精品解析：四川省泸州市 泸县五中学区 2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

泸县五中学区2025年秋初中九年级数学学科 半期定时训练题 考试说明： 1．全卷分为Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页； 2．全卷满分120分，考试时间为120分钟； 3．答案填在答题卷对应题目号的位置上，答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的方程的一个根是-1，则的值是（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 5. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，则（ ） A. B. C. D. 7. 把抛物线向左平移3个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线（ ） A. B. C. D. 8. 已知点关于原点的对称点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 将一元二次方程配方，其正确的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 已知为一元二次方程的一个根，那么的值为（ ） A. 2026 B. C. 0 D. 4052 11. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论中，正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 一元二次方程的根是________． 14. 国庆期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡张，则这个小组共有人．根据题意，可列方程______． 15. 如图，已知二次函数（）与一次函数（）的图象交于点，，，则不等式的解集是______． 16. 已知二次函数．（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而减小，则的取值范围是______． 三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分 17. 计算． 18. 解方程：． 19. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分． 20. 已知二次函数的图象分别经过点，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若在抛物线上，求出点的坐标． 21. 如图，在长、宽的矩形地块，修筑两条等宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积是，道路的宽应为多少？ 五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 23. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度） （1）请画出关于原点对称的图形，并写出，，三点的坐标． （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的． （3）在轴上找一点，使得的值最小，请写出点的坐标． 六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分 24. 某旅游村一家特色菜馆，希望在五一节期间获得好的收益．经测算知，某“特殊菜”的成本价为每份30元，若每份卖50元，平均每天将销售120份；若价格每提高1元，则平均每天少销售2份．五一节期间，为了更好地维护景区形象，物价局规定每份“特色菜”售价不能高于75元．设每份“特色菜”的售价上涨元（为正整数），每天的销售利润为元． （1）当每份“特色菜”的售价上涨多少元时，菜馆才能实现每天销售利润3000元？ （2）五一节期间，求每份“特色菜”的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． （1）求直线的解析式． （2）若点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点E的坐标． （3）若点Q是x轴上一动点，点P是抛物线上一动点，是否存在Q，P，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县五中学区2025年秋初中九年级数学学科 半期定时训练题 考试说明： 1．全卷分为Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页； 2．全卷满分120分，考试时间为120分钟； 3．答案填在答题卷对应题目号的位置上，答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，方程变为，的最高次数为，故不是一元二次方程，不符合题意； B、中含有两个未知数和 ，故不是一元二次方程，不符合题意； C、中含有分式 ，分母含未知数，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； D、，移项、合并同类项得：，是整式方程，只含有一个未知数，且的最高次数为，故是一元二次方程，符合题意； 故选：D ． 2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标．根据抛物线顶点式的顶点坐标为 ，直接读取h和k的值． 【详解】解：∵ 抛物线方程为，可化为， ∴ 顶点坐标为． 故答案为：D． 4. 已知关于的方程的一个根是-1，则的值是（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】把代入方程得，然后解关于的方程． 【详解】解：把代入方程，得：， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，熟知方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值是解题关键． 5. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． A、图象的开口向上的说法错误； B、当时，y随x的增大而减小的说法正确； C、当时，y随x的增大而减小的说法错误； D、图象的对称轴是直线的说法错误． 故选：B． 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，从而得出，即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 把抛物线向左平移3个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的几何变换；掌握二次函数的平移不改变二次项的系数；规则为：左加右减，上加下减是解决本题的突破点．根据规则直接写抛物线的解析式即可． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位，得到， 再向下平移5个单位，得到， 故选：A． 8. 已知点关于原点的对称点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系． 根据已知可得点在第四象限，由第四象限的点的坐标特征列不等式组，即可得的取值范围． 【详解】解：∵点关于原点的对称点在第二象限， ∴点在第四象限， ∴ ， ∴ 故选：B． 9. 将一元二次方程配方，其正确的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过配方将二次方程转化为完全平方形式，需先使二次项系数为1，再计算一次项系数一半的平方并加至两边，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵原方程为， ∴ 两边除以2，得， ∴ 一次项系数一半为，其平方为， ∴ 两边加，得， 整理得． 故选：D． 10. 已知为一元二次方程的一个根，那么的值为（ ） A. 2026 B. C. 0 D. 4052 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值．利用m满足原方程的条件，得到的值，然后代入所求表达式进行化简计算，即可作答． 【详解】解：∵为一元二次方程的一个根， ∴， 即， 则 ， 故选：A 11. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，理解连续两次降价的关系是解题关键． 设平均每次降价的百分率为x，根据连续两次降价，每次降价后的价格是原价的倍，据此列出方程即可． 【详解】解：∵原价为144元，连续两次降价，每次降价的百分率为x， ∴第一次降价后的价格为：元， 第二次降价后的价格为：元， 根据题意，第二次降价后售价为121元， ∴列方程：． 故选C． 12. 如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论中，正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． ①根据抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置来判断即可； ②根据对称轴求解即可； ③根据抛物线与x轴的交点个数求解即可； ④根据轴对称性求出当时的函数值大小即可； ⑤由图可知，当时的函数值为0，所以，再结合，可求得，即可判断． 【详解】解：图象开口向下， ， 图象交轴于正半轴， ， 对称轴是直线， ， ， ， ，故①错； ， ，故②对； 图象与轴两个交点， △，即，故③对； 根据图像可知关于对称的点为， 故图象与轴交点在和3之间，且开口向下， 时，，故④对； 由图象知：时，， ， ，即，故⑤错；共三个对， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 一元二次方程的根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，直接把方程化为两个一次方程求解即可. 【详解】解：， ∴或， 解得：，， 故答案为：， 14. 国庆期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡张，则这个小组共有人．根据题意，可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是列方程的关键．根据“新年互送贺卡一张”得每个人都要求送其他的人一张贺卡，即每人需送出张贺卡，进而求出全组共送的数量，再根据等量关系“全组共送贺卡张”， 列方程即可． 【详解】解：这个小组共有人，每人需送出张贺卡， 全组共送贺卡张， 全组共送贺卡张， ， 故答案为：． 15. 如图，已知二次函数（）与一次函数（）的图象交于点，，，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；由不等式可变形为，然后根据图象可进行求解． 【详解】解：由不等式可变形为， ∴由图象可知：不等式的解集是； 故答案为． 16. 已知二次函数．（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而减小，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质．根据二次函数图象与x轴有交点，可得判别式，解得或；由二次函数开口向下，且当时y随x增大而减小，可得对称轴，结合判别式结果可得a的取值范围． 【详解】∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴判别式， 即， 化简得， 解得或． ∵二次函数开口向下，对称轴为， 且当时，y随x的增大而减小， ∴对称轴满足． 综合以上，得或． 故答案为：或． 三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分 17. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查负指数幂，零次幂及二次根式的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据负指数幂，零次幂及二次根式的运算进行求解即可． 【详解】解：原式． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 先移项，然后再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 移项得：， 因式分解得： ∴或， ，． 19. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即：， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．根据证明，推出，即可得证． 【详解】略 四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分． 20. 已知二次函数的图象分别经过点，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若在抛物线上，求出点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是运用待定系数法求解析式． （1）直接将点，，代入二次函数解析式，然后解方程组即可； （2）将代入二次函数解析式求得m，即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：将点，，代入得：， 解得： ∴二次函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时， 所以点P的坐标为． 21. 如图，在长、宽的矩形地块，修筑两条等宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积是，道路的宽应为多少？ 【答案】2米 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设道路的宽为x米，由题意易得方程，进而求解即可． 【详解】解：设道路的宽为x米． 根据题意，得：， 整理得：，即， 解得：，， ∵， ∴不合题意，舍去， 答：道路的宽应为2米． 五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根，熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，，结合题意可列出关于m的等式，解出m即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得：， ∵， ∴， ∴ ∴即： ∴，． 23. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度） （1）请画出关于原点对称的图形，并写出，，三点的坐标． （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的． （3）在轴上找一点，使得的值最小，请写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所作，且，，； （2） 如图所示，即为所求． （3） 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 【解析】 【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接，再结合直角坐标系写出，，三点的坐标即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 可知，， 此时， ∴此时的值最小，最小值为的长，则点即为所作； ∵，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，得：， ∴． 【点睛】本题考查轴对称性质，作中心对称图形，作旋转图形，待定系数法确定函数解析式等知识点，掌握中心对称图形、旋转图形及轴对称的性质是解题的关键． 六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分 24. 某旅游村一家特色菜馆，希望在五一节期间获得好的收益．经测算知，某“特殊菜”的成本价为每份30元，若每份卖50元，平均每天将销售120份；若价格每提高1元，则平均每天少销售2份．五一节期间，为了更好地维护景区形象，物价局规定每份“特色菜”售价不能高于75元．设每份“特色菜”的售价上涨元（为正整数），每天的销售利润为元． （1）当每份“特色菜”的售价上涨多少元时，菜馆才能实现每天销售利润3000元？ （2）五一节期间，求每份“特色菜”的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元 （2）每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题关键． （1）设每份“特色菜”的售价上涨x元（x为正整数），根据题意列一元二次方程求解即可； （2）根据物价局规定可得，再列出关于的二次函数，求出最值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，每份售价为元，销售量为份． 利润 令，得． 整理得：，解得， 售价不能高于75元，即，， ∴舍去． 答：当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元． 【小问2详解】 解： ， ，抛物线开口向下，函数有最大值， ∵，且x为正整数，对称轴为直线在取值范围内， ∴当时，（元）．此时售价为（元） 答：每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元． 25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． （1）求直线的解析式． （2）若点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点E的坐标． （3）若点Q是x轴上一动点，点P是抛物线上一动点，是否存在Q，P，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据题意令代入二次函数解析式求得x的值，随即得出二次函数与x的坐标A，B，利用待定系数法根据点B和点C的坐标求得直线的解析式； （2）过点E作轴，交直线于点F，设，，求得的距离，通过“铅垂法”列出面积的表达式，得出，此时表达式为二次函数，并且时面积有最大值，将代入到二次函数中得到点E的坐标； （3）根据题意设，此时以，，P，Q为顶点的平行四边形，分三种情况讨论，根据不同的情况最终得出点P的坐标． 【小问1详解】 解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，将，代入： ，解得， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过点E作轴，交直线于点F， 设，则， 即， ∵， ∴当时，的面积最大．此时． 【小问3详解】 解：存在．点P的坐标为或或． 设， 以，，P，Q为顶点的平行四边形，分三种情况： ①如图，以为平行四边形的边，为对角线： 此时，， ∴，即， 则，解得，， ∴点P的坐标为或； ②如图，以为平行四边形的边，为对角线： 此时，， ∴， 令，代入二次函数解析式得， 解得：，， ∴点P的坐标为； ③如图，以为平行四边形的边，为对角线： 此时，，则． ∴， 令，代入二次函数解析式得， 解得：，， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式表达，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，综合性强，难度大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $