精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2025-2026学年高二上学期11月月考数学（文科）试题

新蔡一高2025-2026学年上学期11月月考 高二数学试题（文科） 一、选择题 1. 已知点 在平面 内，并且对于空间任意一点 ，都有 ，则 的值是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理求解即可. 【详解】因为四点共面，且， 所以，解得. 故选：D 2. 已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直线的方程，求出实数的值，即可得出直线的方程. 【详解】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为. 故选：B. 3. 如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由题可知， 故选：A 4. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据题目中的垂直关系，可建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，即可求得异面直线与所成角的余弦值． 【详解】由题意可知， 三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示： 则，． ∴． ∴． 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：C． 5. 已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义可求的最小值. 【详解】 由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部， 过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D， 则有， 当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C. 6. 已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，可知当OP最小时，最大，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离， 因为，且， 当最小时，则最大，可得最大，即最大， 又因为的最小值即为圆心到直线的距离为， 此时，所以取得最大值． 故选：C． 7. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为圆上的点与点连线的斜率的取值范围的求解，根据直线与圆的位置关系可求得切线斜率，进而得到结果. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， ， 的几何意义是圆上的点与点连线的斜率， 设过点的圆的切线方程为：，即， 圆心到切线的距离，解得：， ，. 故选：C. 8. 设椭圆的两个焦点是，，过点的直线与椭圆交于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，用表示出，两次利用余弦定理即可容易求得. 【详解】连接，如下图所示： 由椭圆定义，以及已知条件，可得： ， 在和中，由余弦定理可得： ， 代值整理可得： ， ， 则离心率. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及余弦定理的使用，椭圆的定义，属综合中档题. 二、多选题 9. 下列四个命题中正确的是（   ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 直线与直线之间的距离为 C. 若直线与直线相互垂直，则实数的值为或0 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】直线方向向量的定义、平行线间距离公式，结合互相垂直两直线的性质、正弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】A：直线的方向如果是，它的斜率为， ，所以直线的斜率为，因此选项不正确； B：， 所以直线与直线之间的距离为，因此选项正确； C：因为直线与直线相互垂直， 所以有，或，因此选项正确； D：由直线的方程可知该直线的斜率为， 因为，所以， 设直线的倾斜角为，则有， 解得，或，所以选项不正确， 故选：BC 10. 已知圆与圆交于，两点，则（ ） A. 两圆的公切线有2条 B. 直线方程为 C. D. 动点在圆上，则的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据圆心距与半径的关系可判断两圆相交，即可判断A，根据两圆方程相减即可判断B，根据弦长公式即可求解C，根据点点距离公式即可判断D. 【详解】由题意可知，， 故，故两圆相交，公切线有2条，A正确， 与圆相减可得， 故直线方程为，B正确， 到直线的距离为，故，故C错误， 可看作是圆上的一个点到点的距离的平方， 故最大值为，则的最大值为，D错误， 故选：AB 11. 如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到，连接，，且，平面与平面的交线为l，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面平面 B. C. ВС与平面所成角的余弦值为 D. 二面角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.利用面面垂直的判定定理判断；B.利用线面平面的判定定理和性质定理判断；C、D.利用空间向量夹角进行求解判断即可. 【详解】在菱形ABCD中，E为边AB的中点，所以，因为， 所以ED⊥DC，因为A′D⊥DC， ，所以平面A′DE， 因为，所以平面A′DE，因为平面A′BE， 所以平面A′DE⊥平面A′BE ，故A正确； 因为，平面A′BE，平面A′BE ，所以平面A′BE，又平面A′BE与平面A′CD的交线为l，所以CD∥l ，故B正确； 由A知，平面A′DE，则A′E，又菱形ABCD边长为2，∠BAD＝60°，E为边AB的中点，所以A′E，又BE∩DE=E，所以A′E平面BED,，以E为原点，分别以EB，ED,E A′为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 由上可知：平面A′DE， 设平面的一个法向量为：， 则， 所以有，因此选项C不正确； 显然平面的一个法向量为：， 设平面的一个法向量为： 则有则，即，所以 所以，所以选项D正确， 故选：ABD 三、填空题 12. ，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算可得，即可由模长公式求解. 【详解】，解得，故， 故答案为： 13. 已知，直线，且，则的最小值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】由题意，根据直线垂直，先得到，再由，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8 14. 已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则|PQ|－|PM|的最大值为______. 【答案】6 【解析】 【分析】易知圆的圆心是为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义得到，然后由求解. 【详解】如图所示： 由，得， 则，所以椭圆的左，右焦点坐标分别为，， 则圆的圆心为椭圆的左焦点， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， ， 故答案为：6. 四、解答题 15. 已知直线，. （1）证明直线过定点，并求出点的坐标； （2）在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的12倍，求直线的方程； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）整理方程为，然后解方程组可得答案； （2）设出直线方程，求出截距，利用截距之间的关系列方程求解. 【小问1详解】 直线可化为， 则，解得， 直线l过定点，且定点A的坐标为； 【小问2详解】 直线过点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍， 则当直线过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为，即； 当直线的横纵截距均不为零时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 此时直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或. 16. 已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点． （1）求椭圆的方程； （2）过点且倾角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率以及顶点坐标即可得方程，求解即可； （2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，可得，再由点到直线的距离公式求得到的距离d，运用三角形的面积公式，计算可得所求值． 【小问1详解】 因为点是椭圆的右顶点，所以.   又，所以. 又，所以 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意得直线l的方程为：， 设， 联立，消y，得， ， ， 到直线的距离， . 17. 已知圆经过点，与直线相切，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知直线经过点，并且直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为，已知直线与圆相切，根据圆心到直线的距离等于半径求解参数的值，进而求得半径，即可得到圆的方程； （2）分斜率存在和斜率不存在两种情况分别讨论： 当斜率不存在时，联立方程求得，的坐标，并验证成立， 当斜率存在时，设直线，利用圆心到直线的距离等于1求解斜率，进而求解直线方程. 【小问1详解】 因为圆心在直线上，可设圆心为． 则点到直线的距离，据题意，，则， 解得．所以圆心为，半径，则所求圆的方程是． 【小问2详解】 当不存在时，得：直线，代入圆方程中解得：，， 由于，所以，符合题意； 当存在时，设直线方程， 由于，故为等腰直角三角形，因此可得圆心到直线的距离为， 即，，直线方程为． 综上所述，直线方程为或． 18. 如图，平面平面ABCD，，，，，E为PD中点. （1）求证：平面PBC； （2）求平面ABE与平面PAB所成角的余弦值； （3）求点D到平面ABE的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取PC的中点F，连接，BF，根据平行关系可证，进而可证线面平行； （2）建系标点，分别求平面ABE与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）由（2）可得，平面ABE的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【小问1详解】 取PC的中点F，连接，BF， 因为E是PD的中点，则，， 又因为，，则，， 可知四边形是平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 在平面内过点B作垂直于AB， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，可得，， 且，以B为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，， 设平面ABE的法向量为，则， 取，则，，可得， 又因为平面的一个法向量为 设平面ABE与平面所成角为，且为锐角， 则， 故平面ABE与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）可知：，平面ABE的法向量为， 所以点D到平面ABE的距离. 19. 已知双曲线的左右顶点分别为，实轴，且左焦点到其中一条渐近线的距离为. （1）求双曲线的标准方程； （2）过左焦点的直线交双曲线左右两支于两点（点位于第一象限），直线与相交于点. （i）求证：点在定直线上； （ii）求证：射线平分. 【答案】（1） （2）（i）证明：由题知， 因为直线过，，点在第一象限，故直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 则， 方程的判别式， 由已知为方程的两个根， 所以， 因为直线的方程为，直线的方程为 联立可得 ， 则，即在直线上； （ii）证明：由（i）知，（其中） 则 即，故射线平分. 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，再求即可求解， （2）联立直线与双曲线的方程得韦达定理，可得， （i）求直线的方程，由此可得，再求，由此证明结论； （ii）由（i）求的坐标，求，，，由此证明. 【小问1详解】 由题意，设左焦点的坐标为， 双曲线的渐近线方程为：，， 左焦点到其中一条渐近线的距离为，可得， 又因为，解得， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡一高2025-2026学年上学期11月月考 高二数学试题（文科） 一、选择题 1. 已知点 在平面 内，并且对于空间任意一点 ，都有 ，则 的值是( ) A. B. C. D. 2. 已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的两个焦点是，，过点的直线与椭圆交于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列四个命题中正确的是（   ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 直线与直线之间的距离为 C. 若直线与直线相互垂直，则实数的值为或0 D. 直线的倾斜角的取值范围是 10. 已知圆与圆交于，两点，则（ ） A. 两圆的公切线有2条 B. 直线方程为 C. D. 动点在圆上，则的最大值为 11. 如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到，连接，，且，平面与平面的交线为l，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面平面 B. C. ВС与平面所成角的余弦值为 D. 二面角的余弦值为 三、填空题 12. ，，，则________． 13. 已知，直线，且，则的最小值为__________. 14. 已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则|PQ|－|PM|的最大值为______. 四、解答题 15. 已知直线，. （1）证明直线过定点，并求出点的坐标； （2）在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的12倍，求直线的方程； 16. 已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点． （1）求椭圆的方程； （2）过点且倾角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求的面积． 17. 已知圆经过点，与直线相切，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知直线经过点，并且直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 18. 如图，平面平面ABCD，，，，，E为PD中点. （1）求证：平面PBC； （2）求平面ABE与平面PAB所成角的余弦值； （3）求点D到平面ABE的距离. 19. 已知双曲线的左右顶点分别为，实轴，且左焦点到其中一条渐近线的距离为. （1）求双曲线的标准方程； （2）过左焦点的直线交双曲线左右两支于两点（点位于第一象限），直线与相交于点. （i）求证：点在定直线上； （ii）求证：射线平分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $