁）由小到大依次为： 、 、、、、、 、、、、、， 年龄的平均数为； 该公司共有名员工，因为， 故该公司员工年龄的第百分位数为. 【小问2详解】 解：由茎叶图可知，，， 事件为“抽取员工的年龄为岁”，则， 所以，，所以，事件 、相互独立. 18. 在中，角所对的边分别是，且满足. （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化及辅助角公式可得结果； （2）由余弦定理、基本不等式和三角形面积公式可得结果. 【小问1详解】 由正弦定理得，即， 因为 ，所以， 所以，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得： ，代入得：， 根据基本不等式，得：，当且仅当时，等号成立， 的面积为：，故面积的最大值为. 19. 如图，已知平面四边形 中， 为的中点，，，且．将此平面四边形 沿 折成直二面角，连接、 ，设 中点为． （1）求直线与平面 所成角的正弦值； （2）在线段上是否存在一点，使得平面 ？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）证明空间中三线两两垂直，建立空间直角坐标系，由线段长写出点坐标，然后利用空间向量的数量即求出平面法向量，由直线方向向量和平面法向量的数量积求得线面角的正弦值； （2）点存在，设，即得到点坐标，然后由线面垂直得到空间向量的数量积，解得即为的值. 【小问1详解】 ∵，， ∴，即 ， ， 又∵二面角为直角，∴， ∴如图建立空间直角坐标系 ， ∵， 为的中点， ∴ ，，，，， 则，，， 设为平面 的一个法向量， 则，令，则， ， 设直线与平面 所成角为， 则. 【小问2详解】 存在这样的点， 设， ∵ 中点为，∴， 则， 当平面 时，，解得， 即. 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，的周长为6，为的中点，为坐标原点，直线 的斜率分别为，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：为定值； （3）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）证明：由题意知直线的斜率存在且不为0，设，， 则， ， ， 所以 ，即 ， 得， 因为，，所以， 又，所以 ，为定值． （3） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义得到的关系式，再根据椭圆的标准方程即可求解； （2）设出点的坐标，结合椭圆方程得到坐标之间的关系式，利用点差法结合斜率公式即可得证； （3）将直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到的表达式，结合直线的方程得到的表达式，由三角形面积公式结合换元法可得面积的最大值. 【小问1详解】 因为的周长为6，所以 ， 又，所以 ， ， 故， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知 ，所以 ． 由题可得直线的方程为， 将与联立，消去并整理得 ， 所以， 则． 因为，所以直线的方程为 ，即， 又，所以直线的方程为， 与联立， 消去并整理得 ， 则，， 所以 ． 故的面积 ， 令，则 ， ，当，即 时取等号， 因此面积的最大值为． 【点睛】方法点睛：解决解析几何中与面积有关的最值或范围问题的一般步骤： 列式：常用直接法或分割法求出面积的表达式； 定参：得到目标函数解析式后，利用方程根的判别式大于0等，明确自变量的限制条件； 求值：利用配方法、基本不等式、函数单调性等求出面积的最值或取值范围. 21. 已知函数． （1）讨论函数的奇偶性； （2）设函数，且存在，分别为函数的极大值点和极小值点． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）若对任意，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）分别假设为偶函数、奇函数，由定义求出的值，即可下结论； （2）（i）由函数既存在极大值，又存在极小值，可得必有两个不等的实根，由此求出的范围； （ii）由表示出，代入变形可得对任意，恒成立，构造函数，，讨论单调性即可得出k的取值范围. 【小问1详解】 若为偶函数，有恒成立，则， 若为奇函数，有恒成立，则， 故时为偶函数，时为奇函数， 且时既不是奇函数也不是偶函数； 【小问2详解】 （i）， 因为函数既存在极大值，又存在极小值，则 必有两个不等的实根，则 ， 令 可得或，所以，解得 且． 令，则有： 当时， ，单调递增， 当时，，单调递减， 当时， ，单调递增， 可知分别在和取得极大值和极小值，符合题意． 综上，实数的取值范围是． （ii）由，可得， 所以且有， 由题意可得对恒成立， 由于此时，则， 所以，则， 令，其中， 则， 令，则． ①当 ，即时，在上是严格增函数， 所以 ，即，符合题意； ②当 ，即时， 设方程的两根分别为且， 则，则， 则当时， ，则在上单调递减， 所以当时，，即，不合题意． 综上所述，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨高2025-2026学年第一学期高三年级数学期中 2025.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，则 __________. 2. 不等式的解集为______． 3. 若，则________． 4. 已知向量，满足，则m的值为______. 5. 若，则______. 6. 已知的二项展开式中常数项为60，则______. 7. 已知是公差不为0的等差数列的前n项和，且，，成等比数列，则________. 8. 若正数x，y满足，则 的最小值是___________. 9. 已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为5:3，则该圆锥的母线长为______ 10. 已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于 两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是__________. 11. 如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为C，下沿为，某班数学小组在斜坡坡脚处测得浮雕下沿的仰角满足，在斜坡上的处测得满足．已知斜坡与地面的夹角为满足，，则浮雕的高度（上下沿之间的距离）为______m. 12. 已知平面向量，其中为单位向量，且满足，若与夹角为，向量满足，则最小值是__________. 二、单选题（本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分准满分18分） 13. 若l，m是两条不同的直线，平行于平面，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 某校派高一、高二、高三每个年级各2名学生参加某项技能大赛，比赛要求每2名学生组成一个小组，则在这6名学生组成的小组中，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为（ ） A. B. C. D. 15. 若，，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 16. 在棱长为1的正方体中放入一个球体（ 在同一平面，垂直平面），使之恰与平面、平面、平面、平面均相切，则其半径长为：（ ）． A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区城内写出必要的步骤，满分78分）． 17. 某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示： （1）求该公司员工年龄的平均数和第百分位数； （2）从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由. 18. 在中，角所对的边分别是，且满足. （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值； 19. 如图，已知平面四边形 中，为的中点，，，且．将此平面四边形 沿折成直二面角，连接、 ，设 中点为． （1）求直线与平面 所成角的正弦值； （2）在线段上是否存在一点，使得平面 ？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点 在椭圆上，的周长为6，为的中点，为坐标原点，直线 的斜率分别为，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：为定值； （3）求面积的最大值． 21. 已知函数． （1）讨论函数的奇偶性； （2）设函数，且存在，分别为函数的极大值点和极小值点． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）若对任意，恒成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $